Sinais e Sistemas - Atividade de Avaliação 2 - Convolução e Série de Fourier

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Paraíba Campus Campina Grande Sinais e Sistemas Prof Moacy Pereira da Silva Alunoa Data de Entrega 09122022 Nota Atividade de Avaliação 2 1 25 Pontos A entrada 𝑥𝑡 e a resposta ao impulso ℎ𝑡 de um sistema contínuo no tempo LIT são dados por 𝑥𝑡 𝑢𝑡 𝑘 𝑘 0 ℎ𝑡 𝑒𝛼𝑡𝑢𝑡 𝛼 0 Utilizando a definição da operação de convolução determine matematicamente e graficamente a saída 𝑦𝑡 calculando 𝑥𝑡 ℎ𝑡 e ℎ𝑡 𝑦𝑡 Os resultados são iguais Justifique o porquê 2 25 Pontos Determine o valor de forma analítica e gráfica a convolução 𝑦𝑡 𝑥𝑡 ℎ𝑡 em que 𝑥𝑡 e ℎ𝑡 são ilustrados na figura abaixo 3 25 Ponto Considerando um sinal periódico de uma onda quadrada 𝑥𝑡 mostrado na figura abaixo determine uma equação para aproximar o sinal utilizando três termos na forma 𝑥3 𝑡 𝑏1 sinw0t 𝑏2 sin2w0t 𝑏3sin 3w0t Considere que a aproximação por série de Fourier vai determinar um erro 𝑒𝑡 𝑥𝑡 𝑥 3𝑡 e para determinação dos coeficientes 𝑏1 𝑏2 e 𝑏3 a energia do erro deve a menor possível Determine a primeira a aproximação 𝑥1𝑡 e com isso o coeficiente 𝑏1 e assim consequentemente 4 25 Pontos Considerando trem de impulso ilustrado na figura abaixo utilizando a descrição em série de Fourier determine uma aproximação para o sinal contendo os coeficientes 𝑎0 𝑎1 e 𝑏1 utilizando a representação trigonométrica Demostre matematicamente qual o valor DC máximo que o coeficiente 𝑎0 pode assumir Observação Digitalizar suas folhas de respostas e anexar como devolução de sua atividade Bons estudos 1 Para a questão 3 da atividade considere as informação complementares inseridas frente às dúvidas postadas aqui no Classroom 2 Na primeira questão devese calcular xtht e htxt 03 To 3s f0 13 Hz w0 2π 13 2π3 rads x3t b3 senw0t b2 sen 2 w0 t b3 sen 3 w0 t x3t b1 sen 2π3 t b2 sen 4π3 t b3 sen 6π3 t et xt x3t et xt b1 sen 2π3 t b2 sen 4π3 t b3 sen 6π3 t A ENERGIA SERÁ MÍNIMA POR PERÍODO DO SINAL DE ERRO VISTO QUE QUALQUER SINAL PERIÓDICO NÃO NULO TERÁ ENERGIA INFINITA POIS P02 Ext xt² dt A ENERGIA DO SINAL DE ERRO EM UM PERÍODO PODE SER CALCULADA POR Eet e²t dt Eet 1 b1 sen 2π3 t b2 sen 4π3 t b3 sen 6π3 t² dt ₁³ b1 sen 2π3 t b2 sen 4π3 t b3 sen 6π3 t² dt Eet ₀¹ 1 2 b3 sen 2π3 t 2 b2 sen 4π3 t 2 b3 sen 6π3 t b3² sen² 2π3 t 2 b1 b2 sen 2π3 t sen 4π3 t t b3 b3 sen 2π3 t sen 6π3 t b22 sen2 4π3 t 2 b2 b3 sen 4π3 t sen 6π3 t b32 sen2 6π3 t dt 13 b22 sen2 2π3 t 2 b3 b2 sen 2π3 t sen 4π3 t 2 b3 b3 sen 2π3 t sen 6π3 t b22 sen2 2π3 t 2 b2 b3 sen 4π3 t sen 6π3 t b32 sen2 6π3 t dt P03 E et 160 π 720 b1 360 b2 80 π b22 80 π b12 80 π b32 30 3 b12 15 3 b22 120 3 b2 b2 90 3 b1 b3 144 3 b2 b3 160 π b12 b22 b32 3 3 b12 16 3 3 b22 32 3 3 b1 b2 4 9 3 b1 b3 16 9 3 b2 b3 30 π E et 6 π b12 18 b1 6 π b22 9 b2 6 π b32 4 π 4 π E et 6 π b12 b22 b32 4 π 18 b1 9 b2 4 π E 1 4 π 12 π b1 18 12 π b2 9 12 π b3 0 P04 12 π b1 18 0 b1 18 12 π 12 π b2 9 0 b2 9 12 π 12 π b3 0 b3 0 Logo x3t 18 12 π sen 2π3 t 9 12 π sen 4π3 t x3t 3 2 π sen 2π3 t 3 4 π sen 4π3 t 04 T₀ 1 s f₀ 1 T 1 1 1 Hz ω₀ π f₀ 2 π 1 2 π rads a₀ 1 T ₀ᴛ ft dt 1 1 ₀⁰³ A dt A ₀⁰³ dt a₀ A t ₀⁰³ A 03 0 03 A a₀ 03 A aₙ 2 T ₀ᴛ ft cos n ω₀ t dt 2 1 ₀⁰³ A cos 2 π n t dt aₙ 2 A ₀⁰³ cos 2 π n t dt 2 A sen 2 π n t 2 π n ₀⁰³ aₙ A n π sen 2 π n 03 sen 2 π n 0 aₙ A n π sen 06 n π PARA n 1 P05 a1 Aπ sen06π P06 bn 2T 0T ft senn w0 t dt 2003 A sen2πn t dt bn 2A 003 sen2πn t dt 2A cos2πn t2πn 003 bn Anπ cos2π n 03 cos2π n 0 bn Anπ 1 cos06 n π PARA n 1 b1 Aπ 1 cos06 π REPRESENTAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA DE xt ẽt a0 n1 an cosn w0 t bn senn w0 t ẽt a0 a1 cosw0 t b1 senw0 t ẽt 03 A Aπ sen06 π cos2π t Aπ 1 cos06 π sen2π t O VALOR MÁXIMO QUE a0 PODE ASSUMIR É P07 a0MAX lim A 03 A a0MAX