Controle de Trem com Levitação Magnética - Projeto e Simulação

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MINAS GERAIS CAMPUS BETIM BACHARELADO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Marcos Paulo Santos Nascimento CONTROLE DE TREM COM LEVITAÇÃO MAGNÉTICA Betim 2022 MARCOS PAULO SANTOS NASCIMENTO CONTROLE DE TREM COM LEVITAÇÃO MAGNÉTICA Trabalho do curso de Engenharia de Controle e Automação do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Betim como parte dos requisitos para obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Controle e Automação Orientador Leandro Betim 2022 Sumário 1 INTRODUÇÃO 15 51 Objetivos 15 2 DESCRIÇÃO 16 21 Diagrama de blocos do sistema 16 52 Função de transferência 16 3 Análise em malha aberta 16 4 Análise de controlador com atraso 17 5 Analise em malha fechada sistema sem atraso 18 6 Análise em malha fechada sistema com atraso 23 7 análise de nyquist 26 8 análise de nichols 31 9 analise de bode 35 10 CONCLUSÃO 38 Referências 39 GLOSSÁRIO opcional 39 Apêndice A TÍTULO DESTE APÊNDICE 40 INTRODUÇÃO O princípio básico da levitação magnética é produzir forças de campo capazes de equilibrar um corpo sem nenhum contato físico A implementação da levitação é interessante em casos onde se deseja eliminar o atrito mecânico como por exemplo em meios de transporte A eliminação das rodas em trens de levitação propicia maiores velocidades de deslocamento com menor consumo de energia Outra aplicação de grande relevância são os mancais magnéticos em motores permitindo um aumento de velocidade sem que haja sobreaquecimento Figura 1 Sistema de levitação magnética de um trem Fonte Objetivos O objetivo deste trabalho é apresentar o projeto de controlador em um sistema de levitação magnética tratando dos aspectos da modelagem do sistema e os resultados obtidos em simulação DESCRIÇÃO Diagrama de blocos do sistema Figura 2 Diagrama de blocos do sistema de controle de trem com levitação magnética Figura 3 Diagrama de blocos do sistema Fonte Elaborado pelo autor Nesse sistema temos como entrada a do trilho ao trem representado por Rs e a saída é a posição atual entre eles dentre esse sistema temos o Controlador Dz um segurador de ordem zero ZOH que é utilizado para manter o sinal de saída invariante entre as ocorrências de amostragem e o sinal de perturbação representado por T 2 s que é causado pel o peso da carga que é carregada pelo trem Função de transferência A função de transferência do sistema de controle de levitação de um trem é representada pela seguinte função s4 s2 2 1 Fonte Elaborado pelo autor Aná lise em malha aberta Figura 4 Sistema em malha aberta do controle de trem com levitação magnética Figura 5 analise em malha aberta Fonte Elaborado pelo autor Para realizar a análise do sistema em malha aberta em tempo discretizado é necessário primeiramente encontrar a função de transferência em malha aberta no domínio do tempo s Então para isso temos a função de transferência é o produto da planta G s com o controlador Dz mas este ainda é desconhecido então é realizado com o segurador de ordem zero ZOH e utilizando a tabela de transformada Z porém o resultado não foi o esperado como comparado ao matlab no apêndice C s R s D z x ZOH x G s 2 C z R z D z 04587z0289 z 2 02707z001832 3 Fonte Elaborado pelo autor Análise de controlador com atraso O sistema em malha aberta com atraso está demonstrado por Figura 6 Analise de controlador com atraso em malha aberta Fonte Elaborado pelo autor Para calcular o sistema com atraso primeiro foi calculado o tempo de amostragem T 1 ζw 4 T005s 5 Fonte Elaborado pelo autor E com esse período calculado é definido que o atraso é 25 T tendo como resultado de 0125s Para encontrar a função transferência com atraso no domínio Z foi realizado um código no matlab que se encontra no apêndice b este código foi realizado da seguinte forma Primeiro é encontrado a função de transferência sem o segurador de ordem zero no domínio S em seguida é adicionado o segurador de ordem zero o tempo de amostragem e o atraso resultado na seguinte equação C s R s D z x Fs xZOH x G s 6 C z R z D z z 3 0004901 z 2 00003921z0004901 z 2 196z09608 7 Fonte Elaborado pelo autor Analise em malha fechada sistema sem atraso O sistema em malha fechada do sistema sem atraso est á representando na imagem a seguir Figura 7 Analise em malha fechada sistema sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Porem nos cálculos de malha não obtive os resultados corretamente encontrad os Para encontrar os valores de k como não obtive resultado correto com os cálculos manuscrito foi utilizado o código do matlab encontrado no apêndice C Neste encontramos a seguinte faixa 34K102 7 Com isso podemos demonstrar a faixa de estabilida de gerando com os gráficos a seguir no matlab apresentado no apêndice d Figura 8 Valor de k 2 Fonte Elaborado pelo autor Figura 9 Valor de k 095 Fonte Elaborado pelo autor Figura 10 Valor para k 15 Fonte Elaborado pelo autor Figura 11 Valor para k 4 Fonte Elaborado pelo autor Para encontrar a faixa de valores de tempo de amostragem foi decidido o valor do controlador k igual a 2 Com isso foi escrito um código descrito no apêndice e no matlab para encontrar a faixa de valores de T onde o sistema é estável Figura 12 faixa de valores de T onde o sistema se mantém estável para k 2 Fonte Elaborado pelo autor A partir da figura 12 foi encontrada a faixa de valores para o tempo de amostragem onde o sistema se mantem estável 0 T 151 8 Análise em malha fechada sistema com atraso O sistema em malha fechada do sistema com atraso está demonstrado na imagem a seguir Fonte Elaborado pelo autor Para encontrar a faixa de valores do ganho primeiro foi fixado o valor do tempo de amostragem no valor de 2 Com isso foi desenvolvido um código no matlab no apêndice f Figura 13 Faixa de valores de k onde o sistema se mantém estável Fonte Elaborado pelo autor A faixa de valores para k obtida a partir da figura 8 é 116 K 1 9 Fonte Elaborado pelo autor Com a faixa de valor adequada para k foram gerados gráficos de r espostas ao degrau no matlab no apêndice g para valores dentro da faixa adequada Figura 14 simulação do sistema com k 1 Figura 15 Simulação do sistema usando k 05 Fonte Elaborado pelo autor Ambos os gráficos apresentados nas figuras 14 e 16 mostram que são estáveis com valores de k dentro da faixa encontrada na figura 13 onde são os valores de 1 e 05 respectivamente Para encontrar a faixa de valores de tempo de amostragem primeiro foi dado o valor do controlador proporcional no valor de 2 Com isso foi gerado um código no matlab apêndice h para encontrar a faixa de valores de T que são estáveis Figura 16 Faixa de valores de T onde o sistema se mantém estavam para k 2 Fonte Elaborado pelo autor A partir da figura 16 foi encontrada a faixa de valores para o tempo de amostragem onde o sistema se mantém estável 0T27 10 Fonte Elaborado pelo autor análise de nyquist Para a análise de Nyquist sem atraso foi utilizado o valor do controlador k 05 e o tempo de amostragem foi de T 1 Com isso foi obtido o gráfico de Nyquist em malha aberta que está descrito no apêndice L Figura 17 Diagrama de Nyquist para o sistema sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Com o diagrama descrito de Nyquist é podemos analisar a estabilidade do sistema em malha fechada Para fazer a análise de Nyquist é necessário determinar o número de voltas em torno do ponto no eixo real em 1 no sentido horário No diagrama o ponto 1 está à direita a linha do gráfico sem dar volta nele então temos que 𝑁 0 Para o restante da análise temos que descobrir o número de polos de malha aberta fora do circulo unitário então para obter isso foi gerado um gráfico de polos e zeros no sistema sem atraso no matlab descrito pelo apêndice j Figura 18 Gráfico de polos e zeros da função de transferência sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Podemos determinar com a figura 18 que não há polo fora do circulo unitário então P é igual a 0 para descobrir o número de zeros da equação característica NZP 11 0Z0 Z0 Fonte Elaborado pelo autor Com o valor de Z sendo 0 temos que o sistema será estável em malha fechada A partir do diagrama de Nyquist também se pode obter a margem de ganho e fase Para obtermos a margem de fase foi criado um circulo unitário A partir então do encontro da reta do sistema e do circulo de raio unitário é gerado uma reta até a origem sendo que esse circulo de raio unitário cruzando o ponto 1 logo a margem de fase é infinita como demonstrado na figura 17 Figura 19 Diagrama de Nyquist para o sistema sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Mg20 log 1 a db 12 Mg20 log 1 0153 db Mg16307 db Fonte Elaborado pelo autor Para a análise de Nyquist com atraso foi utilizado o valor do controlador k 05 e o tempo de amostragem foi de T 1 Com isso foi obtido o gráfico de Nyquist em malha aberta que está descrito no apêndice m Figura 20 Diagrama de Nyquist para o sistema com atraso Fonte Elaborado pelo autor Mg20 log 1 a db 1 3 Mg20 log 1 0432 db Mg729 db Fonte Elaborado pelo autor Com o diagrama descrito de Nyquist é podemos analisar a estabilidade do sistema em malha fechada Para fazer a análise de Nyquist é necessário determinar o número de voltas em torno do ponto no eixo real em 1 no sentido horário No diagrama o ponto 1 está à direita da linha do gráfico sem dar volta nele então temos que 𝑁 0 Para o restante da análise temos que descobrir o número de polos de malha aberta fora do círculo unitário então para obter isso foi gerado um gráfico de polos e zeros no sistema sem atraso no matlab descrito pelo apêndice n NZP 1 4 0Z0 Z0 Fonte Elaborado pelo autor análise de nichols Para gerar a carta de Nichols foi usado o código no Matlab demonstrado no apêndice p onde o valor do controlador 𝑘 18 e o tempo de amostragem foi 𝑇 1 pois com o valor anterior de k 05 não obtive resultados que permitisse boas analises para isso foi alterado o valor de ganho para 18 Figura 21 Carta de Nichols sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Através da figura 21 foi encontrado a banda de ressonância de 6db enquanto a banda de passagem é encontrada é quando a linha tangenci a em 3db que é a frequência de 194 rad s Figura 22 Carta de Nichols para analise de ganho e fase Fonte Elaborado pelo autor Para analise da margem de ganho temos que este é a distancia do ponto em 180 deg e 0 até o ponto mais próximo da linha do gráfico que é no valor de 553 Para a margem de fase é a distancia do mesmo ponto anterior até a linha gerada no gráfico no valor de aproximadamente 47 deg Figura 23 Carta de Nichols com atraso para analise de ganho fase e banda de ressonância Fonte Elaborado pelo autor Através da figura 2 3 foi encontrado a banda de ressonância de 6db enquanto a banda de passagem é encontrada é quando a linha tangencia em 3db que é a frequência de 0213 rad s Para análise da margem de ganho temos que este é a distância do ponto em 180 deg e 0 até o ponto mais próximo da linha do gráfico que é no valor de 1 85db Para a margem de fase é a distância do mesmo ponto anterior até a linha gerada no gráfico no valor de aproximadamente 119 deg analise de bode Uma outra forma de ser analisado é através do diagrama de Bode para isso foi utilizado o comando do matlab chamado margin demonstrado no apêndice q Figura 24 Diagrama de bode para sistema sem atraso Fonte Elaborado pelo autor Para encontrar a margem de ganho primeiro devese analisa r em que frequência o sistema está quando a trajetória no gráfico de Fase cruza o valor de 180º Então em seguida isso no gráfico de Magnitude para achar a margem de ganho é calculada a distância do eixo da frequência até o ponto na trajetória que está na frequência encontrada anteriormente Como mostrado na Figura 24 a margem de ganho é igual a 553 dB Já para encontrar a margem de fase é necessário descobrir em que frequência o sistema no gráfico de magnitude cruza o eixo 0 A partir disso é calculado a distância do eixo 180º no gráfico de fase até o ponto na trajetória que está na frequência encontrada antes Essa distância será a margem de fase que de acordo com a Figura 24 é igual a 467 deg Figura 25 Diagrama de bode para sistema com atraso Fonte Elaborado pelo autor Para encontrar a margem de ganho primeiro devese analisar em que frequência o sistema está quando a trajetória no gráfico de fase cruza o valor de 180º Então em seguida isso no gráfico de Magnitude para achar a margem de ganho é calculada a distância do eixo da frequência até o ponto na trajetória que está na frequência encontrada anteriormente Como mostrado na Figura 25 a margem de ganho é igual a 185 dB Já para encontrar a margem de fase é necessário descobrir em que frequência o sistema no gráfico de magnitude cruza o eixo 0 A partir disso é calculado a distância do eixo 180º no gráfico de fase até o ponto na trajetória que está na frequência encontrada antes Essa distância será a margem de fase que de acordo com a Figura 25 é igual a 119 deg CONCLUSÃO Através do desenvolvimento de diversas analises do sistema em malha aberta fechada com atrasado e sem atraso com o auxílio do matlab foi diagnosticado a margem que os valores de ganho proporcional tempo de amostragem manteve o sistema estável a compreensão do sistema tornouse possível pelo desenvolvimento de códigos e visualização dos diagramas de bode carta e diagrama de Nyquist diagrama de Nichols São ferramentas essenciais para entendermos e extrair informações essências para controlar o sistema Referências bibliográfica Critério de Estabilidade de Nyquist Wikipediaorg Fundação Wikimedia Inc 22 Feb 2015 ptwikipediaorgwikiCritC3A9riodeestabilidadedeNyquist Accessed 15 May 2022 Amilcare Teorema de NyquistShannon ElettroAmici Elettroamiciorg 18 June 2020 wwwelettroamiciorgptteoremadinyquistshannon Accessed 15 May 2022 Apêndice A TÍTULO DESTE APÊNDICE O apêndice contém material produzido pelo próprio autor Para mais de um apêndice numereos com APÊNDICE A APÊNDICE B etc As figuras tabelas etc contidas no apêndice não devem aparecer nas listas de figuras tabelas etc Apêndice a Apêndice b Apêndice c Apêndice D Apêndice e Apêndice f Apêndice g Apêndice h Apêndice i Apêndice j Apêndice k Apêndice m Apêndice n Apêndice p Apêndice q 25