Transformada Estrelada: Impactos da Amostragem e Caracterização de Sinais

Transformada estrelada Leandro Freitas Engenharia de Controle e Automação Controle Digital 2021 Objetivos Examinar impactos da amostragem no domínio de Laplace Aplicar procedimento para caracterizar sinais no domínio da transformada estrela sinais amostrados Transformada estrelada Leandro Freitas Controle Digital 2 de 13 Agenda 1 Introdução amostragem no domínio de Laplace 2 Conteúdo transformada estrela 3 Revisão 4 Exercício de fixação de conteúdo Transformada estrelada Leandro Freitas Controle Digital 3 de 13 Sistema de rastreamento Exemplo radar tracking system Controle do ângulo de guinada Transformada estrelada introdução Leandro Freitas Controle Digital 4 de 13 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Transformada Estrela Aulas anteriores 𝑚 𝑡 𝑛 𝑚 𝑛𝑇 𝛿 𝑡 𝑛𝑇 𝑀 𝑠 𝑀 𝑠 σ𝑛 𝑚 𝑛𝑇 𝑒𝑛𝑇𝑠 𝑈 𝑠 analisar convergência ℛℯ 𝑠 0 𝑀 𝑠 para 𝑚 𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑢 𝑡 ℛℯ 𝑠 𝑎 𝑀𝑠 Quantos polos tem 𝑀 𝑠 e 𝑀 𝑠 𝑀 𝑠 é uma função periódica em ℐ𝓂 𝑠 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 5 de 13 Transformada de Laplace ℒ 𝛿 𝑡 1 ℒ 𝛿 𝑡 𝑇 𝑒𝑇𝑠 Série geométrica para 𝑟 1 𝑛0 𝑟𝑛 𝑟0 𝑟1 𝑟2 1 1 𝑟 Transformada Estrela Expressão de 𝑀 𝑠 ℒ 𝑚 𝑡 𝑀 𝑠 ℒ 𝑚 𝑡 𝛿𝑇 𝑡 𝑀 𝑠 1 𝑇 σ𝑛 𝑀 𝑠 𝑗𝑛𝜔𝑠 Característica de 𝑀 𝑠 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 6 de 13 Periodicidade de sinais 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 𝑃 𝑡 Relembrando 𝛿𝑇 𝑡 1 𝑇 𝑛 𝑒𝑗𝑛2𝜋 𝑇 𝑡 𝜔𝑠 2𝜋 𝑇 Transformada de Laplace ℒ 𝑚 𝑡 න 𝑚 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Interpolação ideal última aula Periódico no eixo 𝑗𝜔 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 7 de 13 𝑀 𝑠 em função de 𝑀 𝑠 Expressão de 𝑚 𝑡 𝑚 𝑡 𝑚 𝑡 𝛿𝑇 𝑡 Transformada de Laplace 𝑀 𝑠 𝑀 𝑠 Δ𝑇 𝑠 Δ𝑇 𝑠 1 𝑒𝑇𝑠 𝑒2𝑇𝑠 1 1 𝑒𝑇𝑠 ℛℯ 𝑠 0 Aplicar convolução complexa 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 න 𝑐𝑗 𝑐𝑗 𝑀 𝜆 Δ𝑇 𝑠 𝑑𝜆 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 8 de 13 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 න 𝑐𝑗 𝑐𝑗 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 Figura p59 e integral de linha 𝑀 𝑠 em função de 𝑀 𝑠 Aplicar convolução complexa 𝑀 𝑠 𝑀 𝑠 Δ𝑇 𝑠 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 න 𝑐𝑗 𝑐𝑗 𝑀 𝜆 Δ𝑇 𝑠 𝑑𝜆 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 ර Γ 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 𝑑Γ Teorema dos resíduos de Cauchy Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 9 de 13 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 න 𝑐𝑗 𝑐𝑗 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 Figura p59 e integral de linha Γ ℐ𝓂 ℛℯ c Teorema dos resíduos 𝑀 𝑠 pol 𝑀 𝜆 𝑟𝑒𝑠 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 pol𝑀 𝜆 indica os polos de 𝑀 𝜆 𝑟𝑒𝑠 resíduos Cálculo dos resíduos no polo 𝑝 com multiplicidade 𝑚 𝑟𝑒𝑠 𝐹 𝑠 lim 𝜆𝑝 1 𝑚 1 𝑑𝑚1 𝑑𝜆𝑚1 𝜆 𝑝 𝑚𝐹 𝜆 Exemplo 235 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 10 de 13 𝑀 𝑠 1 2𝜋𝑗 න 𝑐𝑗 𝑐𝑗 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 Figura p56 e integral de linha Γ ℐ𝓂 ℛℯ c Propriedades da Transformada estrela Propriedades 𝑀 𝑠 𝐺 𝑠 𝑀𝐺 𝑠 𝑀 𝑠 𝐺 𝑠 𝑀 𝑠 𝐺 𝑠 𝑀 𝑠 𝑒𝑠𝑇 𝑀 𝑠 𝑒𝑠𝑇 𝑀 𝑧 𝑀 𝑠 ቚ 𝑧𝑒𝑇𝑠 Transformada estrelada conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 11 de 13 Atenção 𝑀 𝑠 𝐺 𝑠 𝑀 𝑠 𝐺 𝑠 O que vimos hoje Amostragem no domínio de Laplace Transformada estrela Transformada estrelada revisão Leandro Freitas Controle Digital 12 de 13 Leitura recomendada Livro Phillips Nagle e Chakrabortty sec 3443 Livro Aguirre sec 23 e cap 3133 𝑀 𝑠 pol 𝑀 𝜆 𝑟𝑒𝑠 𝑀 𝜆 1 1 𝑒𝑇 𝑠𝜆 Exercício de fixação 1 Encontre 𝑀 𝑠 pelo método dos resíduos a 𝑀 𝑠 20 𝑠2 𝑠5 b 𝑀 𝑠 5 𝑠 𝑠1 c 𝑀 𝑠 𝑠25𝑠6 𝑠 𝑠4 𝑠5 d 𝑀 𝑠 2 𝑠22𝑠5 Transformada estrelada exercício de fixação Leandro Freitas Controle Digital 13 de 13 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014