Transformada Z Modificada em Sistemas com Atraso

Transformada Z modificada sistemas com atraso Leandro Freitas Engenharia de Controle e Automação Controle Digital 2021 Objetivos Fazer análise de sistemas com atraso no domínio Z Operar transformada Z modificada Analisar sistemas com amostradores assíncronos Transformada Z modificada sistemas com atraso Leandro Freitas Controle Digital 2 de 18 Agenda 1 Introdução exemplo motivador panorama 2 Conteúdo Transformada Z modificada sistemas com atraso revisão transformada z 3 Revisão 4 Exercício de fixação de conteúdo Transformada Z modificada sistemas com atraso Leandro Freitas Controle Digital 3 de 18 Sistema amostrado Sistemas com atraso puro de tempo Tempo de processamento não desprezível Transformada Z modificada sistemas com atraso introdução Leandro Freitas Controle Digital 4 de 18 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Sistema amostrado Exemplo sinal amostrado Desejase obter amostra nos instantes t 𝑚𝑇 𝑚 1 𝑇 𝑚 2 𝑇 𝑚 Δ 1 Δ 1 𝑚 Encontrar 𝑋𝑎 𝑧 tal que 𝒵1 𝑋𝑎 𝑧 𝑥 𝑚𝑇 𝑥 𝑚 1 𝑇 𝑥 𝑚 2 𝑇 Atrasar o sinal de 𝚫𝑻 Transformada Z modificada sistemas com atraso introdução Leandro Freitas Controle Digital 5 de 18 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 𝑚𝑇 𝛥𝑇 Sistema amostrado Exemplo Sinal atrasado com Δ 04 e 𝑚 06 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 6 de 18 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Transformada Z modificada Exemplo Atraso no tempo contínuo e aplicar transformada Z método dos resíduos Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 7 de 18 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Transformada Z modificada Transformada Z a partir de 𝑋 𝑠 𝒵 𝑋 𝑠 𝑋 𝑧 pol 𝑋 𝜆 𝑟𝑒𝑠 𝑋 𝜆 1 1 𝑧1𝑒𝑇𝜆 Transformada Z modificada 𝒵 𝑋 𝑠 𝑒 1𝑚 𝑇𝑠 𝑋 𝑧 𝑚 𝑧1 pol 𝑋 𝜆 𝑟𝑒𝑠 𝑋 𝜆 𝑒𝑚𝑇𝜆 1 1 𝑧1𝑒𝑇𝜆 Exemplo 𝑥 𝑡 𝑢 𝑡 𝑒𝑎𝑡 Transformada Z modificada que faça 𝑥 𝑚𝑇 𝑥 𝑚 1 𝑇 𝑥 𝑚 2 𝑇 𝑥 𝑚 3 𝑇 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 8 de 18 𝑒𝑎𝑚𝑇 𝑧 𝑒𝑎𝑇 Tabela de Transformada Z modificada Transformada Z modificada Verificar se o procedimento funciona voltar no domínio do tempo contínuo e verificar amostragem Fazer transformada inversa de 𝑋 𝑧 𝑚 𝑋 𝑧 𝑚 𝒵 𝑋 𝑠 𝑒ΔT𝑠 𝑋 𝑧 𝑚 𝑛1 𝑥 𝑛𝑇 Δ𝑇 𝑧𝑛 𝑋 𝑧 𝑚 𝑥 𝑚𝑇 𝑧1 𝑥 𝑚 1 𝑇 𝑧2 𝑥 𝑚 2 𝑇 𝑧3 O sinal no tempo realmente representa 𝑥 𝑡 nas amostras 𝑚𝑇 𝑚 1 𝑇 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 9 de 18 𝑋 𝑧 𝑛0 𝑥 𝑛𝑇 𝑧𝑛 𝑚 1 Δ Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Transformada Z modificada inversa Por divisão longa Exemplo 𝑥 𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑢 𝑡 𝑋 𝑧 𝑚 𝑒𝑎𝑚𝑇 𝑧 𝑒𝑎𝑇 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 10 de 18 𝑋 𝑧 𝑛0 𝑥 𝑛𝑇 𝑧𝑛 Fazer 1𝑧 𝑒𝑎𝑇 e depois multiplicar por 𝑒𝑎𝑚𝑇 𝑋 𝑧 𝑚 𝑒𝑎𝑚𝑇 𝑧1 𝑒𝑎𝑇𝑧2 𝑋 𝑧 𝑚 𝑒𝑎𝑚𝑇𝑧1 𝑒𝑎 𝑚1 𝑇𝑧2 Portanto cada amostra ocorre em 𝑡 𝑚𝑇 𝑚 1 𝑇 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Transformada Z modificada inversa Equação de diferenças Exemplo ℎ 𝑡 1 𝑒𝑎𝑡 𝑢 𝑡 𝑋 𝑧 𝑚 1 𝑧 1 𝑒𝑎𝑚𝑇 𝑧 𝑒𝑎𝑇 Implementação em código Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 11 de 18 ℎ𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Sistemas com atraso puro de tempo Função de Transferência em Z para o sistema 𝑡0 𝑘 Δ 𝑇 Δ 01 𝑘 ℕ Qual a expressão para 𝐶 𝑧 𝑀 𝑧 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 12 de 18 𝑋 𝑧 𝑚 𝒵 𝑋 𝑠 𝑒ΔT𝑠 𝑚 Δ 1 Δ 𝑚 1 𝐶 𝑧 𝑀𝑧 𝑧𝑘𝐺 𝑧 𝑚 𝑀𝑠 𝑀𝑠 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Sistemas com atraso puro de tempo Exemplo Qual a expressão para 𝐶 𝑧 𝑀 𝑧 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 13 de 18 𝐶 𝑧 𝑀𝑧 𝑒07𝑧2 𝑧 𝑒1 04966𝑧2 𝑧 03679 𝑀𝑠 𝑀𝑠 1 𝑠 1 𝑒23𝑠 𝑇 1s 𝑇 𝑘 Δ Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 𝐶 𝑧 𝑀𝑧 𝑧𝑘𝐺 𝑧 𝑚 𝑋 𝑧 𝑚 𝒵 𝑋 𝑠 𝑒ΔT𝑠 𝑚 Δ 1 Δ 𝑚 1 Tabela de Transformada Z modificada Amostrador assíncrono Mesmo período de amostragem mas instantes diferentes Expressão para ത𝑋 𝑠 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 14 de 18 𝑢 𝑡 ℒ 1 𝑠 Livro Phillips p148 ത𝑋 𝑠 1 𝑒𝑇𝑠 𝑠 𝑒 1ℎ 𝑇𝑠𝑋 𝑧 𝑚 ቚ 𝑚ℎ𝑧𝑒𝑇𝑠 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Amostrador assíncrono Mesmo período de amostragem mas instantes diferentes ത𝑋 𝑠 1 𝑒𝑇𝑠 𝑠 𝑒 1ℎ 𝑇𝑠𝑋 𝑧 𝑚 ቚ 𝑚ℎ 𝑧𝑒𝑇𝑠 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 15 de 18 𝑋𝑠 ത𝑋𝑠 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 Amostrador assíncrono Compatibilizar amostradores Exemplo 410 p 149 Transformada Z modificada sistemas com atraso conteúdo Leandro Freitas Controle Digital 16 de 18 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014 O que vimos hoje Transformada Z modificada Análise de sistemas com atraso não múltiplos de 𝑇 Amostrador assíncrono Como compatibilizar amostradores para análise Transformada Z modificada sistemas com atraso revisão Leandro Freitas Controle Digital 17 de 18 Leitura recomendada Livro Phillips Nagle e Chakrabortty sec 4344 Livro Aguirre sec 34 4143 006 Exercício de fixação para entregar a Encontre 𝐶 𝑧 para o sistema abaixo Transformada Z modificada sistemas com atraso exercício de fixação Leandro Freitas Controle Digital 18 de 18 𝑇 005 s opera em 𝑡 0 005 01 015 𝑇 005 s opera em t 002 007 012 017 𝑀 𝑠 1 𝑠 1 𝑒𝑇𝑠 𝑠 𝑠 2 1 𝑒𝑇𝑠 𝑠2 Phillips Charles L Nagle Troy Chakrabortty Aranya Digital Control System Analysis Design 4 ed EUA Pearson 2014ex410