Integrais e Técnicas de Integração

Integrais Prof Bazilicio Manoel de Andrade Filho Email bazilicioandradeifscedubr O problema da área O problema da área Dada uma função 𝑓 contínua e não negativa em um intervalo 𝑎 𝑏 determine a área da região entre o gráfico de 𝑓 e o intervalo 𝑎 𝑏 no eixo 𝑥 O problema da área Dada uma função 𝑓 contínua e não negativa em um intervalo 𝑎 𝑏 determine a área da região entre o gráfico de 𝑓 e o intervalo 𝑎 𝑏 no eixo 𝑥 Método dos retângulos Método da antiderivada Analisando Encontre a área 𝐴𝑥 entre o gráfico de 𝑓 e o intervalo 𝑎 𝑏 1 𝑥 Na sequência encontre a derivada 𝐴 𝑥 da função área a fx 2 b fx x 1 c fx 2x 3 Área de 𝑦 𝑥2 no intervalo 01 Para pensar Antiderivadas Antiderivada Uma função 𝐹𝑥 é uma primitiva ou uma antiderivada de 𝑓𝑥 num intervalo 𝐼 se 𝐹 𝑥 𝑓𝑥𝑥 𝐼 Exemplo 1 Seja 𝐹 𝑥 1 4 𝑥4 3 2 𝑥2 5𝑥 2 Mostre que 𝐹𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 𝑥3 3𝑥 5 Exemplo 2 Seja a função 𝐹 𝑥 2𝑥 𝐶 Encontre a função 𝑓𝑥 tal que 𝐹𝑥 seja sua primitiva y 2x 4 y 2x 3 y 2x 2 y 2x 1 y 2x 1 y 2x 2 y 2x 3 Integral indefinida Se 𝐹𝑥 é uma primitiva de 𝑓𝑥 a expressão 𝐹 𝑥 𝐶 é chamada integral indefinida da função 𝑓𝑥 e é denotada por න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝐶 Integral Indefinida Expressão 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝐶 Técnicas de integração න 1𝑑𝑥 Técnicas de integração න 𝑥²𝑑𝑥 Técnicas de integração න 2𝑥³𝑑𝑥 Técnicas de integração න 3 𝑥7 𝑑𝑥 Técnicas de integração න 3 𝑥𝑑𝑥 Técnicas de integração න 3 𝑥 𝑑𝑥 Propriedade 1 න 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝐹 𝑥 𝐶 Propriedade 2 න 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝐺 𝑥 𝐶 Técnicas de integração න𝑥 𝑥2𝑑𝑥 Técnicas de integração න 4𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Técnicas de integração න 3𝑥6 2𝑥2 7𝑥 1 𝑑𝑥 Técnicas de integração න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 Técnicas de integração න 𝑡2 2𝑡4 𝑡4 𝑑𝑡 Técnicas de integração න 𝑥² 𝑥2 1 𝑑𝑥 Curvas Integrais Suponha uma curva 𝑦 𝑓𝑥 no plano 𝑥𝑦 tenha a propriedade que em cada ponto 𝑥 𝑦 da curva a reta tangente tem inclinação 𝑥² Encontre a equação dessa curva sabendo que ela passa pelo ponto 21 Integral por substituição