Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Áreas e Volumes com Integrais

Bons estudos Questão 1 Determinar a área da região delimitada pelas curvas dadas a x 12 x y y x 2 b y 5 x² y x 3 c y x³ x y 0 d y eˣ x 0 x 1 y 0 e y lnx y 0 x 4 f y senx y senx x 0 2π g y eˣ y x 1 x 1 h y 1x y x2 y x i Área se possível sob a curva y 1x² acima do eixo x à direita de x 12 j Área se possível sob a curva y 14x² acima do eixo x à esquerda de x 2 k Área se possível sob a curva y 1x acima do eixo x para x 1 l Área se possível sob a curva y 1x²3 acima do eixo x para x R Página 1 2 ① a Temos x y y x² e assim os pontos de interseção reais x² x 2 x² x 2 0 x 2x 1 0 x 1 x 12 Logo a área será ₁¹₂ x 2 x² dx x²2 2x x³3 ¹₁₂ 1²2 21 1³3 12 12² 112 13 12³ 12 2 13 12 14 1 13 18 12 1 13 18 124 12 24 8 3 124 824 13 INSTITUTO FEDERAL Santa Catarina Campus Criciúma m Área se possível abaixo da curva y 1x acima do eixo x para x 016 n Área se possível abaixo da curva y 1x acima do eixo x para x 01 o Determinar o volume do sólido de revolução obtido a partir da região limitada pela parábola coberta y x pelo eixo dos y e pela reta y 8 girando em torno do eixo x Questão 3 Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo do lado Obs Essa área sólido de revolução rotacionando em torno de x pode ser calculada por meio da fórmula A 2π ₐᵇ fxx 1 fx² dx Questão 4 Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo dos y da curva dada por x y³ 0 y 1 figura ao lado Obs Essa área sólido de revolução sólido de revolução rotacionando em torno do y pode ser calculada por meio da fórmula A 2π 𝐜ᑫ gy1 gy² dy b Os pontos de interseção nas x 3 5 x² x² x 2 0 x 2 x 1 vide item a Assim a área será 21 5 x² x 3 dx 21 5 x² x 3 dx 21 2 x² x dx 2x x³3 x²2 x1 x2 21 1³3 1²2 22 2³3 2²2 2 13 12 4 83 42 6 93 32 6 3 32 3 32 92 c Os pontos de interseção nas x³ x 0 xx² 1 0 x 0 ou x² 1 0 x² 1 x 1 x 1 O sinal de x³ x é tal que x 0 x² 1 1 1 x³ x 1 0 1 Então a área será 10 x³ x dx 01 x³ x dx ou seja 10 x³ x dx 01 x³ x dx x⁴4 x²2 x10 x²2 x⁴4 x01 0⁴4 0²2 1⁴4 1²2 1²2 1⁴4 0 0 14 12 12 14 14 12 12 14 1 12 12 d Temse que a área é 01 ex dx ex 01 e1 e0 e 1 c Temos lnx y lnx 0 x e0 1 Logo a área será 14 lnx dx Se u lnx du dxx dv 1 dx v x Integrandose por partes 14 lnx dx lnx x 14 14 x dxx ln4 4 ln1 1 14 dx 4 ln4 0 1 4 1 4 ln4 3 f Por simetria a área é 2 0π senx senx dx 2 0π sen x sen x dx 2 0π 2 senx dx 4 0π senx dx 4 cosx 0π 4 cos π cos 0 4 1 1 4 11 8 i A área será 12 1x2 dx lim b 12b x2 dx lim b x11xb x12 lim b 1xxb x12 lim b 1b 112 0 2 2 j Temse 2 14x2 dx lim b b2 14x2 dx Se u4x du dx dx du e assim b2 14x2 dx duu2 u2 du u11 1u 14x x2 xb 142 14b 12 14b E como lim b 14b 0 então a área vale 12 k A área será 1 1x dx lim b 1b 1x dx lim b lnxxb x1 lim b lnb ln1 Como lim b lnb então não é possível calcular a área b Temos que a área será 1x²3 dx lim a b ab 1x²3 dx Todavia 1x²3 dx 13 x²31 dx 13 1 x3² 1 dx Se u x3 du dx3 dx 3 du e então obtemos 13 1u²1 3 du 33 1u²1 du 33 arctgu 33 arctg x3 Assim ab 1x²3 dx 33 arctgb3 arctga3 Quando b temos arctgb3 π2 e analogamente lim a arctga3 π2 Assim a área é 33 π2 π2 33 π2 π2 π33 m Temos lim b0 b16 1x dx lim b0 b16 x¹2 dx lim b0 2x xb16 lim b0 216 2b 24 0 8 n Se u 1x du dx e assim 11x dx duu lnu ln1x c c ℝ A área será lim b1 0b 11x dx lim b1 ln1x xbx0 lim b1 ln1b ln10 Como lim b1 ln1b então não se pode calcular a área 2 Temos y x3 x3 8 x 38 x 2 Assim o volume será V π₀² 8² x³² dx π₀² 64 x⁶ dx V π 64 x⁷7 x2 x0 π 64 2⁷7 π 64 1287 V π 448 1287 320π7 3 Sendo fx 4x fx 4 12x 2x e assim ₁₄⁴ 4x 1 2x² dx ₁₄⁴ 4x 1 4x dx ₁₄⁴ 4x x4x dx 4₁₄⁴ x4 dx Se u x 4 du dx e então ₁⁴ x4 u du 32 u³ 32 x4³ x4 x14 32 44³ 14 4³ 32 8³ 174³ 32 88 171744 depois a área será A 2π 4 32 88 17174 2 A 12π 88 17178 4 sendo gy y3 gy3y2 e assim obtemos A 2π 01 y3 13y22 dy 2π 01 y3 19y4 dy Se u 19y4 du 36 y3 dy e entao A 2π36 01 36 y3 19 y4 dy π18 u du A π18 u3 π27 19 y43 y0y1 A π27 19143 19043 A π27 103 13 π12 1010 1