Lista de Exercicios Calculo Diferencial e Integral Aplicacoes de Derivadas

OBS Cálculos obrigatórios Q12pts Use uma aproximação linear ou diferencial para estimar o número dado A ⁴805 Q22pts Considere a curva f R R fx x²x² 1 determine a A reta tangente à curva f em x 13 b A reta normal à curva f em x 13 c lim x fx Q31pts Sabese que o ângulo entre curvas num dado ponto P é definido como o menor ângulo entre as tangentes no ponto P Achar o ângulo de interseção das parábolas y x 2² e y 4 6x x² Q41pts Dois barcos que saíram ao mesmo tempo do ponto A vão um rumo ao norte e o outro rumo ao nordeste As velocidades respectivas dos barcos são 40 kmh e 60 kmh a Com que velocidade aumenta a distância entre eles b Qual a distância deles após duas horas e meia Q52pts A temperatura de um paciente depois de receber um antitérmico é dada por T 368 225t e et7 1 em horas onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido a Qual é a temperatura do paciente no instante em que recebeu o antitérmico b A temperatura do paciente após meia hora Qual o percentual de decaimento de temperatura c Calcule lim t Tt e interprete o resultado d Calcule a taxa de variação instantânea em meia hora e interprete o resultado Q62pts Um modelo para a concentração no instante t de um medicamento na corrente sanguínea é Ct KeAt eBt onde A B e K são constantes positivas e BA Determine a O instante de concentração máxima b A concentração máxima Q41pts Dois barcos que saíram ao mesmo tempo do ponto A vão um rumo ao norte e o outro rumo ao nordeste As velocidades respectivas dos barcos são 40 kmh e 60 kmh a Com que velocidade aumenta a distância entre eles b Qual a distância deles após duas horas e meia Q52pts A temperatura de um paciente depois de receber um antitérmico é dada por T 368 325t3 1 onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido em horas a Qual é a temperatura do paciente no instante em que recebeu o antitérmico b Qual é a temperatura do paciente após meia hora Qual o percentual de decaimento de temperatura c Calcule lim t Tt e interprete o resultado d Calcule a taxa de variação instantânea em meia hora e interprete o resultado Q62pts Um modelo para a concentração no instante t de um medicamento na corrente sanguínea é Ct KeAt eBt onde A B e K são constantes positivas e BA Determine a O instante de concentração máxima b A concentração máxima 1 fah fa fah fx ⁴x x14 fx 14 x34 14 x143 14⁴x3 a8 h050 ENTÃO f8050 ⁴8 14⁴83 050 f795 3 05043³ 299537 2 fx 2xx²1 x²2x x²1² 2x x²1² a f13 13²13²1 010 f13 21313²1² 162300 054 y faxa fa y 054x13 010 y 054x 008 b A INCLINAÇÃO DA RETA NORMAL É O NEGATIVO DO INVERSO DA INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE mn 1054 y mnxa fa y 1054 x 13 010 y 1851852x 071284 c lim x x²x²1 x² lim x 11 1x² 1 3 IGUALANDO AS EQUAÇÕES TEMOS x2² 4 6x x² x² 4x 4 4 6x x² 0 2x² 10x 8 0 x 10 10² 428 22 10 6 4 AS CURVAS SE INTERSECTAM EM x5 E x4 ENCONTRANDO AS DERIVADAS P OBTER AS INCLINAÇÕES DAS RETAS TANGENTES ÀS CURVAS NESSES PONTOS y₁ 2x2 y₂ 2x 6 PARA x1 PARA x4 my₁ 212 2 my₁ 242 4 my₂ 21 6 4 my₂ 24 6 2 ENCONTRANDO O ÂNGULO DE INTERSEÇÃO tanθ m₁ m₂ 1 m₁ m₂ PARA x1 tanθ 2 4 1 24 67 67 θ 07086 rad PARA x4 tanθ 4 2 1 42 67 θ 07086 rad O ÂNGULO DE INTERSEÇÃO É 07086 rad OU 4060º a Ct k Aeᴬᵗ Beᴮᵗ Igualando a zero p achar o ponto de máximo kAeᴬᵗ Beᴮᵗ 0 Aeᴬᵗ Beᴮᵗ 0 Aeᴬᵗ Beᴮᵗ BA eᴬᵗ eᴮᵗ eBAt lnBA BAt t lnBA BA Calculando a segunda derivada para confirmar que é ponto de máximo Ct kA²eᴬᵗ B²eᴮᵗ como k A B 0 e B A logo Ct será negativa em t lnBA BA portanto este é um ponto de máximo b A concentração máxima se dá em t lnBA BA ClnBA BA k eᴬlnBA BA eᴮlnBA BA kBAABA BABBA 4 O banco que vai para o norte viaja a 40 kmh sua dist após t horas é y₁ 40t O banco que vai para noroeste viaja a 60 kmh mas está indo a um ângulo de 45 em relação ao norte Sua distância portanto é x₂ y₂ 60t cos45 302 t duas componentes A distância entre os bancos é d 302t 0² 302t 40t² 2013 62 t A taxa a qual a dist está aumentando é a derivada ddt 2013 62 t 2013 62 424957 Logo a distância aumenta a approx 4250 kmh b após duas horas e meia a dist entre eles é de 424957 25 10624 km 5 a t0 instante em que recebeu T0 368 325 0³ 1 4005 C b T050 368 325 05³ 1 396889 C Percentual de decaimento 4005 396889 4005 00090 09 A temperatura decaiu em 09 após meia hora c lim t 368 325 t³ 1 368 A temperatura se estabiliza em 368C quando se passa muito tempo temperatura normal d dTdt 325 3 t² t³ 1² dTdt 050 975 050² 05³ 1² 19259 No instante meia hora t050 a temp está decaindo a uma taxa de 192 C por hora