Exercícios Resolvidos - Cálculo de Área de Triângulo, Elipse e Funções

Q1 Considere P Px0 y0 um ponto no primeiro quadrante e pertencente a elipse ε x2 4y2 1 Seja T a reta tangente à elipse no ponto P a Determine as coordenadas de P para que o triângulo formado por T e pelos eixos coordenados seja mínima b Calcule o valor exato da área deste triângulo Q3 Seja f 0 1 R uma função definida por fx xa x 1b onde a e b são números racionais Determine a O valor de x que maximize fx b O valor máximo de fx Q4 Uma criança está com 39 ºC de febre e ingere um remédio A temperatura corporal T ºC é uma função no tempo t em horas pode ser aproximada pela função Tt βekt m Sabese que a temperatura corporal irá se estabilizar em 365 ºC após um longo tempo de observação Além disso observouse que a temperatura após 10 minutos era de 385 ºC Determine o tempo necessário de espera para que a temperatura da criança seja menor 37º C d Elipse x2 4y2 1 x2 12 y2 122 1 Ilustração Se x2 4y2 1 então y2 1x2 4 Logo y 1x2 2 No primeiro quadrante podemos observar a elipse com a função f 01 R dada por fx 1x2 2 Daí fx 12 12 1 x212 2x ou seja fx x 21x2 a logo em Px0y0 a equação de T é dada por Tx y0 fx0 x x0 ou seja Tx x x0 21x02 y0 x02 21x02 Veja que T intersecta os eixos em dois pontos R e S Se x0 então T0 y0 x02 21x02 logo R 0 y0 x0 21x02 Se Tx 0 então x x0 21x02 y0 x02 21x02 Como x0 0 x y0 x02 21x02 21x02 x0 x 2y01x02 x0 x0 S 2y01x02 x0 x0 0 Como x0 y0 é um ponto da elipse temos x02 4y02 1 y02 1x02 4 y0 1x02 2 Logo 2y01x02 x0 x0 21x02 2x0 x0 22x02 2x02 2x0 1x0 y0 x0 21x02 1x02 2 x0 21x02 1x02 x0 21x02 b A área do triângulo será Ax0 1 075488 0754882 4 075488 1 0754882 A 059838 unidades de área Logo a área do triângulo formado pela origem e pelo pontos R S é Ax 1x 1xx2 21x2 2 1xx2 4x1x2 Logo Ax 12x 4x 1 x² 1 x x² ddx 4 x 1 x² 16 x² 1 x² e Ax 0 quando 12x 4x 1 x² 1 x x² 4 1 x² 4x 12 2x 1 x² 12x 4x 4x³ 1 x x² 4 4x² 4x² 4x 4x³ 8x² 8x4 1 x x² 4 8x² 4x³ 4x² 4 0 x³ x² 1 0 Logo x₀ 075488 é o valor procurado Portanto y₀ 1 075488² 2 032793 Logo P x₀ y₀ 075488 032793 3 f 01 ℝ dado por fx xa x1b a Como x 01 então x 0 logo x x Como x 1 temos que x1 0 logo x1 x1 1x Daí fx xa 1xb Veja que fx a xa1 1xb xa b 1xb1 1 ou seja fx a xa1 1xb xa b 1xb1 Logo fx 0 quando a xa1 1xb xa b 1xb1 0 xa1 1xb1 a1x b x 0 Daí como x 0 e x 1 temos que a 1x b x 0 a ax bx 0 a x ab x a ab Portanto x a ab é ponto crítico de f Além disso fx a a1 xa2 1xb a b xa1 1xb1 a b xa1 1xb1 b b1 xa 1xb2 fx a a1 xa2 1xb 2 a b xa1 1xb1 b b1 xa 1xb2 Logo faab a a1 aaba2 babb 2 a b aaba1 babb1 b b1 aaba babb2 a² a aa2 bb 2 a² b b b² b aa bb2 abab2 aa bb aa1 bb 2 a² b b aa bb ab1 abab2 aa1 bb aa bb1 abab2 0 ou seja faab 0 Logo x aab e ponto de máximo de f b faab aaaba 1 aabb faab aaaba bbabb faab aa bbabab Portanto o máximo de fx é aa bbabab 4 Temperatura em função do tempo t em horas Tt β ekt m Veja que lim t Tt lim t β ekt m como a temperatura se estabiliza temos que a constante K é positiva ou seja K0 Pois caso contrário teríamos lim t Tt logo lim t Tt m Pois lim t βekt 0 Portanto m 365 C Ainda no momento em que e ingerido o medicamento t0 a temperatura e 39C T0 39C Logo 39 β e0 365 ou seja β 39 365 25 Portanto Tt 25 ekt 365 Ainda temos que em 10 minutos 16 hora após ingerir o medicamento T16 385 Daí 385 25 ek6 365 2 25 ek6 45 ek6 k6 ln45 Logo K 6 ln45 Daí temos que Tt 25 e6 ln45 t 365 25 456t 365 ou seja Tt 25 456t 365 Logo para termos Tt 37 e necessário que 25 456t 365 37 456t 0525 ou seja 456t 15 Daí 456t 15 se 6t ln45 ln15 t ln156 ln45 Logo t 1202 horas ou seja após 1h 12min aproximadamente a temperatura será menor que 37C