História da Matemática - Licenciatura em Matemática

história da matemática licenciatura em matemática LICENCIATURA EM MATEMÁTICA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA UAB IFCE SEMESTRE 5 Ministério da Educação MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Universidade Aberta do Brasil Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Ceará MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Aberta do Brasil Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Ceará Diretoria de Educação a Distância Fortaleza CE 2011 Licenciatura em Matemática História da Matemática Francisco Régis Vieira Alves Créditos Presidente Dilma Vana Rousseff Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário da SEED Carlos Eduardo Bielschowsky Diretor de Educação a Distância Celso Costa Reitor do IFCE Cláudio Ricardo Gomes de Lima PróReitor de Ensino Gilmar Lopes Ribeiro Diretora de EADIFCE e Coordenadora UABIFCE Cassandra Ribeiro Joye ViceCoordenadora UAB Régia Talina Silva Araújo Coordenador do Curso de Tecnologia em Hotelaria José Solon Sales e Silva Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática Zelalber Gondim Guimarães Elaboração do conteúdo Francisco Régis Vieira Alves Colaborador Lívia Maria de Lima Santiago Equipe Pedagógica e Design Instrucional Ana Claúdia Uchôa Araújo Andréa Maria Rocha Rodrigues Carla Anaíle Moreira de Oliveira Cristiane Borges Braga Eliana Moreira de Oliveira Gina Maria Porto de Aguiar Vieira Giselle Santiago Cabral Raulino Glória Monteiro Macedo Iraci Moraes Schmidlin Jane Fontes Guedes Karine Nascimento Portela Lívia Maria de Lima Santiago Lourdes Losane Rocha de Sousa Luciana Andrade Rodrigues Maria Irene Silva de Moura Maria Vanda Silvino da Silva Marília Maia Moreira Saskia Natália Brígido Bastista Equipe Arte Criação e Produção Visual Ábner Di Cavalcanti Medeiros Benghson da Silveira Dantas Davi Jucimon Monteiro Diemano Bruno Lima Nóbrega Germano José Barros Pinheiro Gilvandenys Leite Sales Júnior José Albério Beserra José Stelio Sampaio Bastos Neto Larissa Miranda Cunha Marco Augusto M Oliveira Júnior Navar de Medeiros Mendonça e Nascimento Roland Gabriel Nogueira Molina Samuel da Silva Bezerra Equipe Web Aline Mariana Bispo de Lima Benghson da Silveira Dantas Fabrice Marc Joye Igor Flávio Simões de Sousa Luiz Bezerra de Andrade FIlho Lucas do Amaral Saboya Ricardo Werlang Samantha Onofre Lóssio Tibério Bezerra Soares Thuan Saraiva Nabuco Samuel Lima de Mesquita Revisão Textual Aurea Suely Zavam Débora Regina Garcia Pinto Nukácia Meyre Araújo de Almeida Revisão Web Antônio Carlos Marques Júnior Débora Liberato Arruda Hissa Saulo Garcia Logística Francisco Roberto Dias de Aguiar Virgínia Ferreira Moreira Secretários Breno Giovanni Silva Araújo Francisca Venâncio da Silva Auxiliar Ana Paula Gomes Correia Bernardo Matias de Carvalho Isabella de Castro Britto Maria Tatiana Gomes da Silva Rayssa Miranda de Abreu Cunha Wagner Souto Fernandes Alves Francisco Régis Vieira História da matemática Francisco Régis Vieira Alves Coordenação Cassandra Ribeiro Joye Fortaleza UABIFCE 2011 157p il 27cm ISBN 9788563953773 1 MATEMÁTICA HISTÓRIA 2 MATEMÁTICA MÉTODOS DE EN SINO 3 MATEMÁTICA ENSINO E APRENDIZAGEM I Joye Cassan dra Ribeiro Coord II Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Ceará IFCE III Universidade Aberta do Brasil UAB IV Título CDD 5109 A474h Catalogação na Fonte Biblioteca Waldyr Diogo de Siqueira SUMÁRIO AULA 2 AULA 3 Apresentação 7 Referências 155 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 Tópico 4 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 Tópico 4 Tópico 5 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 Currículo 158 As origens do conhecimento parte 1 8 A sociedade babilônica I 9 A sociedade egípcia I 15 Os gregos e sua extraordinária matemática I 19 A matemática produzida pelos indianos I 29 AULA 1 As origens do conhecimento parte 2 35 A sociedade babilônica II 36 A sociedade egípcia II 38 Os gregos e sua extraordinária matemática II 40 Os gregos e sua extraordinária matemática III 45 A matemática produzida pelos árabes 49 Arquimedes e a noção de demonstração 54 Matemáticos gregos eminentes e números amigos perfeitos abundantes 55 Comensurabilidade de grandezas 71 O método da exaustão 81 6 História da Matemática AULA 5 AULA 6 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 Tópico 1 Tópico 2 Tópico 3 AULA 4 A matemática produzida no oriente 84 A matemática produzida pelos chineses 85 Construções e formulações lógicoaxiomáticas gregas 99 A matemática japonesa 107 Evolução e métodos algébricos 109 Um problema antigo relacionado à equação polinomial do segundo grau 110 As fórmulas de tartaglia ensinadas para cardano 118 O surgimento dos complexos 130 História da matemática como metodologia de ensino da matemática 137 Problemas na formação de professores de matemática 138 História da matemática como metodologia de ensino e o princípio genético 144 Uma aplicação de sequência metodológica de ensino por meio de sua história 147 7 APRESENTAÇÃO APRESENTAÇÃO Caroa alunoa Quando falamos de História da Matemática HM podemos identificar de modo simplificado duas categorias de livros que tratam deste assunto A primeira categoria é identificada por dedicar uma abordagem episódica novelesca superficial retórica e ilustrativa dos episódios e principalmente dos matemáticos do passado O segundo grupo de livros prioriza a análise da Matemática produzida e os motivos pelos quais tais ideias originadas nas antigas civilizações floresceram e adquiriram relevância de saber científico Lamentamos que a maioria dos livros traduzidos para a Língua Portuguesa pertence à primeira categoria Esta classe de livros pouco ou quase nada contribui de modo concreto para a futura formação do professor no que diz respeito à familiarização domínio e aplicação de uma metodologia de ensino ancorada em pressupostos históricos matemáticos Com esta preocupação apesar de se tratar de um documento inicial trazemos em nosso texto a discussão da Matemática propriamente dita produzida e sistematizada por algumas civilizações que mereceram destaque Assim além de conhecer os métodos matemáticos desenvolvidos no passado nossa intenção é fazer com que você adquira o domínio e conhecimento tanto do contexto histórico como destes métodos Sem isso qualquer discussão de caráter metodológico ou tentativa de explorar no ensino o lúdico ou o prazeroso se torna um mero exercício de discussão retórica de conteúdo vazio e com implicações em práticas inexistentes 8 História da Matemática AULA 1 As origens do conhecimento parte 1 Olá alunoa Nesta primeira aula discutiremos aspectos históricos e matemáticos das antigas sociedades egípcias grega e mesopotâmica Esta última ficou famosa pela escrita cuneiforme e um sistema de numeração sexagesimal que discutiremos na sequência Objetivo Apresentar os aspectos históricos da origem do conhecimento 9 AULA 1 TÓPICO 1 Q uando a matemática tem início Questões inquietantes como esta têm ocupado algum lugar ao longo dos tempos A resposta frequentemente apresenta outra questão que pode ser resumida por O que significa matemática Dependendo do ponto de vista que possamos admitir as raízes do conhecimento matemático poderiam ser datadas em momentos distintos do passado Por exemplo se tomássemos a matemática como a legítima representante do raciocínio axiomático e argumentado concluiríamos que a Grécia foi responsável pelo seu surgimento Por outro lado se nos restringimos a um saber rigoroso no qual as contradições e inconsistências não possuem mais seu lugar é preciso que consideremos a matemática produzida a partir de alguns matemáticos como Leibniz Bolzano e Weiertrass De acordo com essa perspectiva a matemática teria surgido na Europa dos séculos XIX e XX Acreditamos que estas posições extremistas contribuem apenas para empobrecer a natureza do conhecimento que materializa certos elementos da cognição e racionalidade humana Neste sentido Hodgkin 2005 p 14 TÓPICO 1 A sociedade babilônica I ObjetivO Apresentar aspectos algébricos do pensamento babilônico para a resolução de problemas saiba mais Conheça um pouco mais sobre os matemáticos acessando nesta ordem os sites Leibiniz httpwwwconscienciaorgleibniz shtml Bolzano httpwwweducfculpticmicm98 icm31Bolzanohtm Weiertrass httpwwwsomatematicacombr biografweierphp 10 História da Matemática AULA 1 TÓPICO 1 lembra que em muitas culturas anteriores a dos gregos os povos antigos utilizaram operações matemáticas para simples operações de contagem e medida Eles resolviam problemas com graus variados de dificuldades O mesmo autor lembra que várias civilizações habitaram a região onde hoje é o Iraque Várias evidências arqueológicas indicam a capacidade daqueles povos ao lidar com problemas matemáticos Historiadores matemáticos relatam os modelos matemáticos do Iraque antigo aparentemente deveriam compor os conteúdos do Ensino Médio para os estudantes Ainda hoje tais modelos são identificados Um dos modelos matemáticos mais conhecidos tratase da escrita cuneiforme Neste sentido Hodgkin 2005 p 20 esclarece que os problemas descritos na escrita cuneiforme se relacionavam às coisas práticas encontradas no diaadia do império babilônico O mais interessante era a tentativa de resolver determinados problemas da álgebra como a resolução de um problema que descrito em linguagem moderna se estabelece por 21 8x 3 8x 3 60 39 Hodgkin 2005 p 22 destaca alguns aspectos da matemática do império babilônico que ainda estão presentes no modelo atual de ensino a saber O uso de um sistema sofisticado para a inscrição de números A habilidade de lidar com equações envolvendo quadrados e outras mais elevadas O tratamento e a preocupação com problemas sem uma aplicação imediata na realidade Figura 1 Sistema de representação babilônica você sabia A escrita suméria grafada em cuneiforme é a mais antiga língua humana escrita conhecida A sua invenção devese às necessidades de administração cobrança de impostos registro de cabeças de gado medidas de cereal etc Link disponível no material web 11 AULA 1 TÓPICO 1 A descoberta do sistema sexagesimal por alguns pesquisadores foi uma revolução E para muitos estudiosos o seu surgimento é um mistério Este sistema era usado já em 1800 antes de Cristo e particularmente em Astronomia em 1500 a C Assim como o teorema de Pitágoras que já era conhecido antes dos gregos algumas histórias sobre determinados conceitos matemáticos são dúbias e não podemos precisar ou apontar este ou aquele matemático como o pai ou inventor da propriedade ou teorema O sistema sexagesimal é um pequeno exemplo que demonstra que tanto os egípcios como os babilônicos construíram ao longo de sua historia um acervo matemático significativo Desenvolveram a aritmética e a álgebra até certo ponto Mas essa matemática suficiente em certas civilizações possuía limitações sob o ponto de vista científico Por outro lado uma nova atitude em relação à matemática teria lugar na Grécia Antiga por volta de VI a C Na verdade os gregos mudaram a relação do homem com o universo na medida em que embora sem desprezar totalmente a observação e a experimentação passaram a adotar a razão como o grande instrumento na busca da verdade Identificamos na história modelos matemáticos comuns entre a sociedade babilônicas e a grega embora as ideias empregadas tivessem sido distintas De fato enquanto que os gregos se interessaram inicialmente pela solução geométrica da equação quadrática os babilônicos desenvolveram métodos algébricos Burton ratifica nossa declaração quando afirma que os babilônicos descrevem algumas instruções para a obtenção da fórmula em linguagem moderna da solução de x2 ax b a qual segundo eles era dada por a 2 a x b 2 2 Embora os matemáticos babilônicos não tivessem uma fórmula para a equação quadrática eles resolveram alguns casos particulares por meio de procedimentos engenhosos 2006 p 67 Vamos analisar um problema típico babilônico do perímetro do retângulo de modo que o seu semiperímetro seja dado por x y a e sua área dada por x y b onde x e y são respectivamente o comprimento e a altura Burton 2006 p 67 pergunta como eles chegaram à solução deste problema Como eles especulavam uma vez que não existe uma explícita indicação nos textos daquele período Vamos considerar um caso particular de um retângulo de semiperímetro x y 20 Assim eles tabulavam o resultado da área para as seguintes variações 12 História da Matemática a x z 2 a y z 2 ìïï ïïïíïï ïïïî onde 0 z 9 Os babilônios obtiveram então a seguinte tabela figura 2 de aproximações Por exemplo se temos a a z 0 x 0 e y 0 x y 2x 20 x 10 y 2 2 Segue que b x y 100 Podemos observar na tabela abaixo que as áreas b x y decrescem à medida que o valor de z aumenta Além disso quando observamos o valor da expressão a 2 b 2 se aproxima dos valores de z ao quadrado Isto é 2 2 a b z 2 Figura 2 Tabela de aproximações empregada pelos babilônicos Burton 2006 p 68 explica que com certeza em algum momento eles começaram a inverter o procedimento em busca de z que fornece a 2 z b 2 E a partir de teremos 2 2 a a x b 2 2 a a y b 2 2 ìïï ïïïíïïï ïïî Vejamos um exemplo ExEmplo 1 Os babilônicos buscaram a solução para o seguinte problema descrito num tablete em escrita cuneiforme x y x y 13 2 15 2 Encontrea Solução Eles usavam obtendo x z y z 13 4 13 4 Repare que a equação inicial é 13 AULA 1 TÓPICO 1 satisfeita uma vez que 13 13 13 13 x y z z 2 4 4 4 2 Do mesmo modo a segunda equação é satisfeita pois 13 13 15 z z 4 4 2 Agora buscamos o valor de 2 2 a 169 15 b z 2 4 2 Portanto 2 169 15 49 7 z z 4 2 16 4 Consequentemente teremos os seguintes valores 13 7 x 5 4 4 13 7 3 y 4 4 2 ìïï ïïïíïï ïïïî Um raciocínio semelhante pode ser trabalhado com o problema da diferença descrito por x y a x y b ì ïïíï ïî Colocamos agora a x z 2 a y z 2 ìïï ïïïíïï ïïïî Assim nossas soluções serão dadas por 2 2 a a x b 2 2 a a y b 2 2 ìïï ïïïíïïï ïïî Podem ser encontrados outros problemas menos convencionais nos manuscritos babilônicos como a resolução de 35 x y 6 x y xy 14 ìïï ïíïï ïî traduzido em notação moderna claramente Situaçõesproblema como esta confirmam o potencial abstrativo daquele povo que se ocupou de desafios desta natureza que em nada os remetiam de forma direta às situações concretas da realidade do diaadia Vejamos a solução de 35 x y 6 x y xy 14 ìïï ïíïï ïî notando que 35 49 49 x y x y xy x y 14 x y 6 6 6 Retomamos a forma padrão 35 x y a 6 49 x y b 6 ìïï ïïïíïï ïïïî Pelo mesmo procedimento anterior escrevemos 35 x z 12 35 y z 12 ìïï ïïïíïï ïïïî Agora buscamos o valor de 2 2 2 35 49 35 49 1225 49 49 7 6 z z 2 6 12 6 144 6 144 12 Segue que nossa solução final será dada por x y 35 12 7 12 7 2 35 12 7 12 7 3 Burton 2006 ressalta ainda um problema padrão nos manuscritos deste povo que consistia em manter constante a equação x y b e variar a outra expressão como por exemplo 2 x y 600 x y 120x y 3700 ì ïïíï ïî 14 História da Matemática Aparentemente eles conheciam a identidade 2 2 x y x y 4xy que facilitava a conversão de 2 2 2 x y x y 4600 x y 2400 Assim escrevemos x y x y x y x y x y 2 2 2 120 3700 2400 120 3700 120 x y 1300 Observamos agora que fazendo 2 t x y t 120t 1300 0 Aplicando a fórmula x a a b y a b a x y 2 2 2 2 120 2 1300 120 2 2 2 2 4900 60 70 60 10 Baseandose nestas relações propomos o seguinte problema ExErcício rESolvido Resolva o problema babilônico que em linguagem moderna é descrito por x y 10 xy 600 ì ïïíï ïî Solução Usando o que é proposto pelos métodos temos 10 x z 2 e 10 y z 2 Agora sabemos que x 25 600 5 25 5 30 y 25 600 5 25 5 20 ìï ïïíï ïïî Neste tópico conhecemos alguns métodos algébricos empregados pelos babilônicos No próximo tópico discutiremos de modo introdutório a sociedade egípcia 15 AULA 1 TÓPICO 2 TÓPICO 2 A sociedade egípcia I ObjetivO Apresentar alguns aspectos do pensamento aritmético e geométrico egípcio Os egípcios não foram somente um povo que estudou geometria antes dos gregos Eles foram os povos mais avançados daquela região TABAK 2004 p 6 Burton 2006 p 33 lembra que grande parte dos historiadores desenvolveu estudos sobre o Egito Antigo a partir da invasão de Napoleão em 1798 Grande parte das informações desta antiga nação é oriunda dos Papirus de Rhind e Golenischev Este último é usualmente chamado de Papiro de Moscou Uma homenagem clara aos descobridores Por meio da análise desses papiros constatamos que os egípcios se interessaram por geometria de modo muito além de suas necessidades práticas De fato eles desenvolveram fórmulas que descreviam propriedades de sólidos geométricos De fato no papiro de Moscou há 25 problemas que apresentam antigas situações relacionadas à Geometria Plana e Espacial O problema 14 mostra que os egípcios em 1850 dC já eram familiares da fórmula correta do volume da pirâmide truncada Em notação moderna escrevemos 2 2 ha ab b V 3 você sabia O Papiro de Moscou também denominado de Golonishev foi comprado no ano de 1893 no Egito e foi escrito por um escriba desconhecido O Papiro contém 25 exemplos quase todos com problemas cotidianos saiba mais Conheça mais sobre o Papiro de Rhind acessando o site httpwwwmatematicabrhistoriaprhindhtml 16 História da Matemática Figura 3 O tronco da pirâmide investigada pelos egípcios Burton sublinha que provavelmente eles não conheciam o teorema de modo generalizado que permite trabalhar com este sólido contudo alguns indícios indicam que o mesmo procedimento era usado em grande parte das pirâmides construídas É mais seguro afirmar que eles conheciam a fórmula do volume da pirâmide quadrangular h 3 V 3 a De modo análogo à área do triângulo 1 bh 2 os egípcios podem ter suposto que o volume da pirâmide possuía uma constante de vezes 2 ha 2006 p 57 Contudo a fórmula 2 2 ha ab b V 3 pode ter sido apenas uma conjectura Outro exemplo interessante é encontrado no papiro de Ahmes conforme Tabak 2004 Os egípcios cortavam um eixo simétrico no triângulo e montavam a seguinte figura reproduzida Figura 4 Representação do método geométrico de cálculo da área do triângulo Quando necessitavam realizar cálculos com frações os egípcios depararam com inúmeras dificuldades para conceber frações do tipo 2 5 escrita numa linguagem moderna Seus cálculos então admitiam preferencialmente frações do tipo 1 n chamadas de frações unitárias onde n Î Por exemplo temos a seguinte representação para 6 1 1 1 1 7 2 4 14 28 embora possamos escrever ainda a mesma fração do seguinte modo 6 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 Burton 2006 relata que provavelmente um antigo escriba egípcio obteve da seguinte maneira Os procedimentos abaixo não são triviais à primeira vista 17 AULA 1 TÓPICO 2 Mas vejamos um caso de divisão realizada pelos egípcios como dividir 35 por 8 ou em termos mais modernos calcular a divisão 35 8 Inicialmente começamos na primeira coluna a duplicar o valor de 8 até que ele não exceda o valor de 35 Em seguida começamos a dividir o divisor 8 até completar o resto Repare abaixo que destacamos com uma seta os elementos cuja soma correspondente vale o numerador 1 2 32 35 e 1 1 32 2 1 4 4 8 8 Figura 5 Método de divisão egípcia Na figura 5 observamos que inicialmente multiplicamos 1 7 e depois multiplicamos 1 7 1 7 3 2 2 2 Em seguida multiplicamos 1 7 3 2 1 1 1 7 1 1 1 4 4 4 4 4 2 4 ß Vemos a seta indicando o aparecimento da unidade 1 A partir daí mudamos o denominador de divisão trocamos 2 4 8 por 7 14 28na condição em que a soma dos elementos da segunda coluna resulta 6 que é o divisor Assim fazemos 1 7 1 7 1 1 7 14 2 1 1 7 28 4 Finalmente vemos na ilustração do lado esquerdo com uma marca do lado os elementos cuja soma resulta 1 1 1 1 1 6 3 1 2 2 4 2 4 e quando destacamos os elementos correspondentes obteremos 6 1 1 1 1 7 2 4 14 28 ExErcício rESolvido Divida pelo método egípcio 4 5 e 21 4 Solução Observamos que escolhemos os elementos da coluna direita de modo que 1 1 4 2 1 2 2 Por outro lado obtemos 4 1 1 1 5 2 5 10 todas são frações unitárias Por outro lado obtemos 21 1 5 4 4 18 História da Matemática Figura 6 Método de divisão egípcio 19 AULA 1 TÓPICO 3 A contribuição grega à evolução da matemática do ponto de vista da sistematização e formalização das ideias é singular Encontramos em Platão e Aristóteles raízes e fundamentos filosóficos que ainda são identificados no saber matemático moderno Segundo Popper 1972 104 parece provável que a teoria das formas de Platão esteja intimamente associada na sua origem e no seu conteúdo à teoria pitágórica de que todas as coisas são essencialmente números Um exemplo interessante é descrito ainda por Karl Popper O filósofo austríaco naturalizado inglês lembra que o fundador da ordem pitagórica estava impressionado com duas descobertas a de que um fenômeno aparentemente quantitativo como a harmonia musical dependia TÓPICO 3 Os gregos e sua extraordinária matemática I ObjetivO Discutir aspectos aritméticos do pensamento grego você sabia A Escola Pitagórica teve seu nome dado em homenagem ao filósofo e matemático grego Pitágoras A criação denominada de irmandade pitágorica cujos princípios teóricos influenciaram o pensamento de Platão e Aristóteles O pensamento reflexivo de Pitágoras também foi determinante para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental saiba mais Acesse o site httpeducacaouolcombr filosofiault3323u34jhtm e conheça um pouco mais sobre as contribuições de Karl Popper 20 História da Matemática de razões numéricas 12 23 34 e a de que o ângulo reto refletia as razões numéricas 3 4 5 ou 51213 POPPER 1972 p 105 Na perspectiva da escola pitagórica fundada por Pitágoras de Samos por volta de 560 a C a matemática era tratada de maneira muito filosófica e abstrata desvinculada das exigências da vida prática Nesse contexto era natural que separassem o estudo teórico dos números que chamavam de aritmética dos cálculos práticos que denominavam logística Uma das aplicações dessa perspectiva foi o tratamento dado para alguns sólidos geométricos planos que tiveram sua interpretação no campo da aritmética O nosso primeiro caso trata dos números triangulares que denotaremos por n D Abaixo temos as seguintes relações Figura 7 Interpretação geométrica dos números triangulares Observamos que a relação n n 1 n D D para n 1 ³ pode ser verificada por Indução Matemática o que não foi realizado pelos gregos uma vez que o processo de indução teve sua formulação matemática mais eficaz com Giuseppe Peano Observe ainda que podemos escrever 1 2 3 4 Indução n 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 nn 1 1 2 3 n 1 n n ìD ïïïïD ïïïD ïïïïíD ïïïïïï ïïD ïïïî atenção Aos pitagóricos é que se deve a distinção entre números pares e ímpares DOMINGES 1991 p 9 21 AULA 1 TÓPICO 3 TEOREMA 1 O único número triangular primo n D é o 3 onde n 1 ³ dEmonStração De fato vimos por indução que n nn 1 2 D onde n é par n n é ímpar ìïï Î íïïî Se n for par digamos que n 2k onde k Î segue que 2k 2k2k 1 k2k 1 2 D TEOREMA 2 O único número pentagonal primo é o 5 Assim o único caso em que temos um número primo ocorre na condição em que k 1 ou 2k 1 1 k 0 o que não ocorre Assim só temos a possibilidade para 2 22 1 k 1 n 2 1 3 2 D Na outra situação pode ocorrer que n 2k 1 é ímpar Daí escrevemos 2k 1 2k 12k 2 2k 1k 1 2 D e neste caso nenhuma das expressões pode ser a unidade ou seja 2k 1 1 ou k 1 1 k 0 Observamos que na época de Pitágoras ainda se contava recorrendose ao uso de pedrinhas ou de marcas de pontos na areia Por outro lado eram os pitagóricos observadores atentos de formas geométricas Sua atenção culminou com o aparecimento dos números figurados Estes como o próprio nome sugere resultam de arranjos com pontos ou pedras como no caso dos números triangulares Passaremos ao estudo dos números quadrangulares Consideremos agora os seguintes arranjos que se assemelham a quadrados ver figura 8 Figura 8 Interpretação geométrica dos números quadrangulares 22 História da Matemática Repare que 2 n n n 1 nn 1 nn 1 n 2 2 D D para n 1 ³ O termo geral dos números quadrangulares é descrito por 2 n n para n 1 ³ Passaremos à descrição dos números pentagonais que denotaremos por n Pent Para tanto observemos as seguintes relações Figura 9 Interpretação geométrica dos números pentagonais gregos Assim o termo geral dos números pentagonais será descrito por n n3n 1 Pent 2 para n 1 ³ Usando este fato enunciamos os teoremas seguintes dEmonStração Supondo que n é par digamos que n n3n 1 n 2k Pent 2 para n 1 ³ Assim teremos 2k se k 1 1 6 1 5 2k3 2k 1 Pent k6k 1 se k1 não pode ser primo 2 ì ïï íïïî Agora analisemos o caso em que n 2k 1 observando que 2k 1 2k 132k 1 1 2k 16k 2 Pent 2k 13k 1 2 2 que do mesmo modo não pode ser primo TEOREMA 3 Qualquer número pentagonal é um terço de um número triangular dEmonStração Já vimos que n n3n 1 Pent 2 Assim fazendo m m 1 m mm 1 m 1 1 1 3 m 3n 1 n 3 2 3 2 3 D 23 AULA 1 TÓPICO 3 Figura 10 Interpretação geométrica dos números hexagonais TEOREMA 4 Todo número hexagonal é um número triangular dEmonStração De fato sabemos que n n 1 Hex n2n 1 n 4 D Assim segue que n n n n n n n n n n n n 1 1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 4 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 n m m m n m onde m2n 1 Vejamos agora os números heptagonais descritos abaixo Figura 11 Interpretação geométrica dos números heptagonais Podese provar por indução que n n 1 Hept 1 6 para n 1 D ³ Por outro lado desde que atenção Não foi preservado nenhum documento que testemunhe as primeiras reflexões do caráter aritmético da seita religiosa matemática e política denominada de pitagórica Estes números figurados compõem uma pequena parte de sua obra No estudo destes números o tipo de representação realça a ligação entre as propriedades numéricas e as formas geométricas ESTRADA ET AL 2000 p 231 24 História da Matemática n n n n n Hept n n n n n n 1 1 2 1 2 1 6 1 6 1 2 1 3 1 1 3 3 é o termo geral para os números heptagonais Para finalizar esta parte veremos os números oblongos ou números retangulares Figura12 Interpretação geométrica dos números retangulares Para concluir este tópico discutiremos brevemente alguns aspectos relacionados à noção de irracionalidade Os números naturais 1234 são obtidos por meio de um processo abstrato de contagem Por vezes os antigos precisaram adicionar quantidades e grandezas e comprimentos Eves 1983 p 43 lembra que diante de algumas medidas em baixa temperatura necessitamos do zero ou números inteiros negativos Contudo em virtude de certas operações necessitamos de certas entidades abstratas tais como p onde pq q Î e q ¹ 0 Estes números possuem uma representação geométrica caso tomemos um segmento OI u e a partir deste construímos qualquer fração Figura 13 Interpretação geométrica dos números feita por Eves 1983 p 44 Eves diz que tivemos um grande momento na história quando os pitagóricos descobriram que os gregos construíram a diagonal de um quadrado passando pela origem O e tomando sua medida que neste caso vale 2 e em seguida por uma rotação do compasso marcando este comprimento na reta os gregos evidenciaram que não existia nenhum número que correspondia a tal segmento de comprimento 2 Mas vejamos outros exemplos de números irracionais Observe a figura 14 representa a interpretação geométrica do número racional 2 25 AULA 1 TÓPICO 3 Figura 14 Interpretação geométrica do segmento de comprimento 2 No primeiro caso seguindo uma demonstração que foi mencionada por Aristóteles 384322 a C assumimos que podemos ter a 2 b onde ab Î e b ¹ 0 Agora vamos admitir sem perda de generalidade que todos os fatores comuns de divisão entre a e b foram cancelados ou seja MDCab 1 são primos entre si Mas se admitimos que vale 2 2 2 2 a a 2 2 a 2b b b Por outro lado observamos que 2 2 2 a 2 b a é um número par Assim a 2k deve ser par pois se ele fosse ímpar 2 2 2 2 a 2k 1 4k 4k 1 4k k 1 é um número ímpar Contrariando a condição Assim segue que 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2k 2k 2b 4k 2b 2k b b 2k Novamente com um argumento semelhante obtemos que 2 2 b 2k é par e conseqüentemente b 2c onde c 0 Î Mas isto implicaria que o número 2 divide b e o número 2c divide a uma vez que a 2k e b 2c onde c 0 Î Por outro lado isto contraria a nossa escolha inicial de MDCab 1 Assim obtemos um absurdo a partir da suposição de que 2 fosse um racional Segue então que 2 Î Agora vejamos o caso de 3 Para efetivar esta demonstração enunciamos o seguinte lema LEMA O quadrado de um número é divisível por 3 se e somente se o próprio inteiro o for dEmonStração Se um número é divisível por 3 escrevemos n 3 k Lembrando que se n não fosse divisível por 3 poderíamos escrever n 3 k 1 ou n 3 k 2 Daí temos as relações 2 2 2 2 2 2 2 2 n 3k 3 3k 3k 1 9k 6k 1 1 33k 2k 2 3k 2 33n 4n 1 1 ìï ïïï íïïï ïî saiba mais Conheça Theodorus de Cyrene que contribuiu muito para o desenvolvimento da matemática httpwwwdecufcgedubrbiografias TeodoroChtml 26 História da Matemática Assim verificamos nossa afirmação a partir da observação das relações acima Agora suponhamos que a 3 b Î onde ab e b 0 Î ¹ Vamos admitir que todos os múltiplos comuns entre a e b foram eliminados por meio de simplificação Teremos então que 2 2 2 2 a 3 a 3b b Contudo observamos que o inteiro 2 3b é divisível por 3 assim 2a também será Pelo lema segue que a será divisível por 3 digamos que a 3k Substituindo em 2 2 2 2 2 2 2 2 a 3b 3k 3b 9k 3b 3k b Ou seja obtemos agora que 2 b é divisível por 3 e conseqüentemente b o será Mas isto é uma contradição pois havíamos admitido inicialmente que todos os fatores em comum de a e b foram eliminados e vimos que 3 divide a e b Segue que a 3 b Î Vejamos agora a irracionalidade de 6 Novamente admitimos que a 6 b onde MDCab 1 ou seja todos os fatores em comum de a e b foram eliminados assim temos 2 2 a 6 a 6b b daí a deve ser par digamos 2 2 2 2 a 2c 4c 6b 2c 3b mas observe que 2 2c é par portanto 2 3b deve ser par mas apenas 2 b e consequentemente b deve ser par digamos b 2d Isto seria uma contradição pois neste caso 2 dividiria a e b Assim 6 Î Eves 1983 p 45 lembra que Theodorus de Cyrene 425 d C mostrou a irracionalidade de 3 5 8 11 15 17 Você arriscaria a tentar algum deles O mais surpreendente é que a descoberta dos números irracionais demonstra uma crença intuitiva dos gregos que pode ser formalizada e revela a capacidade abstrativa do homem Mas vale observar que os gregos não acreditavam apenas matematicamente mas também religiosamente que a reta com os números racionais representava o modelo de continuidade a partir de Pitágoras de Samos GUILLEN 1983 você sabia O círculo e o quadrado são duas formas geométricas que aparecem nas civilizações indiana chinesa babilônica egípcia e africana GASPAR 2003 p 101 27 AULA 1 TÓPICO 3 O circulo talvez seja o mais antigo símbolo desenhado pela raça humana Simples de ser executado é uma forma cotidiana encontrada na natureza vista nos céus como os discos da lua e do sol Gaspar 2003 p 101 lembra que a primeira noção de retângulo pode ter surgido através da confecção de esteiras e a formação do conceito de círculo a partir da fabricação de formas cada vez mais adequadas às necessidades observandose a natureza Encontramos diversas formas geométricas no passado das civilizações mencionadas por Gaspar relacionadas diretamente ao ritual religioso Por exemplo encontrase no documento indiano chamado Sulbasutras a descrição do altar do falcão A ideia era a colocação de um pássaro sobre a estrutura descrita na ilustração a seguir Figura 15 O altar do falcão O interessante nessa construção concebida para cultos religiosos reside no fato de que se o altar fosse construído em outro lado as razões de proporcionalidade TÓPICO 4 A matemática produzida pelos indianos I ObjetivO Apresentar alguns exemplos do pensamento geométrico da antiga sociedade indiana 28 História da Matemática e semelhanças de suas figuras constituintes deveriam ser preservadas Repare que para executar tal problema os indianos necessitavam solucionar ainda outro construir um quadrado de área igual a um retângulo dado Os indianos resolviam este problema do seguinte modo Inicialmente consideramos um retângulo qualquer ABCD Depois marcamos o ponto L sobre o lado AD de modo que AL AB Em seguida consideramos o quadrado ABML Agora bissectamos o lado LD tomando um ponto médio X de modo que dividiremos o retângulo LMCD em dois LMYX e XYCD a partir da reta XY O próximo passo envolve um deslocamento do retângulo XYCD para a posição vertical Em seguida completamos o quadrado que faltava AQPX Agora a partir do ponto P giramos o lado PQ até que ele toque o lado BY O segmento obtido BT será o lado do quadrado procurado Figura 16 Método geométrico indiano ExEmplo 1 Consideremos um retângulo ABCD de lados 4 e 6 Vamos construir um quadrado de mesma área Figura 17 Método geométrico indiano 29 AULA 1 TÓPICO 4 Seguindo os passos do método indiano e com um pequeno auxílio do teorema de Pitágoras obteremos a partir do triângulo retângulo 2 2 2 25 x 4 1 x 4 24 4 6 l 4 6 Assim se buscamos construir um quadrado de lado l a partir deste retângulo concluiremos que 2l 4 6 onde l x 4 ExErcício rESolvido 1 Dado o retângulo ABCD de lados a e b construa um quadrado de mesma área que o retângulo dado Solução Consideremos o retângulo ABCD de lados a e b Descrevemos o segmento XY determinando dois segmentos para o lado BC o primeiro de comprimento a e o restante valendo b a Obtemos então um quadrado de lado a O próximo passo é dividir o segmento de comprimento b a em dois de modo que tenhamos dois segmentos de comprimento b a 2 Figura 18 Método geométrico indiano Transportando o retângulo de dimensões b a 2 e a para a posição vertical e posteriormente completando o buraco por um quadrado obtemos a figura final Nesta giramos o segmento PQ no sentido antihorário até tocar um ponto de um segmento paralelo a PQ O segmento procurado é denotado por a x Finalmente a partir do triangulo retângulo obtido de dimensões b a 2 b a a 2 e a x por Pitágoras escrevemos 2 2 2 2 2 2 b a b a b a b a a a x a x 2 2 2 2 30 História da Matemática Segue que 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b 2ab a b 2ab a a x a b 2 2 4 Portanto temos 2 a x a b Sobre as resoluções anteriores vale lembrar que os indianos não possuíam métodos diretos para a extração de raízes quadradas Como a obtenção do lado do quadrado desejado é indireta procuramos o valor de 2l e não o valor de l Além disso usamos uma notação moderna e aplicamos o teorema de Pitágoras Alguns historiadores presumem que casos particulares deste teorema fossem conhecidos por algumas civilizações bem antes dos gregos Gaspar 2003 p 112 lembra que o livro indiano Baudhayan Sulbasutra não oferece nenhuma prova deste método mas é possível verificar a veracidade deste método usando Geometria Plana Os indianos conheciam ainda outro método para resolver o mesmo problema Inicialmente consideramos o retângulo ABCD Novamente determinamos um segmento FE de modo que determinemos um quadrado de lado a Determinamos por meio do segmento FE de modo que tenhamos um quadrado ABEF Agora traçamos a mediatriz dos segmentos FD e EC Prolongamos agora os lados FE até o ponto K e GH até o ponto L Além disso prolongamos o lado AB até o ponto M De modo que determinemos a seguinte relação FK HL FH AM Chegamos assim à determinação do quadrado KFHL Por fim o manuscrito indiano aconselha considerar um retângulo cuja diagonal será dada pelo segmento LM e o seu lado menor será dada por FH A partir do triângulo retângulo determinado de vértices MLP obtemos a relação 2 2 2 LM FH x O livro indiano assegura que o lado do quadrado procurado que possuirá uma área igual a do retângulo fornecido será obtido a partir da relação extraído do triangulo retângulo Ou seja o lado do quadrado procurado é dado por 2 2 x2 LM FH Figura 19 Método geométrico indiano 31 AULA 1 TÓPICO 4 ExEmplo 2 Considerando um retângulo de área 4 6 construa um quadrado de mesma área usando o método indiano Solução Consideremos o retângulo de lados 4 e 6 Observemos o triângulo retângulo que apresenta as seguintes relações x LM FH x 2 2 2 2 2 2 5 1 25 1 24 4 6 4 6 Figura 20 Método geométrico indiano ExErcício rESolvido 2 Considerando um retângulo de dimensões a e b construa um quadrado de mesma área Solução Um método encontrado no manuscrito chamado Satapatha Brahma descrevia a resolução deste problema do seguinte modo Consideremos dois quadrados ABCD e PQRS No próximo passo marcamos um ponto X sobre o lado PQ de modo que PX AB Em seguida o documento orienta considerar o triângulo PXS de onde extraímos a relação PX AB 2 2 2 2 2 SX PS PX AB PS temos o resultado você sabia Um elemento característico dos rituais indianos era a combinação de deuses em um único deus Na religião indiana eles representavam um deus por um quadrado Assim a combinação de dois deuses resulta no problema matemático de encontrar a área relativa à soma de dois quadrados dados 32 História da Matemática Figura 21 Método geométrico indiano Para finalizar esta parte relacionada com a matemática produzida pelos indianos discutiremos o valor aproximado de 2 que é calculado em alguns manuscritos indianos conforme Gaspar 2003 p 122 De fato encontramos nos antigos manuscritos o seguinte valor 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 4 34 4 3 Gaspar menciona que no século XV depois de Cristo acrescentaramse os números 1 1 3 4 34 33 3 4 34 34 para melhorar a aproximação Mas nenhuma indicação é fornecida sobre o modo pelo qual se obtêm estes números que aparentemente fornecem uma razoável aproximação Gaspar 2003 afirma que um historiador matemático em 1932 concebeu o seguinte procedimento que supostamente se assemelharia ao que foi feito no passado pelos indianos no manuscrito Sulbasutras O procedimento requer a consideração de um quadrado ABCD de lado unitário Em seguida devemos tomar outro quadrado equivalente PQRS Depois traçamos duas faixas dividindo este quadrado em três faixas de mesma área e agrupamos duas delas faixa 1 e 3 sobre o quadrado inicial ABCD Figura 22 Método geométrico para a aproximação da raiz de 2 Restanos a faixa 2 destacada Esta faixa é cortada em dois pedaços indicados Em seguida agrupado o quadrado de área 1 1 3 3 formando um outro quadrado Mas neste processo novamente restanos o retângulo de área 1 2 b h 3 3 33 AULA 1 TÓPICO 4 Figura 23 Método geométrico para a aproximação da raiz de 2 Agora cortamos este retângulo de área 1 2 b h 3 3 é em 8 pedaços iguais Em seguida reagrupamos cada um destes pedaços sobre o quadrado anterior Observamos que a área de cada pequena faixa é de 1 1 2 b h 3 4 8 3 æ ö ç ç çè ø Notamos no quadrado abaixo um pequeno buraco correspondente à falta de um quadrado de área 1 1 12 12 Não podemos afirmar que temos um quase quadrado XYZT e o seu lado é 1 1 2 1 1 1 1 3 8 3 3 3 4 æ ö ç ç çè ø Imaginemos agora que desejamos determinar um valor para x de modo que tenhamos a seguinte condição 2 2 1 1 1 2x 1 x 3 3 4 3 4 Figura 24 Método geométrico para a aproximação da raiz de 2 Na equação o termo 1 1 2x1 3 3 4 representa duas vezes a área da faixa que buscamos colocar hipoteticamente para concretizar a situação de um quadrado de fato Nessas contas estamos repetindo duas vezes a mais a área do pequeno 2 x assim retiramos esta área uma vez Como desejamos formar um quadrado e não um quase quadrado e impondo a condição podemos obter o x apropriado e preencher o buraco indicado acima Mas em termos de cálculo o termo x2 0 Assim reescrevemos por 2 2 1 1 1 17 1 1 2x 1 2x x 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 34 Entretanto lembramos que tínhamos dois quadrados de área 1 com o total de 2 e 34 História da Matemática de lado 2 Agora construímos um quadrado XYZT que deve ter a mesma área de lado 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 2 1 3 3 4 3 3 4 3 4 34 3 3 4 3 4 34 Encerramos esta aula discutindo alguns modelos matemáticos particulares devidos aos indianos Nas próximas aulas retornaremos a um contato interessante com esta rica cultura matemática 35 AULA 2 AULA 2 As origens do conhecimento parte 2 Olá alunoa Nesta aula continuaremos apresentando alguns exemplos de métodos algoritmos e construções geométricas das civilizações babilônica egípcia grega e árabe No que se refere aos gregos evidenciaremos uma particularidade suas formas peculiares de pensamento se diferenciaram paulatinamente dos modos de pensamento das outras civilizações Objetivo Conhecer os modelos matemáticos produzidos pelos babilônicos egípcios gregos e árabes 36 História da Matemática TÓPICO 1 A sociedade babilônica II ObjetivO Conhecer aspectos algébricos do pensamento babilônico para a resolução de problemas M uitas das informações a respeito da sociedade babilônica são encontradas na tábua de Plimton 322 Atualmente está exposta na Universidade de Columbia e é datada de 1600 antes de Cristo A análise de um grupo de figuras da Tábua possibilita a convicção de que o teorema de Pitágoras era conhecido pelos babilônicos BURTON 2006 A relação entre comprimentos dos lados do triângulo era descrita por 2 2 2 x y z Burton 2006 questiona se os babilônicos possuíam um método de solução para a equação Observe que æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 y y z z x y z 1 1 x x x x e fazendo a b y z e x x temos a b 2 2 1 O problema agora seria construir triângulos retângulos cujos lados possuíssem comprimentos racionais a b 1 e onde a b 2 2 1 Além disso escrevemos a b a b 1 Burton 2006 p 77 explica que na equação a b a b 1 procuramos todos os números racionais que satisfazem o produto igual a 1 colocando então a b Î m n onde mn a partir de saiba mais Plimpton 322 Tábua de cerca de 1800 aC de Larsa encontrase atualmente na Universidade de Columbia A tábua tem quatro colunas de números em duas das quais a maior parte dos peritos acreditam que contêm uma lista de dois dos três números de um triplo pitagórico Disponível em httpwwwmalhatlanticapt mathisBabiloniaMesopotamiahtm 37 AULA 2 TÓPICO 1 a b a b m a b a b n 1 1 n m Assim resolvemos o sistema ìïïa b ïïïíïïa b ïïïî m n n m Concluise facilmente que æ ö ç a ç çè ø 1 m n 2 n m e æ ö ç b ç çè ø 1 m n 2 n m Ou ainda podemos escrever a 2 2 m n 2mn e b 2 2 m n 2mn Por outro lado se a b b a z e y y x e z x x x Comparando as equações e tomando b a 2 2 2 2 m n x 2mn y x e z x z xm n 2mn Do mesmo modo temos 2 2 y m n As formas 2 2 2 2 xyz 2mnm n m n foram fórmulas também usadas pelos helenos por Diophantus um dos mais originais matemáticos da antiguidade BURTON 2006 p 75 Obteremos maiores detalhes sobre essas fórmulas mais adiante pois muitos dos algoritmos discutidos só tiveram aprofundamento e maior sistematização com os gregos No próximo tópico discutiremos um pouco da Matemática produzida pelos egípcios 38 História da Matemática TÓPICO 2 A sociedade egípcia II ObjetivO Conhecer aspectos do pensamento aritmético dos egípcios N o Papiro de Rhind encontramos problemas que envolvem a decomposição de frações do tipo 2 n Burton 2006 p 43 explica que para números divisíveis por 3 escreviase 2 1 1 3k 2k 6k Por exemplo temos a fração 2 1 1 3 5 2 5 6 5 transformada na soma de duas unitárias Na tabela abaixo vemos algumas relações interessantes Figura 1 Técnica egípcia de representação em frações unitárias Para Eves 1983 p 10 é interessante observar que toda a geometria anterior a 600 antes de Cristo é essencialmente científica Geometria das tumbas e outros artefatos com boa aproximação Burton 2006 p 41 relata que provavelmente eles os egípcios conheciam a seguinte fórmula 2 1 1 1 1 n n 2n 3n 6n Usando esta fórmula podemse 39 AULA 2 TÓPICO 2 decompor as seguintes frações 2 2 2 2 3 5 7 9 Neste mesmo papiro Eves 1983 p 9 lembra que a matemática egípcia anterior a 1650 antes de Cristo foi capaz de precisar o valor de æ ö p ç ç çè ø 4 2 31604 3 Num contexto geral Eves afirma que todas as construções possuíam bases quadrangulares regulares Aí encontramos alguns problema relacionados à determinação do tronco da pirâmide Por exemplo se consideramos 1 B a base inferior 2 B a base superior e h a altura do tronco da pirâmide sabemos que a fórmula correta é 1 1 2 2 1 hB B B B V 3 Mas os antigos babilônicos desenvolveram um interesse semelhante aos egípcios usando a fórmula 1 2 2 hB B V 2 que apresenta uma péssima aproximação Contudo depois da descoberta do Egito faraônico os métodos de construção das pirâmides parecem guardar segredos Depois que Eisenlohr publicou em 1877 o texto do Papiro de Rhind preciosas informações vieram à tona BENOIT CHEMLA RITTER 1992 p 51 Deste modo não é muito simples a compreensão clara de alguns dos métodos desenvolvidos na região do Nilo Neste sentido Bunt Jones e Bedient 1988 p 39 construíram tabelas que representavam relações recursivas características das progressões geométricas Os autores indicam que podem ser identificadas nos papiros as relações descritas em relação moderna S r r r r r r r r r r r r r n n n n n 2 3 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 r r n n n 1 n n 1 r 1 S S rS 1 Esta fórmula descreve o método da recursão para a obtenção da soma dos termos em PG para os egípcios Comparea com a fórmula atual Discutimos de modo introdutório algumas peculiaridades da matemática egípcia no próximo tópico nos deteremos na matemática concebida pelos gregos 40 História da Matemática TÓPICO 3 Os gregos e sua extraordinária matemática II ObjetivO Discutir aspectos aritméticos do pensamento grego relacionados às demonstrações em geometria D iz a lenda que Pitágoras sacrificou cem bois em gratidão à inspiração adquirida para o toque final do teorema que há séculos carrega o seu nome Ainda existem algumas dúvidas sobre a linha de raciocínio empregada pelos gregos na demonstração desse teorema Burton 2006 p 107 lembra que se os métodos do livro II dos Elementos de Euclides foram usados teríamos provavelmente a demonstração a seguir Consideremos um quadrado de lado a b e o dividimos em dois outros quadrados menores de lado a e b e mais dois retângulos de lados a e b Em cada retângulo determinamos a diagonal descrita por c observada a partir do desenho I 2 2 2 a b a b ab ab 41 AULA 2 TÓPICO 3 Figura 2 Relações algébricogeométricas Na figura 2 II extraímos a relação æ ö ç ç çè ø 2 2 ab a b c 4 2 onde o termo representa a área dos quatro triângulos retângulos A prova que se vale da noção de adição de áreas mostrado em todos os casos acima pode ter sido empregada de modo independente em várias culturas De fato algumas evidências relatam este resultado na cultura chinesa 600 antes de Cristo Um diagrama interessante é proposto por Bhaskara em XII depois de Cristo ao considerar o diagrama III sem explicações mais detalhadas Dele observamos que æ ö ç ç çè ø 2 2 2 2 2 2 2 2 ab 4 a b c 2ab a 2ab b c a b c 2 Figura 3 Relações algébricogeométricas você sabia Conheça mais sobre o matemático e professor Bhaskara acessando o site httpwwwcefetsp bredugueratomatbiobaskarahtm 42 História da Matemática Simmons 1992 p 220 mostra também uma demonstração devida a Bhaskara usando semelhança de triângulo e assim temos b d a e e c b c a ou 2 2 b cd e a ce Por meio de adição temos 2 2 2 b a cd ce cd e c c c Ele explica que esta demonstração foi redescoberta no século XVII por Issac Newton Figura 4 Relações pitagóricas O teorema de Pitágoras foi demonstrado de um modo pouco trivial por Euclides No seu livro chamado de Elementos encontramos não apenas os postulados de uma Geometria mas também Aritmética e Álgebra No que se refere à álgebra curiosamente os gregos conseguiam resolver equações polinomiais do primeiro grau por intermédio da manipulação de grandezas racionais e irracionais que são representadas por segmentos Além disso todas as operações de adição e subtração de segmentos KOUKI 2008 p 47 O problema foi resolvido pelos gregos inicialmente com a consideração de um segmento AB de comprimento a e um retângulo ACDE de área b O ponto A estando alinhado B e E é situado entre os dois Podemos então seguir com a construção dos pontos F G H e I respeitando o paralelismo da figura 5 Figura 5 Resolução geométrica de equações A incógnita x mede o comprimento do lado BH e os triângulos D D D D D D FGH GFD FAB AFC AGI GAE são de mesma área donde os retângulos ACDE e ABHI em virtude do eixo de simetria GF Assim a área do quadrado ABHI deve ser de a x b Vamos considerar a equação 2x 12 e interpretála geometricamente Para tanto usando o raciocínio anterior consideramos o segmento AB 2 e ACDE 43 AULA 2 TÓPICO 3 de área 3 4 e representamos os segmentos na figura ao lado II Pelo motivo de simetria da figura teremos 2x 3 4 Na revista nº 16 do Meu Professor de Matemática Oscar Guelli apresenta um problema semelhante interpretar geometricamente a equação x x 2x 10 3 O problema originalmente encontrado no Livro 2 de Euclides sugere a figura Anexamos a este retângulo um novo retângulo de lado 5 e 1 1 2 3 Vamos agora construir outro retângulo com mesma área do retângulo de lados 2 e 5 Por isso devese prolongar a diagonal até cortarmos o prolongamento do lado de comprimento 5 Comparamos agora as seguintes áreas SA SB SC SA SB SC mas desde que SA SA e SC SC SB SB Finalmente poderemos escrever que 1 SB SB x 1 2 5 2 3 Figura 6 Resolução geométrica de equações Vejamos mais dois exemplos do poder do pensamento sistematizado helênico Krantz 2006 p 7 lembra a tripla de inteiros abc que satisfaz 2 2 2 a b c As triplas pitagóricas mais conhecidas são 3455121372425202129 Contudo uma pergunta que afetou vários matemáticos desde os gregos se refere à possibilidade de listar ou encontrar todas as triplas pitagóricas Kratz 1991 p 68 sublinha que sem perda de generalidade MDCab 1 ou seja são primos entre si Neste caso dizemos que abc é um terno primitivo ou um terno reduzido KRANTZ 2006 P 7 Além disso a e b não podem ser pares neste caso Assim assumimos que a será par e b será ímpar Observamos que a b a ab b a b c c a b 2 2 2 2 2 2 2 definição g g a b c 0 c a b para algum inteiro g Î Mas sabemos que a b c a b a b a b ab a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 γ γ γ γ γ γ 2ab 44 História da Matemática Assim observamos que g g g g 2 2 a b ab 2m é par Substituindo nesta equação teremos 2 2 2m 22ma 2mb ab 4m 4ma 4mb 2ab Segue que se cancelamos o fator em comum 2 ab 2am 2bm 2m Agora observamos que a expressão 2 2am 2bm 2m caracteriza um número par KRATZ 2006 p 8 Mas desde que no início tomamos b como ímpar concluímos que de fato a deverá ser par Mas a soma de um par ao quadrado mais um ímpar ao quadrado 2 2 2 2 par ímpar a b c c é ímpar Resulta que c deve ser ímpar Repare que nas triplas iniciais 3455121372425202129 verificamos tal comportamento Além disso numa tripla pitagórica reduzida nunca ambos os elementos a e b podem ser pares e ímpares ao mesmo tempo De fato observemos que se ambos fossem ímpares digamos a 2x 1 e b2y1 teríamos 2 2 2 2 2 2 2 c a b 2x 1 2y 1 4x x y y 2 2n 2 o que resulta que num absurdo pois qualquer quadrado de um número seja 2 2 2 2 c 2n ou c2n1 c 4n ou c 4n 4n 1 2m 1 não pode ser do tipo 2n 2 SIMMONS 1992 p 67 Além disso desde que assumimos que a é par e b é ímpar e vimos que c deve ser ímpar escrevemos 2 2 2 2 2 2 a b c a c b c bc b par c b 2rc b 2s rs Î Agora observemos que ì ïï Þ íï ïî c b 2r c r s b r s c b 2s Simmons 1992 p 67 observa que MDCsr 1 e portanto MDCcb 1 verifique Agora lembramos que 2a c bc b 2r 2s 4rs a é par digamos Î 2 2 a 2p 4p 4rs p r s Mas desde que MDCsr 1r e s possuem uma fatorização única devem existir Î 2 2 xy tal que rx e sy onde c b c b s r 2 2 y x Finalmente em virtude de 2 2 2 a 4rs 4x y a 2xy e 2 2 2 2 c x y b x y Obtivemos então o terno 2 2 2 2 abc 2xy x y x y Você terá oportunidade de trabalhar mais os conceitos apresentados com as atividades de aprofundamento Vamos passar agora para o próximo tópico 45 AULA 2 TÓPICO 4 N o decorrer do século V a C as concepções pitagóricas foram sujeitas a críticas por parte de várias novas escolas que iam propondo sistemas alternativos De todas as correntes filosóficas que se opuseram ao pitagorismo a mais importante foi fundada por Parmênides de Elea Vários aspectos da filosofia eleata se revestiram de grande importância para o desenvolvimento posterior da Matemática É imprescindível referir que aos pensadores eleatas está associada à invenção da dialética e do método de demonstração por redução ao absurdo como o fizemos para demonstrar que Î 2 Este modo de provar uma proposição consiste em aceitar por momentos a sua negação e daí deduzir uma contradição flagrante ESTRADA M F ET AL 2000 p 240 No diálogo Parmênides Platão descreve o encontro ocorrido por volta de 450 aC entre o ainda muito jovem Sócrates e Parmênides em companhia do discípulo Zenão Este último seria o autor de um livro em que eram apresentados numerosos argumentos indiretos originários da escola eleata que apresentaram durante séculos um desafio para a compreensão de matemáticos e físicos TÓPICO 4 Os gregos e sua extraordinária matemática III ObjetivO Refletir sobre a noção de irracionalidade e processos matemáticos que dependiam da noção do infinito grego saiba mais Da filosofia eleata podemos dizer que em geral foi uma notável tentativa de imporse sobre toda realidade por meio da razão Disponível no site httphistoriadafilosofiawordpresscomtag filosofiadoseleatas 46 História da Matemática Os argumentos estabelecidos pela dicotomia e pelo herói grego Aquiles podem ser interpretados de modo mais moderno relacionados ao problema de convergência de uma série de números reais Com efeito consideremos um segmento de reta AB daí tomamos o ponto médio C determinando o segmento AC AB 2 Novamente tomamos o ponto médio D de modo que AD AC 2 Assim continuaremos o processo indefinidamente Figura 7 Processo geométrico da dicotomia O argumento do matemático grego Zeno chama atenção para AB CB DC ED isto é para o fato deque o segmento de reta inicial deve se decompor em infinitos segmentos de reta todos eles com efetivo comprimento Em outras palavras uma grandeza pode ser igual à soma de infinitas grandezas Numa linguagem mais moderna escrevemos å å 2 4 n n n n 1 n 1 AB AB AB AB AB AB AB AB 2 2 2 2 2 2 No outro paradoxo Zeno de Elea apresenta ainda o paradoxo do estádio apresentado por Brolezzi 1996 p 23 do seguinte modo Zeno supõe que por absurdo que o tempo seja dividido em instantes indivisíveis e que o espaço seja também formado por pontos também indivisíveis Brolezzi 1996 p 23 apresenta a seguinte figura e discute o seguinte Figura8 Ilustração discutida por Brolezzi 1996 no paradoxo do estádio guarde bem isso Dicotomia Não há movimento porque antes de o móvel percorrer certo espaço tem de percorrer metade desse espaço mas antes de percorrer metade desse espaço tem que percorrer metade da metade desse espaço e assim indefinidamente Portanto o movimento não pode nem sequer começar saiba mais Acesse ao site httpwwwfflchuspbrdf opessoaFiFi12Cap1pdf e conheça a história do Paradoxo do estádio 47 AULA 2 TÓPICO 4 Consideremos agora um estádio onde os corredores são pontos indivisíveis Há três grupos de cinco corredores em uma pista de atletismo cinco estão imóveis e os dois outros grupos estão correndo em sentidos contrários Considerando que a velocidade dos corredores é tal que percorram a distância entre dois pontos em um instante então o pontocorredor J irá passar de C para D em um instante enquanto o ponto corredor K irá passar de C para B no mesmo instante conforme mostra o esquema abaixo Figura 9 Ilustração discutida por Brolezzi 1996 Entretanto o corredor K passou por dois pontos J e I encontrandose agora sob o corredor H Ora o tempo necessário para passar por dois pontos é dois instantes logo um instante é igual a dois instantes o que é uma contradição Zeno completa seus paradoxos com o Paradoxo da Flecha que faz par com o do Estádio indo contra a noção de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis Um arqueiro dispara uma flecha e observamos sua trajetória em direção ao alvo Supondo que fosse possível considerar a posição da flecha em cada instante de tempo veríamos que a mesma encontrase imóvel ocupando um lugar específico no espaço que é evidentemente igual ao volume e forma da flecha Ora em cada instante a flecha está imóvel como o tempo é constituído de instantes a flecha está portanto parada em toda sua trajetória Poderíamos por exemplo colocarmonos diante dela e no instante em que ela nos tocasse estaria parada e não nos feriria BROLEZZI 1996 p 23 Conforme Caraça 1970 p 252 Zeno traz uma argumentação interessante acerca do movimento ao ilustrar a corrida entre Aquiles e a Tartaruga Caraça conta que construiu duas secessões de posições sucessivas de Aquiles A e da Tartaruga T ìïïíïïî 1 2 3 n 1 2 3 n A A A A T T T T e contemplandoas em atitude estática finitista nota que a distância n n A T nunca é nula e diz que não compreende como A alcança T CARAÇA 1970 p 253 Ao matemático moderno é permitida a operação de passagem ao limite Neste modelo matemático certamente desconhecido em detalhes pelos gregos o encontro dos dois móveis só poderá ocorrer e será compreendido em 48 História da Matemática interdependência com os estados vizinhos dos móveis A e T As distâncias entre os dois móveis nessas posições consecutivas podem ser descritas a partir da sequência æ ö ç ç çè ø 2 3 n d d d d d 2 2 2 2 mas como o limite æ ö ç ç çè ø n n d Lim 0 2 deve acarretar o anulamento das distâncias entre A e T Segundo Caraça 1070 p 253 Assim Zenão ou Zeno de Elea contemplando as suas duas sucessões infinitas possibilidades não pode fazer mais do que verificar o desacordo entre a realidade e o esquema racional que queria arruinar a concepção pitagórica do Universo mas sem ser capaz de integrar o movimento no seu próprio esquema a concepção eleática dominada pelo conceito da continuidade na mobilidade Assim o matemático moderno com o auxílio de uma poderosa notação consegue inferir alguns resultados Verifica teoricamente o que a experiência confirma Mas isto será um tema para a discussão mais aprofundada quando estudarmos as raízes do Cálculo Diferencial e Integral 49 AULA 2 TÓPICO 5 N o início do século IX Mohamed Ibn Musa AlKhawarizmi 780850 se distinguiu entre os árabes e seus antecessores Ele apresentou uma teoria das equações Segundo Kouki 2008 p 53 ele buscou fornecer métodos de solução para o cálculo de raízes Dentre as principais noções tratadas por ele destacamse equações do primeiro e segundo grau problemas aritméticos e geométricos etc Kouki 2008 p 54 apresenta uma série de equações que mereceram a sua atenção Figura 10 Modelos algébricos resolvidos pelos árabes Kouki 2008 p 55 explica que na resolução dos itens acima Al Khawarizmi usou vários documentos babilônicos e gregos antigos Um dos métodos utilizados por ele inspirado no livro dos Elementos de Euclides era TÓPICO 5 A matemática produzida pelos árabes ObjetivO Discutir elementos do pensamento algébrico dos árabes 50 História da Matemática trabalhar com uma equivalência de áreas Em outros casos como na equação x2 px q apresenta uma argumentação em seu trabalho e obtém æ ö ç ç çè ø p 2 p x q 2 2 Em outros casos para 2 2 x px q e x q px Kouki 2008 p 55 explica que ele obtém as raízes æ ö ç ç çè ø 2 p p x q 2 2 e analisa os seguintes casos æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 p p p q 0 q 0 q 0 2 2 2 Conclui que neste último caso é impossível Kouki 2008 p 55 destaca que as provas pragmáticas apresentadas por ele foram baseadas na leitura de diagramas que não satisfizeram toda a comunidade de matemáticos árabes Por um lado existiam os que sustentavam que todo o raciocínio deveria se apoiar nos modelos dos Elementos e por outro lado os novos algebristas árabes desejavam romper esta tutela euclidiana Todavia Burton 2006 p 241 sublinha que o legado intelectual grego foi um dos mais importantes tesouros encontrados nas terras que foram posteriormente dominadas pelos árabes Mas vejamos um pouco da sua matemática quando resolveu a equação x2 10x 39 Na solução proposta por ele devese considerar um quadrado ABCD Os lados desse quadrado valem todos x Agora adicionamos a área 10x mas esta área deverá ser dividida em quatro partes de valor 10x 4 e esta área representa a área dos retângulos na figura Na figura observamos que 2 2 10x x 10x x 4 4 Agora se desejamos transformar a figura no quadrado maior de lado x 10 2 devemos acrescentar a área dos pequenos quadrados de área æ ö ç ç çè ø 10 2 4 Assim teremos a seguinte equivalência entre as áreas x x x 10 2 10 4 10 4 39 10 2 2 2 2 2 39 25 64 10 2 8 3 x x você sabia Kratz 2006 p 101 adverte que os árabes não lidavam com números negativos Assim a outra raiz x 13 da equação x x 2 10 39 era desconsiderada 51 AULA 2 TÓPICO 5 Figura 11 Resolução algébricogeométrica Com um raciocínio semelhante Burton 2006 descreve que æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 2 p p p p p x px q x x px 4 q x q 2 4 2 2 2 Burton 2006 p 243 relata que AlKhawarizmi resolve a equação x2 10x 39 por meio de um segundo modo geométrico Inicialmente ele considera o quadrado de lado x e dois retângulos de lados x e 10 2 Observe que a área de cada retângulo vale 10 x 2 daí a área total compreendida vale æ ö ç ç çè ø 2 10 x 2 2 x Mas para completar a figura precisamos de um quadrado de área æ ö ç ç çè ø 10 2 2 daí obteremos um quadrado de lado x 10 2 e sua área poderá ser expressa por æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 10 10 10 10 x x 2 x 39 25 64 x 8 2 2 2 2 Figura 12 Resolução algébricogeométrica 52 História da Matemática O procedimento no caso geral para a solução de x2 px q é feito com a adição de um quadrado de lado p 2 à figura que passa a ter uma área de æ ö ç ç çè ø 2 p x 2 x 2 resultando æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 2 2 2 2 p p p p x x 2 x q 2 2 2 2 o que permite concluir æ ö ç ç çè ø p 2 p x q 2 2 Burton 2006p 243 sublinha que com os trabalhos de AlKhawarizmi todavia vemos no início suas limitações entretanto as explicações geométricas vêm auxiliar um novo e predominante raciocínio algébrico O seu trabalho destaca um progresso e a evolução da antiga prática matemática que passa a adquirir métodos e instrumentos mais poderosos Burton 2006 p 245 descreve também a matemática produzida por Abû Kâmii 850930 Este árabe adicionou alguns métodos de solução aos problemas do seu brilhante antecessor Ele se interessou por equações do tipo ì ïïïïí ïïïïî x y 4 y x 4 1 y x 4 No próximo passo ele toma 2 2 2 2 y x y x 1 x y 4 xy y x xy 4 Substitui então y 10 x na equação 2 2 1 x y 4 4 xy e obtém uma solução de valor x 2 Para finalizar Abû Kâmii trabalhou com a seguinte expressão 9 4 9 4 2 9 4 1 Isto evidenciou que ele conhecia a seguinte expressão a a a b 2 a b 1 Verifiquea Outra figura importante na matemática árabe foi Abu Bakr alKarajî d C 1029 Segundo Burton 2006 p 248 ele conseguiu o padrão para as expansões binomiais 3 4 a b e ab Deduziu ainda que å n n k n k k n k 0 a b C a b onde k n k k n n 1 n 1 C C C cujos valores iriam compor no século XVII o triângulo de Pascal Abu Bakr alKarajî mostrou que æ ö ç ç çè ø 2 2 2 2 2n 1 1 2 3 n 1 2 3 n 3 3 e também que 2 3 3 3 3 3 1 2 3 4 n 1 2 3 n E o seu sucessor Al Samwaal refinou o resultado para 2 2 2 2 nn 12n 1 1 2 3 n 6 Vejamos alguns dos seus argumentos utilizados no caso de n 10 atenção Domingues 1991 p 71 diz que um triângulo retângulo se diz pitagórico se as medidas de seus lados são números naturais 53 AULA 2 TÓPICO 5 Consideremos a soma 1 2 3 10 parcionada na figura abaixo Figura 13 Figura apresentada por Burton 2006 p 249 Agora observemos a faixa ABCGFE vista como dois retângulos congruentes e um quadrado de área 2 10 Portanto sua área será de 2 base altura 2 10 1 2 3 4 9 10 Mas observamos que 91 9 1 2 3 4 9 21 2 3 4 9 10 9 2 segue que 2 2 2 3 base altura 10 2 1 2 3 4 9 10 10 10 9 1 10 10 10 10 Agora considerando a região EFGJIH com o mesmo raciocínio obtemos 2 base altura 2 9 1 2 3 4 8 9 e de novo usando 81 8 1 2 3 4 8 2 2 3 base altura 2 9 1 2 3 4 8 9 9 Continuando o processo finalizemos com o último quadrado de área 31 Poderemos assim escrever 2 3 3 3 3 3 1 2 3 4 10 1 2 3 10 neste caso particular Nesta aula estudamos um pouco da Matemática egípcia grega e árabe Nas próximas aulas continuaremos a discutir métodos intrigantes devidos a tais sociedades antigas 54 História da Matemática Olá alunoa Nesta aula continuamos nosso estudo sobre a antiga matemática produzida pelos gregos Vale observar que a Matemática básica discutida aqui envolve conhecimentos de Álgebra e Geometria prérequisitos estudados nas disciplinas de Fundamentos de Matemática Objetivo Refletir sobre a Matemática grega AULA 3 Arquimedes e a noção de demonstração 55 AULA 3 TÓPICO 1 A pós Euclides um grande matemático grego foi Arquimedes 287212 a C nascido em Siracusa na ilha da Sicília Ele estudou em Alexandria e é considerado um cientista universal A ele se devem inúmeras invenções na Física e na Matemática Maor 2007 p 51 lembra que no livro do Comprimento do Círculo Arquimedes mostrou que o valor de p reside entre 10 10 3 71 e 3 70 Sua ideia foi dividir um círculo Simmons 1992 p 26 lembra que Arquimedes e Democritus descobriram teoremas maravilhosos a respeito dos sólidos da geometria como o caso do volume de um cone que representa um terço do volume de um cilindro E que o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesma base TÓPICO 1 Matemáticos gregos eminentes e números amigos perfeitos abundantes ObjetivOs Refletir sobre a matemática desenvolvida por Arquimedes e as repercussões atuais deste pensamento Relacionar as argumentações apresentadas por Arquimedes com alguns números especiais conhecidos pelos gregos saiba mais Conheça um pouco mais do matemático grego Arquimedes acessando o site httpwww imeunicampbrcalculohistoryarquimedes arquimedeshtml 56 História da Matemática O volume da esfera também é devida a Arquimedes Figura 1 Explicação da obtenção do volume do cone Mais adiante Simmons 1992 p 26 explica que a figura do cone I e a partir dela podemos compreender de onde vem a fração 1 3 presente na fórmula cone 1 V 3B h De fato nesta base B inscrevemos um polígono regular de n lados Em seguida construímos uma pirâmide no seu interior No entanto se o n aumenta de valor progressivamente figura 1II o volume do cone será o valor limitante para o valor do volume da pirâmide Mas desde que podemos dividir a pirâmide em n pirâmides congruentes mostradas em III será suficiente mostrar que o volume que buscamos é válido para este caso especial envolvendo pirâmides SIMMONS 1992 p 26 Agora considerando a base OPQ IV construímos um prisma de altura h e de base B Este prisma pode ser dividido em três pirâmides como podemos ver na figura 2V Figura 2 Decomposição do prisma 57 AULA 3 TÓPICO 1 Observemos na figura 2 em VI que as pirâmides I e II possuem altura H e os triângulos da base OPQ e RST D D de mesma área portanto elas devem possuir o mesmo volume Por outro lado as pirâmides II e III possuem também a mesma altura a distância de R até o plano PQST e bases triangulares PST e PQT D D de mesma área Assim II e III possuem também o mesmo volume Por meio deste raciocínio vemos que o volume de cada pirâmide I II e III possui um terço do volume do prisma da figura V Simmons 1992 p 27 adverte que Existe uma lacuna no raciocínio na verificação das duas pirâmides de mesmo volume no caso em que possuem a mesma altura e mesma base Isto é aceitável mas difícil de ser provado Esta demonstração depende do tipo de atomismos geométrico que teve atenção e análise por parte do matemático italiano Bonaventura Cavalieri no século XVII Costumeiramente o estudante é apresentado à progressão geométrica infinita do tipo 2 3 n 1 q q q q Vamos admitir provisoriamente que 0 q 1 e realizar alguns malabarismos algébricos inicialmente tomando 2 3 n n 2 3 4 n n 1 n S 1 q q q q I q S q q q q q q II ìï ïíï ïî Fazendo I II obtemos n n S q S 1 1 1 2 3 2 3 4 1 1 q q q q q q q q q q q q n n n n S q n n 1 1 Ou seja n 1 n 1 q S 1 q III A série geométrica descrita na figura 1III surgiu em um dos trabalhos de Arquimedes segundo Ávila 2007 p 158 Este raciocínio foi empregado pelo antigo pensador jônico para calcular a área de um segmento de parábola delimitado por um arco parabólico Ab e um segmento retilíneo AB O procedimento é o seguinte pelo ponto médio de AB traçase uma reta paralela ao eixo da parábola que vai encontrar a parábola em C resultando no triângulo DACB A seguir repetese o processo nos trechos AC e CB da parábola o que resultará nos triângulos ADC e CEB D D O passo seguinte resumese em repetir o processo nos trechos AD DC CE e EB da parábola o que deve resultar em quatro novos triângulos 58 História da Matemática Figura 3 Situação geométrica da quadratura da parábola e o método analítico de análise proposto por Simmons 1992 p Segundo Ávila 2007 este processo continua indefinidamente cada etapa resulta em número de triângulos igual ao dobro dos triângulos da etapa precedente Assim começando com o DABC obtemos primeiro dois novos triângulos depois quatro e oito Ávila 2007 prossegue explicando que Arquimedes provou que a soma das áreas dos triângulos obtidos em cada etapa anterior do processo é igual a 1 4 da soma das áreas dos triângulos óbitos na etapa anterior Assim a soma 1a das áreas dos dois triângulos ADC e CEB D D 1 2 a a 4 e assim por diante indefinidamente S S a a a a S S n 0 1 2 3 2 3 4 0 0 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 4 4 3 0S Certamente que na época em que viveu Arquimedes não se contava com tanto rigor e formalismo como temos hoje em dia Ávila 2007 explica que é quase certo que Arquimedes tenha adotado o procedimento anterior apenas para descobrir o resultado da soma que procurava calcular Uma vez feita a descoberta ele procedia a encontrar meios de fazer uma demonstração rigorosa Ávila 2007 formaliza o raciocínio de Arquimedes do seguinte modo consideremos a soma finita n 0 1 2 3 n S S a a a a onde n 1 n n n 1 a a ou 4 a a 4 temos então n n n 1 n a 4a a a 3 3 3 Assim podemos escrever a seguinte relação a partir de e n n n 1 n 0 1 2 3 n 1 n n 1 a a a S S a a a a a S 3 3 3 para todo n Î Segue que 59 AULA 3 TÓPICO 1 n n 1 n n 1 a a S S n 3 3 Î Agora raciocinando indutivamente e diminuindo os índices na expressão temse S a S a S a S a S a n n n n n n n n n n n 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 n n n n n S a 1 3 3 Ou seja 0 0 n n 0 a 4S a S S 3 3 3 Se utilizássemos nossa linguagem atual que possibilita a passagem ao limite podemos ainda concluir que 0 0 0 n n n n n n n n 4S 4S 4S a a Lim S Lim Lim S Lim 3 3 3 3 3 Mas observe que 0 n n área n n 4S a Lim 0 S Lim S 3 3 Contudo este método envolveria trabalhar diretamente com a noção do infinito simbolizado em notação moderna por o que era radicalmente evitado pelos gregos conforme as explicações de Ávila 2007 p 160 Por outro lado Simmons 1992 p 235 acrescenta ao raciocínio de Arquimedes o argumento de coordenadas cartesianas Neste sentido vamos considerar na figura 3II uma parábola descrita por 2 y a x e os pontos de coordenadas 2 0 o Ax ax e 2 2 2 Bx ax Se tomarmos o ponto 1 x como a abcissa do ponto C então usando um argumento do Cálculo podemos encontrar o ângulo de uma reta tangente no ponto C dada por 1 dy dx 2ax Simmons 1992 p 235 acrescenta que desde que tenhamos uma reta tangente em C paralela ao segmento AB podemos escrever 2 2 0 2 1 0 2 ax ax 2ax x x ou 0 2 1 x x x 2 Isto nos diz que a linha vertical que passa em C bissecta a corda AB no ponto P e será suficiente verificar que 1 BCE 4 BCP a Para fazer isso iniciamos completando o paralelogramo CPBQ Por meio do mesmo raciocínio concluímos que a linha vertical que passa no ponto E bissecta a corda BC no ponto G a além disso bissecta o segmento BP no ponto H Podemos mostrar que 1 EG 2 GH b Mas isto implica que 1 1 BEG 2BGH e CEG BGH 2 Assim concluímos que BCE BGH mas desde que temos claramente a relação 1 BGH 4 BCP com isto concluímos que 1 BCE 4 BCP a Mas vejamos a demonstração proposta por Simmons para este fato Para provar o item b Simmons 1992 declara que é suficiente ver que 1 FE 4 FH e podemos fazer isso verificando que 1 FE 4 QB Para tanto basta observar as contas que seguem 60 História da Matemática FE a x x ax ax x x a x 1 2 2 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x a x x x x a x x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 4 4 1 4 2 1 4 E também que 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 QB ax ax 2ax x x ax 2x x x ax x é ù ë û Encontramos a série geométrica também no problema de Aquiles e a Tartaruga 2 3 n 0 2 3 n d d d d 1 1 1 1 1 S d d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 æ ö ç ç çè ø pode ser considerada também como uma progressão geométrica de um modo geral por n 2 3 n 1 1 r 1 r r r r 1 r Simmons 1992 p 227 lembra que no caso particular de n 2 3 n 1 n 1 2 r 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 A expressão 2n 1 caracteriza uma expressão que foi objeto de profunda reflexão para os pitagóricos e relaciona se aos números perfeitos Para esclarecer sobre o que estamos falando costumeiramente em teoria dos números definimos a função sigma sn a soma de todos os divisores de um número n Î Por exemplo 12 1 2 3 4 6 12 28 s Segundo Domingues 1991 p 64 a função sigma é usada para caracterizar os números perfeitos como sendo os objetos que satisfazem a relação n n n n 2 n s s Ore 1948 p 91 observa que os gregos excluíam da definição sua própria parte Domingues 1991 p 64 lembra que os gregos só conheciam os quatro primeiros 1 2 3 4 P 6 P 28 P 496 e P 8128 Mas Euclides nos seus Elementos provou que Se 2k 1 é primo onde k 1 então k 1 k n 2 2 1 será um número perfeito Por outro lado algumas questões relacionadas aos números perfeitos não parecem ser triviais De fato Simmons 1992 lembra que o conhecimento sobre tais números sempre foi limitado Vamos agora conhecer algumas propriedades da função sigma n s você sabia Número perfeito é um número natural cuja soma de seus próprios divisores com exceção dele mesmo resulta no próprio número Exemplo Os divisores de 6 são 1 2 3 e 6 Para verificarmos se o 6 é um número perfeito realizamos a soma de todos os seus divisores com exceção do 6 logo 1 2 3 6 Portanto 6 é um número perfeito 61 AULA 3 TÓPICO 1 lEma Se ab Î e MDCab 1 então a b a b s s s dEmonStração Inicialmente como admitimos que a e b não possuem divisores em comum isto é MDCab 1 então o produto de a b será constituído de números da forma i a bj onde ia são os fatores de a e jb os fatores que dividem b Daí qualquer divisor de a b pode ser descrito como i j d a b Mas sabemos que 1 2 1a a a são os divisores de a e 1 2 1b b b os divisores de b Pela definição escrevemos 1 2 1 2 a 1 a a a e b 1 b b b s s Agora vamos considerar todos os divisores de i j d a b mantendo o termo ia fixado Teremos i i 1 i 2 i i 1 2 i a 1 a b a b a b a 1 b b b a b s para um único divisor ia de a mas se desejamos todos os divisores precisamos considerar a soma 1 1 1 2 1 2 σ σ σ σ b a b a b a b a a a σ σ σ b a b Um valor interessante que pode ser calculado com a função sigma é n n 1 2 n 1 1 p p 1 p p p 1 p s Já vimos que no caso particular obtemos n n 1 2 r 2 2 1 1 2 TEOREMA 1 EUCLIDES Se n Î tal que 2n 1 é primo onde n 1 então n 1 n a 2 2 1 será um número perfeito dEmonStração Para n Î tal que 2n 1 é primo buscamos mostrar que n 1 n m 2 2 1 é perfeito Mas note que nestas condições a deve ser par Observe ainda que n 1 n MDC2 2 1 1 assim pelo lema anterior escrevemos n 1 n n 1 n 2 2 1 2 2 1 s s s Por hipótese a expressão 2n 1 é um número primo portanto seus únicos divisores são 1 e 2n 1 Segue que atenção Segundo Ore 1948 p 92 a demonstração do teorema de Euclides está presente no IX livro dos Elementos de Euclides 62 História da Matemática σ σ σ σ σ σ a n n n n n n n 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 n n n n n n n n 1 2 1 2 n a TEOREMA 2 Se o número n 1 n a 2 2 1 é par e perfeito então para algum inteiro posi tivo temos que 2n 1 será primo dEmonStração Considerando que n 1 n a 2 2 1 podemos escrever n 1 a m 2 onde m é ímpar e n 1 1 ³ Mostraremos que n m 2 1 é primo Como n 1 n a 2 2 1 é perfeito escrevemos a 2 a s e teremos então n n n 1 n 1 n n m 2 m 2 2a a m2 m 2 m 2 1 m 2 1 s s s s s s Contudo lembramos que devemos considerar que n n n n n m 2 m 2 1 divide m 2 2 1 2 1 s Î deverá dividir pois n 1 n MDC2 2 1 1 Podemos escrever ainda que n n n m 2 m m m 2 1 2 1 s Assim vemos que a expressão que envolve os divisores de m que é a função sm apresenta n m m e 2 1 apenas dois divisores mas isto só pode ocorrer se n m 2 1 for primo e que n m 1 2 1 ou seja m m 1 s Acima tanto no teorema devido a Euclides quanto no teorema demonstrado por Leonhard Euler 17071783 identificamos a expressão 2n 1 que foi chamada de termo geral para os primos de Mersenne p Mp 2 1 em homenagem a Marin Mersenne 15881648 saiba mais Leonhard Euler foi um importante matemático Conheça um pouco mais de sua história acessando o site httpwwwsomatematicacombrbiograf eulerphp você sabia O quinto número perfeito foi encontrado muitos séculos mais tarde mais precisamente no século XVI por Huldalrichus Regius e corresponde a P5 33 350 336 conforme Domingues 1991 p 65 63 AULA 3 TÓPICO 1 que apenas conjecturou que para p 23571317193167127 e 257 temos números primos Ore 1967 p 18 lembra que alguns destes números chamaram a atenção de Euclides Ore observa ainda que Mersenne encontrou vários casos em que não temos primos como 11 M11 2 1 23 89 Para concluir este tópico destacamos os matemáticos gregos Apollonius 262 190 d C e Heron 1º século antes de Cristo Apollonius produziu diversos escritos envolvendo a noção de cônicas As cônicas têm sido estudadas desde de um século e meio após Apollonius Ele introduziu os nomes elipse hipérbole e parábola Figura 4 Geração das cônicas em Simmons 1992 p Heron se tornou famoso pela fórmula da área do triângulo de lados a b e c descrita por A ss as bs b onde s é o semiperímetro Dunham 1990 p 119 lembra que recorrendose a esta fórmula não necessitamos de sua altura Além disso a presença da raiz quadrada e o semiperímetro parece ser ímpar a fórmula parece não apresentar um apelo intuitivo Antes de sua demonstração de fato necessitamos de algumas preliminares presentes nos Elementos de Euclides PROPOSIÇÃO 1 Os ângulos bissectores de um triângulo se encontram num ponto que é o centro do triângulo inscrito obSErvação O ponto onde os ângulos bissetores se encontram é chamado de incentro Além disso esta proposição pode ser encontrada como a proposição IV4 dos Elementos de Euclides 64 História da Matemática PROPOSIÇÃO 2 Se num triângulo retângulo baixamos uma perpendicular do ângulo reto à base os triângulos determinados serão semelhantes obSErvação Esta proposição pode ser encontrada como a proposição VI8 dos Elementos de Euclides PROPOSIÇÃO 3 Num triângulo retângulo o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices dEmonStração Consideremos inicialmente um triângulo retângulo DABC bissectamos o lado AB no ponto indicado na figura 5 de modo que tenhamos a relação BM MC e traçamos o segmento DM perpendicular ao segmento AB Figura 5 ilustração apresentada em Dunham 1990 p 120 No próximo passo desenhamos o segmento pontilhado MA e afirmamos que o MAD MBD D D são congruentes De fato percebemos na figura que os triângulos possuem um ângulo em comum de 90º Além disso possuem ainda o lado DM em comum Deste modo por um caso de congruência LAL entre triângulos retângulos os segmentos AD BD são congruentes Assim por um caso de congruência temos também MA MB e consequentemente os ângulos MAD º MBD Agora observamos que correspondentes isósceles alternos ACM DMB 90º MBD 90º MAD DMA MAC Segue que ACM MAC Conclusão o triângulo DAMC é isósceles consequentemente 65 AULA 3 TÓPICO 1 temos MC MA Mas considerando que os segmentos MA MB e MC possuem o mesmo comprimento o ponto médio da hipotenusa equidista dos três vértices como observamos na figura acima em III Na próxima proposição lidaremos com quadrilátero inscrito em um círculo PROPOSIÇÃO 4 Se AHBO é um quadrilátero com diagonais AB e OH e se os ângulos HAB e HOB são ângulos retos então podemos traçar um círculo passando através dos vértices A O B e H dEmonStração Consideremos AHBO um quadrilátero na figura abaixo Bissectamos os lados BH no ponto M de modo que BM º MH e observamos que o ponto M é o médio na hipotenusa do triângulo retângulo DBAH e do outro triângulo retângulo DBOH Pela proposição anterior este ponto equidista dos pontos A O B e H Figura 6 Trapézio apresentada em Dunham 1990 p 121 Desse modo um círculo centrado em M de raio R MH passará pelos quatro vértices A O B e H o que inscreverá o quadrilátero numa circunferência PROPOSIÇÃO 5 Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito equivalem a soma de dois ângulos retos 66 História da Matemática obSErvação Aparece como a proposição III22 do livro Elementos de Euclides Com essas cinco proposições podemos demonstrar conforme Dunham 1990 o teorema devido a Heron de Alexandria TEOREMA HERON Para um triângulo de lados a b c sua área pode ser calculada por A ss as bs b onde a b c s 2 é o semiperímetro dEmonStração Dunham 1990 p 121 explica que Heron iniciou inscrevendo um círculo num triângulo arbitrário de lados a b e c Seu insight foi usar o incentro do triângulo como um elemento chave para a determinação de sua área DUNHAM 1990 p 121 Considerando o ponto O o centro do círculo inscrito e denotando por r seu raio vemos que r OD OE OF Agora aplicamos a fórmula da área para os seguintes triângulos 1 1 1 Área AOB base altura AB OD c r 2 2 2 D 1 1 1 Área BOC base altura BC OE a r 2 2 2 D 1 1 1 Área COA base altura AC OF b r 2 2 2 D Figura 7 Argumentação geométrica do teorema de Heron descrita por Dunham 1990 p Por outro lado notemos que sua área total é dada por Área ABC Área AOB Área BOC Área COA soma das areas 1 2 1 2 1 2 1 2 c r a r b r r a b c 67 AULA 3 TÓPICO 1 Neste ponto Dunham 1990 destaca que Heron realiza a conexão entre a área e o semiperímetro Recordando o processo de inscrição círculo decompomos o triângulo DABC em três outros congruentes AOD AOF BOD BOE e COE COF D D D D D D que decorrem do caso de congruência AAL encontrado no livro dos Elementos proposição I26 Vol II Desse modo teremos os segmentos correspondentes AD AF BD BE e CE CF No que diz respeito aos ângulos temos também AOD AOF BOD BOE e COE COF Neste ponto Heron estendeu a base do triângulo AB até o ponto G de modo que AG CA Figura 8 Argumentação geométrica do teorema de Heron Em seguida Dunham 1990 p 123 menciona que Heron argumenta BG BD AD AG BD AD CE BD AD CE por constru ªo 1 2 2 2 2 1 BG BD AD AG BD AD CE por construção 2BD 2AD 2CE 2 1 BD BE AD AF CE CFpor congruência 2 1 BD AD BE CE AF CFpor congruência 2 1 1 AB BC AC c a b s 2 2 Consequentemente o segmento BG s possui um comprimento igual ao semiperímetro Sabendo disto podemos descrever com facilidade que s c BG AG s b BG AC BD AD AG AF CF BD AD CE AD CE BD E considerando que AD AF e AG CE CF de modo semelhante obteremos 68 História da Matemática s a BG BC BD AD AG BE CE BD AD CE BD CE AD já que BD BE e AG CE Assim encontramos que o semiperímetro s e as quantidades s a s b e s c comparecem de modo curioso nos segmentos do diagrama Na última parte de sua demonstração Heron inicia com o triângulo inscrito na circunferência entretanto estenderemos o diagrama de Heron para compreendermos melhor o seu raciocínio Heron desenhou OL perpendicular ao segmento OB cortando o segmento AB no ponto K No próximo passo ele construiu o segmento AM perpendicular ao segmento AB encontrando OL no ponto H E finalmente ele desenhou o segmento BH que resulta na determinação do quadrilátero AHBO em que usaremos as proposições anteriores proposição 4 e proposição 5 Figura 9 Desenho explicativo proposto por Dunham 1990 p Sabemos que ângulos opostos possuem soma de dois ângulos retos isto é AHB AOB 2 90º Finalmente examinamos os ângulos relacionados ao incentro O Por meio da congruência discutida anteriormente temos os seguintes ângulos 2 2 2 4 angulos retos a b g ou ainda 2 angulos retos a b g Porém temos b g AOB e assim AOB 2 angulos retos AHB AOB a Concluímos que AHB a o que pode parecer insignificante mas foi empregado de modo crucial por Heron De fato Dunham 1990 p 125 observou que o DCOF é semelhante ao DBHA para os ângulos CFO e BAH ambos ângulos retos Em virtude de um comentário anterior temos AHB a A partir da semelhança escrevemos 69 AULA 3 TÓPICO 1 AB CF AG AH OF r E considerando que CF AG e OF r obtemos a seguinte equação AB AH AG r Dunham 1990 p 125 relata que Heron percebeu que o DKAH é igualmente semelhante ao DKDO E os ângulos KAH e KDO são ambos retos enquanto os ângulos verticais AKH e DKO são iguais Por meio desta semelhança escrevemos AH OD r AH AK AK KD KD r KD Combinando estas últimas equações com obteremos AB AK AG KD Dunham 1990 destaca que neste ponto Heron observou o DBOK com altura OD r E por meio das proposições anteriores proposição 2 sabemos que o DKDO é semelhante ao DODB e assim escrevemos 2 KD r KD BD r r BD Dunham ressalta que os gregos diziam que r é a média proporcional entre as magnitudes KD e BD Neste estágio Heron adiciona a unidade em ambos os lados e obtém AB AK AB AK AB AG AK KD BG AD 1 1 AG KD AG KD AG KD AG KD Esta última equação por meio de uma multiplicação pela fração BG BG do lado esquerdo e BD BD do lado direito resulta em BG AD BG BG AD BD AG KD AG BG KD BD e assim temos 2 2 2 BG BG AD BD BG AD BD r BG AG BG AD BD AG BG KD BD AG BG r r No final Heron junta todas as peças de sua argumentação para obter o resultado desejado Fazendo agora as devidas substituições concluímos 2 2 r s s c s s as b ss as bs c r s ss as bs c fornecendo ao final que A ss as bs b Historiadores identificaram fatos curiosos a respeito desta fórmula interessante encontrada em manuscritos árabes Na escola islâmica Abul Raiban alBirune criticou este resultado devido a Heron embora acreditese ser devido a Arquimedes Todavia não temos encontrado nos escritos de Arquimedes indícios que sustentem tal afirmação Dunham 1990 de modo inesperado afirma que a fórmula de Heron conduz à demonstração do teorema de Pitágoras De fato vamos supor que temos um triângulo retângulo de lados a b e c como vemos na Figura 10 70 História da Matemática Figura 10 Triângulo retângulo em Dunham 1990 p 127 Sabemos que a b c a b c 2a a b c s a a 2 2 2 2 De modo similar escrevemos a b c s b 2 e a b c s c 2 Dunham 1990 p 128 desenvolve algumas manipulações algébricas a b c a b c a b c a b c a b a c b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 Retornando à fórmula de Heron escrevemos A ss as bs b a b c a b c a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a b a c b c a b c Por outro lado sabemos que 1 bc K base altura 2 2 Por outro lado temos então b c a b a c b c a b c b c a b a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 16 4 2 2 2 c a b c 2 4 4 4 Podemos agora simplificar 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 a b a c b c a b c b c a b c a b c a 2 2 2 0 Mas isto implica que 2 2 2 2 2 2 b c a 0 b c a o que verifica nosso resultado Notamos que teo Heron teo Pitágoras e o que poderíamos dizer a respeito de teo Heron teo Pitágoras No próximo tópico discutiremos a noção de comensurabilidade e incomensurabilidade de grandezas 71 AULA 3 TÓPICO 2 E m coerência com o princípio de que tudo é número os pitagóricos davam à aritmética a primazia entre todas as ciências O conhecimento dos números naturais e de suas propriedades era o saber fundamental Assim a geometria pitagórica aparece subordinada à aritmética Um dos aspectos mais curiosos desta subordinação era a convicção de que duas grandezas do mesmo tipo admitiriam sempre uma unidade como divisor comum Desse modo encontramos a seguinte definição dizemse comensuráveis duas grandezas que admitem uma medida comum isto é se a e b são comensuráveis deve existir mn Î tais que a n u e m u b onde u é a medida comum Nosso primeiro exemplo envolvendo a noção de comensurabilidade e incomensurabilidade é relacionado à subtração recíproca entre o lado e a diagonal de um quadrado Os geômetras pitagóricos procuraram saber qual a razão entre o lado TÓPICO 2 Comensurabilidade de grandezas ObjetivO Refletir sobre a noção de grandezas comensuráveis e incomensuráveis 72 História da Matemática e a diagonal de um quadrado Assim consideremos na figura abaixo o quadrado ABCD de lado l e diagonal d Construiremos um segmento de reta l d pois de imediato temos l d Sobre a diagonal do quadrado marque um ponto E de modo que AE AB l Obtemos um segmento EC d l Desse modo obtemos o segundo par de segmentos do processo de subtração Traçamos agora uma perpendicular à diagonal AC pelo ponto E Figura 11 Razão de incomensurabilidade entre o lado e a diagonal Chamamos de F o ponto de intersecção dos segmentos EF com CD Assim observamos que o segmento de reta FD d l e portanto o segmento de reta CF l d l 2l d De fato considerando que o ângulo ECF Ù é a metade de um ângulo de 90º teremos que o triângulo DECF é isósceles determinando que EC EF Além disso como os triângulos DAEF e DADF são congruentes por serem ambos retângulos e hipotenusas e um cateto em comum e EF FD segue que EC EF FD Assim obtemos o terceiro par de segmentos no processo de subtração d l e 2l d Recapitulando até este momento obtemos d e l l e d l d l e 2l d 2l d e 3l 2d 3l 2d e 3d 4l ìïïïï ïïï ïïíï ïïï ïïïïïî Prosseguindo o processo após a obtenção do quadrado EFGC repetimos o processo para seu lado e diagonal Em continuaríamos indefinidamente essa construção geométrica com a determinação de quadrados cada vez menores 73 AULA 3 TÓPICO 2 Figura 12 Construção geométrica dos gregos Observamos que em nunca obteremos dois segmentos de mesmo comprimento sempre um segmento do par será maior do que o outro elemento do mesmo par Isto indica que se pode continuar indefinidamente este processo Mas se admitirmos por contradição que o par inicial em fosse comensurável existiriam nm Î tais que l m u e dn u e estaríamos admitindo então que após um número de passos finitos finalizaríamos este processo o que não pode ocorrer em virtude do que obtemos em que se prolonga indefinidamente assim também não pode ocorrer Logo d e l são incomensuráveis Nosso segundo exemplo envolve a perspectiva de Aristóteles Consideremos de novo o quadrado ABCD de lado l e diagonal d Admitindo que o lado e a diagonal constituemse em segmentos comensuráveis de acordo com a definição existem dois números naturais e um segmento u que os mede ao mesmo tempo de modo que l m u e dn u Figura 13 Construção geométrica analisada por Aristóteles 74 História da Matemática Observamos que os números nm Î não podem ser ambos pares com efeito se tanto m como n fossem pares então o segmento de reta 2 u ainda seria uma medida de l e d ao mesmo tempo Deste modo poderíamos tomar sucessivamente as medidas u 2u 4u 8u 16u 32u e acabaríamos por obter segmentos maiores do que l e d e que portanto não os podem medir Teremos de antes disso obter uma medida comum a que correspondam números inteiros positivos dos quais pelo menos um é ímpar Desenhamos na figura 13 um quadrado de lado d É fácil concluir que este novo quadrado tem área dupla da do quadrado inicial Basta ver que a Figura 13 construída em II pode ser decomposta como em III o quadrado inicial em I se decompõe em apenas quatro triângulos retângulos enquanto o quadrado de lado d se decompõe em oito destes triângulos retângulos Deste modo as áreas dos quadrados de lado l e d construído em II serão comensuráveis mais precisamente o quadrado de lado u é medida comum dos quadrados cujos lados são l e d o quadrado de lado l equivale no que a área diz respeito a 2 m quadrados de lado u e o quadrado de lado d equivale a 2 n quadrado de lado u Portanto o número 2 n é o dobro do número 2 m assim o número 2 n é par E assim n será par o que implica que m deverá ser ímpar Mas se n é par 2 n será múltiplo de quatro e sendo o dobro de 2 m este será múltiplo de quatro 2 m será par e finalmente m será par o que implica uma contradição pois m não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo Estrada et al2000 p 246 destaca que possivelmente este caso foi o primeiro relacionado à demonstração de uma proposição por redução ao absurdo presente nos Elementos de Euclides Mas não nos leva a crer que corresponda ao modo como a incomensurabilidade do lado e da diagonal de um quadrado foi descoberta De fato dificilmente um geômetra que nem sequer suspeitasse da existência de grandezas incomensuráveis se lembraria de seguir o raciocínio indireto acima exposto Vejamos mais um exemplo exaustivamente analisado pelos gregos que diz respeito a não comensurabilidade entre a diagonal e o lado do pentágono regular Verificaremos o seguinte problema em um pentágono regular qualquer o lado e a diagonal são segmentos incomensuráveis 75 AULA 3 TÓPICO 2 dEmonStração Figura 14 Pentágono regular 1º paSSo Mostrar que as diagonais de um pentágono regular qualquer formam um outro pentágono regular contido no primeiro e que são válidas as relações métricas na Figura 14 Portanto seja o pentágono regular ABCDE e suas diagonais ACADEBEC e BD Da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono regular temos para esse polígono Si 180º n 2 Si 180º 5 2 540º Þ Logo cada ângulo interno do pentágono regular ABCDE é igual a 108º Temos ainda o CDE isósceles com CD DE Portanto ˆ ˆ ECD CED Sendo assim temos ECD CED CDE ECD CDE ECD ECD ˆ ˆ ˆ ˆ º ˆ ˆ º º ˆ 180 2 180 2 180 108 36º De modo análogo ˆ ACB 36º Por outro lado temos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ACB ACE ECD 108º 36º ACE 36º 108º ACE 36º Þ Þ Portanto os três ângulos formados pelas diagonais e lados do pentágono regular ABCDE formam ângulos de 36º Temos no CE B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BCE CBE CE B 180º 36º CE B 36º 180º CE B 108º Þ Þ Como ˆ CE B é oposto pelo vértice com ˆ D E A logo ˆ D E A 108º e pelo mesmo motivo os outros ângulos internos do pentágono A B C D E têm a mesma medida Por outro lado ˆ D E A 108º é suplementar de ˆ CE A logo ˆ CE A 72º Da mesma forma ˆ ˆ ˆ ˆ CA E DA B DB A BE D medem 72º cada um Sendo assim temos 76 História da Matemática CE CA DA DB Seja essa medida comum igual a d tais triângulos são congruentes CE A DA B EB C AC D e BD E Logo A B B C C D D E E A Portanto está demonstrado que o pentágono A B C D E é regular Seja s a medida do lado desse pentágono Assim como ocorre no pentágono maior ˆ A D E 36º e o CD A é isósceles Sendo assim CA A D d e todas as diagonais do pentágono regular A B C D E valem d Concluindo o CD B é isósceles pois ˆ ˆ CD B CBD 72º e BC CD s d 2º paSSo Mostrar que o lado e a diagonal do pentágono regular são segmentos incomensuráveis Para tanto usaremos a seguinte notação 1a e 1 d respectivamente para o lado e a diagonal do pentágono maior e 2a e 2 d respectivamente para o lado e a diagonal do pentágono menor No 1º passo foi mostrado que o lado do pentágono menor somado a sua diagonal é igual ao lado do pentágono maior portanto temos 1 2 2 1 2 2 a a d I d a 2d II ì ïïíï ïî De II temos 1 d 2 2d e ainda manipulando I e II temos 2 1 1 2 1 1 2 1 a 2a d d d a 1 d d 2 ìïïï ïïïï íïïïï ïïïî Do pentágono menor se traçarmos as suas diagonais obtemos outro pentágono regular valendo as mesmas propriedades com lado 3a e diagonal 3 d Como valem as mesmas propriedades temos 2 3 3 2 3 3 a a d I d a 2d II ì ïïíï ïî De II temos 2 d 3 2d e ainda manipulando I e II temos 77 AULA 3 TÓPICO 2 3 2 2 3 2 2 3 2 a 2a d d d a 1 d d 2 ìïïï ïïïï íïïïï ïïïî Continuando de forma indefinida obtemos pentágonos regulares cada vez menores com lados 1 2 3 n a a a a e respectivas diagonais 1 2 3 n d d d d obedecendo as relações acima Para aplicar o Método da Exaustão vamos supor que 1a e 1 d são segmentos comensuráveis portanto existe um e 0 tal que 1a e 1 d são múltiplos de e Sendo assim temos 1a n e e 1d m e com mn Î N Logo 2a e 2 d também são múltiplos de e pois 2 1 1 2 2 1 1 2 a 2a d a 2n m 2n m d d a d m n m n ì Þ e e e ïïíï Þ e e e ïî De modo análogo os lados 3 n a a e respectivas diagonais 3 n d d também serão múltiplos de e Obtemos k d múltiplo de e para todo k logo k d e Como k 1 d 1 dk 2 para todo k pelo Método da Exaustão concluímos que existe um k tal que k d e Portanto chegamos a uma contradição pois supomos que o lado e a diagonal do pentágono regular são segmentos comensuráveis Sendo assim o lado e a diagonal de um pentágono regular qualquer são segmentos incomensuráveis Estrada et al 2000 p 246 lembram que A constatação de que nem todos os segmentos de reta admitem uma medida comum abalou profundamente os princípios da filosofia pitagórica Afinal nem tudo é número por exemplo a geometria não podia ser reduzida à aritmética As questões de geometria deveriam ser abordadas de outro modo O teorema de Talles é enunciado do seguinte modo dadas duas retas r e s intersectandose num ponto O e duas retas paralelas p e q intersectando r nos pontos A e B respectivamente e s nos pontos C e D respectivamente vale a pro porção OA OC AB CD 78 História da Matemática Uma das consequências deste abalo epistemológico foi a separação dos domínios numérico e geométrico A matemática cindiuse em dois domínios a aritmética e a geometria Alguns historiadores matemáticos chamam este momento de divórcio grego Vejamos nosso último exemplo envolvendo a noção de comensurabilidade relacionada ao teorema dito de Tales Os primeiros pitagóricos desenvolveram um geometria fundamentada nos princípios aritméticos e em particular na teoria das proporções de números naturais Um resultado importante nessa teoria geométrica foi o que hoje conhecemos como Teorema de Talles 625547 a C Simmons 1992 p21 lembra que Talles foi um dos mais produtivos filósofos présocráticos da antiga Grécia A história marca que o mesmo em visita ao Egito enquanto caminhava nas proximidades das pirâmides calculou sua altura aproximada usando semelhança de triângulos obtidos por meio das sombras No primeiro caso consideraremos de modo particular quando OA AB Pelo ponto C traçamos uma reta paralela à reta r e seja o ponto E a intersecção desta reta com a reta q Como ABEC é um paralelogramo AB CE e portanto OA CE Pela igualdade dos ângulos correspondentes determinados por um sistema de duas retas paralelas por uma reta transversal temse a igualdade dos seguintes ângulos COA DCE Ù Ù E também teremos OAC CED Ù Ù Logo os triângulos DOAC e DCED serão congruentes e portanto teremos OC CD Consequentemente neste caso particular vale a proporção OA OC AB CD Figura 15 Caso comensurável do teorema de Talles 79 AULA 3 TÓPICO 2 Admitamos agora que os segmentos de reta OA e AB possam ser distintos mas suponha que os mesmos sejam comensuráveis Seja então de acordo com a definição formal u a medida comum a estes segmentos Digamos OAm u e AB n u logo teremos OA m AB n Reparem que os segmentos OA e AB decompõem se em m e n segmentos de reta Figura 15II respectivamente todos iguais a u As paralelas ao segmento AC traçadas pelas extremidades de cada um destes segmentos determinam na reta OD as extremidades de segmentos de reta todos iguais entre si em virtude do caso particular demonstrado há pouco m dos quais compõem OC e n dos quais compõem CD Consequentemente teremos OC m CD n Concluise a partir de e que OA m OC AB n CD Deste resultado decorre facilmente que dada a situação acima descrita vale também a proporção OA AC OB BD ESTRADA ET AL 2000 p 263 Com efeito traçase por A uma reta paralela que intersecte BD num ponto F Figura 16III Pela parte já demonstrada do teorema poderemos escrever BA BF AO FD de onde se conclui que OA AO FD FD OB BA FD BF FD BD Finalmente temos OA AC OB BD Figura 16 Teorema de Talles 80 História da Matemática Observese que tal como acontece com a primeira demonstração a segunda demonstração do teorema dito de Talles não está ainda demonstrada com a generalidade possível Apenas se estabeleceu o resultado particular correspondente ao caso em que os segmentos de reta envolvidos são comensuráveis ESTRADA ET AL 2000 p 263 No próximo tópico estudaremos um modelo matemático que proporciona a verificação de vários fatos e propriedades na Matemática básica escolar 81 AULA 3 TÓPICO 3 O Axioma de Eudoxo de Cnido 408 aC 355 aC provável criador do cálculo integral foi criado com o objetivo de poder comparar grandezas irracionais Sua formulação original não pode ser considerada rigorosa para os padrões atuais mas deu ensejo por exemplo à axiomatização dos números reais bem como a posterior construção deste conjunto através dos cortes de Richard Dedekind 1912 AXIOMA DE EUDOXO Sejam a e b dois números positivos quaisquer então existe um número inteiro positivo n tal que nb a dEmonStração Temos nb a com a b Î R Da Tricotomia vale uma das condições TÓPICO 3 O método da exaustão ObjetivO Analisar a forma de raciocínio grego que inspirou a teoria atual sobre limites 82 História da Matemática a b Escolha n 1 n Þ b b a Logo nb a a b Em algum momento vai existir um n tal que nb a pois bb n Þ b a Figura 17 Semireta auxiliar na ideia de nβ α a b Escolha n 1 MÉTODO DA EXAUSTÃO OU PRINCÍPIO DE EUDOXO Sejam M 0 M 1 M 2 M 3 números positivos tais que M 1 1 2 M 0 M 2 1 2 M 1 M 3 2 1 M 2 seja e 0 então existe um número inteiro positivo N tal que M N e dEmonStração Escolha e 0 e M 0 0 Do Axioma de Eudoxo N tal que Ne M 0 Por outro lado N 1 e Ne M 0 Portanto N 1 e M 0 Sendo assim temos 2N N N N e e e ³ e e M 0 Þ 2Ne M 0 Þ N e 1 2 M 0 M 1 Para N 1 e M 1 e está demonstrado Agora é preciso demonstrar se N ³2 Como Ne M 1 temos 2 N 1 2N 2 N N 2 N N 2 e e e e e e e e Como N ³2 temos Para N 2 N N 2 N Þ e e e e Para N 2Þ N N 2 e e Ne Logo N N 2 N e e ³ e M 1 2 N 1 Þ e M 1 N 1 Þ e 1 2 M 1 M 2 Para N 2 e M 2 está demonstrado Agora vamos a N ³3 Como N 1 e M 2 temos 2 N 2 2N 4 N N 3 N 1 N 3 e e e e e ee e e Observe que para N ³3 N 3 0 e ³ Por outro lado N 1 e M 2 Logo 2 N 2 e ³ N 1 e M 2 N 2 Þ e 1 2 M 2 M 3 Para N 3 e M 3 e está demonstrado Agora passamos a N ³ 4 Como N 2 e M 3 temos 2 N 3 2N 6N N N 4 2 N 4 N 2 e e e e e e e e e 83 AULA 3 TÓPICO 3 Observe que para N ³ 4 N 4 0 e ³ Por outro lado N 2 e M 3 Logo 2 N 3 e ³ N 2 e M 3 N 3 Þ e 1 2 M 3 M 4 Para N 4 e M 4 e está demonstrado Se continuar o raciocínio chegase a qualquer inteiro positivo N que se queira ou seja N N 1 e M N ou e M N Para finalizar este tópico salientamos que usando o fato de que o volume de um prisma qualquer é igual à área de sua base multiplicada pela sua altura o Método da Exaustão nos permite mostrar que o volume de uma pirâmide qualquer é igual à terça parte do produto da área de sua base pela sua altura Usando o fato de que o volume de um prisma qualquer é igual à área de sua base multiplicada pela altura o Método da Exaustão nos permite obter o mesmo resultado para o cilindro De modo análogo podemos mostrar que o volume de um cone circular qualquer é igual à terça parte do produto da área de sua base pela altura Além disso os antigos sabiam da existência da constante p como razão entre a área de um disco qualquer e o quadrado de seu raio A princípio os matemáticos só tinham justificativas heurísticas para isso mas com o Método da Exaustão puderam construir demonstrações 84 História da Matemática Olá alunoa Diferentemente da matemática grega outros povos se destacaram por produzir uma matemática essencialmente ligada às necessidades do diaadia Dentre alguns povos que proporcionaram alguma contribuição os chineses merecem lugar de destaque Será a sua matemática o objeto desta nossa lição Objetivo Conhecer a história da Matemática desenvolvida no continente oriental AULA 4 A matemática produzida no oriente 85 AULA 4 TÓPICO 1 TÓPICO 1 A matemática produzida pelos chineses ObjetivO Apresentar as construções especiais que envolvem pirâmides desenvolvidas pelos chineses egípcios e babilônicos D iscutiremos agora um pouco da matemática chinesa Sublinhamos que a abordagem será breve e o enfoque será dado aos métodos matemáticos mesmo que em determinados casos como nos alerta Martzloff 1987 o objetivo de determinados métodos não tenha sido esclarecido completamente Para qualquer pessoa escrever sobre a história de uma ciência as formas de raciocínio constituem a essência das questões de ordem da suprema importância Contraditoriamente a matemática chinesa contraria tais preceitos ao insistir na apresentação de resultados e a ideia inicial a raison dêtre permanece pouco esclarecida MARTZLOFF 2006 p 69 Segundo Gaspar 2003 p 181 o comentarista do manuscrito chinês Liu Hui utiliza quatro sólidos elementares chamados de lifang quiandu yangma e o bienuam Para se obter o quiandu interceptamos o lifang com um plano que contém a diagonal dividindo o sólido em duas pirâmides congruentes Figura 1 Repare que 1 lifang2quiandu 86 História da Matemática Figura 1 Representação da construção inicial GASPAR 2003 p 181 Em seguida ao interceptar o prisma quiandu com um plano determinado pelo diagonal da face lateral e da face não perpendicular à base do quiandu obteremos a pirâmide yangma e a bienaum Figura 2 Figura 2 Prisma quiandu GASPAR 2003 p 182 Repare agora que 1quiandu 1 yangma 1 bienaum Finalmente se interceptarmos a pirâmide yangma com um plano que contém a diagonal da base e o vértice que não pertence à base obteremos a pirâmide yangma e a bienaum Figura 3 Figura 3 Decomposição da pirâmide segundo Gaspar 2003 p 182 Concluímos assim a relação 1yangma 2bienaum Gaspar 2003 explica a importância de se adotar os nomes dos sólidos segundo os textos de história da matemática chinesa consultados Agora denotemos por Vquiandu Vyangma e Vbienaum os volumes do quiandu da pirâmide yangma e da pirâmide bienaum 87 AULA 4 TÓPICO 1 Sabemos que quiandu 1 V 2 ab h e que valem as relações quiandu yangma bienaum V V V yangma bienaum V 2 V Segue que 1 2 1 2 3 2 ab h V V V V V V quiandu yangma bienaum yangma yangma yang ma Vyangma ab h 1 3 Por outro lado o volume da bienaum pode ser calculado por yangma bienaum bienaum área da base h 1 1 1 ab h V 2 V V ab h 3 2 3 3 No cálculo do volume da pirâmide yangma Liu Hui não satisfeito com as manipulações algébricas também usa a ideia de passagem ao limite e o método da exaustão GASPAR 2003 O procedimento de Liu Hui pode ser descrito do seguinte modo Figura 4 interceptando a pirâmide com um plano paralelo à base e três planos perpendiculares à base passando pelos pontos médios das arestas decompomos a pirâmide dada em um paralelepípedo duas pirâmides semelhantes e dois quiandu Se V é o volume da pirâmide dada temos paralelepipado quiandu 1 V V 2 V 2 V onde Vparalelepipado é o volume do paralelepípedo de arestas a b h 2 2 2 e Vquiandu o volume do quiandu de base o retângulo de lado a 2 e b 2 e altura h 2 Portanto temos paralelepipedo 3 abh V 2 Figura 4 Decomposição da pirâmide GASPAR 2003 p 183 Assim a partir de paralelepipado quiandu 1 V V 2 V 2 V obtemos V V V V V V paralelepipado quiandu paralelepipado paralel 2 2 1 eepipado paralelepipado V V V 2 2 2 1 1 1 1 3 2 abh abh 2 2 V 2 V 2 2 88 História da Matemática Figura 5 Método chinês GASPAR 2003 Repetimos o mesmo processo para a pirâmide de volume 1V e obtemos as relações V V V V V V paralelepipado quiandu paralelepipado paralel 1 2 2 2 epipado paralelepipado V V V 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 abh abh 2 2 V V 2 2 V 2 2 Segue que 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 abh abh abh abh abh V 2 V 2 2 2 V 2 2 V 2 2 2 2 2 æ ö ç ç ç çè ø 2 2 2 2 2 abh abh 2 V 2 2 De modo semelhante obteremos 2 V Assim repetindo processo um número de n vezes temos V abh abh abh abh abh V n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 abh V n n n 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 onde n V é o volume do yangma de dimensões n n n a b h 2 2 2 Repare que se utilizamos métodos de passagem ao limite fazendo n obteremos n n Lim V 0 e n n n 2 2 2 2 2 n 1 abh 1 1 1 Lim 1 2 V 2 2 2 2 æ ö ç ç ç çè ø Neste cálculo o comportamento do produto n n n Lim 2 V é omitido por Gaspar 2003 p 185 uma vez que teremos também n Limn 2 Assim desprezando este termo escrevemos 89 AULA 4 TÓPICO 1 n 2 2 2 2 2 n 1 2 2 2 abh 1 1 1 abh 1 abh 1 abh Lim 1 1 3 2 2 2 2 2 2 3 1 4 2 æ ö ç æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø ç çè ø Gaspar 2003 p 185 lembra que as pirâmides são consideradas uma prova visual da capacidade matemática dos egípcios Eles construíram numerosas pirâmides como o lugar do sepultamento de faraós e é de se estranhar que não existe nenhum documento explícito sobre o procedimento do cálculo do seu volume Figura 6 Pirâmides congruentes GASPAR 2003 p185 A partir da Figura 7 abaixo inferimos que 3 3 2 2 cubo piramide piramide piramide 3 b 3 4 b 1 b b h V V V V b 4 2 4 3 8 3 2 3 æ ö ç ç çè ø onde sua altura é dada por b h 2 Outro método de se construir 6 pirâmides congruentes de base quadrada de lado b e altura b h 2 é juntálas para formar um cubo conforme mostra a Figura 7 Figura 7 Decomposição da pirâmide GASPAR 2003 90 História da Matemática Neste caso temos 2 piramide 2 2 cubo cubo piramide piramide piramide b h h 1 V 6 V b h 6 V V 6b 2 3 Gaspar 2003 p 191 lembra que num tablete babilônico encontramos o cálculo do volume de uma pirâmide do tipo abh V 3 Aparentemente eles estavam familiarizados com esta fórmula De fato em alguns textos encontramos hb c V a 3 2 æ ö ç ç çè ø que representa o volume reproduzido na Figura 8 Figura 8 Decomposição da pirâmide GASPAR 2003 p 191 Apesar de não encontramos no texto como chegaram a tal resultado a decomposição pode ser deduzida usandose o método comum na antiguidade de decompor em outros sólidos de volumes conhecidos Figura 9 Podemos decompor o sólido em duas pirâmides de bases retangulares de lados a e b e altura h GASPAR 2003 p 192 Figura 9 Decomposição do sólido GASPAR 2003 p 192 O volume do sólido obtido é a cb bch 2h bch abh bch bch abh bh c V a 2 3 2 2 3 3 6 3 3 2 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 91 AULA 4 TÓPICO 1 Encontramos um método usado por Liu Hui para a fórmula chinesa da barraca de base quadrada que era dada por 2 2 1 V a ab b h 3 Figura 10I O método reside em separar o sólido em 1 lifang 4 quiandu e 4 yangma Figura 10II Figura 10 Método descrito por Gaspar 2003 Gaspar 2003 p 198 orienta que devemos inverter alguns dos objetos para obter a figura representada a seguir Chegase a 2 2 2 2 1 a b 1 1 V abh 4 h abh a b h abh a 2ab b h 3 2 3 3 æ ö ç ç çè ø Finalmente escrevemos 2 2 1 V a ab b h 3 Figura 11 Decomposição da pirâmide GASPAR 2003 p 198 Agora em vez da posição descrita na Figura 11 vanos considerar a posição descrita em Figura 12 Usando agora esta outra argumentação obteremos 2 2 2 2 2 4 a b b a a b b a 1 a b V h h h 3 2 2 2 2 3 2 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø è ø que é a fórmula babilônica para o volume do tronco da pirâmide GASPAR 2003 p 200 92 História da Matemática Figura 12 Método descrito por Gaspar 2003 p199 Figura 13 Base do prisma GASPAR 2003 p 199 Para calcular o volume de vários sólidos Liu Hui utiliza métodos semelhantes aos que acabamos de descrever Por exemplo o volume do Chu Méng conforme representado na Figura 14 Neste caso teremos V h a c b c b h h ab cb cb h bh ChuMeng 4 3 2 2 2 3 2 6 2 a c c bh a c 2 3 6 2 a qual coincide com a fórmula babilônica Figura 14 Volume do Chu Méng GASPAR 2003 93 AULA 4 TÓPICO 1 Na figura 15 que seguem vemos outros sólidos estudados pelos chineses O primeiro chamado de Xian Chu pode ser decomposto em dois ou quatro tetraedros com um prisma entre eles Segundo Gaspar 2003 o Fang Zhui é calculado como o volume de quatro pirâmides No ultimo caso do Chu Thong como o volume de dois cubos oito prismas e quatro pirâmides Figura 15 Objetos analisados pelos chineses GASPAR 2003 p 200 Entre as fórmulas apresentadas para calcular volumes de sólidos na quinta seção do livro Jiuzhang Suansu China encontramos o cálculo do volume de um tronco de cone Tomando a grosseira aproximação de 3 p m é escrito V r r r r h r r r r 1 36 2 2 4 4 36 4 4 4 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 π π π π π πh r r r r 3 1 2 1 2 2 2 Figura 16 Volume do tronco GASPAR 2003 p 221 Em relação a esta argumentação Gaspar 2003 p 221 destaca que A partir do conhecimento da fórmula chinesa para o cálculo do volume do tronco de cone e do fato de que eles usavam para p o valor 3 chegar a uma fórmula que envolva o número p permite encontrar um candidato para o cálculo do volume do tronco de cone e demonstrálo usando o método dedutivo Mais adiante Gaspar destaca que Liu Hui desenvolve um comentário acerca do Jiuazhang Suanshu relativo ao cálculo do volume do tronco de cone e compara o volume de um pavilhão circular com um pavilhão quadrado como vemos na figura a seguir 94 História da Matemática Figura 17 Estudo do cilindro feito por Gaspar 2003 Para realizar tal tarefa Gaspar 2003 p 222 explica que Liu Hui usa o fato de que a razão entre o volume dos dois sólidos é igual a razão entre a área do círculo e a do quadrado circunscrito que ele usa como sendo 3 4 Assim temos pavilhão circular área do circulo 3 pavilhão quadrado área do quadrado circunscrito 4 Na sequência o autor discute o método chinês para a determinação do volume de uma esfera Antes porém Gaspar indica que o teorema relacionado a tal propriedade pode ser encontrado no Livro de Euclides Livro XII Gaspar 2003 p 223 destaca que considero que o método utilizado por Zu Geng para calcular o volume da esfera é um dos exemplos significativos da História da Matemática que deve ser incluído no estudo do Princípio de Cavalieri como no da esfera O cálculo do volume da esfera possui uma história longa e rica na China O Jiuzhang Suanchu por exemplo traz fórmulas para o cálculo do volume de vários corpos e entre estas a fórmula 3 9 V 16 D para uma esfera de diâmetro D Esta fórmula é aplicada na solução de dois problemas Duas justificativas aparecem para tal formulação uma de natureza empírica e outra de natureza heurística Com respeito à argumentação empírica Gaspar 2003 p 224 destaca que os antigos raciocinavam em termos do seguinte quociente 3 esfera esfera esfera 3 cubo V V 9 9 9 V D V 16 D 16 16 Þ Þ onde D é o diâmetro de um cubo No que se refere à argumentação heurística Gaspar 2003 p 224 comenta ainda que Um círculo ocupa 3 4 da área do quadrado que o circunscreve Passando do círculo para o cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro do círculo e do quadrado para o cubo de aresta igual ao lado do quadrado temos que o volume do cilindro ocupa 3 4 do volume do cubo 95 AULA 4 TÓPICO 1 Na sequência expressando em notações modernas teremos circulo quadrado cilindro cubo 3 3 A A V V 4 4 Þ Mas o volume da esfera é igual a 3 4 do volume do cilindro que a circunscreve assim esfera cilindro cubo cubo 3 3 3 9 V V V V 4 4 4 16 é ù ê ú ê ú ë û Mais adiante Gaspar 2003 p 225 sublinha apesar dos comentários de Liu Hui com relação à necessidade de verificação da razão 9 16 entre o volume da esfera e do cubo de aresta igual ao diâmetro da esfera este valor constante permanece invariante por diferentes dinastias Mas vejamos outra argumentação para o mesmo resultado devido ao matemático chinês Zu Geng Gaspar 2003 p 227 declara que seu método segue os seguintes passos 1ª Inscreva a esfera de raio r em um cubo 2ª Inscreva no cubo um par de cilindros cujos eixos são perpendiculares entre si e paralelos à base do cubo 3ª Estes cilindros circunscrevem a esfera 4ª A superfície mou he fang gai dupla abóbada interseção dos dois cilindros também circunscreve a esfera Qualquer plano horizontal intercepta a dupla abóbada em um quadrado e a esfera em um círculo inscrito neste quadrado Figura 18 O método de Zu Geng descrito por Gaspar 2003 p 227 Dividindo o cubo em 8 partes iguais cada um dos pequenos cubos da divisão fica decomposto em um oitavo da dupla abóbada mais três peças Na sequência consideramos um plano que intercepta o cubo a uma altura h da base 96 História da Matemática Figura 19 O método de Zu Geng descrito por Gaspar 2003 p 227 Figura 20 O método de Zu Geng descrito por Gaspar 2003 p 227 Considere MR ST x Deste modo teremos ÁreaMNPQ ÁreaSTVQ 2 ÁreaMRTS ÁreaRNUT Assim escrevemos que Área STUV x Área MNPQ r Área MRTS Área RNUT r x 2 2 2 2 2 h2 Por outro lado a área da interseção da pirâmide com um plano paralelo à base e a uma distância h do vértice é 2 h Assim temos Figura 21 O método de Zu Geng descrito por Gaspar 2003 p 228 97 AULA 4 TÓPICO 1 Gaspar 2003 p 229 conclui a seção mencionando que Considero que em um curso de formação de professores conhecer a gênese e o desenvolvimento histórico das ideias noções e métodos utilizados por diversas culturas para resolver os problemas que emergiram das necessidades desta cultura daria a eles condições para trabalharem essas ideias noções e métodos no ensino fundamental e médio De fato ao propiciar aos professores alunos a oportunidade de se familiarizarem com um dos caminhos históricos que levaram os antigos chineses da descoberta empírica de uma fórmula para o cálculo do volume da esfera até à demonstração matemática de uma outra fórmula alguns séculos depois da descoberta da primeira estaríamos permitindo que estes acompanhem um processo da arte da descoberta e sintamse encorajados a desenvolverem seus próprios processos de descobrir resultados e métodos para resolver problemas Seria interessante que o professoraluno tivesse a oportunidade em sua formação de comparar o método utilizado pelos chineses com os utilizados por Arquimedes e outros e acompanhar o desenvolvimento histórico deste método através da análise dos exemplos significativos que aparecem no decorrer da história Para concluir esta parte em que apresentamos informações interessantes sobre a matemática chinesa destacamos o matemático Zhu Sijie pertencente a uma dinastia Mongol Katz 1998 p 209 apresenta o seguinte diagrama e fornece as seguintes relações descritas numa moderna notação d a b 24 a c 9 ì ïïíï ïî O matemático Zhu Sijie obtém 2 2 2 a b c d b c a ìï ïíï ïî Katz 1998 salienta que infelizmente como observamos nos textos chineses seu método de solução é brevemente comentado e no final o autor apresenta de modo resumido a equação 5 4 3 b 9b 81b 729b 3888 0 Verifique Em seu método Zhu Sijie não esclarece como obtém uma solução b 3 Katz 1998 p 210 acrescenta que Os matemáticos chineses eram habilidosos na solução de vários problemas algébricos Muitos métodos provavelmente eram originados a partir de considerações geométricas porem no final explicitados apenas em termos de procedimentos algébricos A partir destes textos observamos que aparentemente a matemática escolar chinesa se voltava à solução de problemas da própria burocracia chinesa 98 História da Matemática Figura 22 Problema atacado por Zhu Sijie conforme Katz 1988 Para concluir este tópico sublinhamos as considerações de Martzloff 1987 p 291 quando explica que Seria interessante comparar a demonstração devida à Arquimedes e a prova fornecida por Zu Xuang com respeito ao método para a determinação de volume das esfera Todavia apenas um antigo e incompleto manuscrito permanece que foi divulgado pela primeira vez em 1899 pelo paleógrafo grego Papadopulos Cerameus que nos reporta sobre manuscritos gregos Infelizmente partes importantes do manuscrito não foram resgatados Observamos a partir do depoimento de autores como Gaspar 2003 Martzloff 1987 os traços semelhantes da matemática produzida por povos de origem distinta e em tempos distinto no período histórico O pitoresco e que nos chama a atenção é que as ideias matemáticas envolvidas são as mesmas apesar de observarmos a aplicação de modos distintos de resolução Na próxima seção voltamos a discutir a matemática grega 99 AULA 4 TÓPICO 2 TÓPICO 2 Construções e formulações lógicoaxiomáticas gregas ObjetivO Apresentar alguns resultados matemáticos devidos à a Euclides N este tópico nos deteremos em algumas construções lógicoaxiomáticas devidas a Euclides de Alexandria que foi professor matemático platônico e escritor possivelmente grego muitas vezes referido como o Pai da Geometria TEOREMA EUCLIDES Qualquer divisor comum de dois números a e b divide também o seu maior divisor dEmonStração Para verificar esta demonstração Ore 1948 p 41 introduz o procedimento conhecido por algoritmo euclidiano que ocorre no sétimo livro dos Elementos 300 antes de Cristo Mas certamente tinha uma origem anterior Dados dois inteiros ab com a b Î ³ Na primeira divisão obteremos 1 1 1 a q b r com 0 r b O próximo passo é realizar a divisão de b por 1r obtendose 2 1 2 2 1 b q r r com 0 r r Realizando mais um passo teremos 1 3 2 3 3 2 r q r r com 0 r r Mas agora sublinhamos que se continuarmos o mesmo processo construiremos a seguinte sequência decrescente de restos 1 2 3 n b r r r r 0 ³ ³ ³ ³ ³ ³ E é de se esperar que em algum momento deveremos obter que rn 1 0 Mas assim construímos as seguintes relações 100 História da Matemática 1 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 n 2 n n 1 n n 1 n 1 n a q b r b q r r r q r r r q r r r q r r r q r ì ïïïï ïïï ïïïï íïïïïïï ïïïï ïî Assim vimos a argumentação que nos fornece uma ideia para o algoritmo da divisão Vejamos agora a demonstração propriamente dita Para tanto consideremos um número b 0 Î Se a Î então ou a é múltiplo de b ou está entre múltiplos consecutivos de b isto é b q a bq 1 Isto significa que q 1 será o menor elemento de modo que n tal que b na P Î Assim o conjunto P ¹Æ pois contém a 1 visto que b 1 a b a 1 a 1 b a b b a 1 b a b a a 1 b a ³ ³ ³ Segue a 1 Î P Por outro lado vemos que b q a e assim existe r Î tal que a b q r Mostraremos agora que r b Se ocorresse o contrário digamos a b q r r a b q b a b q bq b bq a b bq b q 0 1 segue que a b 1 q ³ o que não é possível em virtude de Deste modo segue que a b q r onde r b Domingues 1991 p 32 lembra que o que foi deduzido até o momento pode ser sintetizado do seguinte modo Dados ab com b 0 Î ¹ existem qr Î de modo que a b q r onde r b Veremos agora uma questão de unicidade Neste sentido supor que ocorre 1 1 a b q r b q r onde r b e 1r b Admitamos que se pudesse ter a seguinte possibilidade 1r r ¹ digamos por exemplo que 1 0 r r b uma vez que 1 1 r b 0 r r b r b Pode outro lado observamos a seguinte igualdade 1 1 1 1 b q r b q r bq r r b q Mas isto implica que divide 1 1 b bq b q r r b divide a expressão 1 r r Entretanto isto não pode ocorrer uma vez que em vimos que 1 0 r r b Assim chegamos a uma contradição devido ao fato de havermos feito a suposição de que 1r r ¹ logo 1r r Assim teremos ainda b 0 1 1 1 1 b q r b q r b q b q q q ¹ Uma extensão imediata deste teorema é a possibilidade de obter o MDC entre dois números De fato supor que 1 1 a b q r onde 1r b se ocorrer que 1r 0 a b q mdcab b Por outro lado se 1 0 r b ¹ dividimos b por este resto 101 AULA 4 TÓPICO 2 obtendo 1 2 2 b r q r onde 2 1 0 r r De modo semelhante caso 2 1 0 r r encontramos de novo o nosso MDC Caso contrário teremos 2 1 0 r r Assim dividiremos 1r por 2r e teremos 1 2 3 3 r r q r onde 3 2 0 r r Burton 2006 p 176 argumenta que se 1 2 3 n b r r r r 0 ³ obtemos as seguintes equações 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 n 3 n 2 n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n n n n 1 n 1 n n 1 a b q r b r q r r r q r r r q r r r q r onde 0r r r r q r onde 0r r r r q 0 A partir destas equações encontraremos n n 2 n n 1 r r q r Com respeito às aplicações deste algoritmo Ore 1948 p 44 desenvolve várias propriedades relacionadas ao MDC Vejamos os teoremas dEmonStração Desde que a e b sejam relativamente primos entre si Ore 1948 p 44 escreve 1 1 1 2 2 n 2 n n 1 a q b r b r q r r q r 1 Uma vez que o último resto obtido pelo algoritmo euclidiano nr 1 Na sequência o autor multiplica todas as equações por c obtendo 1 1 1 2 2 n 2 n n 1 a c q b c r c b c r q c r c r c q r c c Agora usando o fato de que a c é divisível por um fator b a partir de nossa hipótese observando que 1 1 a c q b c r c concluímos que 1r c é divisível por b Em seguida o autor recorre à segunda equação 1 2 2 b c r c q r c e concluímos que 2r c Prosseguindo o mesmo raciocínio concluiremos que nr c 1 c é divisível por b Vejamos outra aplicação do mesmo algoritmo 102 História da Matemática TEOREMA Com respeito ao máximo divisor entre dois números temos a propriedade MDCm am b m MDCab dEmonStração Mais uma vez empregando o algoritmo euclidiano com respeito aos números a e b escrevemos 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 n 3 n 2 n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n n n n 1 n 1 n n 1 a b q r b r q r r r q r r r q r r r q r onde 0r r r r q r onde 0r r r r q 0 Agora cada uma destas equações é multiplicada por m obtendo 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 n 2 n 1 n n n 1 n n 1 m a m b q m r m b m r q m r m r m r q m r m r m r q m r m r m r q m r m r m r q 0 Portanto teremos de imediato o resultado Para concluir vejamos outro resultado intrigante devido a Euclides que trata da infinidade dos números primos Burton 2006 p 183 descreve que a demonstração é encontrada no Livro IX proposição 20 dos Elementos Burton descrevea como ingênua e simples De fato Burton comenta que empregando uma moderna notação Euclides escreve a seguinte listagem de primos 235711em ordem crescente Por outro lado Euclides considerou o número N 2 3 5 7 p 1 Burton argumenta que o número é formado pelo produto de todos os primos de 2p E considerando que N 2 3 5 7 p 1 1 podemos usar o teorema 103 AULA 4 TÓPICO 2 Fundamental para afirmar que este número deverá ser divisível por algum primo q onde q 1 Entretanto na listagem do produto a partir das suposições de Euclides em algum momento na expressão 2 3 5 7 p o fator q deve comparecer mas isto forçaria que q dividisse a seguinte combinação N 2 3 5 7 p 1 Assim a fortiori deveríamos ter q 1 o que é uma contradição flagrante E tal absurdo é devido ao fato de termos feito a suposição de que o conjunto dos primos fosse finito Burton 2006 p 183 faz um comentário importante Nenciona que a prova de Euclides demonstra a existência de algum primo maior do que p entretanto não garante a existência de qualquer primo anterior após o uso do primo p e da expressão construída N 2 3 5 7 p 1 empregada na argumentação que vimos há pouco Por exemplo quando aplica de modo particular a construção acima vemos que N 2 3 5 7 13 1 30031 59 509 Aqui vemos que temos um primo q 59 bem distante do primo fornecido p 13 Mas um problema interessante apontado por Burton 2006 p 183 é como determinar se um inteiro particular é primo ou a composição de primos ou outros fatores e como encontrar um divisor não trivial Burton 2006 menciona que a abordagem mais aplicável para este problema seria o algoritmo das divisões sucessivas até que possamos encontrar um divisor Embora útil na prática o método pode fornecer algumas dificuldades uma vez que exige vários cálculos BURTON 2006 p 183 Por outro lado o autor sugere o seguinte Se temos um inteiro a 1 é não primo o mesmo pode ser escritopor a b c onde 1 b a e 1 c a Mas sem perda de generalidade vamos assumir que b c sem deixar de notar que 2 0 b c 0 b b b c b a Assim temos 2 0 b c b a 0 b a Mas desde que 1 b a devemos considerar que existe pelo menos um fator primo que divide b e deste modo escrevemos p b a Obtemos ainda que p divide a Assim se temos um inteiro positivo não primo podemos garantir que existe um fator primo p que divide a de modo que p a Com respeito a este critério enunciaremos o seguinte teorema TEOREMA Se a 1 é um número composto então há um número primo p tal que p a p divide a e p a Antes de discutir sua demonstração vale observar que o critério discutido por Burton 2006 e demonstrado por Domingues 1991 p 58 é chamado de Crivo de 104 História da Matemática Erastótenes que é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite Segundo a tradição foi criado pelo matemático grego Eratóstenes c 285194 aC o terceiro bibliotecáriochefe da Biblioteca de Alexandria Mas vejamos sua demonstração dEmonStração Por hipótese a pode ser decomposto da seguinte maneira a b c onde vamos supor que 2 b c a O resto da demonstração pode ser observado na argumentação desenvolvida por Burton 2006 que discutimos há pouco Por outro lado se a 1 não é divisível por nenhum dos primos tais que p a então tal número a 1 deverá ser um número primo Vejamos agora um exemplo ExEmplo O número 271 é primo Primeiro observamos que 16 271 17 Assim segundo os critérios do Crivo de Erastótenes os primos que não superam 16 são 235711 e 13 Mas reparamos que nenhum deles divide 271 Logo a partir da observação tal número deve ser primo ExEmplo O número 2093 é primo Solução Notamos que 45 2093 46 Assim precisamos examinar todos os primos que satisfazem p 2093 Por outro lado podemos concluir que 299 13 23 2093 7 299 Passamos então a outro problema resolvido pelo método do Crivo encontrar 17 299 18 Temos desse modo23571113 e 17 Assim obtemos que conclusão 2093 7 13 23 Por meio desse método podemos identificar todos os primos por exemplo que não excedem o valor n 100 Por exemplo Burton 2006 p 188 diz que reconhecendo certamente 2 como primo passamos uma cruz X em todos os pares de nossa lista exceto no próprio 2 Na sequencia todos os múltiplos de 3 exceto o 3 Removemos também os múltiplos de 5 10 15 20 Na figura abaixo encontrada em Burton 2006 p 188 vemos todos os números desejados 105 AULA 4 TÓPICO 2 Figura 23 Identificação dos primos menores que 100 BURTON 20006 p 188 Vamos finalizar este tópico discutindo um pouco mais da Álgebra Geométrica grega Bunt Jones e Bedient 1988 explicam que a primeira proposição do Livro II dos Elementos de Euclides lida diretamente com propriedades algébricogeométricas Por exemplo se existem duas linhas uma das quais é dividida em um número de partes o retângulo contido por uma das duas linhas possui área igual aos retângulos não divididos pela linha e as várias outras partes divididas pela linha Bunt Jones e Bedient 1988 explicam a propriedade usando uma formulação moderna se o retângulo ABCD possui um lado de comprimento a e o outro consiste em três partes de comprimentos b c e d então a b c d ab ac ad Esta identidade representa a propriedade distributiva obtida por meio da multiplicação BUNT JONES BEDIENT 1988 p 183 como vemos na Figura 24i Figura 24 Propriedades discutidas por Bunt Jones e Bedient 1988 p 184 Mais adiante os mesmos autores mencionam a Proposição II Figura 19ii que envolve um problema de álgebrageométrica ao resolver o problema de equações quadráticas O problema é descrito como segue para dividir uma linha reta em duas partes 106 História da Matemática iguais de modo que retângulo contido por uma destas partes seja de igual área ao quadrado da outra parte BUNT JONES BEDIENT 1988 p 183 Em termos atuais Bunt Jones e Bedient 1988 p 184 orientam que se AB é um segmento dado devemos construir um ponto X neste segmento de modo que o retângulo de lados AB e XB possua a mesma área do quadrado de lado AX e assim tomando AB a e AX x Então construímos as equações 2 aa x x e 2 2 x ax a 0 que possui como solução 1 2 a 5 1 a 5 1 x e x 2 2 107 AULA 4 TÓPICO 3 TÓPICO 3 A matemática japonesa ObjetivO Adquirir noções introdutórias sobre a matemática japonesa S mith e Mikami 1914 p 1 explicam que a História da Matemática japonesa pode ser dividida em seis períodos O primeiro período até o ano de 522 quando observamos intensa influência chinesa O segundo período de aproximadamente mil anos 552 1600 foi marcado pela influência do tipo de aprendizagem chinesa na Korea O terceiro período teve menos de um século de duração 1600 1675 marcado pela influencia de Seki Este período pode ser chamado como Renascimento da matemática japonesa O quarto período 1675 1775 pode ser comparado de modo sincrônico ao mesmo período na Europa Justamente com uma iniciativa de Descartes Newton e Leibnitz preparam o caminho para os trabalhos de Bernoulli Euler e Laplace Os trabalhos do grande matemático japonês Seiki e de seu aprendiz Takebe evoluíram bastante neste período 108 História da Matemática O quinto período se estende de 1775 a 1868 É o período de culminância da influencia da Matemática Japonesa SMITH MIKAMI 1914 p 2 O sexto período inicia com a incursão da cultura japonesa em outros países Figura 25 Os quadrados mágicos estudados na cultura matemática japonesa Smith e Mikami 1914 p 96 discutem o problema seguinte ilustrado na figura 26 No problema de Sawaguchi exibimos dois círculos inscritos em um círculo maior A área restante é de 120 unidades O diâmetro comum dos dois círculos menores vale 5 unidades É requerido o valor dos diâmetros Na solução atual temos dado x diâmetro do circulo menor e y diâmetro do circulo maior então x 5 Figura 26 Problema de Sawaguchi SMITH MIKAMI 1914 p 109 AULA 5 AULA 5 Evolução e métodos algébricos Olá alunoa Nesta aula discutiremos alguns modelos algébricos que evoluíram à medida que as ideias empregadas pelos matemáticos em épocas históricas distintas se sofisticaram O aumento de precisão das notações e simbologias foi uma dessas sofisticações Vamos lá então Objetivos Compreender o processo evolutivo dos métodos algébricos Conhecer os problemas antigos que envolviam equações polinomiais Entender os métodos analíticos para resolução de equações cúbicas 110 História da Matemática TÓPICO 1 Um problema antigo relacionado à equação polinomial do segundo grau ObjetivO Apresentar situaçõesproblema de civilizações antigas que envolvem a equação quadrática I ndiscutivelmente problemas que culminam com a resolução de grau dois são facilmente identificados em várias civilizações tantos ocidentais como orientais Neste sentido Katz 1988 p35 explica que Problemas envolvendo o produto de valores desconhecidos e equações de grau dois eram estudados e conhecidos hoje como relacionados às funções quadráticas Por exemplo problemas relacionados ao Teorema de Pitágoras produzem tais equações Tais equações tinham grande fonte na matemática babilônica e chinesa Em ambas civilizações os métodos eram baseados em ideias geométricas No contexto da matemática oriental Katz sublinha que alguns problemas do livro Jiuzhang podem ser traduzidos em sistemas de equações Ele exemplifica com as relações ì ïïíï ïî 2 2 x y 68 x y 100 A solução chinesa se baseia na ideia do teorema de Pitágoras e se escrita de forma genérica pode ser representada por ì ïïíï ïî 2 2 2 x y d x y c A figura usada no problema genérico sugere 2 2 x y 4xy x y e também 2 2 2 2 c 2xy x y ou 4xy2c 2x y Segue então que 2 2 2 2 2 x y 2c x y x y 2c x y Finalmente no antigo manuscrito encontramos 2 2 x y c d 2 2 2 Verifique No final encontramos x 96 e y28 Verifique também 111 AULA 5 TÓPICO 1 Embora o livro chinês Jiuzhang contenha outros problemas que podem ser traduzidos em sistemas lineares e equações quadráticas aparentemente a fonte babilônica contém exemplos de textos bem antigos De fato em vários tabletes babilônicos encontramos ì ïïíï ïî xy c x y b e alguns dos textos sugerem a relação com relações de perímetro e área de retângulos Nos tempos antigos havia a crença de que a área dependia apenas do perímetro E existem várias histórias indicando que quem conhecia melhor este conhecimento poderia tomar vantagem com respeito a quem admitia tal crença equivocada KATZ 1988 p 36 Para demonstrar que retângulos de mesmo perímetro podem possuir áreas diferentes os babilônios construíram tabelas de área c para um dado perímetro 2b Um desses problemas descrito por ì ïïíï ïî 2 2 x y b x y c possui solução dada por æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 2 c b b c b b x e y 2 2 2 2 2 2 Verifique Em outros problemas encontramos a tentativa de solução geométrica da equação x2 bx c que em termos atuais pode ser verificada por æ ö ç ç çè ø b 2 b x c 2 2 Figura 1 Solução geométrica da equação quadrática pelos babilônios KATZ 1988 p 38 Fonte DEADIFCE adaptado de Katz 1988 O problema de achar dois números conhecendose sua soma s e o seu produto p é um dos mais antigos da Matemática Ele já se encontrava em texto cuneirforme 1700 aC como comentamos há pouco Em termos modernos podemos reformulá lo por determinar os lados de um retângulo do qual se conhecem o semiperímetro s e a área p Lima 2002 esclarece que os números procurados digamos a b e são raízes da equação x2 sx p 0 De fato admitindo que a b s e ab p então o trinômio x2 sx p 0 se anula em a b x e x o que pode ser 112 História da Matemática verificado facilmente Este problema descrito pelo matemático Elon Lages Lima sempre despertou interesse nos matemáticos do passado Neste sentido Katz 1988 p 175 sublinha que a maior parte dos problemas de Diophantus de Alexandria conhecido como o pai da Álgebra pode ser descrito por um conjunto de equações com k indeterminadas Problema1 Dividir um número em duas partes possuindo sua diferença Segundo Katz Diophantus apresenta a solução para o caso em que o número 100 é fornecido e a diferença vale 40 Ele escreve 2 x 40 100 O método de Diophantus funciona para um dado a e uma dada diferença b de modo que b a a equação é descrita por 2 x b a Assim o número desejado é a b x 2 Problema2 Dividir um número dado em outros dois números tais que duas frações diferentes quando somadas produzem o dado número Katz 1988 p 176 explica que em notação moderna temos abrs rs e desejamos encontrar u e v de modo que ì ïïïíï ïïî u v a u v b r s Katz sublinha que Diophantus conclui que para a solução do problema é necessário que a a b s r Ele apresenta o seguinte caso particular resolvido a 100 b30 r3 e s5 Assim as partes desejadas são 75 e 25 Problema3 Encontrar dois números tais que sua soma e a soma dos seus quadrados sejam conhecidos Katz 1988 p 176 discute que no caso geral temos ì ïïíï ïî 2 2 x y a x y b Tal sistema já era conhecido pelos babilônios Por outro lado Diophantus obtém a seguinte solução 2 2 a 2b a a 2b a x e y 2 2 2 2 Neste caso devemos ter necessariamente um número racional conforme Katz 1988 O autor questiona a possibilidade de Diophantus poder ter tido acesso aos escritos babilônicos de onde obteve inspiração apesar de esse antigo matemático manifestar bastante originalidade nos seus métodos Problema4 Dividir o quadrado de um número em dois quadrados Por exemplo dividir 2 16 4 em dois quadrados Temos que encontrar 2 x e o outro 2 a 16 x o segundo número Podemos também escrever 2 2 x y 16 113 AULA 5 TÓPICO 1 Problema5 Ore 1948 p 181 discute o problema elaborado por Diophantus encontrar dois números tais que sua soma é dada na proporção da razão dos seus quadrados Em notação moderna temos 2 2 x y p x y Ore1948 escreve a equação 2 2 x xp y yp 0 que pode ser considerada como uma equação de grau dois Exibe as soluções 2 2 p p x y py 2 4 Considerando que o problema deve ser resolvido em termos de números racionais o número 2 2 p y py 4 deve ser quadrado Em seguida Ore1948 escreve p r t y 2 e devemos impor a condição p t y p y py p p t y t y p y py p 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 t t y y p y y t p p t y t p p t y p t t 2 2 2 2 1 1 1 Desse modo para um racional t qualquer o valor correspondente de y é dadopor e torna a expressão æ ö ç ç çè ø 2 2 2 p p t y y py 2 4 um quadrado perfeito Assim escrevemos æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p pt pt p pt 2pt 2pt 1 t t y t p 2 2 1 t 2 1 t 21 t 21 t p 2pt pt p 2pt pt p 1 2t t 21 t 21 t 21 t 2 1 t ö ç ç ø 2 Retornando à equação x p p y py p p t y p p t t t 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 p p t t t Dessa forma obtemos dois valores para x dados por æ ö ç ç ç ç è ø 2 2 2 1 2 2 2 2 p p p pt p 2pt pt 2p 2pt 1 2t t 1 t x p 2 2 1 t 21 t 21 t 1 t e teremos também 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 21 21 1 1 p p t t p pt p pt pt pt pt t t t t x p p t t t t t 114 História da Matemática Problema6 Encontrar três números tais que um deles é media proporcional dos outros Em termos de modernas notações Ore 1948 p 183 escreve que x y z são três números racionais de modo que ìï ïïï íïïï ïî 2 2 2 x y a y z b x z c Para satisfazer as duas primeiras condições precisamos ter ìï ïíï ïî 2 2 x y a z y b Concluímos assim que 2 2 2 2 2 2 a b x y y z x z c a b c Notamos que temos que satisfazer as hipóteses do problema relativas a y2 x z Por outro lado a partir da relação evidenciamos que os números ab e c devem satisfazer as condições de uma terna pitagórica do tipo 2 2 a 2tr bt 1r ct 1r onde rt Î Na sequência Ore 1948 p 183 estabelece que y x z y a y b y b y a y a b y y b y a y a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 b y a y a b y a b a b x a a b b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 e z Orienta ainda que para obter uma solução devemos substituir os valores para a b e c Desde que as soluções sejam positivas escolhemos os lados do triângulo pitagórico com a b Ore comenta que Diophantus ilustra o método fornecendo a terna abc 435 encontrando æ ö ç ç çè ø 256 144 81 xyz 7 7 7 Heath 1910 p 58 comenta que Diophantus estava apto a resolver equações de primeiro e segundo graus de uma cúbica encontramos em sua Aritmética somente um exemplo com respeito a um caso especial Bunt Jones e Bedient 1988 p 200 sublinham também que Diophantus conseguia escrever polinômios de modo muito conciso e preciso tais como Dg ie º DDg iehDz º 2 4 2 M 3x 15 M x 60x 900 A originalidade do trabalho de Diophantus e a aceitação da obra Arithmetica na Europa Ocidental no tempo da Renascença é marcada pela influência do matemático de Alexandria no que se refere às notações algébricas e posteriormente na teoria dos números Em sua obra encontramos o seguinte teorema Teorema1 Se α β e são as raízes de x p x q 2 0 com p q e 0 e se α β então a para que tenhamos x p x q 2 0 devemos ter x α β ou x b para que tenhamos x p x q 2 0 devemos ter x α β ou x 115 AULA 5 TÓPICO 1 Heath 1910 p 61 acrescenta que Diophantus exibe a equação 17x2 72x 17 0 com raízes D 5184 4 17 17 4028 4 1007 assim 1 36 1007 x 17 e 2 36 1007 x 17 De fato pelo gráfico observamos que se 36 1007 36 1007 x 17 17 temos 17x2 72x 17 0 de acordo com que Diophantus concluiu há séculos atrás Diphantus discute também a equação 19x2 72x 19 0 e nesse caso temos D 4 935 assim 1 36 1007 x 19 e 2 36 1007 x 19 Podemos constatar na Figura 2 que o teorema é verificado neste caso particular Fonte DEADIFCE adaptado de Heath 1910 Figura 2 Casos particulares discutidos por Diophantus Encontramos também na obra de Diophantus a solução de sistemas de equações que envolvem equações quadráticas por exemplo ìx h ïïíïxh ïî 2a B Admitiremos que x h assim escrevemos x a x e h a x o que satisfaz a equação x h 2a Na sequência Diophantus propunha que xh 2 2 2 2 B a xa x B a x B x a B Em seguida para obter uma equação quadrática ele escreve ìx h ïï h h h h íïxh ïî 2 2a 2a B 2a B 0 B Completando os quadrados temos ainda h h h 2 2 2 2 2 2a B a a a a B e observamos também que 2 2 x a B se e somente se h h 2 2 2 x a B a x a a solução desejada Diophantus discute ainda os casos a ìx h ïïíïx h ïî 2 2 2a B e b ìxh ïïíïxh ïî 2a B No primeiro caso temos x a x e h a x portanto x h 2 2 2 2 B a x a x B assim 116 História da Matemática 2 2 2 2 2 2 2 2 B 2a a 2ax x a 2ax x B 2a x B x 2 Voltando ao sistema ì ì x h x h ï ï ï ï h h h h í í ï ï x h x h ï ï î î 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 2a 2a B 4a 4a 2 B B B Por fim escrevemos h h h h h 2 2 2 2 2 2 2 B B 2 4a 4a B 2a a a a a 2 2 Desse modo teremos h h 2 2 2 2 2 B 2a B x x a a x a 2 2 Heath 1910 p 66 menciona que a solução de ìxh ïïíïxh ïî 2a B é semelhante ao primeiro caso segundo Diophantus Problema 7 Adicionar o mesmo número a um cubo e fazêlo igual ao cubo da soma de ambos Katz 1988 p 181 descreve a seguinte notação moderna 3 3 x y x y O autor diz que Diophantus assumiu que 3 3 3 3 3 3 x 2y x y x y 2y y 2y y 8y y 3y assim temos 3 3 3 2 8y y 27y y 19y 1 19y Desse modo obtemos um número que não é quadrado perfeito mas Diophantus buscava um quadrado perfeito Por outro lado ele observou que 3 3 19 3 2 No entanto reparamos que desejamos encontrar dois números consecutivos z e z1 de modo que tenhamos 3 3 3 3 2 z 1 z quadrado perfeito z 1 z 3z 3z 1 Katz comenta que nos cálculos de Diophantus encontramos a condição 2 1 2z produzindo o valor z 7 e z18 Retornando agora ao problema inicial 3 3 x y x y devemos impor que x 7y Assim substituímos 3 3 3 3 3 3 2 x y x y 7y y 7y y 343y y 512y 1 169y Segue que y 1 13 e o valor desejado é de 7 13 Problema 8 Segundo Katz 1988 p 357 Pedro Nunes foi um matemático português que se destacou por uma obra de 1532 intitulada Livro de Álgebra Ele resolveu o seguinte problema Encontre dois números cujo produto e soma dos seus quadrados sejam conhecidos O produto dado como 10 e a soma dos quadrados 30 Numa notação moderna Katz1988 escreve ìï æ ö ï ç í ç ç ï è ø ïî 2 2 2 4 2 2 2 2 x y 10 10 x 30 x 30x 10 0 x x y 30 Seguindo a fórmula de AlKharismi temos x2 15 125 e os dois números desejados são 15 125 e 15 125 117 AULA 5 TÓPICO 1 Finalizamos este tópico destacando por meio dos problemas discutidos a grande importância do papel atribuído às equações quadráticas De fato vimos que em várias culturas por meio de métodos distintos ou semelhantes as antigas civilizações por motivos às vezes distintos e particulares se interessaram pela resolução dos mesmos problemas de Matemática Na próxima seção discutiremos um pouco da história sobre as soluções das equações do tipo 3 2 ax bx cx d 0 e os casos possíveis de resolução da quártica 4 3 2 ax bx cx dx e 0 que envolveu muitas matemáticos italianos com ênfase para Fra Luca Pacioli 1445 1514 além de discutir com alguma brevidade os problemas relacionados com a insolubilidade da quíntica 5 4 3 2 ax bx cx dx ex f 0 Neste tópico estudamos equação de grau dois que se mostrou sempre envolvida na resolução de vários problemas Na sequência continuaremos o estudo de equações só que nossa atenção estará voltada para a cúbica 118 História da Matemática TÓPICO 2 As fórmulas de tartaglia ensinadas para cardano ObjetivO Apresentar os métodos analíticos para a solução da cúbica I niciamos nosso tópico abordando um pouco da história dos matemáticos italianos Tartaglia e Cardano Tartaglia nasceu muito pobre Tinha sete anos quando uma tropa francesa ao saquear Brescia irrompeu em um templo onde grande parte da população se refugiara Um soldado deulhe um golpe com um sabre no meio do rosto Depois disso o menino gaguejou anos a fio Por isso os amigos o apelidaram de Tartaglia tartamudo ou gago Tartaglia contribuiu para a matemática com a redescoberta da resolução de algumas equações cúbicas Envolveu se em disputas com Cardano que publicou primeiro sua solução mesmo havendo jurado que não o faria A disputa terminou quando o discípulo de Cardano Lodovico Ferrari de posse da solução da equação do quarto grau propôs questões que Tartaglia não conseguiu resolver Fonte httpwww somatematicacombrbiograftartagliaphp Figura 3 Imagens de Girolamo Cardano 15011576 e Niccoló Tartaglia 14991557 httpsptwikipediaorg 119 AULA 5 TÓPICO 2 Rosa 1998 p 45 recorda que Na época em que Tartaglia ensinou a Cardano a fórmula da resolução de uma equação do terceiro grau os matemáticos não dispunham de uma notação para tratar as equações e não podiam expressar suas fórmula de modo resumido como fazemos hoje Portanto não é estranho que Tartaglia comunicasse a Cardano o segredo de sua descoberta através de versos Rosa explica que os casos analisados foram 3 3 3 x ax b x ax b e x b ax Rosa ressalta que Tartaglia introduziu duas novas variáveis ao chamar U V b Ao longo do seu texto encontramos também a relação æ ö ç ç çè ø a U V 3 mas vejamos sua argumentação de modo mais detalhado O caso considerado inicialmente foi o da equação x3 ax b O autor recorda a fórmula 3 3 2 2 3 u v u 3u v 3uv v que pode ser escrita de outro modo 3 2 2 3 3 3 3 3 u v 3uv 3u v u v u v 3u vu v u v Por fim temos 3 3 3 u v 3u vu v u v Vamos agora comparar as equações ìï ì ï ï ï ï Þ ï í í ï ï ï ï î ïïî 3 Fazendo 3 3 3 3 3 a 3u v a u v x ax b 3 u v 3u vu v u v u v b Restanos a expressão 3 3 3 3 u v 3u vu v u v u v au v b Agora podemos inferir que x u v e satisfaz a relação 3 u v au v b uma vez que x3 ax b A partir daí passamos a resolver o problema ìïï ïïíïï ïïî 3 3 a u v 3 u v b pois achando os valores de u e v encontraremos os valores correspondentes para x uma vez que x u v Por outro lado reparamos que ìïï ïïíïï ïïî 3 3 3 3 3 a u v 27 u v b Fazemos agora a seguinte substituição ì ì ì ï ï ï ì ï ï ï ï ï ï ï ï ï í í í í ï ï ï ï ï ï ï ï î ï ï ï î î ïî 3 3 3 3 3 3 3 3 U u 3 V v 3 3 a a a u U u v U V U V 27 27 27 v V U V b U V b u v b você sabia Girolamo Cardano foi um cientista e sábio à moda de seu tempo matemático filósofo médico Seguindo o conselho de um amigo foi para Sacco uma pequena aldeia a 15 km de Pádua onde se dedicou à medicina não sendo muito bem sucedido Numa busca desesperada de uma mudança de sorte os Cardanos mudaramse para Milão Cardano teve a sorte de obter o antigo posto de ensino em matemática de Fazio seu pai na fundação Piatti em Milão Fonte httpwwweducfculptdocentes opomboseminariorenascencacardanohtm 120 História da Matemática Rosa 1998 p 48 aconselha que este último sistema pode ser visto como satisfazendo a condição da soma e produto das raízes U e V da equação quadrática dada por æ ö ç ç çè ø 3 2 a X b X 0 3 Aplicando o método de resolução usual escrevemos æ ö ç ç çè ø æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 3 2 2 3 a b b 4 b b a 3 X 2 1 2 2 3 e temos duas raízes mas Rosa destaca que uma raiz será U e a outra raiz V Entretanto recordamos desde o início que 3 3 x u v U V Na sequência escolhemos æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 3 b b a U 2 2 3 e æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 2 3 2 3 b b a b a b V V 2 2 3 2 3 2 Segue que x u v U V b b a b 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 a b b b a b b 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 a x b b a 3 2 3 3 2 2 3 b b a Esta última fórmula resolve equações do tipo x3 ax b Dunham 1990 acrescenta que Cardano descobriu como resolver a equação de uma cúbica geral do tipo 3 2 x bx cx d 0 onde os coeficientes b c e d são não nulos Fonte DEADIFCE adaptado Dunham 1990 Figura 4 Interpretação geométrica descrita por Cardano DUNHAM 1990 p 143 Dunham 1990 explica que Cardano imaginou um cubo largo possuindo lado AC cujo comprimento denotamos por AC t O lado AC t é dividido no ponto B em um segmento BC u e portanto o segmento AB t u onde as variáveis u e t são auxiliares Como a figura 4 sugere o cubo deverá ser repartido em seis pedaços e cada um com um volume 121 AULA 5 TÓPICO 2 o pequeno cubo de volume 3 u o cubo maior de volume 3 t u u2 t u 2 u t u Claramente o volume de todo o cubo é AC t t u tu t u u t u u t u t u tu t u u 3 3 3 2 2 3 3 2 2 t u u t u t u t u tu t u t u 2 3 3 3 3 3 3 Dunham 1990 p 144 explica que o leitor moderno notará que podemos deduzir o mesmo resultado usando uma álgebra mais moderna De um ponto de vista algébrico Cardano resolveu a equação x3 6x 20 como explica Dunham 1990 p 146 Devemos observar que neste caso temos a 6 e ì ïï íï ïî 3 3 u v 2 b 20 u v 20 Por outro lado é mais fácil obter as raízes de X2 20 X 8 0 Mas observamos que D 368 assim X 10 100 4 Teremos então duas raízes X1 10 108 e X2 10 108 por termos 3 3 x 10 108 10 108 Vamos considerar agora a equação x3 3x 10 Neste caso temos a 3 e b 10 Encontramos a equação X2 10 X 1 0 e na sequência temos æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 3 10 10 3 5 26 2 2 3 e æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 3 10 10 3 5 26 2 2 3 que são suas raízes e então encontramos 3 3 x 5 26 5 26 Quando recorremos aos recursos tecnológicos podemos observar os comportamentos das funções 3 fx x 6x 20 e 3 fx x 3x 10 É interessante observar que no caso I abaixo vemos que 3 f2 2 6 2 20 0 ou seja x 2 é raiz O mesmo não podemos inferir para o caso II Fonte DEADIFCE 2009 Figura 5 Interpretação geométrica das equações Vamos agora discutir a argumentação devida a Dunham 1990 p 147 para o caso de ax2 bx c 0 com a ¹ 0 Dunham faz a seguinte substituição b x y 2a Assim temos 122 História da Matemática æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 2 b b ax bx c 0 a y b y c 0 2a 2a a y b a y b a by b a c ay by b a by c ay 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 4 0 2 2 2 2 2 4 b a b a c 2 2 2 b 4ac b 4ac ay y 4a 2a Segue que obtemos as raízes conhecidas Mas esta substituição b x y 2a elimina o termo na variável de grau 1 Dunham 1990 p 148 salienta que Cardano realiza a seguinte substituição b x y 3a para o caso de æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 3 2 3 2 b b b ax bx cx d 0 a y b y c y d 0 3a 3a 3a Fazendo as devidas operações devemos obter æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 3 2 3 3 2 2 2 2 b b 2b b cb ay by y by y cy d 0 3a 27a 3a 9a 3a Reparamos que o termo de 2 y deve cancelarse Reescrevemos ay b a y b a b a y b a cy cb a d ay c b a y b 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 27 2 3 9 3 0 3 9 3 27 0 2 3 2 a cb a d b a e portanto 2 3 3 3 3 3 2 2 2 3 c b b cb d b y y y py q 0 y py q a 3a 9a 3a a 27a Onde tomamos 2 2 c b p a 3a e 3 3 2 2 3 b cb d b q 9a 3a a 27a Vejamos um caso de aplicação para 3 2 2x 30x 162x 350 0 Nesse caso seguindo o raciocínio acima fazemos 30 x y y 5 6 Assim temos 3 2 3 2 2x 30x 162x 350 0 2y 5 30y 5 162y 5 350 0 3 3 2y 12y 40 0 y 6y 20 E já sabemos que y 2 é solução para tal equação consequentemente x y 5 2 5 7 é solução para 3 2 2x 30x 162x 350 0 Outro matemático que se destacou pelo interesse em equações algébricas foi François Viète que nasceu em Fontenay no ano de 1540 e morreu em Paris no ano de 1603 Não foi um matemático de profissão porém seu lazer era dedicado à Matemática 123 AULA 5 TÓPICO 2 Seu método de resolução ax2 bx c 0 consiste em fazer 2 2 2 x u v au v bu v c 0 au 2uv v bu v c 0 Viète escreve esta equação na incógnita v do seguinte modo 2 2 a v 2au b v au bu c 0 Viète transforma tal equação em uma incompleta do 2º grau fazendo b 2au b 0 u 2a e obtém assim a equação restante a v v au bu c a v a b a b b a c 2 2 2 2 0 0 2 2 0 4 4 2 2 2 v b ac a Se tivermos æ ö ç ³ ç çè ø 2 2 2 2 2 b 4ac b b 4ac b 4ac 0 v x u v 4a 2a 4a que é a conhecida fórmula de Bhaskara podemos aplicar facilmente seu método na equação x2 3x 2 0 e concluir que 3 1 u 2 e v 2 Verifique Redfield 2001 p 19 discute um caso um pouco mais geral para x3 px q 0 A ideia é observar que a solução da equação 6 3 w Bw C 0 pode ser auxiliada pela solução de 3 2 3 w Bw C 0 Por outro lado o autor comenta ainda que 6 3 w Bw C 0 é equivalente à equação 6 3 C w B 0 w e a substituição æ ö ç ç çè ø a x w w pode realizar tal conversão para nós Assim Redfield escreve x px q w a w p w a w q w p a w 3 3 3 0 0 3 3 a ap w a w q 2 3 3 1 Na sequência o autor impõe a condição p p 3a 0 a 3 Como consequência alguns dos coeficientes deve se anular De fato observamos que w w a ap w a w q w p p 3 2 3 3 3 2 0 3 1 0 3 3 3 p w p w q 1 3 0 3 3 w p p w p w q w p w q w q w p 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 1 27 1 0 27 1 0 27 0 124 História da Matemática Pode ser resolvida como uma equação quadrática como 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 p p q q p w q w 0 w q w 0 w 27 27 2 4 27 Neste ponto Redfield 2001 p 20 toma a 2 3 3 q q p 2 4 27 e considerando que a a p x 3 resolve a equação original De fato observamos que x px q p p p q 3 3 0 3 3 0 α α α α α α α α α α α α α p p p p p q p 3 2 3 9 3 0 3 2 2 2 2 α α α α α 2 2 2 2 2 3 9 3 0 p p p p q α α α α α α α α α 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 9 2 3 2 9 27 3 0 9 p p p p p p q p 2 9 27 3 0 2 3 3 2 p p p q α α α α α α α α α α α 3 2 2 3 3 2 3 3 3 9 2 9 27 3 0 27 0 p p p p q p q 3 2 3 3 27 0 q p α Por outro lado vimos anteriormente que 3 3 2 3 p w q w 0 27 Assim decorre realmente o que o autor sustenta Além disso tomando b 2 3 3 q q p 2 4 27 e em seguida fazendo b b p y 3 seguindo o mesmo raciocínio inferimos que esta expressão resolve a equação 3 3 2 3 p w q w 0 27 e portanto resolve também a equação original Desse modo podemos escrever uma solução geral para x3 px q 0 na forma a b 2 3 2 3 3 3 q q p q q p x 2 4 27 2 4 27 REDFIELD 2001 p 20 Redfield 2001 p 21 comenta que as outras soluções são combinações de a b e do tipo a b a b observando que vale a relação ab 2 3 2 3 3 3 q q p q q p p 2 4 27 2 4 27 3 125 AULA 5 TÓPICO 2 Além disso o autor escreve a b p a b q a a a b b pa pb α β α β α α β α β β α β 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 q a a b p ab p b pa pb 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 α α β β α β α β α β q a b q pa ab pb ab 3 3 3 3 1 1 Redfield 2001 p 21 observa que æ ö æ ö ç ç ç ç a b ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 q q p q q p q 2 4 27 2 4 27 Assim a expressão a b a b 3 3 3 3 a b q pa ab 1 pb ab 1 será zero se 3 3 a 1 e b 1 ab 1 De fato fazendo as devidas operações observamos que a b q pa ab pb ab q pa ab 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 α β α β α β α 1 1 pb ab β q q pa ab pb ab abpa pa abpb pb α β α α β β 1 1 a a b b pa pa pb pb 0 0 0 Em particular a e b devem resolver 3 2 z 1 0 z 1z z 1 Entretanto 1 é solução e pelas outras possibilidades de raízes de z2 z 1 encontramos 1 3 2 2 e 1 3 2 2 Redfield 2001 p 21 argumenta que existem apenas três possibilidades para a se a 1 b ab 1 e teremos a solução x a b fornecida pela fórmula de Cardano Para as outras possibilidades temos 1 ab 1 e ba e desde que æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 1 3 1 3 1 2 2 2 2 e também æ ö ç ç ç çè ø 1 1 3 1 3 2 2 2 2 e æ ö ç ç ç çè ø 1 1 3 1 3 2 2 2 2 devemos ter 1 3 a 2 2 e 1 3 b 2 2 e se 1 3 a 2 2 teremos 1 3 b 2 2 Concluímos que as soluções completas para x3 px q 0 são x a b æ ö æ ö ç ç a b ç ç ç ç ç ç è ø è ø 1 3 1 3 2 2 2 2 126 História da Matemática e æ ö æ ö ç ç a b ç ç ç ç ç ç è ø è ø 1 3 1 3 2 2 2 2 onde a 2 3 3 q q p 2 4 27 e b 2 3 3 q q p 2 4 27 ExEmplo 1 Vamos considerar 3 fx x 3x 1 e resolver fx 0 Seguindo o modelo acima realizamos a substituição 3 1 x w w 3x w para obter æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 3 3 3 6 3 3 1 1 1 x 3x 1 w 3 w 1 w 1 w w 1 0 w w w e assim temos 3 3 3 1 3 1 1 3 1 w x w 2 2 w 2 2 1 3 2 2 Podemos agora obter a 3 1 3 2 2 e b 3 1 3 2 2 e encontrar as outras duas soluções Neste ponto Redfield 2001 p 22 escreve outra solução como æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x 2 2 2 2 2 2 2 2 a terceira solução é æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x 2 2 2 2 2 2 2 2 Redfield 2001 p 23 acrescenta que Escrito deste modo as soluções fx 0 não parecem reais Todavia se usamos algumas técnicas do Cálculo em uma variável real podemos obter o gráfico de 3 fx x 3x 1 e construir o seu gráfico como exibimos abaixo Pelo mesmo vemos que seu gráfico toca o eixo das abcissas em três pontos distintos determinando três raízes reais e distintas Analiticamente temos ainda f 3 17 0 f0 1 0 f1 1 0 e f2 3 0 E pelo teorema do valor intermediário obteremos nossas raízes como vemos na Figura 6I Fonte DEADIFCE 2009 Figura 6 Representação geométrica 127 AULA 5 TÓPICO 2 ExEmplo 2 Vamos considerar 3 2 fx x 3x 9x 27 Solução Na Figura 6II vemos o gráfico da função polinomial de grau 3 Descrita por 3 2 fx x 3x 9x 27 vamos realizar a substituição 3 x y y 1 3 portanto temos 3 2 3 2 fx x 3x 9x 27 fy 1 y 1 3y 1 9y 1 27 Podemos escrever ainda que 3 3 2 2 2 3 y 1 y 3y 3y 1 3y 1 3y 6y 3 9y 1 9y 9 27 27 y 12y 16 Na sequência Redfield 2001 p 23 discute 3 12 4 y 12y 16 0 y w w 3w w Feita a substituição teremos y3 12y 16 0 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 3 3 3 4 4 48 64 48 w 12 w 16 0 w 12w 12w 16 0 w w w w w 6 3 3 2 3 w 16w 64 0 w 8 0 w 8 Assim escrevemos 4 y 2 4 e x4 13 2 que é uma solução para 3 2 fx x 3x 9x 27 Para encontrar as outras raízes Redfield emprega as fórmulas de Cardano para y3 12y 16 0 Ele argumenta que 4 e æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 são raízes desta equação Dessa forma as soluções de 3 2 x 3x 9x 27 0 são 3 Realizando a divisão deste polinômio por x 3 Redfield 2001 p 24 escreve 3 2 2 2 x 3x 9x 27 x 3x 6x 9 x 3x 3 ExEmplo 3 Redfield 2001 p 24 discute o seguinte polinômio 3 2 Px x 3x x 3 Solução Para usar as fórmulas de Cardano substituímos 128 História da Matemática saiba mais O Teorema Fundamental da Álgebra abreviadamente TFA é atualmente conhecido como a proposição de que todo o polinômio complexo não constante numa indeterminada possui pelo menos uma raiz complexa Mais httpwwwammacomptcmaf33trf1trigo p7984htm x y y P x x x x P y y y y y 3 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3 3 2 3 2 3 2 4 0 2 3 2 3 y y w w w w Substituindo mais uma vez temos y y w w w w w w 3 3 3 3 2 4 0 2 3 2 2 3 4 0 8 27 4 0 4 8 27 0 6 3 w w Resolvendo temos 3 8 16 4 4 10 27 w 2 3 2 2 9 Assim as soluções de 3 2 Px x 3x x 3 serão 3 3 10 10 2 3 2 3 1 9 9 e 3 3 1 3 10 1 3 10 2 3 2 3 1 2 2 9 2 2 9 Por outro lado 3 2 2 P3 3 33 3 3 0 Px x 3x 1 x 3x 1x 1 possui raízes 3 1 1 Figura 7 Gravuras de Gauus e Euler Fonte httpsptwikipediaorg 129 AULA 5 TÓPICO 2 um pouco dE hiStória Gauss voltou posteriormente a fazer mais três demonstrações do TFA a última das quais em 1849 A questão essencial era a da decomposição em fatores reais isto é com coeficientes reais lineares ou quadráticos quer dizer de uma das formas ax b ou ax2 bx c questão que é aliás equivalente à da existência de raízes em Naquela época a Álgebra ainda era entendida como essencialmente a teoria dos polinômios com coeficientes reais ou complexos ou se quisermos como a teoria das equações algébricas sendo o TFA considerado como o teorema fundamental desta teoria Mas ao contrário da ênfase que tinha sido posta no passado não era tanto a obtenção de soluções de equações da forma Px 0 como a questão da existência de soluções em que ocupava o centro do interesse de Gauss pois mesmo para Binômios da fora xn a com n ³ 5 a existência de raízes era considerada uma questão longe de trivial Na primeira parte da tese de Gauss ele critica e aponta as deficiências das demonstrações propostas por Euler e por DAlembert bem como as de outros matemáticos mas reconhece o valor da ideia principal da argumentação de DAlembert e exprime a sua convicção de que ela pode ser elaborada de modo a produzir uma demonstração rigorosa É exatamente isso que Argand consegue fazer em 1814 Em todas as demonstrações conhecidas até ao presente há todavia um elemento comum que é o fato de todas elas utilizarem algum método ou conceito essencialmente analítico no sentido de não algébrico embora o enunciado do TFA sob qualquer das formas possíveis ¾ existência de raíz complexa ou decomposição em fatores reais lineares ou quadráticos pareça ser de natureza inteiramente algébrica httpwwwammacomptcmaf33trf1trigop7984htm No próximo tópico discutiremos alguns aspectos históricos sobre o surgimento dos números complexos 130 História da Matemática TÓPICO 3 O surgimento dos complexos ObjetivO Discutir o surgimento da noção de números complexos A apresentação dos números complexos na escola é problemática e de forma até redundante diríamos que é complexa a situação do seu ensino Isto se deve em grande parte ao modo pelo qual o conteúdo é apresentado nos livros escolares e à insuficiência do saber matemático específico em relação a este conceito no âmbito da formação do professor Por outro lado no âmbito da história da Matemática segundo Rosa 1998 p 49 o surgimento dos números complexos começa com os trabalhos de Raphael Bombelli um admirador da obra Ars Magna de Cardano Rosa decidiu escrever um livro sobre o assunto de modo mais claro para que um principiante pudesse obter algum entendimento Bombelli publicou LAlgebra em 1572 na cidade de Veneza Ao analisar a cúbica x3 15x 4 e resolvendoa com o uso da fórmula da Cardano encontrou 131 AULA 5 TÓPICO 3 a seguinte expressão 3 3 x 2 121 2 121 Conforme Servelli 1998 p 50 ele percebeu que x 4 era uma solução para tal equação Surge então pela primeira vez uma situação na qual apesar do resultado apresentar raízes quadradas de números negativos existe verdadeiramente uma solução para ela Tal fato estimula a Bombelli tentar compreender o que esta acontecendo Kleiner 2007 p 7 declara que Bombelli por meio destas argumentações forneceu sentido a algo sem sentido por pensar sobre o impensável nomeando raízes quadradas de números negativos e manipulando de certo modo que se obtinha resultados significantes Frequentemente encontramos nos livros didáticos a equação x2 1 0 que motiva segundo vários autores e a metodologia de muitos professores o surgimento dos números complexos Neste sentido Berlinghoff e Gouvêa 2004 p 177 sublinham que a reação mais esperado dos estudantes diante desta questão é Por quê Com referência ao mesmo problema Lima 2001 p 215 apresenta a seguinte crítica A apresentação dos Números Complexos nos livros didáticos tem sido insatisfatória A abordagem costuma ser meramente algébrica e o número i cai do céu Sentese uma pressa em livrarse dessas dificuldades iniciais e cair o mais rápido possível nos exercícios do tipo calcule 2 i 3 2i etc enquanto muitos livros afirmam sem maiores explicações que os números complexos nasceram da necessidade de resolver equações do 2º grau com discriminante negativo o presente livro ressalta corretamente que esta necessidade só surgiu no contexto de resolução de equações do 3º grau O fato é que durante alguns séculos matemáticos de reconhecida capacidade empregavam calculavam e obtinham resultados a partir de números do tipo 1 De fato Berlinghoff e Gouvêa 2004 p 177 relatam que certa vez Girolamo Cardano lançouse à investigação do seguinte problema encontrar dois números cuja soma vale 10 e o seu produto vale 40 Os autores destacam que Cardano concluiu não existirem tais entidades que satisfazem ao questionamento De fato admitindo a existência de solução para o problema Girolamo Cardano encontrou as expressões 5 15 e 5 15 graças à fórmula quadrática Ele 132 História da Matemática manifesta aversão à falta de sentido relacionado com o cálculo de tais expressões e repudia este tipo de jogo intelectual Em outro livro Cardano diz que 9 vale 3 ou 3 todavia 9 não é nem 3 e 3 mas sim um tipo de coisa misteriosa BERLINGHOFF GOUVÊA 2004 p 177 Berlinghoff e Gouvêa 2004 p 177 recordam um fato semelhante que envolveu ninguém menos do que Réne Descartes 15961650 que no século XVII indicava que para encontrar os pontos de interseção entre uma circunferência C e uma linha r figura 8 encontramos uma equação quadrática e tal equação conduz a raízes quadradas de grandezas negativas justamente quando Ç Æ C r Assim para a maior parte o sentimento de aparência de soluções impossíveis ou imaginárias já dava um sinal de que o problema não possuía qualquer solução Figura 8 Figura concebida por Descartes Mesmo diante de um quadro de cautela e negação destas novas entidades conceituais Bombelli admite então a possibilidade da existência de uma expressão do tipo a b que seja a raiz cúbica de 2 121 Assim temos 3 a b 2 121 A partir daí evidenciamos a genialidade do matemático em questão De fato para calcular essa raiz ele supõe que a raiz cúbica de 2 121 seja a b e pelo fato de que 3 x 4 4 15 4 4 é uma raiz temos que ter 3 3 2a a b a b 2 121 2 121 x 4 a 2 Tendo este resultado ele retornou a 3 2 b 2 121 para encontrar o valor de b do seguinte modo 8 12 6 2 121 8 12 1 6 1 2 11 1 b b b b b b b b Assim resulta o sistema ì ïï íï ïî 8 6b 2 b 1 12 b b b 11 Servelli 1998 p 50 relata que Bombelli obteve 3 2 1 2 121 e analogamente temos 3 2 1 2 121 Atônito com tal descoberta Bombelli declara Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente A princípio a coisa toda me pareceu baseada em sofismas mas eu procurei até que achei uma prova SERVELLI 1998 p 50 Fonte DEADIFCE adaptado de Berling hoff e Gouvêa 2004 133 AULA 5 TÓPICO 3 Segundo Kleiner 2007 p 8 Bombelli inicia o cálculo de números complexos por meio das regras iniciais 1 1 1 e 1 1 1 E definiu a adição e multiplicação para números complexos específicos Nos próximos dois séculos os complexos permaneceram um mistério até que em 1831 Gauss os representou no plano Rosa 1998 p 52 sublinha que Com seu raciocínio engenhoso Bombelli mostrou seu papel importante que os números conjugados iriam desempenhar no seu futuro mas na época a observação não ajudou na operação efetiva de resolver equações cúbicas pois Bombelli precisava saber antecipadamente o valor de uma de suas raízes Mas aí a equação já estaria resolvida e não se precisaria da fórmula Qualquer tentativa para achar algebricamente as raízes cúbicas dos números imaginários na regra de Cardano leva à própria equação cúbica No excerto Rosa1998 destaca o trabalho particular de Rafaell Bombelli todavia um movimento semelhante pode ser observado por matemáticos em outros períodos e civilizações Na dissertação da Silva 2005 p 23 encontramos alguns comentários esclarecedores a este respeito Historicamente várias civilizações vêm trabalhando diversas representações que possibilitaram a construção de um sistema com propriedades que expressam a mensurabilidade dos fenômenos através de representação matemática A evolução das ideias incorporadas pela cultura matemática gerou classificações bem ordenadas para os fenômenos e foram organizadas e denominadas conforme as suas particularidades em números naturais inteiros racionais e reais O avanço do conhecimento porém ressentiuse de respostas a novos problemas e a Matemática como ressaltamos anteriormente expandiu a noção de número relacionando algebricamente o número real a certo número imaginário os números complexos Um número complexo é um número composto por uma parte real com formas de representações reais e uma parte concebida mentalmente A História da Matemática particularmente a História do Conhecimento dos Números Complexos foi sendo construída num processo de evolução muito longo o qual não é objeto de nosso trabalho embora sejam alguns dados que julgamos importantes para a compreensão dos números complexos pelos alunos Nossa concepção é portanto de que a História da Matemática é um recurso motivador que serve para desenvolver raciocínios lógicos mostrar a Matemática como uma forma de comunicação humana e ensinar conceitos matemáticos 134 História da Matemática As considerações de Silva são esclarecedoras e indicam as limitações dos métodos matemáticos daquela época De modo específico Silva 2005 p109 esclarece que Os alunos do ensino secundário não passam pelas hesitações de Bombelli antes de publicar os seus trabalhos nem pelos escrúpulos Cartesianos ou pelas audácias Gaussianas Em compensação pareceme desejável que os alunos leiam alguns textos onde esteja presente a construção da teoria dos números A história dos problemas irá certamente contribuir para uma melhor percepção do processo de construção dos conceitos ao descrever as surpresas as limitações as estratégias utilizadas para contornar o problema o enquadramento na teoria mais vasta A autora acrescenta que as tentativas para a implementação de uma proposta metodológica em Portugal de uma efetiva aplicação em sala de aula tem sido tímida Parte destes entraves pode ser identificada como relacionada às próprias características epistemológicas destes objetos No campo operatório as transformações conceptuais para a aceitação dos complexos têm de ser ainda mais radicais Por exemplo o argumento da soma não é a soma dos argumentos as partes reais e imaginárias do produto não são os produtos respectivos das partes reais e imaginárias É necessário renunciar à relação de ordem e por outro lado dissociar a relação de ordem das operações A representação geométrica das operações implica uma concepção dinâmica dessas mesmas operações a adição associada à construção do paralelogramo de forças paralelas estudadas em mecânica e a multiplicação apoiada na rotação em torno da origem das coordenadas Considerados geometricamente os complexos têm lugar num plano concebido dinamicamente onde traduzem movimento Aleksandrov Kolmogorov Lavrentev 1963 p 269 lembram que pouco depois da resolução da cúbica com Ferrari 15221565 a quártica equações de grau quatro é também resolvida por meio de radicais O método de Ferrari considera 4 3 2 4 3 2 x ax bx cx d 0 x ax bx cx d E adicionando a expressão 2 2 a x 4 em ambos os lados teremos æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 2 2 2 4 3 2 a x a x x ax bx cx d 4 4 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 3 2 ax ax a x a x a x x 2 x x ax b x cx d 2 2 4 4 4 Agora adicionaremos a ambos os lados da equação a expressão æ ö ç ç çè ø 2 2 y ax x 2 y 4 onde y é uma nova variável à qual impomos a condição que tenhamos do lado esquerdo um quadrado perfeito Assim teremos 135 AULA 5 TÓPICO 3 x ax a b x cx d x ax 2 2 2 2 2 2 2 4 2 x ax y y a b x cx d x 2 2 2 2 2 2 4 4 ax y y 2 4 2 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç Þ ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ç ç ç Þ ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö ç ç Þ ç ç ç ç è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y ax ax a ax x x y b x cx d x y 2 2 4 4 2 4 y y ax ax a ax x x y b x cx x y y d 2 2 4 4 2 4 ax ax x x 2 2 æ ö ç ç ç è ø æ ö æ ö æ ö ç ç ç Þ ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y a ax y b y x cx y d 4 4 2 4 y ay y ax ax a x x y b y x cx d 2 2 4 4 2 4 Repare agora que x ax y x ax x ax 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x ax x ax y y 2 4 2 2 1 4 2 2 2 2 2 Concluindo observamos que reduzimos o problema de uma para duas incógnitas No lado direito de æ ö ç ç çè ø 2 2 y ax x 2 2 temos um trinômio quadrático em x cujos coeficientes dependem de y Escolhemos então em æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 ay y a b y x c x d 4 2 4 um y de modo que se torne um quadrado de 1º grau ou seja 2 2 a a b y 0 y b 4 4 E neste caso escrevemos x ax y a b y x ay c 2 2 2 2 2 2 4 2 x y d x ay c x y d condi ª o 2 2 2 4 0 2 4 Por outro lado para chegarmos a tal condição observando a equação Ax2 Bx C se tornar algo do tipo a x b é suficiente que B2 4AC 0 De fato Aleksandrov Kolmogorov e Lavrentev 1963 p 269 argumentam que se 2 2 2 2 2 B 4AC 0 B 2 AC Ax C Ax 2 ACx C Ax Bx C temos ÆÆÆÆ 2 2 2 onde a b A e C Consequentemente se escolhermos na equação anterior æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø 2 2 2 ay y a b y x c x d 4 2 4 comparada com Ax2 Bx C devemos 136 História da Matemática impor que æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è øè ø 2 2 2 2 ay y a B 4AC 0 c 4 b y d 0 2 4 4 Escrevemos agora que ay c a b y y d a 2 4 4 4 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 4 4 y c ay c a y b y y y d a bd yd a y acy c a y b 2 2 2 2 2 2 4 0 4 4 y y a d bd yd a y acy c 2 3 2 2 2 2 4 0 4 a y d a y bd a y d a y bd b y d bdy a y d 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 16 4 4 4 4 0 4 16 4 3 4 2 2 2 4 2 2 2 2 3 bdy y d a y acy c a y d a y bd a y d a y bd b y d bdy a y d bdy y d 4 4 4 0 2 2 2 2 3 2 3 3 4 Vejamos o seguinte exemplo discutido por x4 8x 4 0 Observemos seu gráfico abaixo Figura 9 Gráfico de uma quártica Nessa aula conhecemos um pouco da história e dos métodos analíticos desenvolvidos por importantes matemáticos para a resolução de equações polinomiais Além disso apresentamos a visão de alguns autores a respeito desse assunto Espero que tenha ficado curioso a buscar mais informações sobre o contéudo Até a próxima aula Fonte DEADIFCE 2009 137 AULA 6 AULA 6 História da matemática como metodologia de ensino da matemática Olá alunoa Nesta nossa última aula apresentaremos discussões em torno do usoexploração e aplicação de um ensino de História da Matemática por meio de sua história Destacaremos mais uma vez a inexequibilidade da exploração do que discutimos até o momento em sala de aula sem o estudo dos modelos e problemas Aritmética Álgebra e Geometria de Matemática Para finalizar abordaremos alguns aspectos metodológicos e as barreiras no âmbito da formação de professores que muitas vezes impedem uma exploração efetiva do que estudamos até este ponto Objetivo Discutir problemas na formação de professores 138 História da Matemática TÓPICO 1 Problemas na formação de professores de matemática ObjetivO Discutir problemas relacionados com a formação de professores e a instrumentalização dos conteúdos de História da Matemática N o prefácio de sua obra intitulada A History of Elementary Mathematics with Hints on Methods of Teaching o matemático suíço Florian Cajori 18591930 aconselhava que A educação de uma criança deveria ser de acordo tanto com o modo de consideração da educação tomandoa historicamente em outras palavras a gênese do conhecimento de um indivíduo devia seguir o mesmo curso da gênese do conhecimento na raça Se este princípio sustentado por Pestalozzi a Froebel estivesse correto então pareceria que o conhecimento da história da ciência deve ser um efeito casual no ensino da ciência Sendo tal doutrina verdadeira ou falsa certamente que a experiência de muitas instruções estabelece a importância da Historia da Matemática no ensino CAJORI 1896 prefácio 139 AULA 6 TÓPICO 1 Fica evidente desde o início de sua obra sui generis na área de História da Matemática HM a preocupação de Cajori com o ensino dessa disciplina em nível elementar apoiada no contexto histórico evolutivo Notamos a importância dada pelo autor à compreensão da evolução do conhecimento no indivíduo tal qual a evolução de sua raça Por outro lado Cajori delineia uma preocupação extra além de simplesmente buscar compreender a evolução do saber e em particular do saber matemático De fato Cajori se dedica aos métodos de ensino de Matemática referendados numa perspectiva histórica Além disso ainda identificamos em suas obras emblemáticas 1952a 1952b considerações sem precedentes a respeito da evolução das formas de cognição humana e das notações matemáticas Vale destacar que parte de suas ideias e de outros investigadores do século passado preserva seu valor contemporâneo quando encontramos trabalhos acadêmicos REED 2007 p 134 que apontam os seguintes aspectos relevantes do emprego da HM no ensino A história pode aumentar a motivação do estudante e desenvolver uma atitude positiva com respeito à Matemática Alguns obstáculos do passado podem auxiliar na compreensão do motivo pelo quais determinados tópicos se apresentam como problemáticos para os estudantes e isto pode conduzir os professores ao desenvolvimento de metodologias mais apropriadas que possibilitem a superação destes entraves A história possibilita a compreensão do pensamento real e originário do matemático as razões que o conduziram na elaboração e concepção de determinados modelos além dos simples algorítmicos Em sua tese de doutoramento Reed 2007 se referenda nos trabalhos de Barbin 2000 que semelhantemente ao professor Florian Cajori nos fornece considerações atualizadas com respeito à integração da história ao ensino de Matemática Neste sentido Barbin 2000 p 80 destaca que Um grande número de artigos tem aparecido em quantidade crescente nestes tempos incluindo reflexões de experiências de ensino Este material fornece argumentos diferentes a favor da inclusão da dimensão histórica no ensino de matemática e frequentemente contém razões do motivo pelo qual o professor acredita ser efetivo Fica explícita então a partir das considerações de Reed 2007 e Barbin 2000 bem como de outros investigadores em História da Matemática a dimensão históricoepistemológica no âmbito do ensino do saber matemático Notese que não podemos perder de vista o sentido do significado do saber matemático tanto 140 História da Matemática no que diz respeito ao professor quanto no que diz à figura não menos importante que é a do estudante Nesse sentido a abordagem por meio da História da Matemática pode fornecer um sentidosignificado mais amplo e conceitualmente rico para ambos os atores Por outro lado quando falamos de sentido ou significado vale destacar que estas noções são baseadas no assunto e no objeto do conhecimento RADFORD 2006 p 40 Além do mais o significado adquirido por um assunto ou por um objeto do conhecimento neste caso do professor de Matemática pode ser compreendido como um ato intencional que sempre envolve uma construção subjetiva Aqui deparamos com um sério problema uma vez que a ação didático metodológica do professor nem sempre envolve um ato intencional que acrescente uma valorização do viés histórico Vale observar que quando falamos sobre o professor de Matemática não podemos negligenciar que esse profissional manifesta as concepções construídas no decorrer de seu processo formativo e as fontes de referência teórica que marcaram o seu conhecimento acadêmico Por outro lado somos conscientes de determinados problemas apontados Ocanã 2002 Gaspar 2003 Bianchi 2006 e Feliciano 2008 Estes dois últimos investigadores alertam respectivamente para o fato de que Alguns historiadores da Matemática discutem como a presença da HM aparece nos Livros Didáticos mencionando muitas vezes que estes itens se encontram soltos sem articulação com o conteúdo Muitas vezes a ideia que o aluno tem do conteúdo é de que foi inventado por apenas uma pessoa e totalmente por acaso BIANCHI 2006 p 84 Alguns exemplos de uso da História da Matemática em sala de aula retratados no livro de Fauvel Van Maanen 2000 trazem conclusões desanimadoras com relação a esse uso sendo uma das limitações para o desenvolvimento desse trabalho a falta de preparo do professor Sugerem que a História da Matemática não deve ser incluída no currículo oficial pois para isso necessitaria que os professores tivessem um treinamento sólido e específico a este respeito FELICIANO 2008 p 104 Nos excertos acima identificamos elementos preocupantes nas afirmações de Bianchi 2006 e de Feliciano 2008 De fato uma vez que o professor disponha somente de livros didáticos com a s estrutura condenada acima por Bianchi e deparamos com concepções indesejadas manifestas pelos estudantes como proceder diante do seu despreparo 141 AULA 6 TÓPICO 1 Se tencionarmos evitar determinadas ideias equivocadas nos estudantes e instrumentalizar o universo de reflexão do professor para que identifique determinadas falhas conceituais e estruturais nos livros didáticos é necessária uma ação prática e situada por parte dos formadores de professores de Matemática Entretanto nem mesmo as obras na área de HM proporcionam um saber de caráter situacional e prático para o futuro professor Neste sentido Neto 2009 p 90 alerta que Ao estudar estes livros selecionados constatamos que poucas as obras instrumentalizam o professor de maneira mais direta com propostas já prontas para a aplicação em sala de aula Notase entretanto que a maioria das obras busca uma reflexão acerca de temas históricos onde a preocupação com fatores práticos para a implantação da abordagem histórica é inexistente ou pouco aparece Neto ainda acrescenta outro quadro preocupante Notamos que em muitos casos diante do grau limitado de discernimento do recém formado no que diz respeito ao como onde e de que modo desenvolver uma aula o professor necessita de um recurso de apoio envolvendo HM com um viés de aplicação imediata em sala de aula Mas na prática o futuro docente dificilmente contará com este suporte práticoteórico inicial embora os exames oficiais como no caso do Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ENADE Figura 1 exijam habilidades diversificadas como podemos ver no exemplo de um trecho da prova do referido exame saiba mais Acesse o site httpportalmecgovbrindex phpItemid313 e obtenha mais informações sobre o ENADE Fonte Enade 2008 142 História da Matemática Figura 1 Enade 2008 p 13 Com respeito a determinados entraves relacionados à formação de professores em torno dos conteúdos de História da Matemática Feliciano 2008 p 104 identificou no seu estudo empírico que Sobre os professores entrevistados nenhum dos nove docentes considerados demonstraram dominar e utilizar de fato a História da Matemática como recurso pedagógico uma vez que nenhum deles retrata alguma experiência que comprove esse domínio Eles apostam no valor didático da História da Matemática mas evidenciam que não têm condições para efetuálo Dão indícios de que é necessário um apoio de instituições de ensino superior de modo a capacitálos para o trabalho históricopedagógico do conteúdo matemático Vêem necessidade de materiais que sejam voltados ao professor de Matemática com uma linguagem acessível e que possa ser utilizado dentro da sala de aula Todavia um elemento ao qual se deve dar toda a atenção é à presença da História da Matemática no processo de formação Os dados identificados por Feliciano são recorrentes em várias instituições de ensino superior IES no Brasil De fato em várias disciplinas acadêmicas o futuro professor é instrumentalizado com respeito a um conhecimento informacional vinculado a determinado assunto todavia o conhecimento operacional que subsidiará as ações efetivas em sala de aula o gerenciamento efetivo das aprendizagens no transcorrer de uma aula é na maioria dos casos negligenciado Reparamos que o saber relacionado aos conteúdos de HM é apenas mais um exemplo deste quadro de negligência No próximo tópico abordaremos alguns pontos de vista mais pertinentes a uma proposta metodológica para sua exploração em sala de aula Para concluir este tópico destacamos os conselhos de Dambros 2006 p 40 para um ensino mais produtivo Mencione anedotas de matemáticos do passado Faça introduções históricas a conceitos que são novos aos alunos Encoraje os alunos a buscar entender os problemas históricos para os quais os conceitos que eles estão aprendendo são respostas Dê lições de história da matemática 143 AULA 6 TÓPICO 1 Conceber em sala de aula ou como lição de casa exercícios usando textos matemáticos do passado Dirija atividades dramáticas que reflitam a interação matemática Encoraje a criação de cartazes ou outros projetos com um tema histórico Desenvolva projetos sobre atividades matemáticas locais no passado Use exemplos críticos do passado para ilustrar técnicas ou métodos Explore visões de concepções falsaserrosalternativas do passado para ajudar a entender e solucionar as dificuldades dos estudantes de hoje Invente uma abordagem pedagógica para um tópico com base em seu desenvolvimento histórico Faça a ordenação e estruturação dos tópicos do programa baseandose em informações históricas Após estas considerações de ordem metodológica que podem se tornar inférteis sem o estudo da própria Matemática apresentaremos no tópico seguinte um princípio educativo a ser explorado no ensino de Matemática por meio de sua história 144 História da Matemática TÓPICO 2 História da matemática como metodologia de ensino e o princípio genético ObjetivO Discutir o princípio genético no ensino por meio de sua historia E m sua tese de doutorado Dambros 2006 desenvolveu uma pesquisa em torno do uso da História da Matemática no ensino de Matemática No capitulo 2 a autora discute o Princípio Genético originado a partir das ideias de Ernest Haeckel Dambros explica que O Princípio Genético foi baseado nas ideias de Ernest Haeckel 1834 1919 defensor da teoria da evolução natural de Charles Darwin 18091882 Haeckel em seus estudos buscou reconstituir o ciclo completo de evolução dos seres vivos desde os animais unicelulares até o homem Baseado nesses estudos e nas ideias de Darwin passou a defender que um embrião ao se desenvolver passa por todos os estágios evolutivos de seus ancestrais Haeckel colocava o homem no alto da cadeia genealógica considerando o progresso humano como uma consequência da evolução Foi na obra Os Enigmas do Universo que ele expôs essas ideias condensandoas na chamada lei biogenética fundamental a qual dizia que os seres vivos ao longo do processo individual de desenvolvimento ontogênese recapitulam estágios do desenvolvimento da espécie filogênese DAMBROS 2006 p 21 145 AULA 6 TÓPICO 2 A autora resgata vários autores que proporcionam uma interpretação moderna do referido princípio como o aprendizado efetivo requer que cada aprendiz refaça os principais passos na evolução histórica do assunto estudado Na educação matemática foi utilizada por muitos para justificar cientificamente a necessidade dos estudos históricos em Matemática Há que se considerar que à época em que o princípio genético foi elaborado havia a forte influência da corrente filosófica conhecida como positivismo É importante conhecer um pouco desse momento histórico e principalmente as consequências disso em solo brasileiro De fato no Brasil uma figura a se destacar que foi influenciada por esse princípio foi Euclides Roxo 18901950 Roxo foi professor de Matemática diretor do Colégio Pedro II de 1925 a 1935 e autor de diversos trabalhos dentre os quais a coleção de livros de Matemática Curso de Matemática Elementar de 1929 O princípio genético aparece nos escritos de Roxo por meio dos trabalhos de Klein e Poincaré na sua defesa pelo uso do método histórico no ensino Foi catedrático do Colégio Pedro II autor de livros textos de Matemática e de diversos artigos além de ter ocupado outros cargos que evidenciavam sua participação política Vale observar que o Imperial Colégio de D Pedro II foi criado em 1837 com o intuito de servir de modelo para as escolas secundárias do País Segundo Valente 1999 as condições de ingresso nesse colégio praticamente definiam o que se deveria entender por escolarização primária em Matemática a qual consistia em contar e ter conhecimento das quatro operações fundamentais da aritmética O ensino nesse colégio servia como referência para os livros didáticos Porém a visão intelectualista de que o ensino deveria passar pelas principais etapas do desenvolvimento histórico da Matemática acabou influenciando apenas superficialmente o ensino da Matemática da época restringindose quase que exclusivamente ao acréscimo de trechos sobre a história da Matemática em alguns livros Nos dias atuais identificamos com facilidade o caráter superficial e episódico assumido pela exploração do caráter histórico dos conteúdos Neste sentido Dambros 2006 p 36 sublinha ainda que você sabia Haeckel nasceu em Potsdam no dia 16 de fevereiro de 1834 A sua obra principal é a História da Criação dos seres organizados Vêm a seguir pela ordem da importância cientifica a Antropogenia e a Filogenia sistemática É aí que se condensa a sua teoria biológica Fonte httpwwwinfoescolacom biografiasernesthaeckel Figura 2 Euclides Roxo Fonte httpwwwrioeducanet blogViewsphpid1129 Figura 3 Poincaré Fonte httpsptwikipediaorg 146 História da Matemática Uma outra forma de entender a importância da história da matemática para o ensino de matemática surge das pesquisas que relacionam a epistemologia a filosofia a história da matemática e a educação matemática e que buscam ver na matemática não apenas o seu produto final mas também o seu processo de criação e não apenas nas suas relações internas também em todas as suas relações externas A matemática concebida desse modo revelaria toda a sua força social e cultural levando o professor à compreensão de que o seu trabalho com matemática em sala de aula não é neutro Pelo contrário o conhecimento matemático pode ser uma agente de transformação individual e consequentemente social Em suas ponderações sublinhamos a ênfase dada pelo autor ao comentar todo o interesse por parte dos pesquisadores na atualidade para a compreensão das potencialidades de sua exploração em sala de aula De fato Feliciano 2008 p 105 nos fornece dados empíricos reveladores ao comentar Outro ponto se revela ao analisar as entrevistas dos professores menos experientes que possuem menor tempo de trabalho Em vários momentos demonstram que essa inexperiência faz com que eles não tenham tido tempo de tomar contato com livros didáticos e paradidáticos Também pode lhes ter faltado tempo apto para desenvolver algum tipo de formação continuada no sentido de utilizar a História da Matemática Professores que como Everton quando questionado sobre as formas como a História da Matemática poderia ser aproveitada em sala de aula dizem Eu não tenho muita experiência pode até ser que haja maneiras mais é Outras formas melhores de você utilizar Na prática é complexa a tarefa de implementação efetiva de uma abordagem guiada por meio de um princípio genético ou qualquer outra metodologia de ensino Na próxima seção discutiremos uma proposta de exploração efetiva em sala de aula A referida proposta é guiada pelos pressupostos de uma metodologia de ensino testada há alguns anos no estado do Ceará na Universidade Federal do Ceará UFC No tópico seguinte veremos um exemplo de aplicação metodológica de História da Matemática 147 AULA 6 TÓPICO 3 TÓPICO 3 Uma aplicação de sequência metodológica de ensino por meio de sua história ObjetivO Apresentar uma aplicação de uma sequência de ensino para conteúdos de História da Matemática G rugnetti Rogers 2000 p 53 explicam que a História da Matemática pode atuar não apenas como um fator de ligação entre tópicos de Matemática como também as ligações entre a Matemática e outras disciplinas Os referidos autores desenvolvem uma análise na perspectiva da História da Matemática e discutem como determinados saberes podem ser mediados no ensino Entretanto no âmbito do ensino de Matemática assumimos a necessidade da adoção de uma proposta metodológica que viabilize a abordagem de conteúdos matemáticos por meio de sua história Assim adotaremos a proposta teóricometodológica apresentada por um grupo de Educadores Matemáticos do Estado do Ceará BORGES et al 2001 p 3 denominada Sequência Fedathi SF que possibilita a criação de um clima experimental que retrata o os momentos e as dificuldades enfrentadas por um matemático profissional em busca da constituição de um saber A referida sequência de ensino prevê os seguintes níveis 148 História da Matemática Nível 1 Tomada de posição apresentação do problema ou de um teorema Neste nível o pesquisadorprofessor apresenta uma situaçãoproblema possivelmente no âmbito da História da Matemática para o grupo de alunos que devem possuir meios de atacar mediante a aplicação do conhecimento a ser ensinado Nível 2 Maturação compreensão e identificação das variáveis envolvidas no problema relacionado à História da Matemática destinado a discussão e debate envolvendo os elementos professoralunossaber Nível 3 Solução apresentação e organização de esquemasmodelos que visem à solução do problema Aqui os alunos organizados em grupos devem apresentar soluções e estratégias que possam conduzir aos objetivos solicitados e convencer com suas argumentações outros grupos Nível 4 Prova apresentação e formalização do modelo matemático a ser ensinado Aqui a didática do professor determinará em que condições ocorrerá a aquisição de um novo saber que deve ser confrontado com os saberes matemáticos atuais inclusive as modificações condicionadas pela evolução e modernização do mesmo A adoção de uma proposta metodológica para o ensino das sequências de Fibonacci e de Lucas é justificada a partir da evidencia de que na literatura da área de História da Matemática obtida por meio de um levantamento bibliográfico e análise de livros ocorre escassez de uma discussão mais aprofundada e das implicações possíveis extraídas a partir das relações conceituais entre as sequências supracitadas além do quadro acadêmico preocupante descrito por Bianchi 2006 e Stamato 2003 Encontramos também nas afirmações de Lima 2001a preocupantes conclusões a respeito da qualidade do livro didático de Matemática de modo particular na abordagem de sequências numéricas Deste modo de acordo com a sugestão de Lima desenvolveremos algumas considerações que podem evitar determinadas concepções e hábitos indesejados na aprendizagem dos estudantes Uma concepção facilmente identificada diz respeito a um ensino de Matemática que não evidencia as relações conceituais Deste modo como descrevemos na Figura 1 discutimos um assunto que possibilita uma ampla ligação conceitual interna à própria Matemática Tal ligação precisa ser compreendida de modo local e global por parte do professor interessado em seu ensino ALVES BORGES NETO 2010 p3 Além disso ao observarmos as conexões e implicações possíveis e conhecendo a natureza da complexidade dos conceitos envolvidos podemos prever os momentos didáticos em que cada noção pode ser explorada e antever os possíveis obstáculos ao aprendizado 149 AULA 6 TÓPICO 3 Passamos assim a descrever uma proposta de aplicação teórica dos conteúdos de sequência de Fibonacci e de Lucas segundo o modelo que nominamos de estendido Fonte DEADIFCE adaptado de Alves Borges Neto 2010 Figura 4 Relações conceituais exploradas ALVES BORGES NETO 2010 p 5 Honsberger 1985 p 104 menciona sem fornecer muitos detalhes que não existe dificuldade em estender a sequência de Fibonacci no sentido indefinidamente oposto De fato notamos que 1 0 1 1 f f f f 1 0 1 2 2 f f f f 1 etc Sucessivamente temos Î n n n 8 7 6 5 4 3 2 1 0 f f f f f f f f f f f 21 13 8 5 3 2 1 1 0 1 Destacamos que em nenhuma das obras consultadas encontramos a descrição da sequência de Fibonacci para o conjunto dos inteiros negativos Entretanto usando o mesmo princípio para a forma geral n n 1 n 2 f f f estabelecemos n n 1 n 2 f f f n Î Acrescentamos ainda que o modelo matemático descrito por n n 1 n 2 f f f pode ser considerado numa linguagem atual como uma singela modelagem da geração de coelhos todavia o mesmo não podemos dizer em relação à sequência Î n n f De modo análogo lembrando que 1 0 1 1 1 0 L L L L L L 1 temos a seguinte regra n n 1 n 2 L L L para n Î Exibimos a sequência Î n n n 8 7 6 5 4 3 2 1 0 L L L L L L L L L L L 18 11 7 4 3 1 2 2 A vantagem desta formulação pode ser compreendida por exemplo a partir da fórmula 2 n n 1 n 1 n f f f 1 demonstrada pela primeira vez por Giovanni Domenico Cassini 16251712 em 1680 como explica Koshy 2007 apud ALVES BORGES NETO p 134 Vamos agora realizar o mesmo raciocínio para a sequência descrita por n n 1 n 2 f f f saiba mais Conheça mais sobre a história do matemático Giovanni Domenico Cassini acessando o site httpwwwapprendremathinfoportugal historyDetailhtmidCassini 150 História da Matemática A matriz adequada será dada por æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø 0 1 1 1 2 0 1 f f Q 1 1 f f De modo análogo e com algum esforço concluímos æ ö ç ç ç çè ø n 1 n n n n 1 f f Q f f Aplicando um argumento semelhante ao de Honsberger obtemos a seguinte identidade n 2 n 1 n 1 n f f 1 f para n Î Assim tomandose os modelos Î n n f e Î n n L que chamaremos de sequências estendidas podemos inferir propriedades surpreendentes Vamos exemplificar nossa afirmação sugerindo o seguinte problema Qual o comportamento geométrico de Î n n f e Î n n L FarEmoS agora o paSSo a paSSo do procESSo mEtodológico da aula SobrE SEquência Nível 1 Tomada de posição apresentação do problema ou de um teorema Destacamos que tal questionamento é pouco usual De fato notamos que a noção de sequência é explorada eminentemente num quadro aritmético e algébrico LIMA 2001b p 123 Assim a partir da listagem 1 e 2 podemos estimular os estudantes na construção dos seguintes gráficos Fonte DEADIFCE adaptado de Alves Borges Neto 2010 Figura 3 Apresentação geométrica das sequências ALVES BORGES NETO 2010 p 8 Certamente que sem o auxílio computacional não conseguimos descrever o gráfico acima para valores muito grandes Assim no nível 2 empregamos o aparato tecnológico Nível 2 Maturação compreensão e identificação das variáveis envolvidas no problema Destinado à discussão e debate envolvendo os elementos professor alunossaber 151 AULA 6 TÓPICO 3 A partir da observação da figura 4 o professor deve salientar aos seus estudantes o caráter limitado e insuficiente no sentido de prever o comportamento das sequências Inclusive usando o software Maple 10 notamos que de modo semelhante ao modelo tradicional o mesmo fornece apenas os valores positivos da sequência definida para inteiros positivos Reparamos as aproximações por casas decimais descritas pelo programa na figura 3 Tal listagem pode gerar alguma estranheza nos estudantes uma vez que segundo o modelo de Fibonacci não poderiam existir 49999999956 casais de coelhos Neste nível o professor poderá estimular atividades numéricas Por exemplo a partir da figura 6 2n 2n f f e 2n 1 2n 1 f f para o caso do gráfico de Î n n f E de modo equivalente os alunos podem debater o comportamento do gráfico da sequência de Lucas entretanto respeitando o poder de síntese desta aula nos restringiremos daqui em diante ao caso da sequência de Fibonacci estendida Î n n f Nível 3 Solução apresentação e organização de esquemasmodelos que visem à solução do problema relacionado a História da Matemática A partir das propriedades conjecturadas no nível 3 a saber 2n 2n f f e 2n 1 2n 1 f f o professor necessita instigar a turma na compreensão de que tais propriedades são insuficientes para responder o problema inicial Aqui evidenciamos uma importante característica da SF que busca evitar uma aparência superficial do conhecimento matemático Tal aparência superficial leva os estudantes a pensarem que para todo problema encontramos uma resposta definitiva e conclusiva Neste caso o mestre sabe que a resposta para o problema exige bem mais do que algumas linhas de argumentação e além disso deve conhecer a priori as possíveis propriedades necessárias e antever as dificuldades reais à evolução do conhecimento em discussão pela turma No próximo nível o professor convencerá seus alunos a respeito das argumentações que apresentam maiores chances de êxito mesmo que parcial para o problema Nível 4 Prova apresentação e formalização do modelo matemático a ser ensinado Admitindo que seja verdade que 2n 2n f f e 2n 1 2n 1 f f poderíamos afirmar que o comportamento geométrico da sequência de Fibonacci de termos pares estendida será o mesmo comportamento da sequência tradicional a menos de um sinal o que provocará a simetria no gráfico E no segundo caso poderíamos concluir que os termos ímpares tanto da sequência tradicional como a sequência de Fibonacci estendida devem ser idênticos entretanto ambas produzem respostas parciais para nosso problema 152 História da Matemática inicial Para verificar tais igualdades seguimos a sugestão de Benjamin Quinn 2005 p 143 que propõem a verificação da seguinte igualdade n 1 n n f 1 f para n Î Mas assumindo por indução a igualdade n 1 n n f 1 f necessitamos provar que n 1 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 f f 1 f 1 f Usamos n 1 1 n n 1 n 1 n 1 f 1 f 1 f assim Hipótese n 1 n n 1 n 1 n 1 n f f f f f f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n f f f f f f 1 2 1 n nf O pensamento matemático pode apoiar os estudantes em diversos modos quando estudam história GRUGNETTI ROGERS 2000 p 53 A investigação de evidências primárias e o processo de decisão de quais são os resultados e fatores chave em cada evento proporciona uma visão global e interconectada aos jovens entretanto o professor necessita se apoiar em concepções e teorias que possam viabilizar um ensino aprendizagem produtivo com o suporte da História da Matemática A proposta metodológica denominada Sequência Fedathi visa um ensino desta ciência que preserva alguns traços característicos do momento de criação e descoberta de um matemático Deste modo uma das variáveis na pesquisa é a formulação de situações problema intrigantes que exigem bem mais do que o exercício do pensamento algorítmico OTTE1991 p 285 Em nosso caso evidenciamos em várias obras a ausência da exploração de propriedades intrigantes entre as sequências de Fibonacci e de Lucas Apenas em Honsberger 1985 encontramos a breve sugestão de desenvolver propriedades com o que nomeamos de sequência estendidade de Fibonacci A partir dela desenvolvemos também algumas propriedades para a sequência estendida de Lucas Seguindo o raciocínio encontrado nos livros consultados adaptamos os resultados obtidos para a primeira sequência na segunda Na figura 3 exibimos nossa última relação descrita de modo significativo por meio de uma interpretação geométrica Respeitando os limites de síntese deste artigo salientamos de modo resumido o caso das relações com a noção de convergência de sequências Descobrimos que o quociente n 1 n f f converge BENJAMIN QUINN 2005 p 157 O mesmo resultado pode ser compreendido de modo intuitivo e informal num curso de História da Matemática quando recorremos à tecnologia De modo surpreendente não identificamos na literatura pesquisada o comportamento de n 1 n L L descrita do lado direito da Figura 4 153 AULA 6 TÓPICO 3 Fonte DEADIFCE adaptado de Alves Borges Neto 2010 Figura 4 Comportamento geométrico do quociente ALVES BORGES NETO 2010 p 8 Finalizamos este tópico salientando a dificuldade enfrentada pelos professores com vistas a uma efetiva exploração em sala de aula Com mencionamos anteriormente muitos dos conhecimentos apresentados ao professor em formação envolvem um saber de caráter informacional e não um as obras consultadas caráter operacional Alertamos que na maioria dos casos o professor por si só não consegue realizar as necessárias ligações entre teoria e prática principalmente o incipiente na carreira Desse modo buscamos discutir e explorar nestes tópicos um caráter operacional do saber matemático com um viés eminentemente histórico Sua importância é destacada por Dambros 2006 p 5 ao relatar que Dentre as justificativas apresentadas pelos defensores do estudo da história da matemática pelo professor há uma insistentemente citada o professor que conhece a história da matemática compreende a matemática como uma ciência em progresso e construção como uma criação conjunta da humanidade e não como uma ciência préexistente um presente acabado de Deus descoberta por gênios e por isso incontestável Este caráter de saber universal manifestado de modo peculiar na Matemática é histórico Ele perpassa e influencia toda a formação dos formadores de professores e por último influenciará a formação do licenciado Muitos destes condicionamentos podem ser entendidos na medida em que nos atemos à própria constituição evolução e determinação dos currículos de Matemática desde o Brasil colônia até os dias atuais Neste sentido Miorim 1995 p192 discute que Na 3ª série a articulação entre a aritmética e a álgebra continua através da ampliação do estudo de funções de sua representação gráfica e das equações e desigualdades algébricas Na geometria percebese claramente o rompimento 154 História da Matemática com o modelo euclidiano quando é proposto o estudo de proposições fundamentais que servem de base à geometria dedutiva das noções de deslocamentos elementares no plano translação e rotação de figuras e em seguida uma série de estudos específicos sobre figuras relações métricas e homotetia É a pulverização da geometria dedutiva eucliana Em suas considerações notamos a denúncia a respeito das reformas históricas envolvendo o currículo de Matemática que em alguns casos proporcionaram um efeito nocivo à Educação Os elementos apontados pela pesquisadora Maria Ângela Miorim constituem elementos da História da Educação Matemática 155 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS ABOE Asher Episodes from the Early History of Mathematics New York The Mathematics Association of America 1964 ÁVILA G Várias faces da Matemática tópicos para a Licenciatura e Leitura Geral São Paulo Blucher Editora 2007 BASTIAN I O teorema de Pitágoras dissertação Faculdade de Educação PUCSP 2000 BELL E T The development of Mathematics Second Edition London MacGrill Hill Company 1945 BENOIT P CHEMLA K RITTER J Histoire de Fractions Fraction dhistoire Boston Birkhauser 1992 BOYER C A History of Mathematics New York John Wiley and Sons 1991 BROLEZZI A C A tensão entre o discreto e o contínuo na historia da Matemática e no Ensino de Matemática tese Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo USP São Paulo 1996 Arte de contar Uma introdução ao estudo do valor didático da historia da matemática Dissertação Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo USP São 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York Facts On File 2004 ZEUTHEN H G Histoire des Mathématiques de lantiquité et le moyen age Paris GauthiersVillars 1902 158 História da Matemática CURRÍCULO Francisco Régis Vieira Alves Possui graduação em Bacharelado em Matemática pela Universidade Federal do Ceará 1998 graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Ceará 1997 mestrado em Matemática Pura pela Universidade Federal do Ceará 2001 e mestrado em Educação com ênfase em Educação Matemática pela Universidade Federal do Ceará 2002 Atualmente é professor do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Ceará 40ha com dedicação exclusiva do curso de Licenciatura em Matemática Tem experiência na área de Matemática com ênfase em Álgebra Comutativa atuando principalmente nos seguintes temas Didática da Matemática História da Matemática Análise Real Filosofia da Matemática e Tecnologias aplicadas ao ensino de matemática para o nível superior Com pesquisa voltada ao ensino de Cálculo I II e III e na Universidade Aberta do Brasil com o ensino a distância de Matemática Desenvolve pesquisa direcionada para o ensino do Cálculo a Várias Variáveis e sua transição interna Atua também no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática ENCIMA UFC história da matemática licenciatura em matemática LICENCIATURA EM MATEMÁTICA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA UAB IFCE SEMESTRE 5 Ministério da Educação MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Universidade Aberta do Brasil Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Ceará