Trabalho de Cálculo 1

TRABALHO DE CÁLCULO 1 Mostre que g é contínua se e só se c fx0 isto é se e só se g f Assim f é continua se c0 c lim x0 fx existe Para responder esta pergunta vamos a calcular os limites laterais lim x0 fx lim x0 x2 02 0 lim x0 fx lim x0 3x2 302 2 Como os limites laterais são diferentes entao o limite não existe E portanto nao existe c talque f seja continua em R Solução 237 Lembramos que fxgxhx é continua em x0 se gh São continua em x0 e hx0 0 Então gx cosx1 é continua em 1 ja que é a composicao de cozeno e a funçao raiz hxx32 é continua em 1 ja que continua em R pois h é um polinômio x3 2 0 x3 2 x 32 x 1259 E como 1259 1 então x32 0 x 1 Assim fx cosx1x32 é continua em 1 Solução 238 a Seja ε0 então existe δεn 0 talque x 0 x0 δ x δ εn x εn ja que x 0 n x ε fx 0 ε fx f0 ε Logo dado ε0 existe δεn 0 tal que x 0 x0 δ fx f0 ε Isto é f é continua em x0 0 b fx fx0 x x0 x x0nxn1 nxn2x0 nx0n1 nxn1 nxn2x0 nx0n1 nxn nx0n nxn1 nxn2x0 nx0n1 Solução ① g é contínua se e somente se lim xx₀ gx gx₀ Pela definição de g se x x₀ então gx fx Assim no limite temos gx₀ lim xx₀ gx lim xx₀ fx fx₀ já que f é contínua gx₀ fx₀ Portanto gx fx x x₀ e gx₀ fx₀ Daí que gx fx para todo x I isto é g f Calculemos o limite lim xx₀ gx lim xx₀ xx₀ fx fx₀ já que f contínua c pela hipótese gx₀ logo g é contínua em x₀ I E como gx fx para x x₀ e f contínua então g é contínua em I Solução 233 Vamos a calcular os limites em x 0 b lim x0 fx lim x0 x cos x 0 limitado por 1 Solução 2310 Claramente se x 0 x Sen1x é contínua já que é a multiplicação de um polinômio e a função seno as duas contínuas para x 0 Por outro lado lim x0 fx lim x0 x Sen1x ① Notemos 1 Sen1x 1 para x 0 Sen1x 1 para x 0 x Sen1x x 0 x Sen1x x Como lim x0 0 0 e lim x0 x 0 então pelo Teorema do confronto lim x0 x Sen1x 0 Daí lim x0 x Sen1x 0 ② De ① e ② lim x0 fx 0 f0 isto é f é contínua em x₀ 0 Portanto f é contínua em R e como x₀ 0 e x 0 então ⁿxⁿ¹ ⁿxⁿ ⁿ²ⁿx₀ 0 logo fx fx₀ x x₀ ⁿxⁿ¹ ⁿxⁿ ⁿ²ⁿx₀ ⁿx₀ⁿ¹ ① Como x₀ 0 ⁿx₀ ⁿ¹ 0 i 1 2 n ⁿxⁿ¹ ⁿxⁿ ⁿ²ⁿx₀ ⁿx₀ⁿ¹ ⁿx₀ⁿ¹ 1 ⁿxⁿ¹ ⁿxⁿ ⁿ²ⁿx₀ ⁿx₀ⁿ¹ 1 ⁿx₀ⁿ¹ ② Assim De ① e ② segue fx fx₀ x x₀ ⁿx₀ⁿ¹ c Dado ε 0 existe δ ⁿx₀ⁿ¹ ε 0 Tal que x 0 x x₀ δ x x₀ ⁿx₀ⁿ¹ ε x x₀ ⁿx₀ⁿ¹ ε e do Item b fx fx₀ x x₀ ⁿx₀ⁿ¹ ε fx fx₀ ε Portanto dado ε 0 existe δ 0 tal que x 0 x x₀ δ fx fx₀ ε isto é f é contínua em x₀