Lista de Exercicios - Cálculo Diferencial - Problemas Resolvidos

Q8 Uma criança que se encontra com febre é medicada No início da observação a febre estava a 40 C Após 15 minutos é medida a temperatura novamente e obtémse 385 C Suponha que após um longo período de tempo a temperatura se estabilize a 365 C e que o decaimento seja modelado por uma função exponencial onde T é a temperaturagraus Celsius e t é o tempo horas a Determine as constantes b k e T0 b Calcule o tempo necessário para que a temperatura seja menor que 38 C Q9 Determine dydx xx0 a y x sqrt2x3 4x1 x0 3 b 7y² xy³ 4 x0 3 e y0 2 Q10 Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro 4 m e comprimento 5 m A figura representa a seção transversal do tanque no instante t0 o ângulo q varia de zero tanque vazio a π tanque cheio a Determine a taxa de variação do ângulo θ no instante em que a altura do líquido é de 05m b No instante em que a altura h do líquido é de 06 m a vazão é de 08 m³min Determine a taxa de variação da altura h do líquido neste mesmo instante Bons estudos Q1 A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante o produto da pressão pelo volume permanece constante PV c a Encontre a taxa de variação do volume em relação à pressão Uma amostra de gás está em um recipiente a baixa pressão e é regularmente comprimida à temperatura constante por 10 minutos O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 10 minutos Explique b A compressibilidade uma quantidade de interesse na Termodinâmica é definida como β 1V dVdP Assim β mede quão rápido por unidade de volume o volume de uma substância decresce quando a pressão sobe ela cresce a uma temperatura constante Mostre que a compressibilidade isotérmica é dada por β 1P c Considere o volume V uma amostra de ar a 25 C está relacionado com a pressão P em quilopascals pela equação V 53P Calcule a taxa de variação de V em relação a P quando P 50 kPa Calcule a compressibilidade nessa pressão Q2 Qual é a distância vertical mínima entre as parábolas y x² 1 e y x x² Q3 Pacientes passam por tratamento de diálise para remover a ureia de seu sangue quando seus rins não funcionam adequadamente O sangue é desviado do paciente por uma máquina que filtra a ureia Sob certas condições a duração necessária da diálise dado que a concentração inicial da ureia é c 1 é dada pela equação t ln3c sqrt9c² 8c 2 Calcule a derivada de t com relação a c e interpretea Q4 Para quais valores dos números a e b função fx axebx² tem como valor máximo f2 1 Q5 A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T em kelvins pressão P em atmosferas e volume V em litros é PV nRT em que n é o número de mols de gás e R00821 é a constante do gás Suponha que em um certo instante P8 atm e está crescendo a uma taxa de 010 atmmin e V10 L e está decrescendo a uma taxa de 015 Lmin Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante se n10 mols Q6 Se a função fx x³ ax² bx tem valor mínimo local de f 13 239 quais os valores de a e b Qual das tangentes à curva tem a menor inclinação Q7 Um paciente toma 150 mg de um fármaco ao mesmo tempo todos os dias Sabese que o corpo elimina 95 da droga em 24 horas a Qual a quantidade do fármaco no corpo depois do terceiro comprimido Após o Nésimo comprimido b Qual a quantidade da substância que permanece no corpo a longo prazo Q8 Uma criança que se encontra com febre é medicada No início da observação a febre estava a 40 C Após 15 minutos é medida a temperatura novamente e obtémse 385 C Suponha que após um longo período de tempo a temperatura se 1 a PV c ddP dVdP V P dVdP dcdp dVdP VP CP² No início dos 10 minutos pois no final temse um menor volume e uma maior pressão A resposta acima é considerando o módulo de dVdP b β 1V dVdP β 1V VP 1P β 1P c dVdP 535010³² 21210⁹ m³Pa β 15010³ 210⁵ 1Pa 2 i Δy Y x² 1 x x² 2x² x 1 ii dYdx 0 4x 1 x 14 iii y14 214² 14 1 18 28 88 78 Ymin 78 3 dtdc 13c sqrt9c² 8c 3 18c 82 sqrt9c² 8c 3 sqrt9c² 8c 9c 4 3c sqrt9c² 8c sqrt9c² 8c 9c 4 3 sqrt9c² 8c 9c² 8c 3c sqrt9c² 8c dtdc 0 Quanto maior c menor dtdc 4 fx ax ebx² fx a ebx² 2x² b ebx² a ebx² 1 2 b x² Valor máximo x 2 f2 0 a e6b 1 8b 1 8b 0 b 18 f2 1 2a e48 2a e24 a e122 5 PV nRT ddt PV dPdt V P dVdt nR dTdt dTdt VnR dPdt PnR dVdt 1010R 01 810R 015 dTdt 02436 Kmin 6 fx x³ ax² bx fx 3x² 2ax b VALOR mínimo x 13 f13 0 33 2a3 b 233 a b 1 I f13 239 133 a3 b3 39 a3 b33 a3 b33 33 a b3 3 II De I e II 3I 2a 3b 3 II a b3 3 a0 b1 fx x³ x TANGENTE DE MENOR INCLINAÇÃO fx 3x² 1 fx cx 0 x0 f0 1 m ΔyΔx yf0x0 1 y x TANGENTE DE MENOR INCLINAÇÃO 7 FUNÇÃO QUE DESCREVE A QUANTIDADE a Q1 150 mg Q2 150 150 005 mg Q3 150 150005 150005² mg Q3 157875 mg Qn 300019 1005ⁿ Qn 150 150005 150005ⁿ¹ Qln 1501 005ⁿ1005 300019 1005ⁿ b N limn Qn 300019 10 300019 157895 mg N 157895 mg 8 a T0 β T₀ 40C β 35C T025 β ek4 T₀ 385C 2 72 ek4 ek4 74 k 4 ln74 1h limt Tt T₀ 365C b Tt 38C 72 ekt 365 38 72 ekt 32 ekt 37 ekt 73 t 1k ln73 t ln 7 ln 34 ln 7 ln 4 h t 03785 h 9 a dydx 3x32x3 4x1 4x 2x34x 1² 3x34x1 4x 2x3 2x3 4x1² 4x² 3x 3 2x3 4x1² dydx with x 3 49 33 3 63 121² 8121 b 14y dydx y³ dxdx 3y² x dydx 0 dydx 4y² 14 3xy dydx x3 y2 4 34 332 44 1 10 a Cosθt 2 ht2 ht 21 Cosθt dhdt 2 Senθt dθdt ht₀ 32 Cosθt₀ 34 Senθt₀ 72 dθdt 77 dhdt b Vt At L At 2 θt 2²2 2 2 Senθt 2 Cosθt2 4θt 4 Senθt Cosθt At 4θt 2 Sen2θt Vt 54θt 2 Sen2θt dVdt 20 dθdt 20 Cos2θt dθdt ht₀ 35 Cosθt₀ 710 Cos2θt₀ 350 Senθt₀ 5310 dVdt t₀ 08 20 2050 dθdt t₀ dθdt t₀ 251 nodmin dhdt t₀ 2 Senθt₀ dθdt t₀ 535 251 dhdt t₀ 2255 53 mmin