Trabalho de Cálculo 1

TRABALHO DE CÁLCULO 1 Obs Tem que utilizar a definição de função uniformemente contínua Obs Tem que utilizar a definição de função uniformemente contínua Obs Tem que utilizar a definição de função uniformemente contínua Obs Usar o Teorema de Bolzano ou Teorema do Valor Intermediário Obs Usar o Teorema de Bolzano ou Teorema do Valor Intermediário Calculo 1 Prof Matheus 1 Para mostrar que a funcao fx xn nao e uniformemente contınua para n 1 precisamos usar a definicao de uniforme continuidade Uma funcao f A R e uniformemente contınua em um conjunto A se para todo ε 0 existe δ 0 tal que para todos x y em A se x y δ entao fx fy ε Vamos assumir que fx xn e uniformemente contınua em R Isso significa que para todo ε 0 existe δ 0 tal que para todos x y em R se x y δ entao xn yn ε Agora vamos escolher ε 1 Como ε e arbitrario podemos escolher ε 1 sem perda de generalidade Seja δ 0 o correspondente δ dado pela definicao de uniforme continuidade Agora considere x δ2 e y δ com 0 δ 1 Temos x y δ2 δ Entao usando a definicao de uniforme continuidade deverıamos ter xn yn 1 No entanto xn yn δ2n δn δ2n δn Para n 1 δ2n e muito menor do que δn pois δ2 δ Portanto xnyn nao pode ser menor do que 1 para δ 1 o que contradiz a suposicao de que fx xn e uniformemente contınua em R Portanto concluımos que a funcao fx xn nao e uniformemente contınua para n 1 2 Para mostrar que f nao e uniformemente contınua precisamos utilizar a definicao de funcao uniformemente contınua e as informacoes fornecidas no enunciado De acordo com a definicao uma funcao f A R e uniformemente contınua em um conjunto A se para todo ε 0 existe δ 0 tal que para todos x y em A se x y δ entao fx fy ε Vamos supor por contradicao que f e uniformemente contınua Isso sig nificaria que para todo ε 0 existe δ 0 tal que para todos x y em R se x y δ entao fx fy ε No entanto sabemos que existem sequˆencias ann1 e bnn1 em R tal que limnan bn 0 e fan fbn 6 para todo n 1 Escolhendo ε 3 temos que existe δ 0 tal que para todos x y em R se x y δ entao fx fy 3 No entanto como limnanbn 0 podemos escolher N suficientemente grande de modo que para n N tenhamos an bn δ Mas pelo enunciado temos que fan fbn 6 para todo n 1 o que contradiz a suposicao de que fx fy 3 para x y δ Portanto chegamos a uma contradicao o que implica que f nao pode ser uniformemente contınua 1 Pelo Teorema do Valor Intermediário como gx é contínua em e g0 1 e gπ2 0 deve existir pelo menos uma raiz real em 0 π2 Portanto a equação cosx x2 tem pelo menos uma solução real c sinx x4 Definimos hx sinx x4 Esta função é contínua em todo o seu domínio que é R Note que h0 sin0 04 0 e hπ2 sinπ2 π24 0 Além disso limx hx e limx hx Pelo Teorema do Valor Intermediário como hx é contínua em e h0 0 e hπ2 0 deve existir pelo menos uma raiz real em 0 π2 Portanto a equação sinx x4 tem pelo menos uma solução real 5 Para provar que a equação 1 a1x 1 a2x 1 anx nx possui exatamente uma solução real positiva vamos usar o Teorema do Valor Intermediário Definimos fx 1 a1x 1 a2x 1 anx nx Primeiro vamos verificar que fx é contínua em 0 As funções 1 aix são contínuas em 0 para cada i e nx é linear portanto contínua em 0 Como a soma de funções contínuas é contínua então fx é contínua em 0 Agora vamos calcular f0 e f f0 1 1 1 0 n limx fx limx 1 a1x 1 a2x 1 anx nx 0 Agora como fx é contínua em 0 pelo Teorema do Valor Intermediário deve existir um c em 0 tal que fc 0 Ou seja c é a solução real positiva da equação 1 a1c 1 a2c 1 anc nc Resta provar a unicidade desta solução Suponha que haja duas soluções c1 e c2 ambas positivas Então teríamos fc1 fc2 0 Considerando a função gx fx fc1 temos gc1 fc1 fc1 0 e gc2 fc2 fc1 0 Pelo Teorema do Valor Intermediário como gx é contínua em 0 e gc1 gc2 0 deve existir um d em 0 tal que gd 0 Mas isso implicaria que fd fc1 o que contradiz a unicidade de c1 como a única solução real positiva Portanto a equação 1 a1x 1 a2x 1 anx nx possui exatamente uma solução real positiva empty