Termodinâmica e Probabilidade - Resolução de Exercícios

CAP 01 Q03 E Q10 3 Admita que a energia interna de um determinado sistema possa ser escrita em termos de U US P μ Encontre a expressão de dU e obtenha as equações de estado apropriadas a partir das derivadas parciais de U em relação aos parâmetros S P e μ 10 Uma determinada substância apresenta as seguintes propriedades termodinâmicas i Em uma temperatura constante T0 o trabalho realizado pela expansão do volume de v0 para v é W KB T0 ln v v0 1115 ii A entropia do sistema é dada por S KB v0 v T T0α 1116 onde v0 T0 a α são constantes não negativas De fato v0 V0N0 e v VN a Determine a expressão da energia livre de Helmholtz b Encontre a outra equação de estado c Obtenha o trabalho realizado a uma temperatura constante T CAP 02 Q09 E Q10 9 A variável x é sorteada ao acaso com probabilidade dada por φx Aek 2D x2 241 onde k D e A são constantes positivas Obtenha a constante de normalização da probabilidade 10 Considere a seguinte distribuição de probabilidade φxt ρ 4 π D t ex2 4Dt 242 onde ρ e D são constantes t é o tempo e x identifica uma variável contínua Mostre que φxt obedece à equação da difusão φt D 2φx2 243 Questão 3 φx Aek 2σ x2 Densidade de probabilidade Pelas leis da estatística a probabilidade da variável estar entre é to Aek 2σ x2 1 A1 to ek 2σ x2 Fazendo k 2σ x u dx 2σ k du to ek 2σ x2 dx to eu2 du 2σ k 1 A 2σ k to eu2 du I k 2σ 1 A I Fazendo a integral I2 to eu2 du to ew2 dw eu2 w2 dudw utilizando coordenadas polares I2 0 to 0 to 2π er2 r dr dθ 2πer2 2 0 to 2π 0 12 I2 π I π Por fim k 2σ 1 A π A k 2πσ Então φx k 2πσ ek 2σ x2 Questão 3 Primeira questão U Us P μ dU Us ds Up dp Uμ dμ Uma vez que dU T dS V dp N dμ Ou seja T UsP μ V UPs μ N Uμs P Questão 1o Segunda questão S KB v0 v TT0α v VN e v0 V0N a Energia Livre de Helmholtz FT V U TS ou seja FTV S Então S dT F F KB v0 T0α v Tα dT KB v0 T0α v Tα1 α1 F T α 1 S b F U TS U F TS U F TS TSα1 TS U TS α1TS α1 αα1 TS U αα1 KB v0 T0α v Tα1 αα1 V0 V KB T0α Tα1 c Trabalho realizado pelo sistema em T₀ t W kB T lnvv₀ Questão 10 Vamos começar reescrevendo a função φ de uma maneira mais simples de calcular a derivada Para x φxt ρ 4 π D t ex²4Dt α ex²β φx x α ex²β α ex²β β 2x αβ 2x ex²β ²φx² αβ x 2x ex²β αβ 2 ex²β 2x1β ex²β 2x ²φx² αβ 4x²β 2 ex²β ²φx² ρ 4πDt 14Dt 4x² 4Dt 2 ex²4Dt ²φx² ρ π 4Dt32 x²Dt 2 ex²4Dt φxt ρ 4πDt ex²4Dt α t eβt φt α t eβt t α t t12 eβt 1t t eβt φt α 12 t32 eβt 1t eβt βt² φt α eβt β t² 1t 12 t32 α eβt β t42 1 2 t32 φt α eβt t32 β t 12 ρ 4πD ex²4Dt t32 x² 4Dt 12 φt ρ π 4Dt32 ex²4Dt x² t 2D ²φx² ρ π 4Dt32 x²Dt 2 ex²4Dt Visivelmente φt D ²φx²