Física Estatísitica

Para calcular o coeficiente Cn vamos observar que expax² dxn expax₁² axn² dx₁ dxn πan2 38 Mas também podemos escrever expax₁² axn² dx₁ dxn 0 expaR² nAn Rn1 dR nAn2an2 0 xn2 1 ex dx nAn2an2 Γn2 39 Portanto πan2 nAn2an2 Γn2 40 de onde vem que Cn nAn 2 πn2 Γn2 41 ou seja ΩnR δR 2 πn2 Γn2 Rn1 δR 42 Exemplo 3 gás ideal clássico de N partículas monoatômicas e nãointeragentes ou seja desprezando quaisquer interações entre as partículas de massa m dentro do volume V com energia entre E e E δE O hamiltoniano desse sistema é dado por H Σj1N 12m pj² 30 A4 VOLUME DE UMA HIPERESFERA O volume de uma hiperesfera de raio R num espaço de dimensão n é dado por VnR 0 x₁² xn² R² dx₁ dxn 34 Certamente VnR será proporcional a Rn Portanto podemos escrever VnR An Rn 35 onde An é um prefator que depende apenas da dimensionalidade n do espaço Então temos δVnR nAn Rn1 δR SnR δR 36 onde SnR é a área da hiperesfera de raio R Usando a notação do capítulo 4 temos o volume da hipercoroa esférica de raio R e espessura δR num espaço de dimensão n ΩnR δR SnR δR Cn Rn1 δR 37 onde Cn nAn Ω V d³ r₁ d³ rN d³ p₁ d³ pN d³ p₁ d³ pN 2mE p₁² pN² 2mE δE VN d³ p₁ d³ pN 2mE p₁² pN² 2mE δE 31 Para calcular essa última integral em primeira ordem em δE vamos recorrer à fórmula para o hipervolume de uma hipercoroa esférica de raio R e espessura δR num espaço ndimensional ver apêndice A4 ΩnR δR Cn Rn1 δR 32 onde Cn é uma constante que depende apenas da dimensão n No nosso caso com n 3N e R 2 mE 12 temos Ωn E V N δE m 23N 2 C3N 2m3N 2 VN F3N 2 1 δE 33 onde a constante C3N pode ser obtida por meio das fórmulas do apêndice Sistemas dessa natureza em que o volume e a energia no limite de N grande comparecem na expressão de Ω na forma de potências de uma fração de N constituem exemplos importantes de fluídos ideais que vamos chamar de sistemas normais