Resolução da Lista

UEMA Disciplina Mecânica Estatística Curso de Física Prof Wesdney Melo MECÂNICA ESTATÍSTICA LISTA 03 1 Explique o que caracteriza um sistema descrito pelo ensemble microcanônico e quais são as variáveis mantidas constantes nesse tipo de ensemble 2 O que significa o princípio da equiprobabilidade no contexto do ensemble microcanônico e por que ele é considerado o postulado fundamental da mecânica estatística 3 A equação de Boltzmann conecta a mecânica estatística à termodinâmica Explique o significado físico dessa expressão e o papel da constante de Boltzmann 4 Um sistema de dois níveis é composto por N10N partículas onde cada partícula pode ter energia 000 ou Δ20 eV Calcule o número de microestados Ω para o caso em que metade das partículas está excitada 5 Mostre que o logaritmo do número de estados é dado pela seguinte expressão 6 Explique a principal diferença entre o ensemble microcanônico e o ensemble canônico 7 O que é a função de partição canônica Escreva sua expressão geral e descreva seu significado físico 8 Qual é a relação entre a função de partição e o potencial de Helmholtz F Como a partir dessa relação podemos calcular a entropia e a energia interna de um sistema 9 Mostre que para um sistema de osciladores harmônicos o calor específico para cada oscilador é dado por use o ensemble canônico O Ensemble microcanônico é um conceito fundamental da mecânica estatística que descreve um conjunto hipotético que copiar idênticas ou um sistema isolado sistema que não troca energia ou matéria com o exterior O Ensemble representa a coleção ou todas as posições microestadas configuração microscópica que são consistentes com as restrições macroscópicas do sistema As variáveis ou estados que são constantes são número de partículas N no equilíbrio ou matéria no sistema é constante pois ele é fechado à troca de partículas volume V o espaço físico disponível para o sistema é constante energia total E é um sistema isolado não troca calor nem trabalho com o meio O Princípio da Equiprobabilidade afirma que Para um sistema isolado em equilíbrio todas as microestados acessíveis que são consistentes com as restrições macroscópicas N V E são igualmente prováveis Isso significa que se o Ω N V E é o número total de microestados possíveis para o sistema com aquelas restrições a probabilidade p ou encontrar o sistema em qualquer um desses microestados é p 1Ω Este princípio é conhecido a postulado fundamental da mecânica estatística por três razões principais I Ele é a regra que permite eximir as leis da física microscópica ao conceito macroscópico e observações da Termodinâmica II Em um sistema em equilíbrio as propriedades macroscópicas não mudam O postulado garante que o sistema não prefere ficar em um subconjunto específico de microestados devendo e explorar todos com igual probabilidade ao ao longo do tempo III Riva diretamente a definição estatística dos integrais a partir da qual toda a Termodinâmica pode ser derivada A equação de Boltzmann é a definição da entropia S KB ln Ω onde S é a entropia termodinâmica Ω é o número de microestados macroónimos e KB é a constante de Boltzmann Essa equação estabelece a ligação mais importante entre mecânica estatística e a termodinâmica afirmando que A entropia de um sistema em equilíbrio é uma medida ao número de microestados coerentemente com o estado macroscópico Fisicamente a entropia é uma medida das incertezas das dispersão de energia ou da falta ou informação sobre o microestado exato do sistema Número total ou particular N total 10N condição metares idas particular está excitada número de partículas excitadas n1 n1 10N2 n1 5N número de partículas no estado fundamental no no 10N 5N no 5N Um sistema que pode ser realizado por um número maior vai avançar microscópica para uma entropia maior uma tendência natural da natureza O uno ao equilíbrio natural garante que a Entropia seja uma propriedade radiativaextensiva A constante de Boltzmann desempenha um papel de convenção garante a organização radiacionais ens para a unidade de entropia utilizada na Termodinâmica E também estabelece a escala da energia microscópica KB RNA onde R é a constante das gases perfeitas e NA é o número ou avogadro Aplicando va fórmula de combi nação Omega N total n1 Omega N total n1 N total n1 Omega 10 N 5N5N O número de amostrar Omega para s sistema ou dois níveis com N total 10N e com nustros vlor pontiais excitados é Omega 10 N 5N5N 5 começamos com a definição du é lapinando o logaritmo natural Omega N m Nm ln Omega ln N m Nm Usemos uma propriedade do logaritmo ln Omega ln N lnm lnNm ln Omega ln N lnm lnNm I Como N M e NM sã tipicamente números muito grendas utilizamos a Aproximação dov Stirling para o ln do fatorial ln x x ln x x Aplicando va laproximação na equação I temos ln Omega N ln NN M ln MM NM ln NM NM ln Omega N ln N M ln M NM ln NM N M NM ln Omega N ln N M ln M NM ln NM Reamanyamos para isolar o tiver MN e 1MN N ln N M ln M NM ln N ln Omega M ln N NM ln N M ln M NM ln NM ln Omega M ln N M ln M NM ln N NM ln NM ln Omega M ln N ln M NM ln N ln NM ln Omega M ln NM NM ln NNM Aplicamos a propriedade lnab ln ba I Para o primeiro termo M en NM M en MN II Para o segundo termo NNM 11MN NMen 11MN NM en 1MN Portanto ln ΩMN M ln MN NM en 1MN 6 A principal diferença reside na conexão dos sistema com o ambiente i consequentemente nas variações ou estados que são mantidos constante Comparativo dois ensembles Característica ensemble micro canônico ensemble canônico Ambiente sistema completamente isolado sistema em contato local restritório de calor Troca com o ambiente não troca energia E nem particular N troca energia calor mas não troca particular Variar Números de particular N Número de particular N Conter volume V e energia total E volume V e tempera Variar ou flutuar Nenhum mas ou energia é fixo A energia E flutua Aplicabilidade Usado para sistemas isolamente isolados difícil usar na prátioa Usado para sistema em equilíbrio térmico Uma forma a diferença principal é a variável ao conter No microcanônico a Energia é a restrição constante e a temperatura T é uma propriedade que precisa ser calculadas No canônico a temperatura T é a restrição e a energia é uma variável que precisa e deve ser calculada como um valor médio 7 A função ou partição canônica Z é uma soma sobre todos os microestados acumulando todo sistema onde cada microestado j possui uma energia Ej Z eβEj onde j é um microestado individual do sistema Ej é a energia total do microestado j e β é uma variável termodinâmica definida como β 1kBT onde kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta A função ou partição é a quantidade mais importante na mecânica estatística pois Z é um número que resume como os estados de energia do sistema são distribuídos pela temperatura Através de Z todas as propriedades termodinâmicas macroscópicas do sistema podem ser calculadas Z é o fator de normalização que garante que a soma das probabilidades de todos os estados seja igual a 1 Pj eβEj Z 8 O potencial ou Helmholtz é a função termodinâmica característica do Ensemble canônico A relação entre F e a função de partição Z é a conexão fundamental entre a termodinâmica e a mecânica estatística no Ensemble canônico F kBT ln Z onde F é a energia livre ou Helmholtz kB é a constante de Boltzmann T é a temperatura absoluta e Z é a função de partição Cálculo da energia interna U A energia interna é o valor médio da energia do sistema no Ensemble canônico Na termodinâmica F U TS U F TS A energia interna pode ser calculada através das derivadas de ln z em relação a β U ln z βNV como β 1 kB T U kB T2 ln z TNV Cálculo da entropia S Na termodinâmica S F TNV Via função de partição F kB T ln z Portanto S kB ln z kB T ln z TNV 9 O calor específico a volume constante é definido como taxas de variação da energia interna por unidade de temperatura cV U TVN Para um único oscilador energia interna por oscilador u u T u T A energia dos níveis de um oscilador harmônico quântico é En ħω n 12 onde n 0 1 2 e ħω é o quantum de energia A função de partição canônica para um único oscilador é Z n0 eβ En Z n0 eβ ħω n 12 Z eβ ħω 2 n0 en β ħω A soma n0 en x é uma série geométrica convergente n0 nn 1 1 n onde n eβ ħω Z eβ ħω 2 1 1 eβ ħω A energia interna média por oscilador é dada por relação estatística u ln z β Calculando em z ln z ln eβħω 2 ln 1 eβħω1 ln z βħω2 ln 1 eβħω Derivando ln z em relação a β ln z β β βħω 2 ln 1 eβħω β ln 1 eβħω 1 1 eβħω ħω eβħω Substituindo na expressão de u u ħω 2 ħω eβħω 1 eβħω u ħω 2 ħω eβħω 1 eβħω u ħω 2 ħω eβħω 1 I O calor específico é du dT u T u β β T como β 1 kB T β T T 1 kB T 1 kB 1 T2 1 kB T2 β T kB 1 kB T2 kB β2 Agora a partir da equação I calculamos u β u β β ħω 2 ħω eβħω 11 vβ ħω² eβħω eβħω 1² Substituindo vT ħω² eβħω eβħω 1² kB β² vT kB ħω² β² eβħω eβħω 1² vT kB βħω² eβħω eβħω 1²