Mecanica e Estatistica

22 b Teorema de Liouville O Teorema de Liouville diz que para sistemas clássicos em evolução Hamiltoniana a densidade de probabilidade no espaço de fase é constante ao longo do tempo Ou seja O fluxo de pontos no espaço de fase é incompresível Isso significa que à medida que o sistema evolui o volume ocupado pelos microestados no espaço de fase é preservado 23 c Espaço de Fase e sua Dimensão para uma Partícula Livre O espaço de fase é o espaço abstrato formado por todas as combinações possíveis das variáveis de posição e momento de um sistema Para uma partícula livre em três dimensões A posição é descrita por três coordenadas x y z O momento é descrito por três coordenadas px py pz Logo a dimensão do espaço de fase é 336 3 Número de Estados Acessíveis para o Sistema de Spins Considerando um sistema isolado com N partículas de spin 12 que interagem fracamente onde cada partícula pode estar em dois estados paralelo ou antiparalelo ao campo H a energia total do sistema é dada por En1n2μH com a condição n1n2N Para encontrar n1 e n2 eu resolvo o seguinte sistema 1 Soma n1n2N 2 Diferença n1n2EμH Somando as duas equações obtenho 2n1 N EμH n1 12 N EμH Analogamente n2 12 N EμH O número de estados acessíveis degenerescência é dado pelo número de maneiras de distribuir os spins paralelos entre as N partículas ou seja ΩN E N choose n1 N NEμH2 NEμH2 Esta é a expressão para o número de microestados acessíveis em função de N μ H e E Solucao Completa Sistema de Trˆes Spins em um Campo Magnetico e Conceitos Fundamentais 3 de abril de 2025 1 Sistema de Trˆes Spins em um Campo Magnetico Cada spin pode assumir dois estados Estado para cima com energia E µH Estado para baixo com energia E µH A energia total de um sistema com trˆes spins e dada por E µH n µH 3 n µH 3 2n onde n representa o numero de spins para cima 11 Caso a E µH Para determinar n eu igualo µH 3 2n µH Dividindo ambos os lados por µH assumindo H 0 3 2n 1 Resolvendo 2n 3 1 4 n 2 Assim para E µH o sistema possui 2 spins para cima e 1 spin para baixo A probabilidade P de um spin individual estar para cima neste microestado e dada por P 2 3 12 Caso b E µH Da mesma forma inicio com µH 3 2n µH 1 Dividindo ambos os lados por µH 3 2n 1 Resolvendo 2n 3 1 2 n 1 Portanto para E µH ha 1 spin para cima e 2 spins para baixo Note que nao e possıvel que todos os spins estejam para baixo o que corresponderia a n 0 e E 3µH dessa forma a probabilidade de todos os spins apontarem para baixo neste caso e zero 13 Diagrama das Configuracoes Possıveis A seguir listo os 8 microestados usando para spin para cima e para spin para baixo e suas energias Configuracao n Expressao Calculo Energia Resultante 3 3 23 3 6 3µH 2 3 22 3 4 µH 2 3 22 3 4 µH 2 3 22 3 4 µH 1 3 21 3 2 µH 1 3 21 3 2 µH 1 3 21 3 2 µH 0 3 20 3 0 3µH Observacoes Para E µH Os trˆes microestados linhas 2 a 4 possuem 2 spins para cima Para E µH Os trˆes microestados linhas 5 a 7 possuem 1 spin para cima nenhum microestado corresponde a todos os spins para baixo linha 8 corresponde a E 3µH 2 Conceitos Fundamentais 21 a Postulado Fundamental da Mecˆanica Estatıstica Tambem conhecido como o postulado da igualdade de probabilidade a priori este postulado afirma que Todos os microestados compatıveis com as condicoes macroscopicas res tricoes de energia volume numero de partıculas etc sao igualmente provaveis Em outras palavras na ausˆencia de informacoes adicionais assumo que o sistema em equilıbrio visita todos os microestados acessıveis com a mesma probabilidade 2 Universidade Federal do Pará Faculdade de Física EAD Mecânica Estatística Prof Dr Elinei Santos Lista 2 1 Considere um sistema de três spins em equilíbrio em um campo magnético H a Se a energia total do sistema é μH qual a probalidade P que os spins apontem para cima no campo b Se a energia é μH qual a probalidade de todos os spins apontarem para baixo Faça um diagrama com as diferentes configurações desse sistema semelhante que fiz em sala 2 Explique succintamente a Qual o postulado fundamental da mecânica estatística ou postulado de de igual probabilidade à priori b O que diz o teorema de Liouville c O que é o espaço de fase Qual a dimensão do espaço de fase para um partícula livre 3 Considere um sistema isolado consistindo de um grande número N de partículas de spin ½ localizadas e interagindo fracamente Cada partícula tem um momento magnético μ o qual pode apontar tanto paralelo quanto antiparalelo a um campo magnético aplicado H A energia total do sistema é En1n2μH onde n1 é o número de spins com alinhamento paralelo a H e n2 é o número de spins alinhados antiparalelo a H Determine como fizemos na aula o número de estados acessíveis do sistema em função de N μ H E