Transformada de Laplace - Funcao de Transferencia e Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Encontrar a transformada de Laplace de funções no domínio do tempo e a transformada de Laplace inversa Seções 21 e 22 Encontrar a função de transferência a partir de uma equação diferencial e resolver a equação diferencial usando a função de transferência Seção 23 Encontrar a função de transferência de circuitos elétricos lineares invariantes no tempo Seção 24 Encontrar a função de transferência de sistemas mecânicos translacionais lineares invariantes no tempo Seção 25 Encontrar a função de transferência de sistemas mecânicos rotacionais lineares invariantes no tempo Seção 26 Encontrar a função de transferência de sistemas de engrenagens sem perda e de sistemas de engrenagens com perdas Seção 27 Encontrar a função de transferência de sistemas eletromecânicos lineares invariantes no tempo Seção 28 Produzir circuitos elétricos e sistemas mecânicos análogos Seção 29 Linearizar um sistema não linear para obter a função de transferência Seções 210 e 211 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas frontais você será capaz de determinar a função de transferência de cada subsistema Dado um modelo de uma perna humana ou um circuito elétrico não linear você será capaz de linearizar o modelo e em seguida obter a função de transferência 21 Introdução No Capítulo 1 examinamos a sequência de análise e projeto que inclui a obtenção de um esquema do sistema e demonstramos esse passo para um sistema de controle de posição Para obter um esquema o engenheiro de sistemas de controle deve frequentemente adotar diversas hipóteses simplificadoras de modo a manter o modelo resultante tratável e ainda aproximar a realidade física O próximo passo é desenvolver modelos matemáticos a partir de esquemas de sistemas físicos Discutiremos dois métodos 1 funções de transferência no domínio da frequência e 2 equações de estado no domínio do tempo Esses tópicos são cobertos neste capítulo e no Capítulo 3 respectivamente À medida que prosseguirmos vamos observar que em ambos os casos o primeiro passo do desenvolvimento de um modelo matemático é a aplicação das leis básicas da física utilizadas na ciência e na engenharia Por exemplo quando modelarmos circuitos elétricos a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas dos circuitos elétricos serão aplicadas inicialmente Somaremos tensões em uma malha ou correntes em um nó Quando estudarmos sistemas mecânicos usaremos as leis de Newton como princípios orientadores fundamentais Nesse caso somaremos forças ou torques A partir dessas equações obteremos a relação entre a saída e a entrada do sistema No Capítulo 1 verificamos que uma equação diferencial pode descrever a relação entre a entrada e a saída de um sistema A forma da equação diferencial e seus coeficientes são uma formulação ou descrição do sistema Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema Analisando a Eq 12 uma equação diferencial geral de ordem n linear e invariante no tempo observamos que os parâmetros do sistema que são os coeficientes bem como a saída ct e a entrada rt aparecem por toda a equação Seria preferível uma representação matemática como a mostrada na Figura 21a em que a entrada a saída e o sistema são partes distintas e separadas Além disso gostaríamos de representar de modo conveniente a interconexão de diversos subsistemas Por exemplo gostaríamos de representar interconexões em cascata como mostrado na Figura 21b em que uma função matemática chamada função de transferência está no interior de cada bloco e as funções em blocos podem ser facilmente combinadas para produzir a Figura 21a facilitando assim a análise e o projeto Esta conveniência não pode ser obtida com a equação diferencial 22 Revisão da Transformada de Laplace É difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na forma de um diagrama de blocos Assim preparamos o terreno para a transformada de Laplace com a qual podemos representar a entrada a saída e o sistema como entidades separadas Além disso seu inter relacionamento será simplesmente algébrico Vamos primeiro definir a transformada de Laplace e em seguida mostrar como ela simplifica a representação de sistemas físicos Nilsson 1996 A transformada de Laplace é definida como em que s σ jω é uma variável complexa Desse modo conhecendose ft e sabendose que a integral na Eq 21 existe podemos obter uma função Fs chamada de transformada de Laplace de ft1 FIGURA 21 a Representação em diagrama de blocos de um sistema b representação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas A notação para o limite inferior significa que mesmo que ft seja descontínua em t 0 podemos iniciar a integração antes da descontinuidade desde que a integral convirja Assim podemos obter a transformada de Laplace de funções impulso Esta propriedade tem nítidas vantagens quando aplicamos a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais nas quais as condições iniciais são descontínuas em t 0 Utilizando equações diferenciais precisamos resolvêlas para as condições iniciais após a descontinuidade conhecendose as condições iniciais antes da descontinuidade Utilizando a transformada de Laplace precisamos conhecer apenas as condições iniciais antes da descontinuidade Ver Kailath 1980 para uma discussão mais detalhada TABELA 21 Tabela de transformadas de Laplace Item no ft Fs 1 δt 1 2 ut 3 tut 4 tnut 5 eatut 6 sen ωtut 7 cos ωtut A transformada inversa de Laplace a qual nos permite obter ft a partir de Fs é em que ut 1 t 0 0 t 0 é a função degrau unitário A multiplicação de ft por ut produz uma função do tempo que é igual a zero para t 0 Utilizando a Eq 21 é possível obter uma tabela relacionando ft com Fs para casos específicos A Tabela 21 mostra os resultados para uma amostra representativa de funções Caso utilizemos a tabela não precisamos usar a Eq 22 a qual requer uma integração complexa para obter ft a partir de Fs No exemplo a seguir demonstramos a utilização da Eq 21 para obter a transformada de Laplace de uma função do tempo Exemplo 21 Transformada de Laplace de uma função do tempo PROBLEMA Obter a transformada de Laplace de ft Aeatut SOLUÇÃO Como a função do tempo não contém uma função impulso podemos substituir o limite inferior da Eq 21 por 0 Assim Além da tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 podemos utilizar os teoremas da transformada de Laplace listados na Tabela 22 para auxiliar na transformação entre ft e Fs No exemplo a seguir demonstramos a utilização dos teoremas da transformada de Laplace mostrados na Tabela 22 para obter ft a partir de Fs Exemplo 22 Transformada Inversa de Laplace PROBLEMA Obter a transformada inversa de Laplace de F1s 1s 32 SOLUÇÃO Para este exemplo utilizamos o teorema do deslocamento em frequência Item 4 da Tabela 22 e a transformada de Laplace de ft tut Item 3 da Tabela 21 Se a transformada inversa de Fs 1s2 é tut a transformada inversa de Fs a 1s a2 é eattut Assim f1t e3ttut Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada inversa de Laplace de uma função com elevado grau de complexidade podemos converter a função em uma soma de termos mais simples para os quais conhecemos a transformada de Laplace O resultado é chamado de expansão em frações parciais Se F1s NsDs em que a ordem de Ns é menor do que a ordem de Ds então uma expansão em frações parciais pode ser realizada Se a ordem de Ns for maior ou igual à ordem de Ds então Ns deve ser dividido por Ds sucessivamente até que o resultado tenha um resto cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do denominador Por exemplo se TABELA 22 Teoremas da transformada de Laplace 1Para que este teorema leve a resultados finitos corretos todas as raízes do denominador de Fs devem ter parte real negativa e não que um pode estar na origem 2Para que este teorema seja válido ft deve ser contínua ou ter uma descontinuidade em degrau em t 0 isto é sem impulsos ou suas derivadas em t 0 devemos realizar a divisão indicada até obtermos um resto cuja ordem do numerador seja inferior à ordem de seu denominador Assim Fazendo a transformada inversa de Laplace utilizando o Item 1 da Tabela 21 em conjunto com o teorema da diferenciação Item 7 e o teorema da linearidade Item 3 da Tabela 22 obtemos Utilizando a expansão em frações parciais seremos capazes de expandir funções como Fs 2s2 s 5 em uma soma de termos e em seguida obter a transformada inversa de Laplace para cada termo Iremos agora considerar três casos e mostrar em cada caso como Fs pode ser expandida em frações parciais Caso 1 As Raízes do Denominador de Fs São Reais e Distintas Um exemplo de Fs com raízes reais e distintas no denominador é As raízes do denominador são distintas uma vez que cada fator é elevado apenas à primeira potência Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador original forma o denominador de cada termo e constantes chamadas de resíduos formam os numeradores Assim Para obter K1 primeiro multiplicamos a Eq 28 por s 1 o que isola K1 Assim Fazendo s tender a 1 eliminase o último termo e resulta K1 2 Analogamente K2 pode ser obtida multiplicandose a Eq 28 por s 2 e em seguida fazendo s tender a 2 assim K2 2 Cada parte constituinte da Eq 28 corresponde a uma Fs na Tabela 21 Portanto ft é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada um dos termos isto é Então em geral dada uma Fs cujo denominador possui raízes reais e distintas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds Para calcular cada resíduo Ki multiplicamos a Eq 211 pelo denominador da fração parcial correspondente Assim se desejamos obter Km multiplicamos a Eq 211 por s pm e obtemos Se fazemos s tender a pm todos os termos do lado direito da Eq 212 tendem a zero exceto o termo Km restando O exemplo a seguir demonstra a utilização da expansão em frações parciais na solução de uma equação diferencial Observaremos que a transformada de Laplace reduz a tarefa de encontrar a solução à álgebra simples Exemplo 23 Solução via Transformada de Laplace de uma Equação Diferencial PROBLEMA Dada a equação diferencial a seguir obter a solução para yt considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero Utilize a transformada de Laplace SOLUÇÃO Substitua a Fs correspondente a cada termo na Eq 214 utilizando o Item 2 da Tabela 21 os Itens 7 e 8 da Tabela 22 e as condições iniciais de yt e de dytdt dadas por y0 0 e 0 0 respectivamente Assim a transformada de Laplace da Eq 214 é Resolvendo para a resposta Ys resulta Para resolver para yt observamos que a Eq 216 não corresponde a nenhum dos termos da Tabela 21 Assim realizamos a expansão em frações parciais do termo do lado direito da equação e fazemos a correspondência de cada um dos termos resultantes com as funções Fs da Tabela 21 Assim em que pela Eq 213 Portanto Como cada uma das três partes constituintes da Eq 219 é representada como uma função Fs na Tabela 21 yt é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada termo Consequentemente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar os arquivos ch2p1 até ch2p8 do Apêndice B Este é o seu primeiro exercício de MATLAB Você aprenderá como utilizar o MATLAB para 1 representar polinômios 2 obter as raízes de polinômios 3 multiplicar polinômios e 4 obter expansões em frações parciais Finalmente o Exemplo 23 será resolvido utilizando o MATLAB A função ut na Eq 220 mostra que a resposta é igual a zero até t 0 A menos que seja especificado de forma diferente todas as entradas dos sistemas neste texto não começarão antes de t 0 Assim as respostas de saída também serão iguais a zero antes de t 0 Por conveniência vamos omitir a notação ut a partir de agora Portanto escrevemos a resposta de saída como Caso 2 As Raízes do Denominador de Fs São Reais e Repetidas Um exemplo de uma função Fs com raízes reais e repetidas no denominador é As raízes de s 22 no denominador são repetidas uma vez que este fator está elevado a uma potência inteira maior que 1 Nesse caso a raiz do denominador em 2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2 Experimente 21 Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência linear invariante no tempo LTI linear timeinvariant da Eq 222 Fzpk1 2 22 Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador forma o denominador de cada termo Além disso cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores do denominador de multiplicidade reduzida Por exemplo se então K1 2 o que pode ser obtido conforme descrito anteriormente K2 pode ser isolado multiplicandose a Eq 223 por s 22 resultando Fazendo s tender a 2 K2 2 Para obter K3 observamos que se derivarmos a Eq 224 em relação a s K3 é isolado e pode ser obtido se fizermos s tender a 2 Consequentemente K3 2 Cada termo constituinte da Eq 223 é uma função Fs na Tabela 21 logo ft é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada um dos termos ou Experimente 22 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudálo a obter a Eq 226 numf2 denfpoly1 2 2 rpkresidue numfdenf Se a raiz do denominador fosse de multiplicidade maior que 2 derivações sucessivas isolariam cada resíduo na expansão da raiz múltipla Assim em geral dada uma Fs cujo denominador tenha raízes reais e repetidas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em p1 Para obter K1 até Kr para as raízes com multiplicidade maior que a unidade multiplicase inicialmente a Eq 227 por s p1r obtendose F1s que é Imediatamente podemos determinar K1 fazendo s tender a p1 Podemos determinar K2 derivando a Eq 228 em relação a s e em seguida fazendo s tender a p1 Derivações sucessivas permitirão que determinemos K3 até Kr A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é Caso 3 As Raízes no Denominador de Fs São Complexas ou Imaginárias Um exemplo de Fs com raízes complexas no denominador é Experimente 23 Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência LTI da Eq 230 Ftf31 2 5 0 Esta função pode ser expandida da seguinte forma K1 é obtida da forma usual como K2 e K3 podem ser determinadas multiplicandose inicialmente a Eq 231 pelo mínimo múltiplo comum do denominador ss2 2s 5 e cancelandose os termos comuns das frações Após a simplificação com K1 obtemos Igualando os coeficientes temos K2 0 e K3 0 Assim K2 e K3 Portanto Podese mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno amortecidos exponencialmente Utilizando o Item 7 da Tabela 21 e os Itens 2 e 4 da Tabela 22 obtemos Analogamente Somando as Eqs 234 e 235 obtemos Agora convertemos o último termo da Eq 233 para a forma sugerida pela Eq 236 completando os quadrados no denominador e ajustando os termos do numerador sem alterar seu valor Assim Comparando a Eq 237 com as funções da Tabela 21 e a Eq 236 encontramos Experimente 24 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para obter a Eq 238 a partir da Eq 230 syms s filaplace 3ss22s5 prettyf Para se visualizar a solução uma forma alternativa de ft obtida por identidades trigonométricas é preferível Utilizando as amplitudes dos termos em cos e sen colocamos em evidência a partir do termo entre parênteses e obtemos ou em que arctan 05 2657 Assim ft é igual a uma constante somada a uma senoide amortecida exponencialmente Assim em geral dada uma função Fs cujo denominador possua raízes complexas ou puramente imaginárias uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor que a ordem de Ds p1 for real e s2 as b tiver raízes complexas ou puramente imaginárias As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos K2s K3 no numerador em vez de simplesmente K1 como no caso de raízes reais Os Ki na Eq 242 são obtidos igualandose os coeficientes da equação depois da simplificação das frações Depois de se completar os quadrados em s2 as b e se ajustar o numerador K2s K3s2 as b pode ser colocada na forma do lado direito da Eq 236 Finalmente ocorrerá o caso de raízes puramente imaginárias se a 0 na Eq 242 Os cálculos são os mesmos Outro método que segue a técnica utilizada para a expansão em frações parciais de Fs com raízes reais no denominador pode ser utilizado para raízes complexas e imaginárias Entretanto os resíduos das raízes complexas e imaginárias são conjugados complexos Então após a obtenção da transformada inversa de Laplace os termos resultantes podem ser identificados como e Por exemplo a função Fs anterior também pode ser expandida em frações parciais como Encontrando K2 Experimente 25 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudálo a obter a Eq 247 numf3 denf1 2 5 0 rpkresidue numfdenf De modo análogo K3 é obtida como o conjugado complexo de K2 e K1 é determinada conforme descrito anteriormente Assim de que Utilizando as Eqs 243 e 244 temos em que arctan 05 2657 Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar os arquivos ch2sp1 e ch2sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como construir objetos simbólicos e em seguida obter as transformadas inversas de Laplace e as transformadas de Laplace de funções no domínio da frequência e no domínio do tempo respectivamente Os exemplos do Caso 2 e do Caso 3 desta seção serão resolvidos utilizando a Symbolic Math Toolbox Exercício 21 PROBLEMA Obtenha a transformada de Laplace de ft te5t RESPOSTA Fs 1s 52 A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 22 PROBLEMA Obtenha a transformada de Laplace inversa de Fs 10ss 2s 32 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 23 A Função de Transferência Na seção anterior definimos a transformada de Laplace e sua inversa Apresentamos a ideia da expansão em frações parciais e aplicamos esses conceitos na solução de equações diferenciais Estamos agora preparados para elaborar a representação de sistema mostrada na Figura 21 estabelecendo uma definição viável para uma função que relacione algebricamente a saída de um sistema à sua entrada Esta função permitirá a separação da entrada do sistema e da saída em três partes separadas e distintas diferentemente do que ocorre com a equação diferencial A função também nos permitirá combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para produzir uma representação do sistema como um todo Vamos começar escrevendo uma equação diferencial geral de ordem n linear e invariante no tempo em que ct é a saída rt é a entrada e os coeficientes ai e bi e a forma da equação diferencial representam o sistema Aplicandose a transformada de Laplace a ambos os lados da equação A Eq 251 é uma expressão puramente algébrica Se admitirmos que todas as condições iniciais são nulas a Eq 251 reduzse a Agora formando a razão da transformada da saída Cs dividida pela transformada da entrada Rs Observe que a Eq 253 separa a saída Cs a entrada Rs e o sistema a razão entre polinômios em s no lado direito da igualdade Chamamos essa razão Gs de função de transferência e a calculamos com condições iniciais nulas A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos como mostrado na Figura 22 com a entrada à esquerda e a saída à direita e a função de transferência do sistema no interior do bloco Observe que o denominador da função de transferência é idêntico ao polinômio característico da equação diferencial Além disso podemos obter a saída Cs utilizando Vamos aplicar o conceito da função de transferência a um exemplo e em seguida utilizar o resultado para obter a resposta do sistema FIGURA 22 Diagrama de blocos de uma função de transferência Exemplo 24 Função de Transferência de uma Equação Diferencial PROBLEMA Obtenha a função de transferência representada por SOLUÇÃO Aplicandose a transformada de Laplace a ambos os lados da equação admitindo condições iniciais nulas temos A função de transferência Gs é Estudantes que estão utilizando o MATLAB devem agora executar os arquivos ch2p9 até ch2p12 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para criar funções de transferência com numeradores e denominadores na forma polinomial ou fatorada Você também aprenderá como converter entre as formas polinomial e fatorada Finalmente você aprenderá como utilizar o MATLAB para construir gráficos de funções temporais Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch2sp3 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para simplificar a entrada de funções de transferência de maior complexidade bem como a melhorar o aspecto das funções Você aprenderá como entrar com uma função de transferência simbólica e convertêla em um objeto linear e invariante no tempo LTI linear timeinvariant como apresentado no Apêndice B ch2p9 Exemplo 25 Resposta do Sistema a Partir da Função de Transferência PROBLEMA Utilize o resultado do Exemplo 24 para obter a resposta ct para uma entrada rt ut um degrau unitário admitindo condições iniciais nulas SOLUÇÃO Para resolver o problema utilizamos a Eq 254 em que Gs 1s 2 conforme obtido no Exemplo 24 Uma vez que rt ut Rs 1s a partir da Tabela 21 Como as condições iniciais são nulas Expandindo em frações parciais obtemos Finalmente fazendose a transformada de Laplace inversa de cada um dos termos resulta Experimente 26 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a obter a Eq 260 syms s c1ss2 CilaplaceC Experimente 27 Use as seguintes instruções MATLAB para representar graficamente a Eq 260 para t variando de 0 a 1 em intervalos de 001 s t00011 plot t1212exp2t Exercício 23 Exercício 23 PROBLEMA Obtenha a função de transferência Gs CsRs correspondente à equação diferencial RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 24 PROBLEMA Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 25 PROBLEMA Obtenha a resposta à rampa para um sistema cuja função de transferência é RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Em geral um sistema físico que pode ser representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo pode ser modelado como uma função de transferência O restante deste capítulo será dedicado à tarefa de modelagem dos subsistemas individuais Aprenderemos como representar circuitos elétricos sistemas mecânicos translacionais sistemas mecânicos rotacionais e sistemas eletromecânicos como funções de transferência À medida que a necessidade surgir o leitor pode consultar a Bibliografia no final do capítulo para discussões sobre outros tipos de sistemas como sistemas pneumáticos hidráulicos e de transferência de calor Cannon 1967 24 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Nesta seção aplicamos formalmente a função de transferência na modelagem matemática de circuitos elétricos incluindo circuitos passivos e circuitos com amplificadores operacionais Seções subsequentes cobrem sistemas mecânicos e eletromecânicos Circuitos equivalentes para os circuitos elétricos com os quais trabalharemos inicialmente consistem em três componentes lineares passivos resistores capacitores e indutores2 A Tabela 23 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga para condições iniciais nulas Combinamos agora os componentes elétricos em circuitos decidimos sobre a entrada e a saída e obtemos a função de transferência Nossos princípios orientadores são as leis de Kirchhoff Somamos tensões ao longo de malhas ou somamos correntes em nós dependendo de qual técnica envolve o menor esforço de manipulação algébrica e em seguida igualamos o resultado a zero A partir dessas relações podemos escrever as equações diferenciais para o circuito Em seguida tomamos a transformada de Laplace das equações diferenciais e finalmente resolvemos para obter a função de transferência TABELA 23 Relações tensãocorrente tensãocarga e impedância para capacitores resistores e indutores Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro vt V volts it A ampères qt Q coulombs C F farads R Ω ohms G S siemens L H henrys Circuitos Simples Através da Análise das Malhas As funções de transferência podem ser obtidas utilizandose a lei de Kirchhoff das tensões e somandose as tensões ao longo dos laços ou malhas Chamamos este método de análise das malhas ou dos laços e o demonstramos no exemplo a seguir Exemplo 26 Função de Transferência Malha Única Através da Equação Diferencial PROBLEMA Determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor VCs à tensão de entrada Vs na Figura 23 SOLUÇÃO Em qualquer problema o projetista deve primeiro decidir quais devem ser as variáveis de entrada e de saída Neste circuito diversas variáveis poderiam ter sido escolhidas como a saída por exemplo a tensão no indutor a tensão no capacitor a tensão ou a corrente no resistor O enunciado do problema entretanto é claro neste caso devemos tratar a tensão no capacitor como a saída e a tensão de alimentação como a entrada FIGURA 23 Circuito RLC Somando as tensões ao longo da malha admitindo condições iniciais nulas produzse a equação íntegrodiferencial para este circuito como Trocandose as variáveis de corrente para carga utilizando it dqtdt resulta Da relação tensãocarga para um capacitor da Tabela 23 Substituindo a Eq 263 na Eq 262 resulta Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas reorganizando os termos e simplificando resulta Resolvendo para a função de transferência VCsVs obtemos como mostrado na Figura 24 FIGURA 24 Diagrama de blocos de circuito elétrico RLC em série Vamos agora desenvolver uma técnica para simplificar a solução para futuros problemas Inicialmente aplicamos a transformada de Laplace às equações na coluna tensãocorrente da Tabela 23 admitindo condições iniciais nulas Para o capacitor Para o resistor Para o indutor FIGURA 25 Circuito Laplacetransformado Agora definimos a seguinte função de transferência Observe que esta função é similar à definição de resistência isto é a razão entre tensão e corrente Entretanto diferentemente da resistência esta função é aplicável a capacitores e indutores e incorpora informações sobre o comportamento dinâmico do componente uma vez que ela representa uma equação diferencial equivalente Chamamos esta função de transferência particular de impedância A impedância para cada um dos elementos elétricos é mostrada na Tabela 23 Vamos agora demonstrar como o conceito de impedância simplifica a solução para a função de 1 2 transferência A transformada de Laplace da Eq 261 admitindo condições iniciais nulas é Observe que a Eq 271 que está na forma sugere o circuito em série mostrado na Figura 25 Observe também que o circuito da Figura 25 poderia ter sido obtido imediatamente a partir do circuito da Figura 23 simplesmente substituindose cada elemento por sua impedância Chamamos este circuito alterado de circuito transformado Finalmente observe que o circuito transformado leva imediatamente à Eq 271 se somarmos as impedâncias em série como somamos resistores em série Assim em vez de primeiro escrever a equação diferencial e em seguida aplicar a transformada de Laplace podemos desenhar o circuito transformado e obter a transformada de Laplace da equação diferencial simplesmente aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito transformado Resumimos os passos como se segue Redesenhe o circuito original mostrando todas as variáveis temporais como vt it e vCt como transformadas de Laplace Vs Is e VCs respectivamente Substitua os valores dos componentes pelos valores de suas impedâncias Esta substituição é análoga ao caso de circuitos cc nos quais representamos os resistores pelos valores de suas resistências Refaremos agora o Exemplo 26 utilizando o método da transformada que acabamos de descrever e evitando escrever a equação diferencial Exemplo 27 Função de Transferência Malha Única Através do Método da Transformada PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando a análise das malhas e o método da transformada sem escrever a equação diferencial SOLUÇÃO Utilizando a Figura 25 e escrevendo uma equação de malha usando as impedâncias como usaríamos valores de resistências em um circuito puramente resistivo obtemos Resolvendo para IsVs Entretanto a tensão sobre o capacitor VCs é o produto da corrente pela impedância do capacitor Assim Resolvendo a Eq 275 para Is substituindo Is na Eq 274 e simplificando obtemos o mesmo resultado que o expresso pela Eq 266 Circuitos Simples Através da Análise Nodal Funções de transferência também podem ser obtidas utilizandose a lei de Kirchhoff das correntes e somandose as correntes que fluem dos nós Chamamos esse método de análise nodal Demonstramos agora este princípio refazendo o Exemplo 26 utilizando a lei de Kirchhoff das correntes e o método da transformada descrito anteriormente para evitar escrever a equação diferencial Exemplo 28 Função de Transferência Nó Único Através do Método da Transformada PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando a análise nodal e sem escrever a equação diferencial SOLUÇÃO A função de transferência pode ser obtida somandose as correntes que saem do nó cuja tensão é VCs na Figura 25 Admitimos que as correntes que saem do nó são positivas e que as correntes que entram no nó são negativas As correntes consistem na corrente através do capacitor e na corrente que flui através do resistor e do indutor em série Da Eq 270 cada Is VsZs Portanto em que VCs1Cs é a corrente que sai do nó fluindo através do capacitor e VCs VsR Ls é a corrente que sai do nó fluindo através do resistor e indutor em série Resolvendo a Eq 276 para a função de transferência VCsVs chegamos ao mesmo resultado da Eq 266 Circuitos Simples Através da Divisão de Tensão O Exemplo 26 pode ser resolvido diretamente utilizandose uma divisão de tensão no circuito transformado Demonstramos agora essa técnica 1 2 3 4 5 6 Exemplo 29 Função de Transferência Malha Única Através da Divisão de Tensão PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando divisão de tensão e o circuito transformado SOLUÇÃO A tensão sobre o capacitor é uma fração da tensão de entrada nomeadamente a impedância do capacitor dividida pela soma das impedâncias Assim Resolvendo para a função de transferência VCsVs produzse o mesmo resultado que a Eq 266 Reveja os Exemplos 26 a 29 Qual método você julga ser o mais fácil para este circuito Os exemplos anteriores envolveram um circuito elétrico simples com uma única malha Muitos circuitos elétricos consistem em múltiplas malhas e nós e para esses circuitos devemos escrever e resolver equações diferenciais simultâneas de modo a obter a função de transferência ou resolver para a saída Circuitos Complexos Através da Análise das Malhas Para se resolver circuitos elétricos complexos aqueles com múltiplas malhas e nós utilizando a análise das malhas podemos executar os seguintes passos Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em cada malha Escrever a lei de Kirchhoff das tensões para cada malha Resolver as equações simultâneas para a saída Formar a função de transferência Vamos ver um exemplo Exemplo 210 Função de Transferência Múltiplas Malhas PROBLEMA Dado o circuito mostrado na Figura 26a determine a função de transferência I2sVs SOLUÇÃO O primeiro passo para a solução é converter o circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e variáveis do circuito admitindo condições iniciais nulas O resultado é mostrado na Figura 26b O circuito com o qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para obtermos a função de transferência Essas equações podem ser obtidas somandose as tensões ao longo de cada malha através das quais admitimos que circulem correntes I1s e I2s Para a Malha 1 em que circula I1s Para a Malha 2 em que circula I2s Combinando os termos as Eqs 278 e 279 se tornam equações simultâneas em I1s e I2s Podemos utilizar a regra de Cramer ou qualquer outro método para resolver equações simultâneas para resolver as Eqs 280 para I2s3 Assim em que Formando a função de transferência Gs resulta como mostrado na Figura 26c Tivemos sucesso em modelar um sistema físico como uma função de transferência o circuito da Figura 26a é agora modelado através da função de transferência da Figura 26c Antes de concluir o exemplo observamos um padrão ilustrado inicialmente pela Eq 272 A forma assumida pelas Eqs 280 é O reconhecimento da forma nos ajudará a escrever essas equações rapidamente por exemplo as equações de movimento para sistemas mecânicos abordadas nas Seções 25 e 26 possuem a mesma forma FIGURA 26 a Circuito elétrico com duas malhas b circuito elétrico com duas malhas transformado c diagrama de blocos Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch2sp4 do Apêndice F no site da LTC Editora onde o Exemplo 210 é resolvido Você aprenderá a utilizar a Symbolic Math Toolbox para resolver equações simultâneas utilizando a regra de Cramer Especificamente a Symbolic Math Toolbox será utilizada para obter a função de transferência da Eq282 utilizando as Eqs280 Circuitos Complexos Através da Análise Nodal Frequentemente a maneira mais fácil para se obter a função de transferência é utilizar a análise nodal em vez da análise das malhas O número de equações diferenciais simultâneas que devem ser escritas é igual ao número de nós para os quais a tensão é desconhecida No exemplo anterior escrevemos equações simultâneas das malhas utilizando a lei de Kirchhoff das tensões Para múltiplos nós utilizamos a lei de Kirchhoff das correntes e somamos as correntes que saem de cada nó Novamente como convenção as correntes saindo do nó são admitidas como positivas e correntes entrando no nó são admitidas como negativas Antes de seguir para um exemplo vamos primeiro definir a admitância Ys como o inverso da impedância ou Ao se escrever as equações dos nós pode ser mais conveniente representar os elementos do circuito por suas admitâncias As admitâncias para os componentes elétricos básicos são mostradas na Tabela 23 Vamos ver um exemplo Exemplo 211 Função de Transferência Múltiplos Nós PROBLEMA Determine a função de transferência VC sVs para o circuito mostrado na Figura 26b Utilize a análise nodal SOLUÇÃO Para este problema somamos as correntes nos nós em vez de somar as tensões das malhas A partir da Figura 26b as somas das correntes que saem dos nós marcados como VLs e VC s são respectivamente Reorganizando e expressando as resistências como condutâncias4 G1 1R1 e G2 1R2 obtemos Resolvendo para a função de transferência VCsVs resulta como mostrado na Figura 27 FIGURA 27 Diagrama de blocos do circuito da Figura 26 1 2 3 4 5 6 Outra forma de se escrever as equações dos nós é substituir as fontes de tensão por fontes de corrente Uma fonte de tensão apresenta uma tensão constante para qualquer carga reciprocamente uma fonte de corrente fornece uma corrente constante para qualquer carga Na prática uma fonte de corrente pode ser construída a partir de uma fonte de tensão colocandose uma resistência de alto valor em série com a fonte de tensão Dessa forma variações na carga não alterariam significativamente a corrente uma vez que esta seria determinada aproximadamente pelo resistor de resistência elevada em série e pela fonte de tensão Teoricamente somos amparados pelo teorema de Norton o qual declara que uma fonte de tensão Vs em série com uma impedância Zss pode ser substituída por uma fonte de corrente Is VsZss em paralelo com Zss Para lidar com circuitos elétricos com múltiplos nós podemos executar os seguintes passos Substitua os valores dos elementos passivos por suas admitâncias Substitua todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace Substitua as fontes de tensão transformadas por fontes de corrente transformadas Escreva a lei de Kirchhoff das correntes para cada nó Resolva as equações simultâneas para a saída Forme a função de transferência Vamos ver um exemplo Exemplo 212 Função de Transferência Múltiplos Nós com Fontes de Corrente FIGURA 28 Circuito transformado pronto para a análise nodal PROBLEMA Para o circuito da Figura 26 determine a função de transferência VC sVs utilizando análise nodal e um circuito transformado com fontes de corrente SOLUÇÃO Converta todas as impedâncias em admitâncias e todas as fontes de tensão em série com uma impedância em fontes de corrente em paralelo com uma admitância utilizando o teorema de Norton Redesenhando a Figura 26b para refletir as alterações obtemos a Figura 28 na qual G1 1R1 G2 1R2 e as tensões dos nós as tensões sobre o indutor e do capacitor foram identificadas como VLs e VCs respectivamente Utilizando a relação geral Is YsVs e somando as correntes no nó VLs Somando as correntes no nó VC s resulta Combinando os termos as Eqs 288 e 289 se tornam equações simultâneas em VC s e VLs as quais são idênticas às Eqs 286 e conduzem à mesma solução que a Eq 287 Uma vantagem de se desenhar esse circuito está na forma das Eqs 286 e sua relação direta com a Figura 28 isto é Uma Técnica de Solução de Problemas Em todos os exemplos anteriores vimos um padrão repetido nas equações que podemos utilizar em nosso benefício Caso reconheçamos esse padrão não precisamos escrever as equações componente por componente podemos somar as impedâncias ao longo da malha no caso das equações das malhas ou somar as admitâncias em um nó no caso das equações dos nós Vamos agora analisar um circuito elétrico com três malhas e escrever as equações das malhas por inspeção para demonstrar o processo Exemplo 213 Equações das Malhas por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver as equações das malhas para o circuito mostrado na Figura 29 FIGURA 29 Circuito elétrico com três malhas SOLUÇÃO Cada um dos problemas anteriores ilustrou que as equações das malhas e as equações dos nós apresentam uma forma previsível Utilizamos esse conhecimento para resolver este problema de três malhas A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma Analogamente as equações para as Malhas 2 e 3 respectivamente são e Experimente 28 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a resolver para as correntes elétricas nas Eqs 294 syms s I1 12 I3 V A2s2 2s1 1 2s1 9s1 4s 1 4s 4s11s BI1I2I3 CV00 BinvAC prettyB Substituindo os valores da Figura 29 nas Eqs 291 até 293 resulta as quais podem ser resolvidas simultaneamente para qualquer função de transferência desejada por exemplo I3sVs Os circuitos elétricos passivos foram objeto de discussão até este ponto Examinamos agora uma classe de circuitos ativos que podem ser utilizados para implementar funções de transferência Esses circuitos são construídos com a utilização de amplificadores operacionais 1 2 3 4 Amplificadores Operacionais Um amplificador operacional retratado na Figura 210a é um amplificador eletrônico utilizado como um bloco de construção básico para implementar funções de transferência Ele apresenta as seguintes características Entrada diferencial v2t v1t Alta impedância de entrada Ze ideal Baixa impedância de saída Zs 0 ideal Alta constante de ganho de amplificação A ideal A saída vst é dada por Amplificador Operacional Inversor Caso v2t seja aterrado o amplificador é chamado amplificador operacional inversor como mostrado na Figura 210b Para o amplificador operacional inversor temos Caso duas impedâncias sejam conectadas ao amplificador operacional inversor como mostrado na Figura 210c podemos deduzir um resultado interessante se o amplificador tiver as características mencionadas no início desta subseção Se a impedância de entrada do amplificador é alta então pela lei de Kirchhoff das correntes Iama vez que o ganho s 0 e I1s I2s Além disso uma vez que o ganho A é elevado v1t 0 Assim I1s VesZ1s e I2s VssZ2s Igualandose as duas correntes VssZ2s VesZ1s ou a função de transferência do amplificador operacional inversor configurado como mostrado na Figura 210c é FIGURA 210 a Amplificador operacional b esquema para um amplificador operacional inversor c amplificador operacional inversor configurado para a realização de uma função de transferência Tipicamente o ganho do amplificador A é omitido Exemplo 214 Função de Transferência Circuito com Amplificador Operacional Inversor PROBLEMA Determine a função de transferência VssVes para o circuito dado na Figura 211 SOLUÇÃO A função de transferência do circuito com amplificador operacional é dada pela Eq 297 Uma vez que as admitâncias de componentes em paralelo se somam Z1s é o inverso da soma das admitâncias ou Para Z2s as impedâncias se somam ou FIGURA 211 Circuito com amplificador operacional inversor para o Exemplo 214 Substituindo as Eqs 298 e 299 na Eq 297 e simplificando temos O circuito resultante é chamado de controlador PID e pode ser utilizado para melhorar o desempenho de um sistema de controle Exploraremos essa possibilidade mais adiante no Capítulo 9 Amplificador Operacional Não Inversor Outro circuito que pode ser analisado para obtermos sua função de transferência é o circuito com amplificador operacional não inversor mostrado na Figura 212 Deduzimos agora a função de transferência Observamos que Porém utilizando divisão de tensão Substituindo a Eq 2102 na Eq 2101 reorganizando e simplificando obtemos Para um A suficientemente grande desprezamos a unidade no denominador e a Eq 2103 se torna Vamos agora ver um exemplo FIGURA 212 Circuito genérico com amplificador operacional não inversor Exemplo 215 Função de Transferência Circuito com Amplificador Operacional Não Inversor PROBLEMA Determine a função de transferência VssVes para o circuito dado na Figura 213 SOLUÇÃO Determinamos cada uma das funções de impedância Z1s e Z2s e em seguida as substituímos na Eq 2104 Assim e Substituindo as Eqs 2105 e 2106 na Eq 2104 resulta FIGURA 213 Circuito com amplificador operacional não inversor para o Exemplo 215 Exercício 26 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs VLsVs para o circuito dado na Figura 214 Resolva o problema de duas maneiras análise das malhas e análise nodal Mostre que os dois métodos fornecem o mesmo resultado FIGURA 214 Circuito elétrico para o Exercício 26 RESPOSTA VLsVs s2 2s 1s2 5s 2 A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 27 PROBLEMA Se Z1s é a impedância de um capacitor de 10 μF e Z2s é a impedância de um resistor de 100 kΩ determine a função de transferência Gs VssVes caso esses componentes sejam utilizados com a um amplificador operacional inversor e b um amplificador não inversor como mostrado nas Figuras 210c e 212 respectivamente RESPOSTA Gs s para um amplificador operacional inversor e Gs s 1 para um amplificador operacional não inversor A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção determinamos funções de transferência para circuitos elétricos com múltiplas malhas e múltiplos nós bem como para circuitos com amplificadores operacionais Desenvolvemos equações de malhas e de nós observamos sua forma e as escrevemos por inspeção Na próxima seção iniciaremos nosso trabalho com sistemas mecânicos Veremos que muitos dos conceitos aplicados aos circuitos elétricos também podem ser aplicados a sistemas mecânicos através de analogias dos conceitos básicos até escrever as equações descritivas por inspeção Essa constatação lhe dará a confiança para ir além deste livro e estudar sistemas não abordados aqui como os sistemas hidráulicos ou pneumáticos 25 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais Mostramos que circuitos elétricos podem ser modelados por uma função de transferência Gs que relaciona algebricamente a transformada de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada Agora iremos fazer o mesmo para os sistemas mecânicos Nesta seção nos concentramos nos sistemas mecânicos translacionais Na seção seguinte estendemos os conceitos aos sistemas mecânicos rotacionais Observe que o resultado final mostrado na Figura 22 será matematicamente indistinguível daquele referente a um circuito elétrico Portanto um circuito elétrico pode ser interfaceado com um sistema mecânico colocandose suas funções de transferência em cascata desde que um sistema não seja carregado pelo outro5 Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que existem analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos Os sistemas mecânicos da mesma forma que os circuitos elétricos possuem três componentes lineares passivos Dois deles a mola e a massa são elementos armazenadores de energia e o outro o amortecedor viscoso dissipa energia Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos o indutor e o capacitor O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica Vamos examinar esses elementos mecânicos que são mostrados na Tabela 24 Na tabela K fv e M são chamados de constante de mola coeficiente de atrito viscoso e massa respectivamente Agora fazemos as analogias entre os sistemas elétricos e mecânicos comparando as Tabelas 23 e 24 Comparando a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna tensãocorrente da Tabela 23 observamos que a força mecânica é análoga à tensão elétrica e que a velocidade mecânica é análoga à corrente elétrica Comparando a coluna forçadeslocamento da Tabela 24 com a coluna tensãocarga da Tabela 23 chegamos a uma analogia entre o deslocamento mecânico e a carga elétrica Observamos também que a mola é análoga ao capacitor que o amortecedor viscoso é análogo ao resistor e que a massa é análoga ao indutor Assim somar as forças escritas em função da velocidade é análogo a somar as tensões escritas em função das correntes e as equações diferenciais mecânicas resultantes são análogas às equações das malhas Se as forças forem escritas em função do deslocamento as equações mecânicas resultantes serão semelhantes mas não análogas às equações das malhas Contudo utilizaremos esse modelo para sistemas mecânicos de modo que possamos escrever as equações diretamente em função do deslocamento Outra analogia pode ser feita comparandose a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna correntetensão da Tabela 23 em ordem inversa Nesse caso a analogia é entre a força e a corrente e entre a velocidade e a tensão Além disso a mola é análoga ao indutor o amortecedor viscoso é análogo ao resistor e a massa é análoga ao capacitor Assim somar as forças escritas em função da velocidade é análogo a somar as correntes escritas em função da tensão e as equações diferenciais mecânicas resultantes serão análogas às equações dos nós Discutiremos essas analogias mais detalhadamente na Seção 29 Agora estamos prontos para determinar funções de transferência para sistemas mecânicos translacionais Nosso primeiro exemplo mostrado na Figura 215a é similar ao circuito RLC simples do Exemplo 26 ver a Figura 23 O sistema mecânico requer apenas uma equação diferencial chamada de equação de movimento para descrevêlo Inicialmente admitiremos um sentido positivo para o movimento por exemplo para a direita Esse sentido positivo de movimento adotado é similar a admitir um sentido para a corrente em uma malha elétrica Utilizando o sentido adotado para o movimento positivo desenhamos inicialmente um diagrama de corpo livre colocando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele tanto no sentido do movimento quanto no sentido oposto Em seguida utilizamos a lei de Newton para produzir uma equação diferencial de movimento somando as forças e igualando a soma a zero Finalmente admitindo condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial separamos as variáveis e chegamos à função de transferência Segue um exemplo TABELA 24 Relações forçavelocidade forçadeslocamento e impedância translacional para molas amortecedores viscosos e massa Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro ft N newtons xt m metros vt ms metrossegundo K Nm newtonsmetro fv Nsm newtonsegundosmetro M kg quilogramas newtonsegundos2metro Exemplo 216 Função de Transferência Uma Equação de Movimento PROBLEMA Determine a função de transferência XsFs para o sistema da Figura 215a FIGURA 215 a Sistema massa mola e amortecedor b diagrama de blocos SOLUÇÃO Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 216a Coloque sobre a massa todas as forças exercidas sobre ela Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita Assim apenas a força aplicada é orientada para a direita todas as demais forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele Assim as forças da mola do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são orientadas para a esquerda FIGURA 216 a Diagrama de corpo livre do sistema massa mola e amortecedor b Diagrama de corpo livre transformado Escrevemos agora a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas atuando sobre a massa na Figura 216a Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas ou Resolvendo para a função de transferência resulta que está representada na Figura 215b Agora será que podemos fazer um paralelo de nosso trabalho com circuitos elétricos evitando escrever as equações diferenciais e definindo impedâncias para componentes mecânicos Caso afirmativo podemos aplicar aos sistemas mecânicos a técnica de solução de problemas aprendida na seção anterior Aplicando a transformada de Laplace à coluna força deslocamento da Tabela 24 obtemos para a mola para o amortecedor viscoso e para a massa Se definirmos a impedância para componentes mecânicos como e aplicarmos essa definição nas Eqs 2112 até 2114 chegamos às impedâncias de cada componente como resumido na Tabela 24 Raven 19956 Substituindo cada força na Figura 216a por sua transformada de Laplace a qual está no formato obtemos a Figura 216b a partir da qual poderíamos ter obtido a Eq 2109 imediatamente sem escrever a equação diferencial A partir de agora utilizaremos essa abordagem Finalmente observe que a Eq 2110 é da forma a qual é similar mas não análoga a uma equação de malha ver a nota de rodapé 6 Muitos sistemas mecânicos são similares a circuitos elétricos com múltiplas malhas e múltiplos nós no quais mais de uma equação diferencial simultânea é necessária para descrever o sistema Nos sistemas mecânicos o número de equações de movimento necessárias é igual ao número de movimentos linearmente independentes A independência linear significa que um ponto de movimento em um sistema ainda pode se mover mesmo que todos os demais pontos de movimento permaneçam imóveis Outro nome para o número de movimentos linearmente independentes é o número de graus de liberdade Essa argumentação não pretende dar a entender que esses movimentos não sejam acoplados uns com os outros em geral eles são Por exemplo em um circuito elétrico com duas malhas a corrente em cada malha depende da corrente na outra malha porém se abrirmos o circuito de apenas uma das malhas a corrente na outra malha ainda poderá existir se houver uma fonte de tensão nesta malha De modo análogo em um sistema mecânico com dois graus de liberdade um ponto de movimento pode ser mantido imóvel enquanto o outro ponto de movimento se move sob a influência de uma força aplicada Para tratar tal tipo de problema desenhamos o diagrama de corpo livre para cada ponto de movimento e em seguida utilizamos o princípio da superposição Para cada diagrama de corpo livre começamos mantendo todos os demais pontos de movimento imóveis e determinando as forças atuantes no corpo decorrentes apenas de seu próprio movimento Em seguida mantemos o corpo imóvel e ativamos os demais pontos de movimento um de cada vez colocando no corpo original as forças geradas pelo movimento adjacente Utilizando a lei de Newton somamos as forças sobre cada corpo e igualamos a soma a zero O resultado é um sistema de equações de movimento simultâneas Na forma de transformadas de Laplace essas equações são então resolvidas para a variável de saída de interesse em função da variável de entrada a partir do que a função de transferência é obtida O Exemplo 217 ilustra essa técnica de solução de problemas Exemplo 217 Função de Transferência Dois Graus de Liberdade PROBLEMA Determine a função de transferência X2sFs para o sistema da Figura 217a SOLUÇÃO O sistema possui dois graus de liberdade uma vez que cada uma das massas pode ser movida na direção horizontal enquanto a outra é mantida imóvel Assim duas equações de movimento simultâneas serão necessárias para descrever o sistema As duas equações são obtidas a partir de diagramas de corpo livre de cada uma das massas O princípio da superposição é utilizado para se desenhar os diagramas de corpo livre Por exemplo as forças sobre M1 são decorrentes 1 de seu próprio movimento e 2 do movimento de M2 transmitido para M1 através do sistema Consideraremos essas duas fontes separadamente Se mantivermos M2 imóvel e movermos M1 para a direita consideramos as forças mostradas na Figura 218a Se mantivermos M1 imóvel e movermos M2 para a direita consideramos as forças mostradas na Figura 218b A força total sobre M1 é a superposição ou soma das forças anteriormente discutidas Este resultado é mostrado na Figura 218c Para M2 procedemos de maneira análoga primeiro movemos M2 para a direita enquanto mantemos M1 imóvel em seguida movemos M1 para a direita e mantemos M2 imóvel Para cada um dos casos calculamos as forças sobre M2 Os resultados são apresentados na Figura 219 FIGURA 217 a Sistema mecânico translacional com dois graus de liberdade7 b diagrama de blocos FIGURA 218 a Forças sobre M1 decorrentes apenas de movimento de M1 b forças sobre M1 decorrentes apenas de movimento de M2 c todas as forças sobre M1 FIGURA 219 a Forças sobre M2 decorrentes apenas de movimento de M2 b forças sobre M2 decorrentes apenas de movimento de M1 c todas as forças sobre M2 A transformada de Laplace das equações de movimento pode agora ser escrita a partir das Figuras 218c e 219c como Disto a função de transferência X2sFs é como mostrado na Figura 217b em que Observe novamente nas Eqs 218 que a forma das equações é similar às equações das malhas elétricas O padrão mostrado nas Eqs 2120 deve agora nos ser familiar Vamos utilizar o conceito para escrever as equações de movimento de um sistema mecânico com três graus de liberdade por inspeção sem desenhar o diagrama de corpo livre Exemplo 218 Equações de Movimento por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver as equações de movimento para o sistema mecânico da Figura 220 FIGURA 220 Sistema mecânico translacional com três graus de liberdade SOLUÇÃO O sistema possui três graus de liberdade uma vez que cada uma das três massas pode ser movida independentemente enquanto as demais são mantidas imóveis A forma das equações será similar à das equações das malhas elétricas Para M1 Analogamente para M2 e M3 respectivamente M1 tem duas molas dois amortecedores viscosos e sua massa associados ao seu movimento Existe uma mola entre M1 e M2 e um amortecedor viscoso entre M1 e M3 Assim utilizando a Eq 2121 Analogamente utilizando a Eq 2122 para M2 e utilizando a Eq 2123 para M3 As Equações de 2124 a 2126 são as equações de movimento Podemos resolvêlas para qualquer deslocamento X1s X2s ou X3s ou função de transferência Exercício 28 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 221 FIGURA 221 Sistema mecânico translacional para o Exercício 28 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC editora 26 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Rotacionais Tendo coberto os sistemas elétricos e os sistemas mecânicos translacionais passamos agora a considerar os sistemas mecânicos rotacionais Os sistemas mecânicos rotacionais são tratados da mesma maneira que os sistemas mecânicos translacionais com exceção de que o torque substitui a força e o deslocamento angular substitui o deslocamento translacional Os componentes mecânicos para os sistemas rotacionais são os mesmos que para os sistemas translacionais com exceção de que os componentes ficam sujeitos à rotação ao invés de translação A Tabela 25 mostra os componentes junto com as relações entre torque e velocidade angular bem como deslocamento angular Observe que a representação dos componentes é a mesma que a dos sistemas translacionais porém eles estão sujeitos à rotação e não à translação Observe também que o termo associado com a massa é substituído por inércia Os valores de K D e J são chamados de constante de mola coeficiente de atrito viscoso e momento de inércia respectivamente As impedâncias dos componentes mecânicos também estão resumidas na última coluna da Tabela 25 Os valores podem ser obtidos aplicandose a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas à coluna torquedeslocamento angular da Tabela 25 O conceito de graus de liberdade se estende aos sistemas rotacionais com exceção de que testamos um ponto de movimento colocandoo em rotação enquanto mantemos todos os demais pontos de movimento imóveis O número de pontos de movimento que podem ser colocados em rotação enquanto todos os demais são mantidos imóveis é igual ao número de equações de movimento necessárias para descrever o sistema Escrever as equações de movimento para sistemas rotacionais é similar a escrevêlas para os sistemas translacionais a única diferença é que o diagrama de corpo livre consiste em torques ao invés de forças Obtemos esses torques utilizando o princípio da superposição Inicialmente colocamos um corpo em rotação enquanto mantemos todos os demais pontos imóveis e colocamos em seu diagrama de corpo livre todos os torques decorrentes do movimento do próprio corpo Em seguida mantendo o corpo imóvel colocamos em rotação os pontos de movimento adjacentes um de cada vez e adicionamos os torques decorrentes dos movimentos adjacentes ao diagrama de corpo livre O processo é repetido para cada ponto de movimento Para cada diagrama de corpo livre esses torques são somados e igualados a zero para formar a equação de movimento TABELA 25 Relações rotacionais torquevelocidade angular torquedeslocamento angular e impedância para molas amortecedores viscosos e inércia Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro Tt Nm newtonmetro θt rad radianos ωt rads radianosegundo K Nmrad newtonmetroradiano D Nmsrad newtonmetrosegundoradiano J kgm2 quilogramametro2 newtonmetrosegundo2radiano Dois exemplos demonstrarão a solução dos sistemas rotacionais O primeiro utiliza diagramas de corpo livre o segundo utiliza o conceito de impedâncias para escrever as equações de movimento por inspeção Exemplo 219 Função de Transferência Duas Equações de Movimento PROBLEMA Determine a função de transferência θ2sTs para o sistema rotacional mostrado na Figura 222a A barra é suportada por mancais em ambas as extremidades e é submetida à torção Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento é medido à direita FIGURA 222 a Sistema físico b esquema c diagrama de blocos SOLUÇÃO Primeiro obtenha um esquema a partir do sistema físico Embora a torção ocorra ao longo da barra na Figura 222a8 fazemos uma aproximação do sistema admitindo que a torção atue como uma mola concentrada em um ponto particular da barra com uma inércia J1 à esquerda e uma inércia J2 à direita9 Também admitimos que o amortecimento dentro da barra flexível seja desprezível O esquema é mostrado na Figura 222b O sistema possui dois graus de liberdade uma vez que cada uma das inércias pode ser colocada em rotação enquanto a outra é mantida imóvel Assim são necessárias duas equações simultâneas para solucionar o sistema FIGURA 223 a Torques em J1 decorrentes apenas do movimento de J1 b torques em J1 decorrentes apenas do movimento de J2 c diagrama de corpo livre final para J1 FIGURA 224 a Torques em J2 decorrentes apenas do movimento de J2 b torques em J2 decorrentes apenas do movimento de J1 c diagrama de corpo livre final para J2 Experimente 29 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a obter a Eq 2128 syms s J1 D1 K T J2 D2 thetal theta2 AJ1s2D1sK K K J2s2D2sK Bthetal theta 2 CT 0 BinvAC theta2B2 theta2 prettytheta2 Em seguida desenhe um diagrama de corpo livre de J1 utilizando o princípio da superposição A Figura 223a mostra os torques em J1 se J2 é mantida imóvel e J1 é colocado em rotação A Figura 223b mostra os torques em J1 se J1 é mantida imóvel e J2 é colocada em rotação Finalmente a soma das Figuras 223a e 223b é mostrada na Figura 223c o diagrama de corpo livre final para J1 O mesmo procedimento é repetido na Figura 224 para J2 Somandose os torques respectivamente a partir das Figuras 223c e 224c obtemos as equações de movimento a partir das quais a função de transferência requerida é determinada como como mostrado na Figura 222c em que Observe que as Eqs 2127 possuem a agora bem conhecida forma Exemplo 220 Equações de Movimento por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver a transformada de Laplace das equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 225 FIGURA 225 Sistema rotacional com três graus de liberdade SOLUÇÃO As equações terão a seguinte forma similar às equações de malhas elétricas Consequentemente Exercício 29 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura 226 FIGURA 226 Sistema mecânico rotacional para o Exercício 29 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 27 Funções de Transferência para Sistemas com Engrenagens Agora que somos capazes de determinar a função de transferência para sistemas rotacionais percebemos que esses sistemas especialmente aqueles acionados por motores raramente são encontrados sem trens de engrenagens associadas acionando a carga Esta seção trata deste importante tópico As engrenagens oferecem vantagens mecânicas aos sistemas rotacionais Qualquer pessoa que tenha andado em uma bicicleta de 10 marchas conhece o efeito das engrenagens Nas subidas você muda de marcha para ter mais torque e menos velocidade Em uma reta você muda de marcha para obter mais velocidade e menos torque Desse modo as engrenagens permitem que você case o sistema de acionamento e a carga uma solução de compromisso entre velocidade e torque Em muitas aplicações as engrenagens apresentam folgas que ocorrem por causa do encaixe solto entre duas engrenagens conectadas A engrenagem de acionamento gira de um pequeno ângulo antes de entrar em contato com a engrenagem acionada O resultado é que a rotação angular da engrenagem de saída não acontece até que uma pequena rotação da engrenagem de entrada tenha ocorrido Nesta seção idealizamos o comportamento das engrenagens e admitimos que não existam folgas A interação linearizada entre duas engrenagens é representada na Figura 227 Uma engrenagem de entrada com raio r1 e N1 dentes é girada de um ângulo θ1t devido a um torque T1t Uma engrenagem de saída com raio r2 e N2 dentes responde girando de um ângulo θ2t e fornecendo um torque T2t Vamos agora determinar a relação entre as rotações da Engrenagem 1 θ1t e da Engrenagem 2 θ2t FIGURA 227 Um sistema de engrenagens Conforme a Figura 227 à medida que as engrenagens giram a distância percorrida ao longo da circunferência de cada engrenagem é a mesma Assim ou uma vez que a razão entre os números de dentes ao longo das circunferências está na mesma proporção que a razão entre os raios Concluímos que a razão entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente proporcional à razão entre os números de dentes Qual a relação entre o torque de entrada T1 e o torque fornecido T2 Se admitirmos que as engrenagens sejam sem perdas isto é elas não absorvem e nem armazenam energia a energia que entra na Engrenagem 1 é igual à energia que sai na Engrenagem 210 Uma vez que a energia translacional de força vezes deslocamento se torna a energia rotacional de torque vezes deslocamento angular Resolvendo a Eq 2134 para a razão entre torques e utilizando a Eq 2133 obtemos Assim os torques são diretamente proporcionais à razão entre os números de dentes Todos os resultados estão resumidos na Figura 228 FIGURA 228 Funções de transferência para a deslocamento angular em engrenagens sem perdas e b torque em engrenagens sem perdas Vamos verificar o que ocorre com impedâncias mecânicas que são acionadas por engrenagens A Figura 229a mostra engrenagens acionando uma inércia rotacional mola e amortecedor viscoso Para maior clareza as engrenagens são mostradas por uma vista de extremidade simplificada Desejamos representar a Figura 229a como um sistema equivalente em relação a θ1 sem as engrenagens Em outras palavras as impedâncias mecânicas podem ser refletidas da saída para a entrada eliminando assim as engrenagens Conforme a Figura 228b T1 pode ser refletido para a saída multiplicandoo por N2N1 O resultado é mostrado na Figura 229b a partir da qual escrevemos a equação de movimento como Agora converta θ2s em um θ1s equivalente de modo que a Eq 2136 apareça como se tivesse sido escrita em relação à entrada Utilizando a Figura 228a para obter θ2s em função de θ1s obtemos Após uma simplificação que sugere o sistema equivalente com relação à entrada sem engrenagens mostrado na Figura 229c Assim a carga pode ser considerada como tendo sido refletida da saída para a entrada Generalizando os resultados podemos fazer a seguinte afirmação impedâncias mecânicas rotacionais podem ser refletidas através de trens de engrenagens multiplicandose a impedância mecânica pela razão em que a impedância a ser refletida está conectada ao eixo de origem e está sendo refletida para o eixo de destino O próximo exemplo demonstra a aplicação do conceito de impedâncias refletidas ao determinarmos a função de transferência de um sistema mecânico rotacional com engrenagens FIGURA 229 a Sistema rotacional acionado por engrenagens b sistema equivalente com relação à saída após reflexão do torque de entrada c sistema equivalente com relação à entrada após reflexão das impedâncias Exemplo 221 Função de Transferência Sistema com Engrenagens sem Perdas PROBLEMA Determine a função de transferência θ2sT1s para o sistema da Figura 230a FIGURA 230 a Sistema mecânico rotacional com engrenagens b sistema após reflexão dos torques e impedâncias para o eixo de saída c diagrama de blocos SOLUÇÃO Pode ser tentador neste momento procurar por duas equações simultâneas correspondentes a cada uma das inércias As inércias entretanto não estão sujeitas a movimentos linearmente independentes uma vez que estão ligadas pelas engrenagens Assim existe apenas um grau de liberdade e consequentemente uma equação de movimento Vamos inicialmente refletir as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de entrada para a saída como mostrado na Figura 230b onde as impedâncias são refletidas por N2N12 e o torque é refletido por N2N1 A equação de movimento pode agora ser escrita como em que Resolvendo para θ2sT1s a função de transferência é determinada como como mostrado na Figura 230c A fim de suprimir engrenagens com raios grandes um trem de engrenagens é utilizado para implementar relações de transmissão elevadas colocando relações de transmissão menores em cascata11 Um diagrama esquemático de um trem de engrenagens é mostrado na Figura 231 Seguindo cada rotação o deslocamento angular relativo a θ1 foi calculado A partir da Figura 231 Concluímos que para os trens de engrenagens a relação de transmissão equivalente é o produto das relações de transmissão individuais Aplicamos agora este resultado para determinar a função de transferência de um sistema que tem engrenagens com perdas FIGURA 231 Trem de engrenagens Exemplo 222 Função de Transferência Engrenagens com Perdas PROBLEMA Determine a função de transferência θ1tT1t para o sistema da Figura 232a FIGURA 232 a Sistema usando um trem de engrenagens b sistema equivalente com relação à entrada c diagrama de blocos SOLUÇÃO Este sistema que utiliza um trem de engrenagens tem engrenagens com perdas Todas as engrenagens possuem inércia e em alguns eixos há atrito viscoso Para resolver o problema precisamos refletir todas as impedâncias para o eixo de entrada θ1 As relações de transmissão não são iguais para todas as impedâncias Por exemplo D2 é refletido apenas através de uma relação de transmissão como D2N1N22 enquanto J4 mais J5 são refletidas através de duas relações de transmissão como J4 J5N3N4N1N22 O resultado da reflexão de todas as impedâncias para θ1 é mostrado na Figura 232b a partir da qual a equação de movimento é em que e A partir da Eq 2142 a função de transferência é como mostrado na Figura 232c Exercício 210 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico em rotacional com engrenagens mostrado na Figura 233 FIGURA 233 Sistema mecânico rotacional com engrenagens para o Exercício 210 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 28 Funções de Transferência de Sistemas Eletromecânicos Na última seção abordamos os sistemas rotacionais com engrenagens os quais completaram nossa discussão sobre os sistemas puramente mecânicos Agora passamos para os sistemas que são híbridos com variáveis elétricas e mecânicas os sistemas eletromecânicos Vimos uma aplicação de um sistema eletromecânico no Capítulo 1 o sistema de controle da posição de azimute de antena Outras aplicações de sistemas com componentes eletromecânicos são os controles dos robôs os rastreadores do Sol e de estrelas e os controles de posição dos acionamentos de fitas e discos de computadores Um exemplo de um sistema de controle que utiliza componentes eletromecânicos é mostrado na Figura 234 Um motor é um componente eletromecânico que produz uma saída de deslocamento para uma entrada de tensão isto é uma saída mecânica gerada por uma entrada elétrica Iremos deduzir a função de transferência para um tipo particular de sistema eletromecânico o servomotor cc controlado pela armadura Mablekos 1980 O esquema do motor é mostrado na Figura 235a e a função de transferência que iremos deduzir aparece na Figura 235b Na Figura 235a um campo magnético chamado campo constante é gerado por ímãs permanentes estacionários ou por um eletroímã estacionário Um circuito rotativo chamado de armadura através do qual circula a corrente iat passa ortogonalmente através desse campo magnético e é submetido a uma força F Bliat em que B é a intensidade do campo magnético e l é o comprimento do condutor O torque resultante gira o rotor o elemento rotativo do motor Existe outro fenômeno que ocorre no motor um condutor movendose ortogonalmente a um campo magnético gera uma diferença de tensão entre os terminais do condutor igual a e Blv em que e é a diferença de tensão e v é a velocidade do condutor perpendicular ao campo magnético Uma vez que a armadura que conduz a corrente está girando em um campo magnético sua tensão é proporcional à velocidade Assim Chamamos essa tensão vcet de força contraeletromotriz fcem Kce é uma constante de proporcionalidade chamada constante de fcem e dθmtdt ωmt é a velocidade angular do motor Aplicando a transformada de Laplace obtemos A relação entre a corrente da armadura iat a tensão aplicada à armadura eat e a fcem vcet é obtida escrevendose uma equação de malha ao longo do circuito da armadura transformado por Laplace ver a Figura 35a O torque desenvolvido pelo motor é proporcional à corrente de armadura assim FIGURA 234 Braço robótico de simulador de voo da NASA com componentes eletromecânicos no sistema de controle FIGURA 235 Motor cc a esquema12 b diagrama de blocos em que Tm é o torque desenvolvido pelo motor e Kt é uma constante de proporcionalidade chamada de constante de torque do motor a qual depende das características do motor e do campo magnético Em um conjunto consistente de unidades o valor de Kt é igual ao valor de Kce Reorganizando a Eq 2147 resulta Para determinar a função de transferência do motor primeiro substituímos as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 resultando Agora devemos determinar Tms em função de θms para separar as variáveis de entrada e de saída e obter a função de transferência θmsEas FIGURA 236 Carregamento mecânico equivalente típico em um motor A Figura 236 mostra um carregamento mecânico equivalente típico em um motor Jm é a inércia equivalente na armadura e inclui tanto a inércia da armadura quanto como veremos adiante a inércia da carga refletida para a armadura Dm é o amortecimento viscoso equivalente na armadura e inclui tanto o amortecimento viscoso da armadura quanto como veremos adiante o amortecimento viscoso da carga refletido para a armadura A partir da Figura 236 Substituindo a Eq 2150 na Eq 2149 resulta Se admitirmos que a indutância da armadura La seja pequena quando comparada à sua resistência Ra o que é usual para um motor cc a Eq 2151 fica Após uma simplificação a função de transferência desejada θmsEas é determinada como Embora a forma da Eq 2153 seja relativamente simples a saber o leitor pode estar preocupado em como calcular as constantes Vamos primeiro discutir as constantes mecânicas Jm e Dm Considere a Figura 237 que mostra um motor com inércia Ja e amortecimento Da na armadura acionando uma carga que consiste em uma inércia JC e um amortecimento DC Admitindose que todos os valores de inércia e amortecimento mostrados sejam conhecidos JC e DC podem ser refletidos para a armadura como inércia e amortecimento equivalentes a serem adicionados a Ja e Da respectivamente Assim a inércia equivalente Jm e o amortecimento equivalente Dm na armadura são FIGURA 237 Motor cc acionando uma carga mecânica rotacional Agora que calculamos as constantes mecânicas Jm e Dm o que se pode afirmar sobre as constantes elétricas na função de transferência da Eq 2153 Veremos que essas constantes podem ser obtidas por meio de um ensaio do motor com um dinamômetro em que um dinamômetro mede o torque e a velocidade de um motor sob a condição de uma tensão aplicada constante Vamos inicialmente desenvolver as relações que orientam a utilização de um dinamômetro Substituindo as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 com La 0 resulta Aplicandose a transformada inversa de Laplace obtemos em que a transformada inversa de Laplace de sθms é dθmtdt ou alternativamente ωmt Se uma tensão cc ea for aplicada o motor irá girar a uma velocidade angular constante ωm com um torque constante Tm Portanto desconsiderandose o relacionamento funcional baseado no tempo da Eq 2157 a relação a seguir é válida quando o motor estiver operando em regime permanente com uma tensão cc de entrada Resolvendo para Tm resulta A Equação 2159 representa uma linha reta Tm versus ωm e é mostrada na Figura 238 Este gráfico é chamado de curva torquevelocidade O eixo do torque é interceptado quando a velocidade angular é zero Este valor de torque é denominado torque com rotor bloqueado Tbloqueado Assim A velocidade angular que ocorre quando o torque é nulo é chamada de velocidade em vazio ωvazio Portanto As constantes elétricas da função de transferência do motor podem agora ser determinadas a partir das Eqs 2160 e 2161 como e As constantes elétricas KtRa e Kce podem ser determinadas a partir de um ensaio do motor com um dinamômetro o qual forneceria Tbloqueado e ωvazio para um determinado ea FIGURA 238 Curvas torquevelocidade com a tensão da armadura ea como parâmetro Exemplo 223 Função de Transferência Motor cc e Carga PROBLEMA Dado o sistema e a curva torquevelocidade da Figura 239a e b determine a função de transferência θCsEas FIGURA 239 a Motor cc e carga b curva torquevelocidade c diagrama de blocos SOLUÇÃO Comece determinando as constantes mecânicas Jm e Dm na Eq 2153 A partir das Eqs 2155 a inércia total na armadura do motor é e o amortecimento total na armadura do motor é Agora determinaremos as constantes elétricas KtRa e Kce A partir da curva torquevelocidade da Figura 239b Portanto as constantes elétricas são e Substituindo as Eqs 2164 2165 2169 e 2170 na Eq 2153 resulta Para determinar θC sEas utilizamos a relação de transmissão N1N2 110 e obtemos como mostrado na Figura 239c Exercício 211 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs ωCsEas para o motor e carga mostrados na Figura 240 A curva torquevelocidade é dada por Tm 8ωm 200 quando a tensão de entrada é de 100 volts FIGURA 240 Sistema eletromecânico para o Exercício 211 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC editora 29 Circuitos Elétricos Análogos Nesta seção mostramos os aspectos comuns aos sistemas de diferentes campos de conhecimento demonstrando que os sistemas mecânicos com os quais trabalhamos podem ser representados por circuitos elétricos equivalentes Nós destacamos a similaridade entre as equações resultantes das leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as equações de movimento dos sistemas mecânicos Mostramos agora essa semelhança de modo bem mais convincente apresentando circuitos elétricos equivalentes para sistemas mecânicos As variáveis dos circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas dos sistemas mecânicos Na realidade converter sistemas mecânicos para circuitos elétricos antes de escrever as equações que descrevem o sistema é uma abordagem de solução de problemas que você pode querer adotar Um circuito elétrico que é análogo a um sistema de outro campo de conhecimento é chamado de circuito elétrico análogo Os análogos podem ser obtidos pela comparação das equações que descrevem o sistema como as equações de movimento de um sistema mecânico tanto com as equações elétricas de malhas quanto com as equações dos nós Quando a comparação é realizada com as equações das malhas o circuito elétrico resultante é chamado de análogo em série Quando a comparação é com as equações dos nós o circuito elétrico resultante é chamado de análogo em paralelo Análogo em Série Considere o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 241a cuja equação de movimento é A equação de malha de Kirchhoff para o circuito RLC em série simples mostrado na Figura 241b é Conforme destacamos anteriormente a Eq 2173 não é diretamente análoga à Eq 2174 porque o deslocamento e a corrente não são análogos Podemos criar uma analogia direta manipulando a Eq 2173 para converter o deslocamento em velocidade dividindo e multiplicando o lado esquerdo da equação por s resultando Comparando as Eqs 2174 e 2175 reconhecemos a soma de impedâncias e desenhamos o circuito mostrado na Figura 241c As conversões são resumidas na Figura 241d Quando temos mais de um grau de liberdade as impedâncias associadas a um movimento aparecem como elementos elétricos em série em uma malha porém as impedâncias entre movimentos adjacentes são desenhadas como impedâncias elétricas em série entre as duas malhas correspondentes Demonstramos isso com um exemplo FIGURA 241 Desenvolvimento de um análogo em série a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo em série d parâmetros para o análogo em série Exemplo 224 Convertendo um Sistema Mecânico em um Análogo em Série PROBLEMA Desenhe um análogo em série para o sistema mecânico da Figura 217a SOLUÇÃO As Eqs 2118 são análogas às equações de malhas elétricas após serem convertidas para velocidade Assim Os coeficientes representam somas de impedâncias elétricas As impedâncias mecânicas associadas a M1 formam a primeira malha na qual as impedâncias entre as duas massas são comuns às duas malhas As impedâncias associadas a M2 formam a segunda malha O resultado é mostrado na Figura 242 em que v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente FIGURA 242 Análogo em série do sistema mecânico da Figura 217a Análogo em Paralelo Um sistema também pode ser convertido em um equivalente análogo em paralelo Considere o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 243a cuja equação de movimento é dada pela Eq 2175 A equação nodal de Kirchhoff para o circuito RLC paralelo simples na Figura 243b é Comparando as Eqs 2175 e 2177 identificamos a soma das admitâncias e desenhamos o circuito mostrado na Figura 243c As conversões são resumidas na Figura 243d FIGURA 243 Desenvolvimento de um análogo em paralelo a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo em paralelo d parâmetros para o análogo em paralelo Quando temos mais de um grau de liberdade os componentes associados a um movimento aparecem como elementos elétricos em paralelo conectados a um nó porém os componentes de movimentos adjacentes são desenhados como elementos elétricos em paralelo entre dois nós correspondentes Demonstramos isso com um exemplo Exemplo 225 Convertendo um Sistema Mecânico em um Análogo em Paralelo PROBLEMA Desenhe um análogo em paralelo para o sistema mecânico da Figura 217a SOLUÇÃO As Eqs 2176 também são análogas às equações elétricas dos nós Os coeficientes representam a soma de admitâncias elétricas As admitâncias associadas a M1 formam os elementos conectados ao primeiro nó onde as admitâncias mecânicas entre as duas massas são comuns aos dois nós As admitâncias mecânicas associadas a M2 formam os elementos conectados ao segundo nó O resultado é mostrado na Figura 244 em que v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente FIGURA 244 Análogo em paralelo do sistema mecânico da Figura 217a Exercício 212 PROBLEMA Desenhe um análogo em série e um análogo em paralelo para o sistema mecânico rotacional da Figura 222 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 210 Não Linearidades Os modelos até agora foram desenvolvidos a partir de sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares e invariantes no tempo Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento desses modelos Nesta seção definimos formalmente os termos linear e não linear e mostramos como fazer a distinção entre eles Na Seção 211 mostramos como aproximar um sistema não linear por um sistema linear de modo que possamos utilizar as técnicas de modelagem apresentadas anteriormente neste capítulo Hsu 1968 FIGURA 245 a Sistema linear b sistema não linear Um sistema linear possui duas propriedades superposição e homogeneidade A propriedade de superposição significa que a resposta de saída de um sistema à soma de entradas é a soma das respostas às entradas individuais Assim se uma entrada r1t produz uma saída c1t e uma entrada r2t produz uma saída c2t então uma entrada r1t r2t produz uma saída c1t c2t A propriedade de homogeneidade descreve a resposta do sistema para uma multiplicação da entrada por um escalar Especificamente em um sistema linear a propriedade de homogeneidade é demonstrada se para uma entrada r1t que produz uma saída c1t uma entrada Ar1t produz uma saída Ac1t isto é a multiplicação de uma entrada por um escalar produz uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar Podemos visualizar a linearidade como mostrado na Figura 245 A Figura 245a é um sistema linear cuja saída é sempre da entrada ou fx 05x independentemente do valor de x Assim cada uma das duas propriedades dos sistemas lineares se aplica Por exemplo uma entrada de valor 1 produz uma saída de e uma entrada de 2 produz uma saída de 1 Utilizando a superposição uma entrada que é a soma das duas entradas originais isto é 3 deve produzir uma saída que é a soma das saídas individuais isto é 15 Pela Figura 245a uma entrada de 3 realmente produz uma saída de 15 Para testar a propriedade de homogeneidade admita uma entrada de 2 a qual produz uma saída de 1 A multiplicação dessa entrada por 2 deveria produzir uma saída duas vezes maior isto é 2 Pela Figura 245a uma entrada de 4 produz realmente uma saída de 2 O leitor pode verificar que as propriedades da linearidade certamente não se aplicam à relação mostrada na Figura 245b A Figura 246 mostra alguns exemplos de não linearidades físicas Um amplificador eletrônico é linear sobre uma faixa específica de valores porém apresenta a não linearidade denominada saturação para tensões de entrada elevadas Um motor que não responde a tensões de entrada muito baixas devido às forças de atrito apresenta uma não linearidade denominada zona morta Engrenagens que não se ajustam firmemente apresentam uma não linearidade denominada folga a entrada se move sobre uma pequena faixa sem que a saída responda O leitor pode verificar que as curvas mostradas na Figura 246 não atendem às definições de linearidade ao longo de toda a faixa de valores Outro exemplo de subsistema não linear é um detector de fase utilizado em uma malha de captura de fase phaselocked loop em um receptor de rádio FM cuja resposta de saída é o seno do sinal de entrada Um projetista pode frequentemente fazer uma aproximação linear de um sistema não linear As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto de um sistema e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade Por exemplo uma relação linear pode ser estabelecida em um ponto da curva não linear se a faixa de variação dos valores de entrada em torno desse ponto for pequena e se a origem for transladada para esse ponto Os amplificadores eletrônicos são um exemplo de dispositivos físicos que realizam uma amplificação linear com pequenas excursões em torno de um ponto 211 Linearização Os sistemas elétricos e mecânicos cobertos até agora foram admitidos como lineares Entretanto caso algum componente não linear esteja presente devemos linearizar o sistema antes que possamos determinar a função de transferência Na última seção definimos e discutimos não linearidades nesta seção mostramos como obter as aproximações lineares de sistemas não lineares com a finalidade de determinar funções de transferência O primeiro passo é identificar o componente não linear e escrever a equação diferencial não linear Quando linearizamos uma equação diferencial não linear nós a linearizamos para pequenas variações do sinal de entrada em torno da solução em regime permanente quando a variação do sinal de entrada é igual a zero Esta solução em regime permanente é chamada de equilíbrio e é escolhida como o segundo passo do processo de linearização Por exemplo quando um pêndulo está em repouso ele está em equilíbrio O deslocamento angular é descrito por uma equação diferencial não linear porém ele pode ser expresso por uma equação diferencial linear para pequenas variações em torno deste ponto de equilíbrio FIGURA 246 Algumas não linearidades físicas FIGURA 247 Linearização em torno do ponto A Em seguida linearizamos a equação diferencial não linear e então aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial linearizada admitindo condições iniciais nulas Finalmente separamos as variáveis de entrada e de saída e formamos a função de transferência Vamos primeiro ver como linearizar uma função depois aplicaremos o método na linearização de uma equação diferencial Caso admitamos um sistema não linear operando em um ponto A x0 fx0 na Figura 247 pequenas variações na entrada podem ser relacionadas às variações na saída em torno do ponto através da inclinação da curva neste ponto A Assim se a inclinação da curva no ponto A é ma então pequenas variações da entrada em torno do ponto A δx produzem pequenas variações na saída δfx relacionadas pela inclinação no ponto A Assim de que e Esta relação é mostrada graficamente na Figura 247 em que um novo conjunto de eixos δx e δfx é criado com a origem no ponto A e fx é aproximadamente igual a fx0 a ordenada da nova origem somada a pequenas excursões ma δx a partir do ponto A Vamos ver um exemplo Exemplo 226 Linearizando uma Função PROBLEMA Linearize fx 5 cos x em torno de x π2 SOLUÇÃO Primeiro determinamos que a derivada de fx é dfdx 5 sen x Em x π2 a derivada vale 5 Além disso fx0 fπ2 5 cos π2 0 Assim a partir da Eq 2180 o sistema pode ser representado como fx 5 δx para pequenas variações de x em torno de π2 O processo é mostrado graficamente na Figura 248 onde a curva do cosseno de fato aparenta ser uma linha reta de inclinação igual a 5 nas proximidades de π2 FIGURA 248 Linearização de 5 cos x em torno de x π2 A discussão anterior pode ser formalizada utilizandose a expansão em série de Taylor a qual expressa o valor de uma função em termos do valor dessa função em um ponto particular da variação em torno desse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto A série de Taylor é mostrada na Eq 2181 Para pequenas variações de x em torno de x0 podemos desprezar os termos de ordem superior A aproximação resultante fornece uma relação na forma de uma reta entre a variação em fx e as variações em torno de x0 Desprezando os termos de ordem superior na Eq 2181 obtemos ou que é uma relação linear entre δfx e δx para pequenas variações em torno de x0 É interessante observar que as Eqs 2182 e 2183 são idênticas às Eqs 2178 e 2179 que foram deduzidas intuitivamente Os exemplos a seguir ilustram a linearização O primeiro exemplo demonstra a linearização de uma equação diferencial e o segundo exemplo aplica a linearização para determinar uma função de transferência Exemplo 227 Linearizando uma Equação Diferencial PROBLEMA Linearize a Eq 2184 para pequenas variações em torno de x π4 SOLUÇÃO A presença do termo cos x torna esta equação não linear Uma vez que desejamos linearizar a equação em torno de x π4 fazemos x δx π4 onde δx é a pequena variação em torno de π4 e substituímos x na Eq 2184 Porém e Finalmente o termo cosδx π4 pode ser linearizado com a série de Taylor truncada Substituindo fx cosδx π4 fx0 fπ4 cos π4 e x x0 dx na Eq 2182 resulta Resolvendo a Eq 2188 para cos δx 1π4 obtemos Substituindo as Eqs 2186 2187 e 2189 na Eq 2185 resulta a seguinte equação diferencial linearizada Esta equação pode agora ser resolvida para δx de onde podemos obter x δx π4 Embora a Eq 2184 não linear seja homogênea a Eq 2190 linearizada não é homogênea A Eq 2190 possui uma função forçante do lado direito da igualdade Este termo adicional pode ser considerado como uma entrada para um sistema representado pela Eq 2184 Outra observação sobre a Eq 2190 é o sinal negativo no lado esquerdo da igualdade O estudo das equações diferenciais nos indica que uma vez que as raízes da equação característica são positivas a solução homogênea crescerá indefinidamente em vez de tender para zero Assim este sistema linearizado em torno de x π4 não é estável Exemplo 228 Função de Transferência Circuito Elétrico Não Linear PROBLEMA Determine a função de transferência VLsVs para o circuito elétrico mostrado na Figura 249 que contém um resistor não linear cuja relação tensãocorrente é definida por ir em que ir e vr são a corrente e a tensão no resistor respectivamente Além disso vt na Figura 249 é uma fonte de pequenos sinais SOLUÇÃO Utilizaremos a lei de Kirchhoff das tensões para somar as tensões na malha para obter a equação diferencial não linear mas primeiro devemos obter a expressão da tensão sobre o resistor não linear Aplicando o logaritmo natural na relação tensãocorrente do resistor obtemos vr 10 Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao longo da malha em que ir i resulta FIGURA 249 Circuito elétrico não linear Em seguida vamos calcular a solução de equilíbrio Inicialmente faça a fonte de pequenos sinais vt igual a zero Agora calcule a corrente em regime permanente Com vt 0 o circuito consiste em uma bateria de 20 V em série com o indutor e o resistor não linear No regime permanente a tensão sobre o indutor será nula uma vez que vLt Ldidt e didt é zero em regime permanente dada uma bateria de tensão constante Assim a tensão no resistor vr é 20 V Utilizando a característica do resistor ir determinamos que ir i 1478 ampères Esta corrente i0 é o valor de equilíbrio da corrente do circuito Consequentemente i i0 δi Substituindo essa corrente na Eq 2191 resulta Utilizando a Eq 2182 para linearizar ln i0 δi obtemos ou Substituindo na Eq 2192 a equação linearizada se torna Fazendo L 1 e i0 1478 a equação diferencial linearizada final é Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e resolvendo para δis obtemos Mas a tensão sobre o indutor em torno do ponto de equilíbrio é Aplicando a transformada de Laplace Substituindo a Eq 2197 na Eq 2199 resulta a partir da qual a função de transferência final é para pequenas variações em torno de i 1478 ou de modo equivalente em torno de vt 0 Exercício 213 PROBLEMA Determine a função de transferência linearizada Gs VsIs para o circuito elétrico mostrado na Figura 250 O circuito contém um resistor não linear cuja relação tensãocorrente é definida por ir A fonte de corrente it é um gerador de pequenos sinais RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora FIGURA 250 Circuito elétrico não linear para o Exercício 213 Estudos de Caso Controle de Antena Funções de Transferência Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matematicamente através de funções de transferência Tipicamente os sistemas são constituídos de subsistemas de diferentes tipos como elétrico mecânico e eletromecânico O primeiro estudo de caso utiliza o exemplo continuado do sistema de controle de posição de azimute de antena para mostrar como representar cada subsistema através de uma função de transferência PROBLEMA Determine a função de transferência para cada subsistema do esquema do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Utilize a Configuração 1 SOLUÇÃO Primeiro identificamos os subsistemas individuais para os quais devemos determinar as funções de transferência eles estão resumidos na Tabela 26 Em seguida determinamos a função de transferência para cada subsistema Potenciômetro de Entrada Potenciômetro de Saída Como os potenciômetros de entrada e de saída são configurados do mesmo modo suas funções de transferência serão idênticas Desprezamos a dinâmica dos potenciômetros e determinamos simplesmente a relação entre a tensão de saída e o deslocamento angular de entrada Na posição central a tensão de saída é zero Cinco voltas tanto no sentido dos 10 volts positivos quanto no sentido dos 10 volts negativos resultam em uma variação de tensão de 10 volts Assim a função de transferência Vensθens para os potenciômetros é determinada dividindose a variação da tensão pelo deslocamento angular TABELA 26 Subsistemas do sistema de controle de posição de azimute de antena Subsistema Entrada Saída Potenciômetro de entrada Deslocamento angular a partir do usuário θent Tensão para o préamplificador vent Préamplificador Tensão dos potenciômetros vet vent vst Tensão para o amplificador de potência vpt Amplificador de potência Tensão do préamplificador vpt Tensão para o motor eat Motor Tensão do amplificador de potência eat Deslocamento angular para a carga θst Potenciômetro de saída Deslocamento angular da carga θst Tensão para o préamplificador vst Préamplificador Amplificador de Potência As funções de transferência dos amplificadores são fornecidas no enunciado do problema Dois fenômenos são desprezados Primeiro admitimos que a saturação nunca seja alcançada Segundo a dinâmica do préamplificador é desprezada uma vez que sua velocidade de resposta é tipicamente muito maior do que a do amplificador de potência As funções de transferência de ambos os amplificadores são dadas no enunciado do problema e são as razões obtidas pela divisão das transformadas de Laplace das tensões de entrada pelas transformadas de Laplace das tensões de saída Assim para o pré amplificador e para o amplificador de potência Motor e Carga O motor e sua carga são os seguintes A função de transferência relacionando o deslocamento da armadura à tensão na armadura é dada na Eq 2153 A inércia equivalente Jm é em que JC 1 é a inércia da carga em θs O amortecimento viscoso equivalente Dm na armadura é em que DC é o amortecimento viscoso da carga em θs A partir do enunciado do problema Kt 05 NmA Kce 05 Vsrad e a resistência da armadura Ra 8 ohms Esses valores juntamente com Jm e Dm são substituídos na Eq 2153 resultando na função de transferência do motor da tensão na armadura para o deslocamento da armadura ou Para completar a função de transferência do motor multiplicamos a expressão pela relação de transmissão para chegarmos à função de transferência que relaciona o deslocamento da carga à tensão na armadura Os resultados são resumidos no diagrama de blocos e na tabela de parâmetros do diagrama de blocos Configuração 1 mostrados na guarda dianteira DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo em relação ao esquema do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado na guarda dianteira determine a função de transferência de cada subsistema Utilize a Configuração 2 Registre seus resultados na tabela dos parâmetros do diagrama de blocos mostrada na guarda dianteira para utilização nos desafios dos estudos de caso de capítulos subsequentes a b Função de Transferência de uma Perna Humana FIGURA 251 Modelo cilíndrico de uma perna humana Neste estudo de caso determinamos a função de transferência de um sistema biológico O sistema é uma perna humana que gira em torno da articulação do quadril Neste problema a componente do peso é não linear de modo que o sistema requer uma linearização antes da determinação da função de transferência PROBLEMA A função de transferência de uma perna humana relaciona o deslocamento angular de saída em torno da articulação do quadril ao torque de entrada fornecido pelos músculos da perna Um modelo simplificado para a perna é mostrado na Figura 251 O modelo admite um torque muscular aplicado Tmt e um amortecimento viscoso D na articulação do quadril e uma inércia J em torno dela15 Além disso uma componente do peso da perna Mg em que M é a massa da perna e g é a aceleração da gravidade cria um torque não linear Se admitirmos que a perna tenha densidade uniforme o peso pode ser aplicado em L2 em que L é o comprimento da perna Milsum 1966 Faça o seguinte Calcule o torque não linear Determine a função de transferência θsTms para pequenos ângulos de rotação em que θs é o deslocamento angular da perna em torno da articulação no quadril FIGURA 252 Diagrama de corpo livre do modelo da perna SOLUÇÃO Primeiro calcule o torque devido ao peso O peso total da perna é Mg atuando verticalmente A componente do peso na direção da rotação é Mg sen θ Esta força é aplicada a uma distância L2 da articulação do quadril Assim o torque na direção da rotação TPt é MgL2 sen θ Em seguida desenhe um diagrama de corpo livre da perna mostrando o torque aplicado Tmt o torque devido ao peso TPt e os torques contrários decorrentes da inércia e do amortecimento viscoso ver a Figura 252 Somando os torques obtemos Linearizamos o sistema em torno do ponto de equilíbrio θ 0 a posição vertical da perna Utilizando a Eq 2182 obtemos da qual sen θ δθ Além disso J d2θdt2 J d2θdt2 e D dθdt D dθdt Assim a Eq 2209 fica Observe que o torque devido ao peso se aproxima do torque de uma mola sobre a perna Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas resulta a partir do que a função de transferência é para pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio θ 0 DESAFIO Agora apresentamos um desafio de estudo de caso para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo Embora o sistema físico seja diferente de uma perna humana o problema utiliza os mesmos princípios linearização seguida pela determinação da função de transferência Dado o circuito elétrico não linear mostrado na Figura 253 determine a função de transferência que relaciona a saída que é a tensão do resistor não linear Vrs à entrada que é a tensão da fonte Vs FIGURA 253 Circuito elétrico não linear 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Resumo Neste capítulo discutimos como determinar um modelo matemático chamado de função de transferência para sistemas elétricos mecânicos e eletromecânicos lineares e invariantes com o tempo A função de transferência é definida como Gs CsRs ou a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada Esta relação é algébrica e também se adapta à modelagem de subsistemas interconectados Temos consciência de que o mundo físico consiste em mais sistemas do que os que ilustramos neste capítulo Por exemplo poderíamos aplicar a modelagem em função de transferência aos sistemas hidráulicos pneumáticos térmicos e até mesmo econômicos Naturalmente devemos admitir que esses sistemas sejam lineares ou fazer aproximações lineares para utilizarmos esta técnica de modelagem Agora que nós temos a função de transferência podemos avaliar sua resposta para uma entrada específica A resposta do sistema será coberta no Capítulo 4 Para aqueles interessados na abordagem de espaço de estados continuamos nossa discussão sobre modelagem no Capítulo 3 no qual utilizamos o domínio do tempo em vez do domínio da frequência Questões de Revisão Que modelo matemático permite a fácil interconexão de sistemas físicos A que classe de sistemas a função de transferência pode ser melhor aplicada Que transformação muda a solução de equações diferenciais em manipulações algébricas Defina a função de transferência Qual hipótese é feita em relação às condições iniciais quando lidamos com funções de transferência Como chamamos as equações mecânicas escritas para se determinar a função de transferência Caso compreendamos a forma que as equações mecânicas tomam que passo evitamos na determinação da função de transferência Por que as funções de transferência para sistemas mecânicos parecem idênticas às funções de transferência para circuitos elétricos Que função as engrenagens desempenham Quais são as partes componentes das constantes mecânicas da função de transferência de um motor A função de transferência de um motor relaciona o deslocamento da armadura à tensão da armadura Como a função de transferência que relaciona o deslocamento da carga à tensão da armadura pode ser determinada Resuma os passos executados para linearizar um sistema não linear Problemas Deduza a transformada de Laplace para as seguintes funções do tempo Seção 22 a b c d 2 a b c 3 4 5 a b 6 7 8 ut tut sen ωt ut cos ωt ut Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 21 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 22 deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo Seção 22 eat sen ωt ut eat cos ωt ut t3 ut Repita o Problema 18 do Capítulo 1 utilizando transformadas de Laplace Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t 0 Seção 22 Repita o Problema 19 do Capítulo 1 utilizando transformadas de Laplace Utilize as seguintes condições iniciais para cada item a x0 4 x0 4 b x0 4 x0 1 c x0 2 x0 3 em que x0 Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t 0 Seção 22 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções do tempo Seção 22 ft 8t2cos3t 45 ft 3te2tsen4t 60 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para obter a transformada inversa de Laplace das seguintes funções no domínio da frequência Seção 22 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial Determine a expressão para a função de transferência do sistema YsXs Seção 23 Para cada uma das funções de transferência a seguir escreva equação diferencial correspondente Seção 23 9 10 11 12 a b 13 Escreva a equação diferencial para o sistema mostrado na Figura P21 Seção 23 FIGURA P21 Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente ao diagrama de blocos mostrado na Figura P22 Admita que rt 3t3 Seção 23 FIGURA P22 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial Seção 23 com as condições iniciais x0 1 e 0 1 Mostre um diagrama de blocos do sistema dando sua função de transferência e todas as entradas e saídas pertinentes Sugestão as condições iniciais aparecerão como entradas adicionais para um sistema efetivo com condições iniciais nulas Utilize o MATLAB para gerar a função de transferência Seção 23 das seguintes maneiras pela razão de fatores pela razão de polinômios Repita o Problema 12 para a seguinte função de transferência Seção 23 14 15 16 17 18 Utilize o MATLAB para gerar a expansão em frações parciais da seguinte função Seção 23 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para entrar e construir objetos LTI na forma polinomial e fatorada para as seguintes funções no domínio da frequência Seção 23 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito mostrado na Figura P23 Seção 24 FIGURA P23 Determine a função de transferência Gs VLsVs para cada circuito mostrado na Figura P24 Seção 24 FIGURA P24 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito mostrado na Figura P25 Resolva o problema utilizando a análise das malhas Seção 24 19 20 a b 21 FIGURA P25 Repita o Problema 18 utilizando equações nodais Seção 24 Escreva mas não resolva as equações das malhas e dos nós para o circuito mostrado na Figura P26 Seção 24 Utilize o MATLAB a Symbolic Math Toolbox e as equações obtidas no item a para determinar a função de transferência Gs VssVs Utilize ambas as equações das malhas e dos nós e mostre que os dois conjuntos levam à mesma função de transferência Seção 24 FIGURA P26 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Figura P27 Seção 24 22 23 FIGURA P27 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Figura P28 Seção 24 FIGURA P28 Determine a função de transferência Gs X1sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P29 Seção 25 24 25 26 27 FIGURA P29 Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P210 Seção 25 FIGURA P210 Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P211 Sugestão coloque uma massa nula em x2t Seção 25 FIGURA P211 Para o sistema da Figura P212 determine a função de transferência Gs X1sFs Seção 25 FIGURA P212 Determine a função de transferência Gs X3sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P213 Seção 25 28 29 FIGURA P213 Determine a função de transferência X3sFs para cada sistema mostrado na Figura P214 Seção 25 FIGURA P214 Escreva mas não resolva as equações de movimento para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P215 Seção 25 30 31 32 33 FIGURA P215 Para cada um dos sistemas mecânicos rotacionais mostrados na Figura P216 escreva mas não resolva as equações de movimento Seção 26 FIGURA P216 Para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P217 determine a função de transferência Gs θ2sTs Seção 26 FIGURA P217 Para o sistema mecânico rotacional com engrenagens mostrado na Figura P218 determine a função de transferência Gs θ3sTs As engrenagens possuem inércia e atrito conforme indicado Seção 27 FIGURA P218 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P219 determine a função de transferência Gs θ2sTs Seção 27 34 35 36 FIGURA P219 Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P220 Seção 27 FIGURA P220 Determine a função de transferência Gs θ4sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P221 Seção 27 FIGURA P221 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P222 determine a função de transferência Gs θCsTs Seção 27 37 38 39 40 FIGURA P222 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P223 escreva as equações de movimento a partir das quais a função de transferência Gs θ1sTs pode ser obtida Seção 27 FIGURA P223 Dado o sistema rotacional mostrado na Figura P224 determine a função de transferência Gs θ6sθ1s Seção 27 FIGURA P224 No sistema mostrado na Figura P225 a inércia J de raio r está limitada a moverse apenas girando em torno do eixo estacionário A Existe uma força de amortecimento viscoso FIGURA P225 de valor translacional fv entre os corpos J e M Caso uma força externa ft seja aplicada à massa determine a função de transferência Gs θsFs Seções 25 26 Para o sistema translacional e rotacional combinado mostrado na Figura P226 determine a 41 42 função de transferência Gs XsTs Seções 25 26 27 FIGURA P226 Dado o sistema translacional e rotacional combinado mostrado na Figura P227 determine a função de transferência Gs XsTs Seções 25 26 FIGURA P227 Para o motor a carga e a curva torquevelocidade mostrados na Figura P228 determine a função de transferência Gs θCsEas Seção 28 43 44 45 46 FIGURA P228 O motor cujas características torquevelocidade são mostradas na Figura P229 aciona a carga mostrada no diagrama Algumas das engrenagens possuem inércia Determine a função de transferência Gs θ2sEas Seção 28 FIGURA P229 Um motor cc desenvolve 50 Nm de torque a uma velocidade de 600 rads quando 12 volts são aplicados Ele para com esta tensão com 100 Nm de torque Se a inércia e o amortecimento da armadura são de 7 kgm2 e 3 Nmsrad respectivamente determine a função de transferência Gs θCsEas desse motor caso ele acione uma carga de inércia 105 kgm2 através de um trem de engrenagens como mostrado na Figura P230 Seção 28 FIGURA P230 Neste capítulo deduzimos a função de transferência de um motor cc relacionando a saída de deslocamento angular com a entrada de tensão da armadura Frequentemente desejamos controlar o torque de saída ao invés do deslocamento Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída à tensão de entrada da armadura Seção 28 Determine a função de transferência Gs XsEas para o sistema mostrado na Figura P231 Seções 2528 47 48 49 50 a b 51 52 FIGURA P231 Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 220 do texto Seção 29 Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P216b dos problemas Seção 29 A saída de um sistema c está relacionada com a entrada r pela relação em reta c 5r 7 O sistema é linear Seção 210 Considere a equação diferencial em que fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx sen x linearize a equação diferencial para pequenas variações Seção 210 x 0 x π Considere a equação diferencial em que fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx ex linearize a equação diferencial para x próximo de 0 Seção 210 Muitos sistemas são lineares por partes Isto é para uma grande faixa de valores das variáveis o sistema pode ser descrito linearmente Um sistema com saturação de amplificador é um exemplo desse tipo Dada a equação diferencial a b c 53 54 admita que fx é como mostrado na Figura P232 Escreva a equação diferencial para cada uma das seguintes faixas de variação de x Seção 210 x 3 3 x 3 3 x FIGURA P232 Para o sistema mecânico translacional com uma mola não linear mostrado na Figura P233 determine a função de transferência Gs XsFs para pequenas variações em torno de ft 1 A mola é definida por xmt 1 em que xmt é a deformação da mola e fmt é a força da mola Seção 210 FIGURA P233 Considere o dispensador de pratos de restaurante mostrado na Figura P234 que consiste em uma pilha vertical de pratos suportada por uma mola comprimida À medida que cada prato é removido o peso reduzido no dispensador faz com que os pratos restantes subam Admita que a massa do sistema menos o prato de cima seja M que o atrito viscoso entre o êmbolo e as laterais do cilindro seja fv que a constante de mola seja K e que o peso de um único prato seja PP Determine a função de transferência YsFs em que Fs é a redução em degrau na força sentida quando o prato de cima é removido e Ys é o deslocamento vertical do dispensador para cima 55 56 FIGURA P234 Dispensador de pratos Cada ouvido interno de um ser humano possui um conjunto de três canais semicirculares aproximadamente perpendiculares com diâmetro de cerca de 028 mm preenchidos com um fluido Transdutores de células capilares que se curvam com os movimentos da cabeça e cujo objetivo principal é trabalhar como sensores de atitude bem como nos auxiliar a manter nosso senso de direção e equilíbrio são ligados a esses canais Quando as células capilares se movem elas curvam uma aba à prova dágua chamada cúpula Foi mostrado que os movimentos da cabeça e da cúpula estão relacionados pela seguinte equação Milsum 1966 em que J momento de inércia do fluido no interior do tubo fino constante b torque por unidade de velocidade angular relativa constante k torque por unidade de deslocamento angular relativo constante a constante t deflexão angular da cúpula saída aceleração angular da cabeça entrada Determine a função de transferência O diabetes é uma doença que aumentou para proporções epidêmicas afetando cerca de 3 de toda a população mundial em 2003 Um modelo em equação diferencial que descreve o tamanho da população total de diabéticos é a b 57 a b com as condições iniciais C0 C0 e N0 N0 e It a entrada do sistema o número de novos casos de diabetes Ct número de diabéticos com complicações Nt a saída do sistema o número total de diabéticos com e sem complicações μ taxa de mortalidade natural constante λ probabilidade de desenvolvimento de uma complicação constante δ taxa de mortalidade decorrente de complicações constante v taxa na qual os pacientes com complicações se tornam gravemente incapacitados constante γ taxa com a qual as complicações são curadas constante Admita os seguintes valores para os parâmetros v δ 005ano μ 002ano γ 008ano λ 07 com condições iniciais C0 47000500 e N0 61100500 Admita também que a incidência de diabéticos seja constante It I 6 106 Boutayeb 2004 Desenhe um diagrama de blocos do sistema mostrando a saída Ns a entrada Is a função de transferência e as condições iniciais Utilize qualquer método para obter a expressão analítica para Nt para t 0 O circuito mostrado na Figura P235a é excitado com o pulso mostrado na Figura P235b FIGURA P235 A transformada de Laplace pode ser utilizada para calcular vst de dois modos diferentes o método exato é executado escrevendose vent 3ut ut 0005 a partir de onde utilizamos a transformada de Laplace para obter Sugestão veja o Item 5 da Tabela 22 o teorema do deslocamento no tempo Na segunda abordagem o pulso é aproximado por uma entrada em impulso que tem a mesma área energia da entrada original Pela Figura P235b vent 3 V5 ms δt 0015 δt Neste caso Vens 0015 Esta aproximação pode ser utilizada desde que a largura do pulso da Figura P235b seja muito menor que a menor constante de tempo do circuito Neste caso τ RC 2Ω4 F 8 s 5 ms Admitindo que o capacitor esteja inicialmente descarregado obtenha uma expressão analítica para vst utilizando ambos os métodos Represente graficamente os resultados para ambos os métodos utilizando qualquer meio disponível e compare ambas as saídas Discuta as diferenças 58 a b 59 Em uma experiência de levitação magnética um objeto metálico é mantido no ar suspenso sob um eletroímã O deslocamento vertical do objeto pode ser descrito pela seguinte equação diferencial não linear Galvão 2003 em que m massa do objeto metálico g constante de aceleração da gravidade k uma constante positiva H distância entre o eletroímã e o objeto metálico sinal de saída I corrente no eletroímã sinal de entrada Mostre que o equilíbrio do sistema será atingido quando Linearize a equação em torno do ponto de equilíbrio encontrado no Item a e mostre que a função de transferência resultante obtida a partir da equação diferencial linearizada pode ser expressa como com a 0 Sugestão para realizar a linearização defina δH Ht H0 e δI It I0 substitua na equação original Isso resultará Agora obtenha uma aproximação em série de Taylor de primeira ordem para o lado direito da equação Isto é calcule A Figura P236 mostra um modelo de um quarto de carro comumente utilizado para a análise de sistemas de suspensão Considerase que o pneu do carro atue como uma mola sem amortecimento como mostrado Os parâmetros do modelo são Lin 1997 60 FIGURA P236 Modelo de um quarto de carro utilizado para projeto de suspensão 1997 IEEE Mc massa da carroceria Mr massa da roda Ka constante de mola da suspensão Kp constante de mola do pneu fv coeficiente de amortecimento da suspensão r perturbação da estrada entrada xs deslocamento vertical do carro xr deslocamento vertical da roda Obtenha a função de transferência da perturbação da estrada para o deslocamento vertical do carro As enzimas são grandes proteínas utilizadas pelos sistemas biológicos para aumentar a taxa com a qual ocorrem as reações Por exemplo os alimentos geralmente são compostos de grandes moléculas de difícil digestão as enzimas quebram as grandes moléculas em pequenos nutrientes como parte do processo digestivo Uma dessas enzimas é a amilase encontrada na saliva humana Sabese que se você colocar um pedaço de massa crua na boca seu sabor irá mudar de algo que lembra papel para doce à medida que a amilase quebra os carboidratos em açúcares A quebra enzimática é frequentemente expressa pela seguinte relação Nesta expressão um substrato S interage com uma enzima E para formar um produto combinado C a uma taxa k1 O composto intermediário é reversível e se dissocia a uma taxa k1 Simultaneamente parte do composto é transformada no produto final P a uma taxa k2 A cinética que descreve essa reação é conhecida como equações de MichaelisMenten e consiste em quatro equações diferenciais não lineares Entretanto em algumas condições essas equações podem ser simplificadas Sejam E0 e S0 as concentrações iniciais da enzima e substrato respectivamente É geralmente aceito que sob algumas condições energéticas ou a b 61 quando a concentração de enzimas é muito alta E0 S0 a cinética dessa reação seja dada por em que os termos constantes a seguir são utilizados Schnell 2004 e Admitindo que as condições iniciais para a reação são S0 S0 E0 E0 e C0 P0 0 obtenha as expressões da transformada de Laplace para S C e P S C e P respectivamente Utilize o teorema do valor final para determinar S C e P Os seres humanos são capazes de ficar de pé sobre duas pernas devido a um sistema complexo de realimentação que inclui diversas entradas sensoriais de equilíbrio e visuais em conjunto com atuação muscular Com a finalidade de conseguir uma melhor compreensão do funcionamento do mecanismo de realimentação de postura um indivíduo é solicitado a se colocar de pé sobre uma plataforma na qual são fixados sensores na base Atuadores de vibração são fixados com correias às panturrilhas do indivíduo Quando os atuadores são estimulados o indivíduo balança e os movimentos são registrados Foi levantada a hipótese de que a dinâmica postural humana é análoga à de um carro com uma haste equilibrada na vertical a ele vinculada pêndulo invertido Nesse caso a dinâmica pode ser descrita pelas duas equações seguintes em que m é a massa do indivíduo l é a altura do centro de gravidade do indivíduo g é a constante gravitacional J é o momento de inércia equivalente do indivíduo η ρ e k são 62 a b c d 63 constantes dadas pelo sistema de controle postural do corpo θt é o ângulo do indivíduo em relação à vertical Teqt é o torque gerado pelos músculos do corpo para manter o equilíbrio e Tpt é a entrada de perturbação de torque externo Determine a função de transferência Johansson 1988 A Figura P237 mostra um guindaste içando uma carga Embora o modelo do sistema real seja altamente não linear se o cabo for considerado como rígido com um comprimento fixo L o sistema pode ser modelado utilizando as seguintes equações FIGURA P237 1990 IEEE em que mC é a massa da carga mT é a massa do carro xT e xC são deslocamentos como definidos na figura é o ângulo do cabo em relação à vertical e fT é a força aplicada ao carro Marttinen 1990 Obtenha a função de transferência da velocidade do carro para o ângulo do cabo Admita que o carro é conduzido a uma velocidade constante V0 e obtenha uma expressão para o t resultante Mostre que nessa condição a carga oscilará com uma frequência Determine a função de transferência da força aplicada para a posição do carro Mostre que se uma força constante for aplicada ao carro sua velocidade aumentará sem limite quando t Em 1978 Malthus desenvolveu um modelo para o crescimento populacional humano que também é comumente utilizado para se modelar o crescimento de bactérias como se segue Seja Nt a densidade populacional observada no tempo t Seja K a taxa de reprodução por unidade de tempo Desprezandose as mortes da população a densidade populacional em um instante t t para t pequeno é dada por a b 64 que também pode ser escrita como Uma vez que Nt pode ser considerada como um número muito grande fazendo t 0 chegase à seguinte equação diferencial EdelsteinKeshet 2005 Admitindo uma população inicial N0 N0 resolva a equação diferencial obtendo Nt Determine o instante no qual a população é o dobro da população inicial A obstrução dos vasos sanguíneos pode em alguns casos ser diagnosticada através de técnicas não invasivas como o uso de microfones sensíveis para detectar anomalias acústicas de fluxo Com a finalidade de predizer as propriedades sonoras da artéria coronária esquerda foi desenvolvido um modelo que divide a artéria em 14 segmentos como mostrado na Figura P238a Cada segmento é então modelado pelo circuito elétrico análogo da Figura P238b resultando no mo a b c a b c 65 66 a b c FIGURA P238 1990 IEEE delo completo mostrado na Figura P238c no qual oito resistências terminais Z foram adicionadas No modelo elétrico a pressão é análoga à tensão e o fluxo sanguíneo é análogo à corrente Como exemplo para o Segmento 3 foi verificado experimentalmente que R3 4176 Ω C3 098 μ F L3 1406 H e Z3 308163 Ω Wang 1990 Para o Segmento 3 determine a função de transferência da pressão de entrada para o fluxo sanguíneo através de É um fato conhecido na análise de circuitos que se uma entrada constante é aplicada a um circuito como o mostrado na Figura P238b o capacitor pode ser substituído por um circuito aberto e o indutor pode ser substituído por um curtocircuito quando o tempo tende a infinito Utilize este fato para calcular o fluxo através de Z3 após um pulso de pressão unitária constante ser aplicado e o tempo tender a infinito Verifique o resultado obtido no Item b utilizando a função de transferência obtida no Item a e aplicando o teorema do valor final Com a finalidade de projetar um veículo subaquático que tenha as características tanto de um veículo de longo alcance como um torpedo quanto de um veículo de baixa velocidade e grande manobrabilidade tipo caixa pesquisadores desenvolveram um propulsor que imita o jato de locomoção das lulas Krieg 2008 Foi demonstrado que o impulso médio normalizado devido a uma entrada de comando em degrau é dado por Tt Tref1 eλt a sen2πft em que Tref é a referência ou impulso desejado λ é a constante de amortecimento do sistema a é a amplitude da oscilação causada pela ação de bombeamento do atuador f é a frequência do atuador e Tt é o impulso médio normalizado resultante Determine a função de transferência do propulsor Mostre todos os passos O modelo de crescimento de Gompertz é comumente utilizado para modelar o crescimento de tumores Seja vt o volume do tumor então em que λ e α são duas constantes apropriadas EdelsteinKeshet 2005 Verifique que a solução para essa equação é dada por vt em que v0 é o volume inicial do tumor Este modelo considera o fato de que quando nutrientes e oxigênio se tornam escassos no núcleo do tumor seu crescimento é comprometido Determine o volume final previsto para o tumor faça t Para um tumor específico em ratos foi determinado experimentalmente que λ 25 dias e α 01 dia com v0 50 103 mm3 Chignola 2005 Utilize qualquer método disponível para representar graficamente vt por t d 67 a b c 68 Compare o resultado obtido no Item b com os resultados do gráfico do Item c PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 do Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade O diagrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária é mostrado na Figura P239a Admita o modelo simplificado mostrado na Figura P239b onde a catenária é representada pela mola Kméd OConnor 1997 FIGURA P239 a Acoplamento de pantógrafo e catenária b representação simplificada mostrando a força de controle ativo Reproduzido com permissão da ASME Determine a função de transferência G1s YcatsFcimas em que ycatt é o deslocamento da catenária e fcimat é a força orientada para cima aplicada ao pantógrafo sob controle ativo Determine a função de transferência G2s YhsFcimas em que yht é o deslocamento da cabeça do pantógrafo Determine a função de transferência Gs Yhs YcatsFcimas Controle de HIVAIDS O HIV causa seu dano infectando células T CD41 um tipo de a b glóbulo branco saudáveis que são necessárias no combate a infecções Quando o vírus entra em uma célula T e o sistema imunológico aumenta a produção dessas células para combater a infecção o vírus se propaga de modo oportunista Desenvolvemos agora um modelo simples do HIV consulte a Figura P240 Normalmente as células T são produzidas a uma taxa s e morrem a uma taxa d O vírus HIV está presente na corrente sanguínea de um indivíduo infectado Esses vírus na corrente sanguínea chamados de vírus livres infectam células T saudáveis a uma taxa β Além disso os vírus se reproduzem através do processo de multiplicação das células T ou de outra forma a uma taxa k Os vírus livres morrem a uma taxa c As células T infectadas morrem a uma taxa μ FIGURA P240 2004 IEEE Um modelo matemático simples que ilustra essas interações é dado pelas seguintes equações Craig 2004 em que T número de células T saudáveis T número de células T infectadas v número de vírus livres O sistema é não linear assim é necessária uma linearização para se obter as funções de transferência conforme você fará nos capítulos subsequentes A natureza não linear desse modelo pode ser constatada a partir das equações anteriores Determine quais dessas equações são lineares quais são não lineares e justifique O sistema possui dois pontos de equilíbrio Mostre que eles são dados por 69 e Veículo híbrido O Problema 23 do Capítulo 1 discutiu o controle de cruzeiro de veículos elétricos híbridos HEVs em série em paralelo e mistos Os diagramas de blocos funcionais desenvolvidos para esses HEVs indicam que a velocidade de um veículo depende do balanço entre as forças propulsoras desenvolvidas pelo motor a gasolina eou pelo motor elétrico e as forças de resistência ao movimento As forças de resistência incluem o arrasto aerodinâmico a resistência à rolagem e a resistência a subidas A Figura P241 ilustra as resistências ao movimento para um carro se movendo em uma subida Bosch 2007 FIGURA P241 Resistências ao movimento A resistência ao movimento total Fw é calculada como Fw FRo FL FEs em que FRo é a resistência à rolagem FL é o arrasto aerodinâmico e FEs é a resistência a subida O arrasto aerodinâmico é proporcional ao quadrado da soma da velocidade do carro v e da velocidade do vento frontal vvf ou v vvf As outras duas resistências são funções do peso do carro G e do declive da via dado pelo ângulo de inclinação α como pode ser observado nas seguintes equações FR0 fG cos α fmg cos α em que f coeficiente de resistência à rolagem m massa do carro em kg a b c g aceleração da gravidade em ms2 FL 05ρCwAv vvf2 em que ρ densidade do ar em kgm3 Cw coeficiente de arrasto aerodinâmico A maior seção transversal do carro em m2 FEs G sen α mg sen α A força propulsora F disponível nas rodas de tração é em que T torque propulsor P potência propulsora itot relação de transmissão total r raio do pneu ηtot eficiência total do trem de engrenagens O saldo de força F F w acelera o veículo ou o freia quando F w F Fazendo a onde a é a aceleração e km é um coeficiente que compensa o aparente aumento de massa do veículo devido às massas rotativas rodas volante virabrequim etc Mostre que a aceleração do carro16 a pode ser determinada a partir da equação F fmg cos α mg sen α 05ρCwAv vvf2 km ma Admitindo aceleração constante e usando o valor médio para a velocidade determine a força propulsora média Fméd em N e a potência média Pméd em kW necessárias para acelerar o carro de 40 a 60 kmh em 4 segundos em uma via plana α 0 em condições sem vento em que vvf 0 São dados os seguintes parâmetros m 1590 kg A 2 m2 f 0011 ρ 12 kgm3 Cw 03 ηtot 09 km 12 Além disso calcule a potência adicional Padi necessária para que o carro após alcançar 60 kmh mantenha sua velocidade enquanto sobe uma ladeira com uma inclinação α 5 A equação deduzida no Item a descreve a dinâmica de movimento não linear do carro onde Ft é a entrada do sistema e vt a saída resultante Dado que o arrasto aerodinâmico é proporcional a v2 em condições sem vento linearize a equação de movimento resultante em torno de uma velocidade média v0 50 kmh quando o carro trafega em uma via plana17 em que α 0 Sugestão Expanda v2 v0 2 em uma série de Taylor truncada Escreva esta equação de movimento e a represente com um diagrama de blocos no qual o bloco Gv representa a dinâmica do veículo A saída deste bloco é a velocidade do carro vt e a entrada é a força propulsora excedente Fet definida como Fe F FEs FRo F0 em queF0 é a componente constante do arrasto aerodinâmico linearizado d 1 a b c 2 3 c 4 Utilize a equação do Item c para determinar a função de transferência do veículo Gvs VsFes Investigando em Laboratório Virtual Experimento 21 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB para 1 criar polinômios 2 manipular polinômios 3 criar funções de transferência 4 manipular funções de transferência e 5 realizar expansões em frações parciais Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Realize os seguintes cálculos manualmente ou com uma calculadora As raízes de P1 s6 7s5 2s4 9s3 10s2 12s 15 As raízes deP2 s6 9s5 8s4 9s3 12s2 15s 20 P3 P1 P2 P4 P1 P2 P5 P1P2 Calcule manualmente ou com uma calculadora o polinômio P6 s 7s 8s 3s 5s 9s 10 Calcule manualmente ou com uma calculadora as seguintes funções de transferência representadas por um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador expressas como fatores no numerador divididos por fatores no denominador similar à forma de G1s no Item 3a do PréEnsaio G3s G1s G2s G4s G1s G2s G5s G1sG2s expressas como fatores divididos por fatores e expressas como polinômios divididos por polinômios Calcule manualmente ou com uma calculadora a expansão em frações parciais das seguintes funções de transferência 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3 Ensaio Utilize o MATLAB para determinar P3 P4 e P5 do Item 1 do PréEnsaio Utilize apenas um comando do MATLAB para determinar P6 do Item 2 do PréEnsaio Utilize apenas dois comandos do MATLAB para obter G1s do Item 3a do PréEnsaio representada como um polinômio dividido por outro polinômio Utilize apenas dois comandos do MATLAB para obter G2s expressa como fatores no numerador divididos por fatores no denominador Utilizando várias combinações de G1s e G2s obtenha G3s G4s e G5s Utilizar várias combinações significa misturar e combinar G1s e G2s expressas como fatores e polinômios Por exemplo para obter G3s G1s pode ser expressa na forma fatorada e G2s pode ser expressa na forma polinomial Outra combinação seria expressar tanto G1s quanto G2s como polinômios Ainda outra combinação seriam G1s e G2s ambas expressas na forma fatorada Utilize o MATLAB para determinar as expansões em frações parciais mostradas no Item 4 do PréEnsaio PósEnsaio Discuta os resultados obtidos no Item 5 do Ensaio O que você pode concluir Discuta o uso do MATLAB para manipular funções de transferência e polinômios Discuta eventuais deficiências na utilização do MATLAB para realizar expansões em frações parciais Experimento 22 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para 1 obter transformadas de Laplace de funções temporais 2 obter funções temporais a partir de transformadas de Laplace 3 criar funções de transferência LTI a partir de funções de transferência simbólicas e 4 obter soluções de equações simbólicas simultâneas Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Symbolic Math Toolbox e Control System Toolbox PréEnsaio Utilizando cálculos manuais obtenha a transformada de Laplace de ft 00075 000034e25t cos22t 0087e25t sen22t 00072e8t Utilizando cálculos manuais obtenha a transformada inversa de Laplace de Utilize cálculos manuais para determinar a solução para as correntes das malhas do circuito mostrado na Figura P242 1 a b c d e f 1 2 3 4 1 2 FIGURA P242 Ensaio Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para Gerar simbolicamente a função do tempo ft mostrada no Item 1 do PréEnsaio Gerar simbolicamente Fs mostrada no Item 2 do PréEnsaio Obtenha seu resultado simbolicamente tanto na forma fatorada quanto na forma polinomial Obter a transformada de Laplace da função ft mostrada no Item 1 do PréEnsaio Obter a transformada inversa de Laplace de Fs mostrada no Item 2 do PréEnsaio Gerar uma função de transferência LTI para a representação simbólica de Fs do Item 2 do PréEnsaio tanto na forma polinomial quanto na forma fatorada Comece com a Fs que você gerou simbolicamente Resolver o circuito do Item 3 do PréEnsaio para as correntes das malhas PósEnsaio Discuta as vantagens e desvantagens entre a Symbolic Math Toolbox e apenas o MATLAB para converter uma função de transferência da forma fatorada para a forma polinomial e vice versa Discuta as vantagens e desvantagens de se utilizar a Symbolic Math Toolbox para gerar funções de transferência LTI Discuta as vantagens de se utilizar a Symbolic Math Toolbox para resolver equações simultâneas do tipo gerado pelo circuito elétrico do Item 3 do PréEnsaio É possível resolver as equações utilizando apenas o MATLAB Explique Discuta quaisquer outras observações que você tenha sobre a utilização da Symbolic Math Toolbox Experimento 23 Objetivo Aprender a utilizar o LabVIEW para criar e manipular polinômios e funções de transferência Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW e o LabVIEW Control Design and Simulation Module PréEnsaio Estude o Apêndice D Seções D1 até D4 Exemplo D1 Realize manualmente os cálculos enunciados no Item 1 do PréEnsaio do Experimento 21 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Determine manualmente o polinômio cujas raízes são 7 8 3 5 9 e 10 Realize manualmente a expansão em frações parciais de Gs Obtenha manualmente G1s G2s G1s G2s e G1sG2s em que Ensaio Abra a paleta de funções do LabVIEW e selecione a paleta MathematicsPolynomial Crie os polinômios enumerados nos Itens 1a e 1b do PréEnsaio do Experimento 21 Crie as operações polinomiais enunciadas no Item 1c do PréEnsaio do Experimento 21 Crie um polinômio cujas raízes sejam as enunciadas no Item 3 do PréEnsaio deste experimento Obtenha a expansão em frações parciais da função de transferência dada no Item 4 do Pré Ensaio deste experimento Utilizando a paleta Control Design and SimulationControl DesignModel Construction construa as duas funções de transferência enumeradas no Item 5 do PréEnsaio Utilizando a paleta Control Design and SimulationControl DesignModel Interconnection mostre os resultados das operações matemáticas enumeradas no Item 5 do PréEnsaio deste Experimento PósEnsaio Compare as operações polinomiais obtidas no Item 3 do Ensaio com as obtidas no Item 2 do PréEnsaio Compare o polinômio apresentado no Item 4 do Ensaio com o calculado no Item 3 do Pré Ensaio Compare a expansão em frações parciais obtida no Item 5 do Ensaio com a calculada no Item 4 do PréEnsaio Compare os resultados das operações matemáticas obtidos no Item 7 do Ensaio com aqueles calculados no Item 5 do PréEnsaio Bibliografia Aggarwal J K Notes on Nonlinear Systems Van Nostrand Reinhold New York 1972 Bosch R GmbH Bosch Automotive Handbook 7th ed John Wiley Sons Ltd UK 2007 Boutayeb A Twizell E H Achouayb K and Chetouani A Mathematical Model for the Burden of Diabetes and Its Complications BioMedical Engineering OnLine 2004 Retrieved from httpwwwbiomedicalengineering onlinecomcontent3120 pp 119 Cannon R H Jr Dynamics of Physical Systems McGrawHill New York 1967 Carlson L E and Griggs G E Aluminum Catenary System Quarterly Report Technical Report Contract Number DOTFR9154 US Department of Transportation 1980 Chignola R and Foroni R I Estimating the Growth Kinetics of Experimental Tumors from as Few as Two Determinations of Tumor Size Implications for Clinical Oncology IEEE Transactions on Biomedical Engineering vol 52 no 5 May 2005 pp 808815 Cochin I Analysis and Design of Dynamic Systems Harper and Row New York 1980 Cook P 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inverso da resistência é chamado de condutância 5O conceito de carregamento é explicado mais adiante no Capítulo 5 6Observe que a coluna impedância da Tabela 24 não é uma analogia direta da coluna impedância da Tabela 23 uma vez que o denominador da Eq 2115 é o deslocamento Uma analogia direta poderia ser obtida definindose a impedância mecânica em função da velocidade como FsVs Escolhemos a Eq 2115 como uma definição conveniente para escrever as equações de movimento em função do deslocamento em vez da velocidade A alternativa entretanto está disponível 7O atrito mostrado aqui e em todo o livro salvo indicação em contrário é atrito viscoso Assim fv1 e fv2 não são atritos de Coulomb mas surgem por causa de uma interface viscosa 8Neste caso o parâmetro é referenciado como um parâmetro distribuído 9O parâmetro é agora referenciado como um parâmetro concentrado 10Isto é equivalente a dizer que as engrenagens possuem inércia e amortecimento desprezíveis 11Relações de transmissão são as razões entre os números de dentes das engrenagens NT 12Ver o Apêndice I no site da LTC Editora para uma dedução deste esquema e parâmetros 13As unidades para as constantes elétricas são Kt NmA newtonmetroampère e Kce Vsrad voltsegundoradiano 14Caso os valores das constantes mecânicas não sejam conhecidos as constantes do motor podem ser determinadas por meio de ensaios laboratoriais utilizando dados da resposta transitória ou da resposta em frequência O conceito de resposta transitória é coberto no Capítulo 4 a resposta em frequência é coberta no Capítulo 10 15Para dar ênfase J não está em torno do centro de massa como admitimos anteriormente para a inércia em rotação mecânica 16Outras grandezas tais como velocidade máxima capacidade de subida etc também podem ser calculadas através de manipulações a partir desta equação 17Observe que em uma via plana a resistência a subida é FEs 0 uma vez que sen α sen 0 0