Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 03 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS DE BARRA 31 INTRODUÇÃO No Capítulo anterior os conceitos iniciais sobre o Método dos Elementos Finitos foram apresentados Uma breve formulação geral do Método dos Resíduos Poderados foi descrita dando ênfase ao método de Galerkin Neste Capítulo o método de Galerkin será utilizado para deduzir a formulação do elemento de barra no âmbito unidimensional Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR atual UTFPR 32 FORMULAÇÃO DO ELEM FINITO UNIDIMENSIONAL DE GALERKIN Seja o mesmo problema da barra sob tração e carregamento distribuído explorado no capítulo anterior representado pela equação diferencial 𝐴𝐸 𝑑2𝑢 𝑑𝑥2 𝑞𝑥 0 para 0 𝑥 𝐿𝑇 31 e com condições de contorno 𝑢 0 para 𝑥 0 Dirichlet 32 𝐴𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑃 0 para 𝑥 𝐿𝑇 Neumann 33 Figura 31 Barra submetida a tração Fonte Luersen 2000 Para aplicação do Método dos Elementos Finitos a este problema subdividese o corpo em análise em uma série de pedaços chamados elementos finitos e aplicase o método de Galerkin em um pedaço elemento finito característico da estrutura A função aproximada no Método dos Elementos Finitos tem como incógnitas os deslocamentos em determinados pontos do elemento sendo esses pontos denominados nós Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 O número de nós depende do tipo de função de aproximação que se está arbitrando Se for uma equação de primeiro grau polinômio de grau 1 isto é o deslocamento é linear ao longo do comprimento do elemento terseá dois nós localizados nas duas extremidades do elemento Se se arbitrar uma função quadrática polinômio de grau 2 terseá três nós um em cada extremidade e um terceiro intermediário e assim por diante Deste modo obtémse um sistema algébrico de equações característico de um elemento finito sendo as incógnitas os deslocamentos nodais do elemento Montase esse sistema para cada um dos elementos que formam a estrutura sendo feita depois a superposição isto é juntamse os pedaços do corpo de modo a preservar a continuidade ou seja deslocamentos em nós coincidentes serão iguais obtendose um sistema algébrico de equações para toda a estrutura No estudo de condução de calor ao invés de deslocamentos nodais como incógnitas temse temperaturas nodais No caso da barra temse uma incógnita associada com cada nó portanto tem se um grau de liberdade por nó Posteriormente será visto que se pode ter mais incógnitas graus de liberdade associadas a apenas um nó como é o caso da elasticidade plana onde temse como incógnitas dois deslocamentos um em cada direção e portanto o elemento finito terá dois graus de liberdade por nó Para elementos finitos unidimensionais sua representação é apenas uma linha unindo os seus nós Na análise do problema da Figura 32 dividese a barra em três elementos finitos de comprimentos 𝐿1 𝐿2 e 𝐿3 conforme mostrado na Figura 32 O processo de divisão do corpo em elementos finitos chamase discretização Figura 32 Discretização em elementos finitos Fonte Luersen 2000 Analisase um elemento característico de comprimento 𝐿 conforme mostra a Figura 33 Figura 33 Elemento finito característico Fonte Luersen 2000 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 Fazse agora a aproximação 𝑢 para este elemento finito característico Esta função aproximada terá como incógnitas os deslocamento nos pontos nodais Como exemplo arbitrarseá uma função aproximada de primeiro grau isto é o deslocamento ao longo do elemento será uma interpolação linear entre os deslocamentos das extremidades Portanto o elemento e terá dois nós localizados nas extremidades sendo seus graus de liberdade incógnitas os deslocamentos nessas posições ou seja 𝑢1 e 𝑢2 conforme mostra a Figura 24 Figura 34 Elemento finito característico 𝒆 e seus graus de liberdade Fonte Luersen 2000 Sem perda de generalidade considerando o sistema de coordenadas com origem no nó 1 𝑢 pode ser escrito da seguinte forma 𝑢𝑥 1 𝑥 𝐿 𝑢1 𝑥 𝐿 𝑢2 34 ou de uma forma mais geral 𝑢𝑥 𝑁𝑖𝑢𝑖 2 𝑖1 35 onde 𝑁𝑖 são as chamadas funções de interpolação sendo que 𝑖 varia de 1 ao número de nós do elemento que no presente caso é igual a dois A obtenção das funções de interpolação 𝑁𝑖 serão estudadas em um Capítulo posterior Elas são dadas por 𝑁1 1 𝑥 𝐿 𝑒 𝑁2 𝑥 𝐿 36 Verificase que para as coordenadas nodais 𝑢 é igual aos deslocamentos nodais ou seja para 𝑥 0 temse 𝑢 𝑢1 e para 𝑥 𝐿 𝑢 𝑢2 A Equação 35 pode ser expressa em forma matricial por meio de 𝑢𝑥 𝑵𝒖 37 em que 𝑵 é denominada de matriz das funções de interpolação do elemento e 𝒖 o vetor de deslocamentos nodais do elemento A Equação 37 é uma expressão geral onde 𝑵 contém funções de interpolação não necessariamente lineares e 𝒖 representa todos os deslocamentos na direção dos graus de liberdade do elemento Esta forma será extensivamente utilizada no decorrer do presente texto Para uma interpolação linear 𝑵 e 𝒖 são dados por 𝑵 1 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 e 𝒖 𝑢1 𝑢2 38 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 Em uma forma gráfica os deslocamentos ao longo de uma barra aproximados pela Equação 34 são ilustrados na Figura 35 Verificase que os deslocamentos ao longo do elemento são interpolados de forma linear pelos deslocamentos das extremidades 𝑢𝑖 e 𝑢𝑗 Figura 35 Interpolação linear de deslocamentos Fonte Luersen 2000 Definida a função de aproximação 𝑢 pelo método de Galerkin as funções peso 𝑊𝑖 são dadas por 𝑊𝑖 𝑢 𝑢𝑖 𝑁𝑖 39 Assim 𝑊1 𝑁1 1 𝑥 𝐿 e 𝑊2 𝑁2 𝑥 𝐿 310 e as equações de Galerkin são dadas por 𝑅𝑖 𝑊𝑖𝑥 𝐴𝐸 𝑑2𝑢 𝑑𝑥2 𝑞 𝑑𝑥 0 𝐿 0 311 Desse modo 𝑅𝑖 𝑁𝑖𝑥 𝐴𝐸 𝑑2𝑢 𝑑𝑥2 𝑞 𝑑𝑥 0 𝐿 0 312 Integrando por partes a primeira parcela da expressão anterior 𝑁𝑖𝐴𝐸 𝑑2𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 𝑁𝑖𝐴𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 0 𝐿 𝑑𝑁𝑖𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 0 𝐿 0 𝐿 0 313 Note que no contorno 𝐴𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝐴𝐸𝜀 𝐴𝜎 𝑃 carga concentrada aplicada e portanto são as condições de contorno naturais Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 Assim temse que 𝑅𝑖 𝑑𝑁𝑖 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑁𝑖𝑞 𝑑𝑥 𝑁𝑖𝑃0 𝐿 0 𝐿 0 314 Para 𝑖 1 𝑁1𝑥 0 1 𝑒 𝑁1𝑥 𝐿 0 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 1 𝐿 𝑒 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 1 𝐿 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝑢1 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝑢2 𝑁1𝑞 𝑑𝑥 𝑁1𝐿𝑃 𝑁10𝑃 0 𝐿 0 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝑢1 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝑢2 𝑑𝑥 𝑁1𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃1 0 𝐿 0 1 𝐿 𝐴𝐸 1 𝐿 𝑢1 1 𝐿 𝑢2 𝑑𝑥 𝑁1𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃1 𝐿 0 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝐴𝐸 𝐿 𝑢2 1 𝑥 𝐿 𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃1 315 Para 𝑖 2 𝑁2𝑥 0 0 𝑒 𝑁2𝑥 𝐿 1 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 1 𝐿 𝑒 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 1 𝐿 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝑢1 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝑢2 𝑁2𝑞 𝑑𝑥 𝑁2𝐿𝑃 𝑁20𝑃 0 𝐿 0 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝐴𝐸 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝑢1 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝑢2 𝑑𝑥 𝑁2𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃2 0 𝐿 0 1 𝐿 𝐴𝐸 1 𝐿 𝑢1 1 𝐿 𝑢2 𝑑𝑥 𝑁2𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃2 𝐿 0 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝐴𝐸 𝐿 𝑢2 𝑥 𝐿 𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃2 316 O segundo termo da direita nas expressões 315 e 316 são chamados de forças nodais consistentes pois são forças aplicadas nos nós provenientes de uma força distribuída ao longo do elemento São ditas consistentes pois são ponderadas pelas funções de interpolação Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 6 Em forma matricial as duas últimas expressões podem ser escritas como 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝑢2 𝐹1 𝐹2 317 em que 𝐹1 1 𝑥 𝐿 𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃1 e 𝐹2 𝑥 𝐿 𝑞𝑑𝑥 𝐿 0 𝑃2 318 De forma compacta 𝑲𝒆𝒖𝒆 𝑭𝒆 319 em que 𝑲𝒆 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 𝐴𝐸 𝐿 é a matriz de rigidez do elemento 𝒖𝒆 𝑢1 𝑢2 é o vetor de deslocamentos do elemento 𝑭𝒆 𝐹1 𝐹2 é o vetor de carregamentos nodais do elemento A Equação 317 ou 319 é a equação de elementos finitos para o elemento de barra considerando a utilização de funções de interpolação lineares Agora necessitase montar a equação para toda a estrutura Isto é feito superpondose todos os elementos que compõem a estrutura ou seja 𝑛𝑒 𝑲𝒆 𝑒1 𝒖𝒆 𝑛𝑒 𝑭𝒆 𝑒1 ou 𝑲𝒖 𝑭 320 em que 𝑲 é a matriz de rigidez global da estrutura 𝒖 é o vetor deslocamentos nodais da estrutura 𝑭 é o vetor de carregamentos nodais da estrutura 33 OBTENÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E VETOR DE CARGA GLOBAIS Voltando ao problema da barra dividida em três elementos Numerase todos os elementos e nós da estrutura Figura 36 A estrutura portanto terá quatro nós Figura 36 Barra discretizada em três elementos finitos Fonte Luersen 2000 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 7 Observando a Figura 36 verificase que o elemento 1 é composto pelos nós 1 e 2 o elemento 2 pelos nós 2 e 3 e o elemento 3 pelos nós 3 e 4 Esta relação entre número do elemento e numeração dos nós globais dáse o nome de conectividade ou incidência ver Tabela 31 Tabela 31 Tabela de conectividade Elemento Nó 1 Nó 2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 Montase a matriz de rigidez e vetor de carga para cada um dos elementos e para generalizar o problema considerase que cada um dos elementos tenha diferentes propriedades do material e geométricas isto é módulo de elasticidade 𝐸1 𝐸2 𝐸3 área da seção transversal 𝐴1 𝐴2 𝐴3 e comprimento 𝐿1 𝐿2 𝐿3 Para efeito de demonstração da superposição do vetor carga será considerado que a força distribuída é constante isto é 𝑞𝑥 𝑞0 Elemento 1 composto pelos nós 1 e 2 Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento associados aos graus de liberdade 𝑢1 e 𝑢2 𝑲1 𝐴1𝐸1 𝐿1 1 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑢2 𝑭1 𝐹1 1 𝐹2 1 𝑞0𝐿1 2 𝑅1 𝑞0𝐿1 2 321 onde 𝑅1 é a reação na direção 𝑥 devido à restrição no nó 1 e também desconhecia a priori Elemento 2 composto pelos nós 2 e 3 Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento associados aos graus de liberdade 𝑢2 e 𝑢3 𝑲2 𝐴2𝐸2 𝐿2 1 1 1 1 𝑢2 𝑢3 𝑢2 𝑢3 𝑭1 𝐹1 2 𝐹2 2 𝑞0𝐿2 2 𝑞0𝐿2 2 322 Elemento 3 composto pelos nós 3 e 4 Matriz de rigidez e vetor de carga do elemento associados aos graus de liberdade 𝑢3 e 𝑢4 𝑲3 𝐴3𝐸3 𝐿3 1 1 1 1 𝑢3 𝑢4 𝑢3 𝑢4 𝑭3 𝐹1 3 𝐹2 3 𝑞0𝐿3 2 𝑞0𝐿3 2 𝑃 323 A matriz de rigidez global 𝑲 e do vetor de carga global 𝑭 da estrutura são obtidos a partir da superposição das matrizes e vetores elementares criandose uma matriz ou Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 8 vetor que englobe todas as matrizes elementares Os efeitos dos graus de liberdade coincidentes são somados da seguinte forma 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑲 𝐴1𝐸1 𝐿1 𝐴1𝐸1 𝐿1 𝐴1𝐸1 𝐿1 𝐴1𝐸1 𝐿1 𝐴2𝐸2 𝐿2 0 0 𝐴2𝐸2 𝐿2 0 0 𝐴2𝐸2 𝐿2 0 0 𝐴2𝐸2 𝐿2 𝐴3𝐸3 𝐿3 𝐴3𝐸3 𝐿3 𝐴3𝐸3 𝐿3 𝐴3𝐸3 𝐿3 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 324 o vetor de deslocamentos globais é dado por 𝒖 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 325 e o vetor de carga global 𝑭 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐹1 1 𝐹2 1 𝐹1 2 𝐹2 2 𝐹1 3 𝐹2 3 𝑞0𝐿1 2 𝑅1 𝑞0𝐿1 2 𝑞0𝐿2 2 𝑞0𝐿2 2 𝑞0𝐿3 2 𝑞0𝐿3 2 𝑃 326 Note que a matriz de rigidez global 224 é simétrica e apresenta valores não nulos somente na diagonal principal e nas diagonais adjacentes caracterizando a chamada matriz banda Em programas de elementos finitos dependendo do tipo de solução estas propriedades diminuem o espaço de armazenamento da matriz Considerando os três elementos finitos do mesmo tamanho 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿 mesma área de seção transversal 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴 e mesmo módulo de elasticidade 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸 temse o seguinte sistema linear a ser resolvido 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑞0𝐿 2 𝑅1 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 2 𝑃 327 O sistema de equações acima ainda não pode ser solucionado pois a matriz de rigidez é singular Para se poder obter uma solução é necessário impor as condições de contorno isto é impor ao modelo sua vinculação suportes Caso o número de Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 9 9 vinculações seja insuficiente a matriz continuará sendo singular Fisicamente isto indica que algum movimento de corpo rígido ainda é possível Sem vinculações suficientes a estrutura pode assumir infinitas configurações não sendo possível obter uma única solução 34 IMPOSIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO Para o exemplo da Figura 36 temse como única vinculação o deslocamento nulo do nó 1 ou seja 𝑢1 0 328 e o sistema linear da Equação 327 pode ser reescrito como 𝐴𝐸 𝐿 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 0 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 2 𝑃 329 onde a primeira Equação de 329 foi eliminada sendo substituída pela equação 𝑢1 0 e como sabese que o deslocamento no nó 1 é nulo eliminouo das outras equações Ao invés de se resolver o sistema de 4 equações a 4 incógnitas 329 pode se agora resolver o seguinte sistema de 3 equações a 3 incógnitas 𝐴𝐸 𝐿 2 1 0 1 2 1 0 1 1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 2 𝑃 330 35 RESOLUÇÃO DO SISTEMA ALGÉBRICO LINEAR DE EQUAÇÕES Após feita a imposição das condições de contorno resolvese por algum método numérico o sistema linear de equações obtendose assim os deslocamentos nodais Dentre os métodos de solução de sistema de equações lineares podemos destacar os métodos diretos da eliminação de Gauss decomposição LU decomposição de Cholesky método de solução frontal wavefront e os métodos iterativos de Gauss Seidel Jacobi IOR Gradiente Otimizado Steepest Descent Gradientes Conjugados entre outros Cada um desses métodos tem vantagens e desvantagens dependendo do tipo de matriz obtida simétrica nãosimétrica positiva definida matriz banda matriz esparsa condicionamento etc da disponibilidade de memória do computador precisão de resultados e tempo necessário para obtenção da solução Como para o problema estudado o sistema de equações possui pequena dimensão representado pelas expressões 229 ou 230 podese resolvêlo facilmente obtendose os seguintes resultados Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 10 10 𝑢1 0 𝑢2 5 2 𝑞0𝐿2 𝐸𝐴 𝑃𝐿 𝐸𝐴 𝑢3 4𝑞0𝐿2 𝐸𝐴 2𝑃𝐿 𝐸𝐴 𝑢4 9 2 𝑞0𝐿2 𝐸𝐴 3𝑃𝐿 𝐸𝐴 331 A solução analítica para este problema é dada por 𝑢𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝐴𝑥 𝑑𝑥 𝑥 0 𝑞0 𝐸𝐴 𝐿𝑇𝑥 𝑥2 2 𝑃𝑥 𝐸𝐴 𝑞0 𝐸𝐴 3𝐿𝑥 𝑥2 2 𝑃𝑥 𝐸𝐴 332 que nas posições correspondentes aos nós temse os mesmos valores obtidos pela solução numérica 234 A coincidência de resultados entre a solução numérica e a solução exata nos pontos nodais ocorre apenas para problemas simples e como já mencionado na maioria dos casos não se tem uma solução analítica para comparação de resultados Nesses casos a qualidade da solução numérica obtida é analisada de outras formas utilizandose estimadores de erros ZIENKIEWICZ e ZHU 1987 EXEMPLO 31 Extraído de Luersen 2000 página 36 Substituindo em 234 os seguintes valores numéricos 𝐿𝑇 900𝑚𝑚 𝑞0 65 𝑁𝑚𝑚 𝑃 6750𝑁 𝐸 21 105𝑀𝑃𝑎 𝐴 150 𝑚𝑚2 obtémse os valores de deslocamento nos pontos nodais 𝑢1 0 𝑢2 011071𝑚𝑚 𝑢3 020286𝑚𝑚 𝑢4 027643𝑚𝑚 Graficamente as duas soluções podem ser visualizadas na Figura 37 Note que a solução analítica é um polinômio de segundo grau parábola enquanto a solução numérica MEF é linear dentro de cada elemento devido à escolha do tipo das funções de interpolação Se fossem utilizadas funções de interpolação de ordem maior um polinômio quadrático ou cúbico a solução numérica e a solução exata seriam coincidentes ao longo de toda a barra Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 11 11 Figura 37 Solução exata e solução através do MEF Fonte Luersen 2000 Note também que se o carregamento distribuído constante 𝑞0 for nulo a solução numérica e a solução analítica são coincidentes ao longo de toda a barra e não somente nos pontos nodais Isto era de se esperar pois a solução analítica é linear e as funções de interpolação utilizadas também são lineares 36 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES QUANTIDADES DERIVADAS Analisarseá agora as derivadas da função aproximada 𝑢𝑥 e da solução analítica 𝑢𝑥 Essas derivadas estão associadas às deformações e consequentemente às tensões Para uma barra submetida a um esforço normal a deformação normal 𝜀𝑥 é 𝜀𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 333 e a tensão normal utilizando a Lei de Hooke é expressa por 𝜎𝑥 𝐸 𝜀𝑥 334 Para a solução via MEF uma vez calculados os deslocamentos nodais basta calcular para cada elemento finito a deformação 𝜀𝑥 dada pela derivada 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Como os deslocamentos são dados por 𝑢𝑥 𝑁1𝑢1 𝑁2𝑢2 1 𝑥 𝐿 𝑢1 𝑥 𝐿 𝑢2 335 A deformação no elemento é dada por 𝜀𝑥 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥 𝐿 𝑢1 𝑥 𝐿 𝑢2 𝑢2 𝑢1 𝐿 336 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 12 12 E a tensão no elemento fica 𝜎𝑥 𝐸𝜀𝑥 𝐸 𝑢2 𝑢1 𝐿 337 onde 𝑢1 e 𝑢2 são os deslocamentos nodais do elemento A derivada da solução deformação e tensão via MEF é contínua apenas ao longo do elemento finito possuindo descontinuidades nos pontos nodais A derivada da solução analítica equação 235 é dada por 𝜀𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑞0 𝐸𝐴 𝐿𝑇 𝑥 𝑃 𝐸𝐴 𝑞0 𝐸𝐴 3𝐿 𝑥 𝑃 𝐸𝐴 338 e a tensão 𝜎𝑥 𝐸𝜀𝑥 𝑞0 𝐴 3𝐿 𝑥 𝑃 𝐴 339 EXEMPLO 32 Extraído de Luersen 2000 página 39 A Figura 38 mostra graficamente para os valores numéricos utilizados na Equação 336 a derivada da solução analítica e da solução numérica sendo esta última constante ao longo de um elemento finito Figura 38 Derivada da solução exata e da solução via MEF Fonte Luersen 2000 Note que na interface entre os elementos finitos as deformações e consequentemente as tensões são descontínuas Para obtenção das tensões nesses pontos entre os elementos várias técnicas podem ser utilizadas COOK MALKUS e PLESHA 1989 sendo a mais simples a média ponderada entre os valores na descontinuidade Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 13 13 A descontinuidade das derivadas acontece devido à escolha das funções de interpolação que são da classe C0 C zero isto é apenas a derivada de ordem zero ou seja a própria função de interesse é contínua ao longo de todo o corpo Se fossem utilizadas funções de interpolação da classe C1 C um como por exemplo os polinômios de Hermite não só a função seria contínua como também sua derivada primeira mas em contrapartida terseia mais graus de liberdade e o sistema linear a ser resolvido seria de maior ordem Certos tipos de problemas como por exemplo na modelagem de vigas utilizando a teoria clássica viga de EulerBernoulli exigese para se ter uma adequada convergência a escolha de funções da classe C1 Esta exigência do grau de continuidade está associada com a ordem do operador diferencial da equação que rege o problema Se o operador for de ordem 2m exigese pelo menos funções de continuidade Cm 1 As afirmações acima sobre a continuidade das variáveis de interesse suas derivadas e das funções de interpolação requeridas são válidas para os chamados elementos finitos baseados em campos de deslocamentos isto é onde somente as variáveis primais são aproximadas deslocamentos na mecânica dos sólidos temperatura em problemas de condução de calor campo eletromagnético em problemas de eletromagnetismo etc Para outros tipos de formulações tais como as formulações híbridas e mistas as afirmações não são válidas Formulações de elementos híbridos e mistos fogem ao escopo deste texto Fazendo uma análise para o caso de 𝑞0 0 temse que a derivada da solução analítica e da solução numérica são coincidentes sendo constante ao longo de todo o comprimento da barra Figura 39 Figura 39 Barra discretizada em três elementos finitos Fonte Luersen 2000 Obviamente para a variável primal deslocamento 𝑢 as soluções também são coincidentes ao longo de todo o corpo Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 14 14 37 CÁLCULO DAS REAÇÕES Voltando ao sistema de equações antes da imposição das condições de contorno Equação 327 tinhase 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑞0𝐿 2 𝑅1 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 𝑞0𝐿 2 𝑃 340 Como já foram determinados os deslocamentos nodais podese utilizar a primeira equação para a determinação da reação 𝑅1 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝐴𝐸 𝐿 𝑢2 0𝑢3 0𝑢4 𝑞0𝐿 2 𝑅1 341 De 334 temse que 𝑢1 0 e 𝑢2 5 2 𝑞0𝐿2 𝐸𝐴 𝑃𝐿 𝐸𝐴 342 Assim 𝑅1 3𝑞0𝐿 𝑃 que é o mesmo resultado obtido por equilíbrio verifique Portanto para se obter as reações primeiramente determinamse os deslocamentos nodais e em posse deles retornase ao sistema de equações original antes da imposição das condições de contorno EXERCÍCIOS Seja barra mostrada na Figura 310 submetida a uma carga uniformemente distribuída e outra de tração localizada na sua extremidade Figura 310 Barra submetida a tração Fonte Luersen 2000 Tomandose um elemento particular da referida barra tal como ilustrado na Figura 311 utilize o método de Galerkin para deduzir a a matriz de rigidez do elemento b o vetor de carregamentos nodais do elemento 1 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 15 15 Figura 311 Elemento finito característico Fonte Luersen 2000 Seja a barra mostrada na Figura 312 com seções transversais circulares de 10 𝑚𝑚 e 6 𝑚𝑚 de diâmetro e módulo de elasticidade 𝐸 7 104 𝑀𝑃𝑎 Calcule as tensões nas barras e as suas reações de apoio utilizando elementos finitos Figura 312 Elemento finito característico Fonte Luersen 2000 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COOK R D MALKUS D S PLESHA M E Concepts and Applications of Finite Element Analysis 3nd Edition John Wiley Sons New York 1988 LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000 ZIENKIEWICZ O C ZHU J Z A Simple Error Estimator and Adaptive Procedure for Pratical Engineering Analysis Int J Num Meth Eng vol 24 pp 335357 1987 2