Notas de Aula: Método dos Elementos Finitos - Elemento Finito Triangular

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 08 ELEMENTO FINITO TRIANGULAR 81 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores estudouse com uma certa profundidade o elemento finito de barra Neste capítulo o Método dos Elementos Finitos é aplicado à análise de estruturas bidimensionais que são aquelas em que todos os seus pontos se encontram em um estado plano de tensão ou em um estado plano de deformação 82 ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS Uma estrutura corresponde a um estado de tensão plana quando um de suas dimensões largura ou espessura é muito menor do que os outros duas e as cargas são aplicadas em seu plano médio Exemplos de estruturas bidimensionais com um estado de tensão plana são vigas de grande altura Figura 81a e placas carregadas em seu plano médio Figura 81b Figura 81 Estruturas sob estado plano de tensão Fonte Vazquez e López 2013 Uma estrutura bidimensional corresponde a um estado de deformação plana quando uma de suas dimensões comprimento é muito maior do que as outras duas sendo as cargas aplicadas perpendicularmente ao eixo da estrutura e uniformemente distribuídas por todo o comprimento da estrutura São exemplos de estruturas bidimensionais sob um estado plano de deformação as paredes de contenção Figura 82a e os tubos submetidos à pressão Figura 82b Figura 82 Estruturas sob estado plano de deformação Fonte Vazquez e López 2013 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 83 NOÇÕES DE TEORIA DA ELASTICIDADE A relação entre tensão e deformação no espaço pode ser expressa de forma matricial por meio de 𝝈 𝑫𝜺 81 em que 𝑫 é a matriz tensãodeformação ou matriz constitutiva definida por 𝑫 1 1𝜐12𝜐 1 𝜐 𝜐 𝜐 𝜐 1 𝜐 𝜐 𝜐 0 0 0 𝜐 0 0 0 1 𝜐 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12𝜐 2 0 0 0 0 12𝜐 2 0 0 0 0 12𝜐 2 82 Em um estado de tensão plana as tensões que atuam no plano 𝑥𝑦 e são nulas na direção 𝑧 ou seja 𝜎𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 0 Nesse caso as deformações 𝜀𝑧 não são nulas e substituindo seu valor 𝜀𝑧 𝜐𝜎𝑥 𝜎𝑦𝐸 na Equação 81 obtémse 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝐸 1𝜐2 1 𝜐 0 𝜐 1 0 0 0 1𝜐 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 83 sendo neste caso a matriz constitutiva dada por 𝑫 𝐸 1𝜐2 1 𝜐 0 𝜐 1 0 0 0 1𝜐 2 84 No estado plano de deformação as deformações são zero na direção 𝑧 ou seja 𝜀𝑧 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥 0 Eliminando na matriz dada pela Equação 82 as linhas e colunas 3 5 e 6 a matriz constitutiva correspondente obtida é 𝑫 𝐸 1𝜐12𝜐 1 𝜐 𝜐 0 𝜐 1 𝜐 0 0 0 12𝜐 2 85 Então a equação da matriz tensãodeformação 53 se reduz a 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝐸 1𝜐12𝜐 1 𝜐 𝜐 0 𝜐 1 𝜐 0 0 0 12𝜐 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 86 84 RELAÇÃO DEFORMAÇÃODESLOCAMENTO Em um estado de tensão plana ou estado de deformações plana os componentes do vetor de deformações que influenciam o comportamento de uma Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 estrutura bidimensionais são 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 As relações entre as deformações e os deslocamentos são dadas por 𝜀𝑥 𝑢 𝑥 𝜀𝑦 𝑣 𝑦 e 𝛾𝑥𝑦 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 87 em que 𝑢𝑥 𝑦 e 𝑣𝑥 𝑦 são os componentes do deslocamento do ponto considerado Essas relações podem ser expressas em uma forma matricial por 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 𝑢 𝑣 88 ou 𝜺 𝒖 89 em que é o operador linear 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 810 e 𝒖 é o vetor de deslocamentos 𝒖 𝑢 𝑣 811 85 RELAÇÃO TENSÃO E DESLOCAMENTO Substituindo a Equação 89 na Equação 81 as relações entre tensão e deslocamentos são obtidas 𝝈 𝑫𝒖 812 que para o estado plano de tensão fica 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝐸 1 𝜐2 1 𝜐 0 𝜐 1 0 0 0 1 𝜐 2 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 𝑢 𝑣 813 e para o estado plano de deformações Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝐸 1 𝜐1 2𝜐 1 𝜐 𝜐 0 𝜐 1 𝜐 0 0 0 1 2𝜐 2 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 𝑢 𝑣 814 86 ELEMENTO FINITO TRIANGULAR Seja a chapa sob tração mostrada na Figura 83 discretizada com elementos triangulares Na Figura 84 apresentase os graus de liberdade do elemento triaagular Figura 83 Chapa sob tração discretizada com elementos triangulares Fonte Logan 2017 Figura 84 Graus de liberdade do elemento triangular Fonte Logan 2017 861 DEDUÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA Funções de deslocamento linear para cada elemento 𝑢 𝑣 𝑎1 𝑎2𝑥 𝑎3𝑦 𝑎4 𝑎5𝑥 𝑎6𝑦 1 𝑥 𝑦 0 0 0 0 0 0 1 𝑥 𝑦 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 815 Para obter os 𝑎𝑖 subtituise as coordenadas dos pontos nodais 𝑢𝑖 𝑢𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑎1 𝑎2𝑥𝑖 𝑎3𝑦𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑥𝑗𝑦𝑗 𝑎1 𝑎2𝑥𝑗 𝑎3𝑦𝑗 𝑢𝑚 𝑢𝑥𝑚𝑦𝑚 𝑎1 𝑎2𝑥𝑚 𝑎3𝑦𝑚 816 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 𝑣𝑖 𝑣𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑎4 𝑎5𝑥𝑖 𝑎6𝑦𝑖 𝑣𝑗 𝑣𝑥𝑗𝑦𝑗 𝑎4 𝑎5𝑥𝑗 𝑎6𝑦𝑗 𝑣𝑚 𝑣𝑥𝑚𝑦𝑚 𝑎4 𝑎5𝑥𝑚 𝑎6𝑦𝑚 Para as primeiras três equações temse que 𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑚 1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 1 𝑥𝑗 𝑦𝑗 1 𝑥𝑚 𝑦𝑚 𝑎1 𝑎2 𝑎3 817 Assim 𝑎 𝑥1𝑢 818 em que 𝑥1 1 2𝐴 𝛼1 𝛼𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝛽𝑚 𝛾𝑖 𝛾𝑗 𝛾𝑚 819 e 2𝐴 1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 1 𝑥𝑗 𝑦𝑗 1 𝑥𝑚 𝑦𝑚 820 ou 2𝐴 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑦𝑚 𝑥𝑗𝑦𝑚 𝑦𝑖 𝑥𝑚𝑦𝑖 𝑦𝑗 821 e os coeficientes da Equação 819 são dados por 𝛼𝑖 𝑥𝑗𝑦𝑚 𝑦𝑗𝑥𝑚 𝛼𝑗 𝑦𝑖𝑥𝑚 𝑥𝑖𝑦𝑚 𝛼𝑚 𝑥𝑖𝑦𝑗 𝑦𝑖𝑥𝑗 𝛽𝑖 𝑦𝑗 𝑦𝑚 𝛽𝑗 𝑦𝑚 𝑦𝑖 𝛽𝑚 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝛾𝑖 𝑥𝑚 𝑥𝑗 𝛾𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑚 𝛾𝑚 𝑥𝑗 𝑥𝑖 822 Logo 𝑎1 𝑎2 𝑎3 1 2𝐴 𝛼𝑖 𝛼𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝛽𝑚 𝛾𝑖 𝛾𝑗 𝛾𝑚 𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑚 823 e 𝑎4 𝑎5 𝑎6 1 2𝐴 𝛼𝑖 𝛼𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝛽𝑚 𝛾𝑖 𝛾𝑗 𝛾𝑚 𝑣𝑖 𝑣𝑗 𝑣𝑚 824 Conhecidos 𝑎1 𝑎2 e 𝑎3 e sabendo que 𝑢 1 𝑥 𝑦 𝑎1 𝑎2 𝑎3 825 então Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 6 𝑢 1 2𝐴 1 𝑥 𝑦 𝛼𝑖 𝛼𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝛽𝑚 𝛾𝑖 𝛾𝑗 𝛾𝑚 𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑚 826 resultando finalmente em 𝑢𝑥 𝑦 1 2𝐴 𝛼𝑖 𝛽𝑖𝑥 𝛾𝑖𝑦𝑢𝑖 𝛼𝑗 𝛽𝑗𝑥 𝛾𝑗𝑦𝑢𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑚𝑥 𝛾𝑚𝑦𝑢𝑚 827 Procedendo de forma análoga podese obter a outra componente de deslocamento Esta é dada por 𝑣𝑥 𝑦 1 2𝐴 𝛼𝑖 𝛽𝑖𝑥 𝛾𝑖𝑦𝑣𝑖 𝛼𝑗 𝛽𝑗𝑥 𝛾𝑗𝑦𝑣𝑗 𝛼𝑚 𝛽𝑚𝑥 𝛾𝑚𝑦𝑣𝑚 828 Das Equações 827 e 828 anteriores podese definir 𝑁𝑖 1 2𝐴 𝛼𝑖 𝛽𝑖𝑥 𝛾𝑖𝑦 𝑁𝑗 1 2𝐴 𝛼𝑗 𝛽𝑗𝑥 𝛾𝑗𝑦 𝑁𝑚 1 2𝐴 𝛼𝑚 𝛽𝑚𝑥 𝛾𝑚𝑦 829 como as funções de forma do elemento triangular Logo 𝑢𝑥 𝑦 𝑁𝑖𝑢𝑖 𝑁𝑗𝑢𝑗 𝑁𝑚𝑢𝑚 𝑣𝑥 𝑦 𝑁𝑖𝑣𝑖 𝑁𝑗𝑣𝑗 𝑁𝑚𝑣𝑚 830 ou 𝑢 𝑣 𝑁𝑖 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑖 0 0 𝑁𝑚 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑚 𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑢𝑗 𝑣𝑗 𝑢𝑚 𝑣𝑚 831 ou 𝒖 𝑵 𝒅 832 862 DEFORMAÇÃO DO ELEMENTO Pela Equação 88 as deformções no elemento são dadas por 𝜀 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 833 Das Equações 816 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 7 𝜀𝑥 𝑎2 𝜀𝑦 𝑎6 𝛾𝑥𝑦 𝑎3 𝑎5 834 As deformações do elemento são constantes O elemento é chamado CST constantestrain triangle Da Equação 830 temse que 𝑢 𝑥 𝑢𝑥 𝑥 𝑁𝑖𝑢𝑖 𝑁𝑗𝑢𝑗 𝑁𝑚𝑢𝑚 𝑢 𝑥 𝑢𝑥 𝑁𝑖 𝑥 𝑢𝑖 𝑁𝑗 𝑥 𝑢𝑗 𝑁𝑚 𝑥 𝑢𝑚 835 e 𝑁𝑖 𝑥 1 2𝐴 𝑥𝑖 𝛽𝑖𝑥 𝛾𝑖𝑦 𝛽𝑖 2𝐴 𝑁𝑗 𝑥 𝛽𝑗 2𝐴 𝑁𝑚 𝑥 𝛽𝑚 2𝐴 836 Logo 𝑢 𝑥 1 2𝐴 𝛽𝑖𝑢𝑖 𝛽𝑗𝑢𝑗 𝛽𝑚𝑢𝑚 837 e similarmente 𝑣 𝑦 1 2𝐴 𝛾𝑖𝑣𝑖 𝛾𝑗𝑣𝑗 𝛾𝑚𝑣𝑚 838 e 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 𝛾𝑖𝑢𝑖 𝛽𝑖𝑣𝑖 𝛾𝑗𝑢𝑗𝛽𝑗𝑣𝑗 𝛾𝑚𝑣𝑚 𝛽𝑚𝑣𝑚 839 Finalmente temse que 𝜺 1 2𝐴 𝛽𝑖 0 𝛽𝑗 0 𝛾𝑖 0 𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗 0 𝛽𝑚 0 𝛾𝑗 0 𝛾𝑚 𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚 𝑢𝑖 𝑣𝑖𝑢𝑗 𝑣𝑗 𝑢𝑚 𝑣𝑚 840 que pode ser escrita como 𝜺 𝑩𝑖 𝑩𝑗 𝑩𝑚 𝒅𝑖 𝒅𝑗 𝒅𝑚 𝑩 𝒅 841 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 8 863 RELAÇÃO TENSÃO DEFORMAÇÃO É dada por 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝐸 1 𝜐2 1 𝑣 0 𝑣 1 0 0 0 1 𝑣 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 842 864 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO TRIANGULAR Utilizando o princípio da energia potencial mínima podese obter as equações do elemento CST A energia potencial total é 𝜋𝑝 𝜋𝑝𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗 𝑣𝑚 843 que é dada por 𝜋𝑝 𝑈 Ω𝑏 Ω𝑝 Ω𝑠 844 em que 𝑈 é a energia de deformação dada por 𝑈 1 2 𝑣 𝜺𝑇𝝈𝑑𝑉 1 2 𝑣 𝜺𝑇𝑫𝜺𝑑𝑉 845 Ω𝑏 é a energia potencial das forças de corpo Ω𝑏 𝒖𝑇 𝑣 𝑿 𝑑𝑉 846 sendo 𝑿 a matriz de peso específico Ω𝑝 é a energia potencial das cargas concentradas Ω𝑝 𝒅𝑇𝑷 847 Ω𝑠 é a energia potencial das cargas distribuidas dada por Ω𝑠 𝒖𝑇 𝑠 𝑻𝑠 𝑑𝑆 848 Levando em consideração a Equação 832 e 841 e substituindo as Equações 845 846 847 e 848 na Equação 844 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝒅𝑑𝑉 𝒅𝑇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝒅𝑇𝑷 𝒅𝑇𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 849 Que pode ser reescrita como 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒅𝑇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝒅𝑇𝑷 𝒅𝑇 𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 850 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 9 9 Observando os últimos três termos da Equação 850 concluise que o sistema de forças é expresso por 𝒇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝑷 𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 851 Substituindo a Equação 851 na Equação 850 temse 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒅𝑇𝒇 852 Tomando a primeira variação com relação aos deslocamentos nodais 𝜋𝑝 𝒅 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉 𝒅 𝒇 0 853 Logo 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒇 854 ou de forma mais compacta 𝒌𝒅 𝒇 855 sendo k a matriz de rigidez dada por 𝒌 𝑡 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐴 856 e finalmente 𝒌 𝑡𝐴𝑩𝑇𝑫𝑩 857 A matriz de rigidez do elemento triangular pode ser expressa como submatrizes 𝒌 𝒌𝑖𝑖 𝒌𝑖𝑗 𝒌𝑖𝑚 𝒌𝑗𝑖 𝒌𝑗𝑗 𝒌𝑗𝑚 𝒌𝑚𝑖 𝒌𝑚𝑗 𝒌𝑚𝑚 66 858 em que 𝒌𝑖𝑖 𝑩𝑖 𝑇𝑫𝑩𝑖𝑡𝐴 𝒌𝑖𝑗 𝑩𝑖 𝑇𝑫𝑩𝑗𝑡𝐴 𝒌𝑖𝑚 𝑩𝑖 𝑇𝑫𝑩𝑚𝑡𝐴 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 10 10 865 MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DE CARGA GLOBAL Cada elemento contribui na montagem da matriz de rigidez da estrutura nas posições referentes aos graus de liberdade nos seus nós Uma vez determinada a matriz de rigidez global aplicase as condições de contorno e resolve o sistema de equações para encontrar os deslocamentos desconhecidos e as reações de apoio O procedimento é análogo ao adotado nos capítulos anteriores para outros elementos mais simples EXERCÍCIOS Para a placa fina submetida ao esforço de tração 𝑇 determinar os deslocamentos nodais e a tensão no elemento Dados espessura da placa é 1 𝑖𝑛 𝐸 30 106 𝑝𝑠𝑖 e coeficiente de Poisson 𝜈 03 Figura 85 Placa fina tracionada Fonte Logan 2017 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000 VÁZQUEZ M LÓPEZ E El Método de los Elementos Finitos Aplicado al Análisis Estructural Madrid Editora Noela 2001 LOGAN D L A First Course in the Finite Element Method USA Editora Cengage Learning 2017