Geometria Euclidiana Plana-Apostila Introdutória e Histórica

Disciplina Geometria Euclidiana Plana Curso Licenciatura em Matemática Prof Leonardo Ferreira Soares email institucional leonardoferreiraifpbedubr email alternativothekingoffighters95969798gmailcom APOSTILA Um pouco de história A Geometria do grego antigo γεωµετρια geo terra metron medição A Geometria surgiu na época primitiva e era uma coleção de princípios empiricamente descobertos em matéria de comprimentos ângulos áreas e volumes que foram desenvolvidos para satisfazer alguma necessidade prática em agrimensura construção astronomia e vários ofícios Os registros primordiais mais antigos da geometria podem ser atribuídos a povos primitivos que descobriram triângulos obtusos no antigo Vale do Indo e antiga Babilônia em torno de 3000 aC O Papiro de Rhind ou papiro de Amósis que é um documento egípcio de cerca de 1650 aC onde um escriba de nome Amósis detalha a solução de 85 problemas de aritmética frações cálculo de áreas volumes progressões repartições proporcionais regra de três simples equações lineares trigonometria básica e principalmente geometria 1 e o Papiro de Moscou também conhecido como Papiro Golonishev em referência ao seu proprietário Vladimir Golenishchev é um papiro egípcio em forma de uma estreita tira de 5 5 cm de comprimento por 8 cm de largura com 25 problemas matemáticos grafados com escrita hierática Esse conhecimento foi denominado pelos gregos de geometria Temse também a tabela de geometria que é um documento muito antigo porém bem mais moderno do que os papiros citados anteriormente datado de 1728 DC que comprovam a existência da geometria em épocas diferentes e mostra a evolução da geometria no tempo e em culturas diferentes A geometria no seu desenvolvimento teve com certeza a contribuição de várias culturas diferentes como a Egipsia a Babilônica Índia Védica Grega Helênica Chinesa Islâmica e etc até se chegar a Geometria que temos hoje houve uma enorme evolução de linguagem conteúdo e escrita Grandes estudiosos das Ciências Exatas conceberam e formalizaram os estudos relacionados com a Geometria 2 Espacial Entre eles podemos destacar Pitágoras Platão Euclides Leonardo Fibonacci Joannes Kepler entre outros A Geometria justifica a sua existência no fato de que o homem sempre necessitou calcular áreas e seus territórios e volumes de sólidos talvez para saber se aquela quantidade de alimentos que ele necessitava guardar para a época de escassez de alimentos daria para alimentálos durante certo período e também está presente nas abstrações da Matemática e no nosso mundo cotidiano Noções primitivas 1 Representação de ponto reta e plano 2 Noções gráficas Proposições primitivas 1 Posição de dois pontos 2 Posição entre ponto e reta 3 Postulado da determinação 1 Pontos colineares pertencem a mesma reta 2 Dois pontos distintos determinam uma única reta 3 Três pontos distintos determinam um único plano 4 Dizemos que dois pontos são coplanares quando eles pertencem ao mesmo plano Proposições primitivas 5 Dizemos que duas retas são concorrentes se e somente se elas tem um único ponto em comum 6 Segmento de reta Dados dois pontos distintos a reunião desses dois pontos com o conjunto de pontos que estão entre eles é um segmento de reta 7 Ponto médio de um segmento é um ponto do segmento que equidista do seus extremos 4 Ângulos Região Convexa uma região plana Σ é convexa quando dados dois pontos distintos A e B no seu interior o segmento de reta formado por eles está totalmente contido no interior de Σ Região côncava uma região plana Γ é côncava quando ela não for convexa Ângulo é a região plana convexa entre duas semiretas de mesma origem OBS Há três maneiras de representarmos um ângulo α AÔB AOB essa linguagem é muito comuns nos livros de geometria Ângulos opostos pelo vértice dois ângulos são opostos pelo vértices se e somente se os lados de um deles são as respectivas semiretas postas aos lados do outro Bissetriz de um Ângulo Em uma linguagem simples podemos dizer que a bissetriz de um ângulo é a reta que parte do vértice do ângulo e o divide ao meio Conforme a figura abaixo Ângulos agudos reto obtuso e raso Um ângulo θ é dito 1 agudo se 0⁰ θ 90⁰ 2 ângulo reto se θ 90⁰ 3 obtuso se 90⁰ θ 180⁰ 4 raso se θ 180⁰ vejas a figura ilustrativa abaixo A unidade mais utilizado do ângulo é o grau 1⁰ por exemplo 1⁰ 60 3600 Dois ângulos α e β são chamados 1 complementares se α β 90⁰ 2 suplementares se α β 180⁰ e 3 replementares se α β 360⁰ Triângulos Dados três pontos A B e C não colineares a reunião dos segmentos AB BC e AC chamase triângulo Os elementos de um triângulo são 1 os vértices A B e C 2 os lados AB BC e AC 3 os ângulos  B e Ĉ Classificação de um triângulo quanto aos lados Um triângulo pode ser classificados quanto a seus lados da seguinte forma 1 Equilátero quando tem os três lados congruentes 2 Isósceles quando tem dois lados iguais e um diferente 3 Escaleno quando tem os três lados diferentes Classificação de um triângulo quanto aos ângulos Um triângulo pode ser classificados quanto a seus ângulos da seguinte forma 1 Acutângulo quando os três ângulos são maiores que 00 e menores que 900 2 Retângulo quando tem um ângulo de 900 3 Obtusângulo quando possui um ângulo maior que 900 e menor que 1800 Congruência de Triângulos Um triângulo é congruente a outro se e somente se é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que 1 Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e 2 Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro Casos de congruência de triângulos 10 Caso LALpostulado 7 Teorema do triângulo Isósceles Se um triângulo é isósceles os ângulos de sua base são congruentes 20 Caso ALA OBS Com base no caso ALA podemos concluir que se um triângulo possui dois ângulos congruentes então ele é isósceles 30 Caso LLL Mediana de um Triângulo A mediana de um triângulo é o segmento de reta com extremidades em vértice e no ponto médio do lado oposto 8 Bissetriz Interna de um Triângulo Bissetriz interna de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e no lado oposto que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a ele 40 Caso LAAO 50 Caso especial para triângulos retângulos Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa então eles são congruentes Lema 1 Se dois lados de um triângulo não são congruentes então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado Lema 2 Ao maior ângulo se opõe o maior lado 9 A Desigualdade Triangular Em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois Isto é a b c b a c e c a b Paralelismo Duas retas são paralelas a b se e somente se são coincidentes ou são coplanares e não tem nenhum ponto comum Sejam a e b duas retas distintas paralelas ou não e t uma reta concorrente com a e b Podemos afirmar que a os ângulos 1 3 5 e 7 são congruentes b 2 4 6 e 8 congruentes c os ângulos 3 e 5 são chamados alternos internos e são congruentes d os ângulos 1 e 5 são chamados correspondentes 10 Teorema dos Bicos Se entre duas retas paralelas traçarmos segmentos formando bicos a soma das medidas dos ângulos com vértices na direção dessas retas à direita é igual à soma das medidas dos ângulos com vértices na direção oposta independentemente da quantidade de tais ângulos Olhando para o gráfico abaixo isso significa que a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ Ângulo externo Em todo triângulo qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele A soma dos ângulos internos de um triângulo Teorema Em qualquer triângulo a soma dos seus ângulos internos é sempre 180⁰ Demonstração Como ê é um ângulo externo do triângulo ABC então ê  B além disso ê Ĉ 180⁰ assim concluímos que A B C 180⁰ Exemplo Mostre que em todo triângulo equilátero os seus ângulos medem 60⁰ Solução Exercício Teorema da Borboleta Esse teorema afirma que em todo quadrilátero plano côncavo que tem o formato da figura a abaixo temse Perpendicularidade Dizemos que duas retas a e b são perpendiculares a b quando elas formam entre si um ângulo de 900 conforme a figura abaixo Altura de um triângulo A altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular a reta suporte de um lado com extremidade nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado Mediatriz de um segmento A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao semento no seu ponto médio Propriedade dos pontos de uma mediatriz Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista das extremidades desse segmento 12 Propriedades dos pontos da Bissetriz Todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados do ângulo Quadriláteros Notáveis Sejam A B C e D quatro pontos de um mesmo plano todos distintos e três não colineares Se os segmentos AB BC CD e DA interceptam apenas nas extremidades a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero Elementos do quadrilátero Os elementos de um quadrilátero são os seus lados vértices ângulos e diagonais OBS Em todo quadrilátero a soma dos seus ângulos internos é 3600 e ele possui duas diagonais Quadriláteros notáveis Alguns quadriláteros recebem esse nome devido a serem mais comuns nos problemas de geometria plana São eles o trapézio o paralelogramo o retângulo o losango e o quadrado Trapézio Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos 13 Os lados AB e CD são paralelos e são chamados respectivamente de base maior e base menor Além disso um trapézio pode ser a isósceles quando os lados não paralelos são congruentes b escaleno quando todos os seus lados tem medidas diferentes c retângulo quando tem dois ângulos retos Paralelogramo Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos Retângulo Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos congruentes Losango Um quadrilátero plano convexo é um losango se e somente se possui os quatro lados congruentes 14 Quadrado Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se e somente se possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes Propriedades do Trapézio 1 Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD temos A D B C 180⁰ 2 Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes 3 Trapézio Isósceles Em todo trapézio isósceles as suas diagonais são congruentes 3 Propriedades dos Paralelogramos 1 Em todo Paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes 2 todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é um paralelogramo 3 Consequência Todo retângulo é paralelogramo 4 Em todo paralelogramo dois lados opostos quaisquer são congruentes 5 Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo 6 Consequência Todo losango é paralelogramo 7 Em todo paralelogramo as diagonais interceptamse nos seus respectivos pontos médios 8 Todo quadrilátero convexo em que suas diagonais interceptamse nos seus respectivos pontos médios é um paralelogramo 9 Consequência Se dois segmentos de reta interceptamse nos seus respectivos pontos médios então suas extremidades são vértices de um paralelogramo 10 Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo 16 11 Consequência Se dois segmentos de reta são paralelos e congruentes então suas extremidades são vértices de um paralelogramo Propriedades do Retângulo Além das propriedades do paralelogramo o retângulo tem as seguintes propriedades 1 Em todo retângulo as suas diagonais são congruentes 2 Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo Propriedades do Losango 1 Todo Losango tem diagonais perpendiculares 2 Todo paralelogramo que diagonais perpendiculares é um losango Propriedades do Quadrado 1 Todo quadrado é retângulo e também é losango Base Média do triângulo É um segmento que tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo A base média de um triângulo tem as seguintes propriedades 1 é paralelo ao terceiro lado do triângulo 2 vale metade do terceiro lado 17 3 Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado Base Média do Trapézio É um segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio Por sua vez a base média do trapézio tem as seguintes propriedades 1 é paralela às bases 2 seu comprimento é a média aritmética das bases 3 Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidades no quarto lado então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado Pontos Notáveis do Triângulo Baricentro É o ponto de encontro das medianas de um triângulo 18 Teorema 1 As três medianas de um triângulo interceptamse num mesmo ponto G chamado baricentro Dem A demonstração desse teorema ficará a cargo do leitor Teorema 2 O baricentro de um triângulo divide cada uma de suas medianas em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra Dem A demonstração será feita na aula Incentro I As três bissetrizes de um triângulo interceptamse num mesmo ponto I chamado incentro OBS O incentro I de um triângulo equidista dos lados do mesmo porque podem ser visto como sendo o raio da circunferência inscrita no triângulo Circuncentro O É o ponto de encontro das três mediatrizes de um triângulo Propriedade O circuncentro O de um triângulo equidista dos vértices desse triângulo Dem a demonstração será deixada como exercício para o leitor OBS O circuncentro de um triângulo pode ser visto como o centro da circunferência circunscrita no triângulo 19 Ortocentro H É o ponto de encontro das retas suportes das três alturas de um triângulo Traços Auxiliares Caso 1Traço ceviana Quando um triângulo tem um ângulo que é o dobro de outro Caso 2 Completando Triângulo Isósceles Tome E sobre o prolongamento de AB no sentido de B tal que AC AE e Tome D sobre CE tal que ADC 90⁰ e com isso teremos CD DE e agora use esses fatos para concluir a questão Caso 3 Completando Triângulo Equilátero Se um triângulo ABC tem a configuração abaixo isto é uma ceviana forma com um lado um ângulo de 30⁰ então complete o triângulo equilátero ou seja tome o ponto E externo ao triângulo ABC tal que o triângulo BDE seja equilátero e use o fato do ponto A pertencer a mediatriz que por propriedade temse AE AD agora use este fato para concluir a questão Caso 4 Propriedade da Bissetriz Se um quadrilátero ABCD tem a configuração da figura da esquerda abaixo Prolongue AB no sentido de B até um ponto G tal que AG AD Tome E sobre DG tal que AE seja bissetriz do ângulo DAG agora prolongue AC no sentido de C até um ponto F e como AD é bissetriz de EAF então DF DE e use esse fato para resolver a questão Caso 5 Buscando congruência a Se um triângulo ABC tem a configuração da figura da esquerda abaixo e AB CD tome E pertencente a BC tal que EDC ABD ΔBDE é isósceles de base BE BD DE e conclua que ΔABD ΔCDE pelo caso LAL e use esse fato para resolver a questão b Se um triângulo ABC tem a configuração do triângulo à esquerda na figura abaixo no qual BD AC Tome E pertencente a BC e trace AE tal que ABD EAB AEC ACE AE AC BD assim concluímos que ΔABE ΔABD pelo caso LAL o que implica que BE AD e BEA BDA e use esse fato para resolver a questão c Seja D um ponto no interior do triângulo ABC tal que AC BD e DAC DCA DBC com esses dados temos que AD CD Tome o ponto E sobre BC tal que DE BE com isso concluímos que ΔBDE ΔACD por ALA Agora use esse fato para resolver a questão d Considere um ponto D interior ao triângulo retângulo isósceles ABC reto em B com AB BC além disso ABD θTome o ponto E exterior ao triângulo ABC tal que BD BE e CBE ABD θ com isso ΔABD ΔCBE pelo caso LAL e use o fato para resolver a questão Caso 6 ângulo espelho a Se um triângulo ABC tem a configuração da figura abaixo á esquerda então Prolongue AC no sentido de C até um ponto D tal que BDC BAD e com isso temos que AB BD e daí concluímos que AB BD CD Agora use esse fato e conclua a questão b quadrilátero côncavoângulo espelho Se um quadrilátero côncavo ABCD é tal que AB BC BAD α e ABC 120⁰ 2α conforme a figura da esquerda abaixo então prolongue o segmento AD no sentido de D até um ponto E tal que AB BE agora somando os ângulos do triângulo ABC concluímos que o ângulo CBE β 60⁰ o que implica que o triângulo BCE é equilátero Use esse fato para concluir a questão Quadriláteros Côncavos Especiais Caso 1 Se AD BC CD e ADC 2ABC 2α então BAD 120 α Caso 2 Se AD CD AB e ADC 2ABC então BAD 120 2ABC A Exemplo 1 Encontre o valor de x na figura abaixo a b Polígonos Em geometria um polígono é uma figura fechada com lados A palavra polígono vem da palavra em grego polígonos que significa ter muitos lados ou ângulos A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas Definição Linha Poligonal Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e nãocolineares dois a dois Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam Ou seja a linha poligonal A1A2A3 An1An corresponde a reunião dos segmentos A1A2 A2A3 An1An Classificação Uma linha poligonal A1A2A3 An1An é classificada em aberta quando os extremos A1 e An não coincidem fechada quando os extremos A1 e An coincidem simples quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia nãosimples quando não é simples Polígono Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal Isto é um polígono A1A2A3 An1An corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos A1A2 A2A3 An1An Na literatura também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada Neste caso a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal Elementos Um polígono A1A2A3 An1An possui os seguintes elementos vértice extremo de um dos segmentos que formam o polígono ie são vértices os pontos A1 A2 A3 An1 An 24 lado segmento que forma o polígono ie são lados os segmentos A₁A₂ A₂A₃ Aₙ₁Aₙ diagonais segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos ângulo interno ângulo formado por dois lados consecutivos ie os ângulos A₁ AₙA₁A₂ A₂ A₁A₂A₃ Aₙ Aₙ₁AₙA₁ ângulo externo ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno Nomes dos polígonos Os polígonos com um número de lados n 3 recebem alguns nomes especiais vejamos alguns deles OBS Se um polígono possui os lados congruentes ele é dito equilátero e se ele possui os ângulos internos congruentes ele é dito equiângulo Polígonos regulares Se um polígono é equilátero e equiângulo ele é dito regular Diagonais É um segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos de um polígono O cálculo do número de diagonais d de um polígonos com n 3 lados Teorema O número de diagonais d de um polígono de n 3 lados é dada por d nn 3 2 Dem d nn 3 2 Teorema Soma Si dos ângulos internos de um polígono convexo com n 3 lados é dada por Si n 2 180 ou Si n 2 2r onde r é um ângulo reto Dem 26 Ângulo externo de um polígono convexo É um ângulo suplementar adjacente a um dos ângulos internos do polígono Teorema A soma Se dos ângulos externos de um polígono com n 3 lados é dada por Se 360 Dem A demonstração será feita na aula O Ângulo interno ai de um polígono regular com n 3 é dado por ai n 21800 n O Ângulo externo ae de um polígono regular com n 3 é dado por ae 360 n OBS A soma dos ângulos internos e externos é 180 Isto é ai ae 180 Circunferência e Círculo Definição Circunferência é o conjunto de pontos de um plano cuja distância a um ponto dado Ocentro desse plano é igual a um valor positivo r denominado raio da circunferência conforme a figura a seguir 27 Corda Diâmetro e raio Definição Corda é o segmento de reta cujas extremidades estão sobre a circunferência Definição Diâmetro é a maior corda de uma circunferência e passa sempre pelo seu centro Definição Raio é o segmento de reta que parte do centro O da circunferência até um ponto P qualquer pertencente a ela geralmente o raio é indicado por r Veja a figura ilustrativa abaixo Arco de Circunferência e Semicircunferência Definição Arco AB de uma circunferência é a reunião dos conjuntos dos pontos A e B e de todos os pontos P que estão sobre a circunferência entre A e B Definição O diâmetro da circunferência a divide em duas partes congruentes cada parte dessas é chamada de semicircunferência 28 Círculo Definição É o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto fixo Ocentro é menor ou igual a uma distância não nula dadaraio r Setor circular Definição Consideremos um círculo c de centro O e sejam A e B dois pontos da circunferência de c que não seja extremidade de um diâmetro Setor circular AB é o conjunto de pontos limitados pelos raios OA e OB e pelo arco de AB da circunferência Segmento circular Definição É a região limitada pelo arco AB que não passa pelo centro e pela corda AB Semicírculo Definição É a uma das regiões limitadas pelo diâmetro AB e também pelo arco AB 29 Secante Definição É toda reta que contém a uma corda cujas extremidades A e B estão sobre a circunferência Propriedade da Secante Seja O o centro de uma circunferência AB uma corda distinta do diâmetro e M um ponto da corda AB 1 Se M é ponto médio de AB então OM AB 2 Se OM AB então AM MB Demonstração Fica a cargo do aluno Reta tangente Definição Toda reta que toca uma circunferência num único ponto é chamada reta tangente Considere uma circunferência de centro O e um ponto T dessa circunferência Propriedade Toda reta reta tangente a uma circunferência é perpendicular no ponto de tangência Demonstração Fica a cargo do aluno Propriedade dos segmentos tangentes Sejam A e B pontos de tangência e P um ponto externo á circunferência então AP BP 30 Dem A demonstração fica a cargo do leitor Quadrilátero Circunscrito Definição Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se e somente se seus quatro lados são tangentes á circunferência Propriedades do quadrilátero Circunscrito a Teorema de Pitôt Se um quadrilátero ABCD é circunscrito a uma circunferência então a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois Dem Fazer em sala b Se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos for igual a soma dos outros dois então esse quadrilátero é circunscritível à uma circunferência Dem Fica a cargo do leitor OBS Em geral para as questões que tratam de duas ou mais circunferências uma sugestão útil é ligar os seus centros Exemplo Mostre que se duas circunferências de centros O1 e O2 são tangentes externamente no ponto P então O1 O2 e P são colineares 31 Solução Resolver na aula Exemplo A hipotenusa de um triângulo mede 10 cm e o raio da circunferência inscrita mede 1 cm Calcule o perímetro desse triângulo Solução Resolver na aula Exemplo Determine o perímetro do quadrilátero ABCD da figura abaixo Ângulos na Circunferência Definição Ângulo Central relativo à uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência Como mostra a figura abaixo A medida de tal ângulo corresponde a medida do seu arco correspondente Por exemplo Definição Ângulo Inscrito relativo à uma circunferência é o ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados secantes a ela Na figura abaixo α é o ângulo central Propriedade do ângulo central de uma circunferência Se α é ângulo inscrito e β é ângulo central então β 2α Caso I Se O está num lado do ângulo Dem Veja a figura abaixo 32 Solução Fazer na aula Quadriláteros Inscritíveis Definição Todo quadrilátero cujos vértices estão sobre uma circunferência é dito inscritível Propriedades do Quadrilátero Inscritível P1 A soma dos ângulos opostos é 180⁰ Dem De acordo com a figura ilustrativa abaixo como os ângulos α e β são inscritos então os arcos BCD e BAD valem respectivamente 2α e 2β assim 2α 2β 360⁰ α β 180⁰ P2 Se um quadrilátero convexo possui ângulos opostos suplementares então esse quadrilátero é inscritível Dem Exercício P3 Se num quadrilátero ABCD prolongarmos o segmento AB no sentido de A até um ponto E tal que EÂD BĈD então ABCD é inscritível Dem A hipótese é que EÂD BĈD note que EÂD BÂD 180⁰ e por outro lado BÂD e BĈD são opostos então ABCD é inscritível P4 Se traçarmos as diagonais do quadrilátero ABCD e CÂD CB D ou A D B A C B então ABCD é inscritível 33 Dem Como O é centro então O A O V O  V O V A α e como β é ângulo externo do triângulo OAV então β 2α Caso II Se O é interno ao ângulo Dem Note que β1 2α1 e β2 2α2 somando membro a membro essas duas expressões temos β1 β2 2α1 2α2 2α1 α2 β 2α Caso III Se O é externo ao ângulo Dem Fica a cargo do leitor Exemplo 1 Prove que todo triângulo inscrito numa circunferência que tem um dos seus lados como diâmetro da circunferência é retângulo Solução Fazer na aula Exemplo 2 Prove usando ângulos inscritos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180⁰ 32 Dem Exercício Ângulo de Segmento ou ângulo semiinscrito Definição É um ângulo que tem um vértice na circunferência um lado secante e outro lado tangente à circunferência Propriedade Todo ângulo de segmento é igual a metade do ângulo central correspondente isto é α β2 ou em outras palavras podemos afirmar que o ângulo de segmento é igual ao ângulo inscrito correspondente Dem Exercício Arco Capaz Definição Fixado uma corda AB de uma circunferência e tomando um ponto P sobre o mesmo arco que descreve essa corda então o ângulo A P B α é constante Esse ângulo também é chamado de ângulo de visão Ângulo Excêntrico Interior Se duas cordas AB e CD se cortam no interior de uma circunferência num ponto distinto do centro então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo excêntrico interior Propriedade De acordo com a figura acima o ângulo excêntrico interior x é igual a média aritmética dos arcos a e b que elas determinam Isto é x a b 2 Dem De acordo com a figura acima como α e β são ângulos inscritos então α a 2 e β b 2 Por outro lado x é ângulo externo do triângulo formado pelas diagonais e pelo lado AD logo x a b 2 Ângulo Excêntrico Exterior Se com origem num ponto exterior a uma circunferência traçamos duas semiretas ambas secantes à circunferência ou ambas tangentes ou uma tangente e outra secante estas semiretas formam um ângulo chamado ângulo excêntrico exterior Veja a figura abaixo Dem Na primeira das três figuras abaixo temos que α a 2 e β b 2 além disso temos que α β x x α β x a b 2 A demonstração é análoga para os demais casos da figura Teorema de Tales Se um feixe retas paralelas é cortado duas retas transversais então formamse segmentos proporcionais Isto é AB AB CD CD 36 Transversais Dem Fica a cargo do leitor Exemplo Na figura calcule o valor de x Solução Note que três segmentos são perpendiculares ao mesmo segmento de reta isso quer dizer que eles são paralelos além disso temos outros dois que são transversais então pelo Teorema de Tales x16 1812 x16 34 x 24 Teorema da Bissetriz Interna Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos que são proporcionais ao lados adjacentes isto é xc yb Veja a figura ilustrativa abaixo Dem Provar na aula Exemplo 1 Se AS é bissetriz interna do ângulo  calcule x Solução Pela figura vemos que como BS 6 e BC x então CS x 6 Como AS é bissetriz interna então 68 x 612 x 15 Teorema da Bissetriz Externa Se a bissetriz externa de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto então ela divide este lado oposto em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes Isto é xc yb Veja a figura ilustrativa abaixo Dem Exercício Exemplo Se AP é bissetriz externa do ângulo externo  calcule x Solução Observando o enunciado e usando o teorema da bissetriz externa temos que x 128 126 x 4 Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente semelhantes e os lados homólogos proporcionais Razão de Semelhança É a razão que se obtém ao aplicarmos a proporção entre os lados homólogos isto é a a b b c c k Exemplo 1 Calcule o perímetro do triângulo ABC sabendo que ABC ABC Solução Como ABC ABC 3 6 5 a a 10 3 6 7 b b 14 então o perímetro do ABC é 6 10 14 30 OBS Se temos um triângulo ABC e traçarmos um segmento de reta DE AC então BDE ABC Casos ou Critérios de Semelhança 10 caso Se dois triângulos tem dois ângulos ordenadamente congruentes então eles são semelhantes 39 20 caso Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes então esses triângulos são semelhantes 30 caso Se dois triângulos tem lados homólogos proporcionais então eles são semelhantes Ou seja se a a b b c c k então os triângulos são semelhantes OBS Se a razão de semelhança entre dois triângulos semelhantes é k então a razão entre dois elementos lineares homólogos também é k Exemplo 2 Determine o perímetro do triângulo ACD na figura abaixo Solução Resolver na aula Potência de Ponto 10 Caso Se o ponto P é interior à circunferência então PA PB PC PD 20 Caso Se o ponto P é exterior à circunferência e PA e PC são secantes então PA PB PC PD 40 30 Caso Se T é ponto de tangência e PA é secante então PT 2 PA PB Exemplo 1 Calcule o valor de x em cada caso Solução Comentar na aula Triângulos Retângulos Relações Métricas no Triângulo Retângulo Numerando os ângulos dos triângulos da figura acima temos Agora separando cada um deles fica fácil de perceber que ABC DAB ABC DAC e DBA DAC conforme a figura abaixo 41 Pelas semelhanças comentadas acima deduzimos as seguintes relações trigonométricas A mais conhecida relação trigonométrica Teorema de Pitágoras nós encontramos somando as expressões 1 e 2 veja que a n a m b2 c2 am n b2 c2 7 a2 b2 c2 Recíproca do Teorema de Pitágoras Se num triângulo qualquer um lado ao quadrado for igual a soma dos quadrados dos outros dois então esse triângulo é retângulo Exemplo Determine o valor de x y t e z na figura abaixo Solução Pelo Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 t2 122 52 144 25 169 t 13 pela relação ah bc 13x 512 x 60 13 pela relação b2 an 52 13y 52 13y y 25 13 e como a m n t y z 13 25 13 z z 144 13 Aplicação do Teorema de Pitágoras O cálculo da diagonal de um quadrado Basta aplicar diretamente o teorema de Pitágoras assim d2 a2 a2 2a2 d a 2 O cálculo da altura do Triângulo Equilátero 42 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC temos a2 h2 a22 h2 a2 a24 h a32 Seno Cosseno e Tangente De acordo com o triângulo ABC abaixo definiremos o seno o cosseno e a tangente da seguinte forma Seno COH Cosseno CAH e Tangente COCA ou senocosseno OBS Se dois ângulos α e β são complementares isto é α β 90 então sin α cos β cos α sin β e tan α 1tan β Ângulos Notáveis 30 45 e 60 Com base no quadrado da figura abaixo traçamos a sua diagonal e teremos sin 45 cos 45 aa2 22 e tan 45 22 22 1 Com base no triângulo equilátero traçamos sua altura como na figura abaixo e então temos sin 300 cos 600 a 2 a 1 2 cos 300 sin 600 a 3 2 a 3 2 e por fim tan 300 1 2 3 2 3 3 e tan 600 1 tan 300 1 3 3 3 Triângulos Pitagóricos São triângulos retângulos nos quais os seus lados são medidas inteiras positivas Esses triângulos tem seus lados com medidas conforme a figura abaixo Note que vale o teorema de Pitágoras Além disso tomando x e y inteiro primos entre si um deles sendo par e x y chegamos na seguinte tabela 44 Triângulos Retângulos Notáveis Exatos São aqueles triângulos nos quais a partir da razão de seus lados podese encontrar o valor de seus ângulos São dois os casos Sejam eles Triângulos Retângulos Notáveis de Medidas Aproximadas 45 Exemplo 2 O triângulo ABC da figura abaixo é tal que AB BC 7 cm calcule BM Exemplo 3 Na figura abaixo BD 2 cm calcule AC 46 Exemplo 4 A partir da figura abaixo calcule AC sabendose que BC 12 cm Lei dos senos Em todo triângulo ABC de lados a b e c vale asin A bsin B csin C 2R Dem Dado o triângulo ABC abaixo considere a circunferência de centro O e raio R circunscrita Note que o triângulo BCD acima é reto em C e A D pois são ângulos inscritos determinados pelo mesmo arco BC daí sin A a2R asin A 2R I Traçando um diâmetro com extremidades C e E e depois outro diâmetro com extremidade em A e F e procedendo analogamente ao exemplo anterior temos respectivamente bsin B csin C 2RII como mostra a figura abaixo Note que III assim asin A bsin B csin C 2R Exemplo 1 Se ABCD é um paralelogramo encontre o valor de x Solução Lembre da trigonometria que quando dois ângulos x e y são suplementares ou seja x y 180⁰ então sin180⁰ x sin x e como ABCD é paralelogramo então CD AB 6 e BÂD 135⁰ então pela lei dos senos no triângulo BAD temos que 6sin 30⁰ xsin 135⁰ 6sin 30⁰ xsin 45⁰ 612 x22 x 62 Lei dos Cossenos Em todo triângulo o quadrado de um lado é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado Em ambos os casos quando o triângulo é acutângulo ou obtusângulo vale a² b² c² 2bc cos A I b² a² c² 2ac cos B II c² a² b² 2ab cos C III Dem Exercício Reconhecimento da Natureza de um Triângulo Se a b e c são os lados de um triângulo e a é o maior lado desse triângulo então Se a² b² c² então esse triângulo é acutângulo Se a² b² c² então esse triângulo é obtusângulo Se a² b² c² então esse triângulo é retângulo Exemplo 1 Calcule x na figura Solução De acordo com o enunciado temos cos A x7 e pela lei dos cossenos no triângulo ABC temos 8² 7² 10² 2710cos A 64 49 100 207x7 x 174 Cálculo das Medianas de um Triângulo Se a b e c são os lados de um triângulo calcular as medianas ma mb e mc Analogamente Exemplo 1 Calcule a mediana ma do triângulo que tem lados b 7 c 8 e a 5 Solução Aplicando na fórmula da mediana acima temos que ma 122b² c² a² 1227² 8² 5² ma 12201 Relação de Stewart Dado um triângulo ABC e sendo D um ponto de AB de acordo com a figura abaixo vale a relação a²y bx² z²c c x y Dem Exercício Polígonos Regulares Um polígono é dito regular se e somente se tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes O triângulo e o quadrado abaixo são exemplos de polígonos regulares Propriedades OBS Todo polígono regular é Inscritível e circunscritível OBS Todo polígono regular é inscritível e o centro da circunferência inscrita é o centro do polígono Apótema de um polígono regular É um segmento de reta que tem extremidades no centro do polígono e a outra no ponto médio do lado Teorema de Poncelet Em todo triângulo se cumpre que a soma das medidas de dois lados é igual ao terceiro lado mais duas vezes o raio r da circunferência inscrita nesse triângulo vezes a cotangente da metade do ângulo que compreende esses dois lados veja a figura abaixo Isto é overlineABoverlineBCoverlineAC2r cot fracα2 50 Dem Exercício OBS Quando o triângulo é retângulo isto é quando α 900 temos a b c 2r veja a figura abaixo Circunferência Exinscrita num Triângulo Se P e Q são pontos de tangência então o semiperímetro do triângulo ABC é igual ao comprimento do segmento AT AP Dem Exercício Teorema de Arquimedes Seja ABCD um quadrilátero convexo qualquer no qual suas diagonais são perpendiculares então a soma dos quadrados dos lados opostos são iguais Isto é a2 c2 b2 d2 Veja a figura abaixo Dem Exercício Teorema de Marlen Seja ABCD um retângulo então para um ponto qualquer P vale PA 2 PC 2 PB 2 PD 2 51 Dem Exercício Teorema de Ptolomeu Em todo quadrilátero inscritível a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto de suas diagonais Isto é AB CD AD BC AC BD Dem Exercício Teorema de Menelaus CD AD AF FB BE EC 1 Dem Exercício Teorema de Dostor Se o triângulo ABC é reto em B e M é ponto médio de BC então x2 a2 b2 52 Teorema de Faure Se duas cordas AB e CD de uma circunferência de centro O e raio R são perpendiculares vide figura abaixo então a2 b2 c2 d2 4R2 Dem Exercício Teorema de Euler Seja ABCD um quadrilátero convexo qualquer M e P são respectivamente os pontos médios das diagonais BD e AC vide figura abaixo então se cumpre que a2 b2 c2 d2 m2 n2 4x2 onde BD m AC n e PM x Dem Exercício Teorema da Mediana Considere a mediana BD do triângulo ABC conforme a figura abaixo então se cumpre que a2 c2 2x2 b2 2 53 Dem Exercício Teorema de Hiparco Se ABCD é um quadrilátero convexo inscritível onde as diagonais AC m e BD n então se cumpre que m n ab cd ad bc conforme figura abaixo Dem Exercício Comprimento da Circunferência OBS A razão entre o comprimento C e o diâmetro D 2r de uma circunferência qualquer é sempre constante e igual a π Isto é C D π C 2r π C 2πr onde π 3 1415926535 3 14 Comprimento de uma arco l de circunferência em função do ângulo central α Equivalência Plana Duas figuras planas são equivalentes quando elas tem a mesma área OBS Se dois triângulos tem mesma base e mesma altura então eles são equivalentes 54 Na figura acima os triângulos V1V2V3 e V1V3V são equivalentes OBS Se dois paralelogramos tem mesma base e mesma altura então eles são equivalentes Na figura acima os paralelogramos ABCD e ABCD são equivalentes OBS Dado um polígono convexo de n 3 lados existe um polígono com n 1 lados que lhe é equivalente Exemplo Qual a relação existente entre as áreas dos retângulos destacados na figura abaixo Áreas de Figuras Planas 55 OBSAs demonstrações das fórmulas das áreas das figuras acima serão demonstradas em sua maioria em sala de aula Teorema A área S do triângulo equilátero de lado a é dada por S a2 3 4 Dem A prova desse teorema será feita na aula Teorema A área S de qualquer polígono regular de semiperímetro p e apótema a é dada por S p a Dem A prova desse teorema será feita na aula Áreas de triângulos sem o uso de fórmulas Teorema Se dois triângulos tem bases adjacentes e tem mesma altura então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases Isto é se AD m CD n e S1 e S2 forem respectivamente as áreas dos triângulos ABD e BCD então S1 S2 m n 56 Dem A prova desse teorema será feita na aula Propriedades da área de um quadrilátero qualquer Se traçamos as diagonais de um quadrilátero ABCD convexo qualquer formamse em seu interior quatro triângulos cujas áreas são S1 S2 S3 e S4 conforme figura abaixo então podemos afirmar que o produto das áreas dos triângulos opostos pelo vértice são iguais Isto é S1 S3 S2 S4 Propriedades da área de um trapézio 1 Seja P o ponto de intersecção das diagonais de um trapézio ABCD e S1 e S2 respectivamente as áreas dos triângulos ABP e CDP então temos que S1 S3 Dem A prova desse teorema será feita na aula 2 Como S1 S3 e S1 S3 S2 S4 então S2 1 S2 S4 Isto é S1 é a média geométrica de S2 e S4 Dem A prova desse teorema será feita na aula 3 Se S é a área do trapézio ABCD então S S2 S42 Dem A prova desse teorema será feita na aula 4 Propriedade do triângulo inscrito num trapézio Se unimos o ponto médio M de um lado não paralelo AB de um trapézio com os extremos do outro lado não paralelo CD formase um triângulo CDM cuja área S1 é igual a metade da área S do trapézio ABCD isto é S 2S1 57 Dem A prova desse teorema será feita na aula Área de triângulos que compartem um mesmo ângulo Sejam S1 e S2 respectivamente as áreas dos triângulos ADE e ABC se B hatA C θ for um ângulo compartido entre os dois triângulos em questão então fracS1S2fracAD cdot AEAC cdot AB Dem A prova desse teorema será feita na aula Áreas de Quadriláteros A área S de um quadrilátero qualquer ABCD é dada por SfracoverlineAC cdot overlineBD cdot sen theta2 onde θ é o ângulo entre suas diagonais Dem A prova desse teorema será feita na aula Teorema de Varignon Se M N P Q são pontos médios dos lados do quadrilátero convexo ABCD então o quadrilátero M N P Q é um paralelogramo e sua área S1 é metade da área S de ABCD Isto é S2S1 58 Dem A prova desse teorema será feita na aula Área do quadrilátero circunscrito num círculo A área de um quadrilátero convexo ABCD qualquer de semiperímetro p circunscrito numa circunferência de raio r é dado por Sp cdot r Dem A prova desse teorema será feita na aula Fórmula de Bretschneider A S de um quadrilátero convexo qualquer ABCD é dada por S sqrtpapbpcpdabcd cos2fracalphabeta2 Dem A prova desse teorema será feita na aula OBS Quando o quadrilátero ABCD é inscritível a sua área S fica S sqrtpapbpcpd OBS A fórmula de Heron é um caso particular fórmula de Bretschneider basta fazer d0 Área do Quadrilátero Bicêntrico 59 Teorema de Leudersdorf Um quadrilátero é dito bicêntrico se ele for inscritível e circunscritível simultaneamente Considere AB a BC b CD c e AD d então a área S do quadrilátero bicêntrico é dada por S abcd Dem A prova desse teorema será feita na aula Área de um quadrilátero Inscrito ou Circunscrito e ExInscrito A área S da região limitada por de um quadrilátero ABCD inscrito ou circunscrito e exinscrito de lados medindo a b c e d é dada por S a b c d Dem A prova desse teorema será feita na aula Propriedade Seja P um ponto interior ou exterior a um paralelogramo ABCD então a área sombreada é metade da área do paralelogramo Veja a ilustração abaixo 60 Dem A prova desse teorema será feita na aula Teorema de Burlet Se P é ponto de tangência da circunferência inscrita no triângulo ABC com o lado AC e AP m e PC n então a área S do triângulo ABC é dada por S m n cot θ 2 Dem A prova desse teorema será feita na aula OBS Se θ 90⁰ então a área S m n Área das Partes do Círculo Área do Setor Circular Área do Segmento Circular A área S de um segmento circular de raio R ângulo central α e arco l Área da Coroa Circular A área S de um segmento circular de raio R ângulo central α e arco l Outras Expressões para a Área do Triângulo 1 A área de um triângulo em função do seu semiperímetro p e do raio r da circunferência inscrita é dada por S p r Dem A prova desse teorema será feita na aula 62 2 A área S do triângulo em função dos seus lados a b e c e do raio R da circunferência circunscrita é dada por S a b c 4R Dem A prova desse teorema será feita na aula 3 A área S de um triângulo em função do raio de qualquer uma das circunferências exinscritas Por exemplo a área da circunferência exinscrita e tangente ao lado a é dada por S p a ra Dem A prova desse teorema será feita na aula Área de um triângulo em função dos raios das circunferências inscrita e exinscritas Sejam r r1 r2 r3 respectivamente os raios das circunferências inscrita e exinscritas num mesmo triângulo então a área S do triângulo é dada por S r r1 r2 r3 63 Dem A prova desse teorema será feita na aula Figuras Semelhantes 1 Relação entre as áreas de duas figuras semelhantes A razão entre as áreas de duas figuras planas convexas semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança Isto é Sejam A e B as áreas dos triângulos da figura abaixo e k a razão de semelhança então se a a b b c c k então A B k2 Dem A prova desse teorema será feita na aula 2 Relação entre áreas de figuras semelhantes sobre os lados de triângulo retângulo A soma das áreas das regiões semelhantes que tem como elemento homólogo os catetos de um triângulo retângulo é igual a área da região semelhante cujo elemento homólogo é a hipotenusa Isto é Dem A prova desse teorema será feita na aula Relação entre as áreas da Lúnula de Hipócrates Se A1 e A2 são as áreas das lúnulas então a área S do triângulo ABC é dada por S A1 A2 64 Dem A prova desse teorema será feita na aula Teorema de Pick parte I Georg Alexander Pick nasceu em VienaÁustria em 1859 e morreu no campo de concentração de Theresienstadt em 1942 Escreveu 67 artigos nas mais diversas áreas da Matemática Estas fórmulas que ficaram conhecidas como os Teoremas de Pick apareceram em um artigo publicado em Praga em 1899 Teorema de Pick parte I Consideremos um polígono P no plano cartesiano Se os vértices de P têm todos coordenadas inteiras então a fórmula de Pick para sua área é dada por A i f 2 1 Na qual i e f representam o número de pontos com coordenadas inteiras no interior e nas arestas do polígono respectivamente Dem A demonstração desse teorema ficará a cargo do leitor Exemplo 1 Calcular a área do polígono abaixo 65 Solução A resposta dessa questão será feita na aula Teorema de Pick parte II O teorema de Pick para polígonos com buracos A área de um polígono P no plano cartesiano com vértices com coordenadas inteiras e com m buracos é dada por A i f 2 m 1 onde f é a soma do número de pontos nas arestas de P com número de pontos sobre as arestas dos buracos e i é o número de pontos no interior de P excluindo os pontos que estão no interior dos buracos Exemplo 2 Calcular a área do polígono abaixo Solução A resposta dessa questão será feita na aula Dediquese aos estudos pois é melhor levantar uma caneta do que uma enxada 66