Circunferência e Elementos: Guia Completo para Licenciatura em Matemática

Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Objetivos Ao final deste texto você deve ser capaz de Reconhecer aplicar em situações pertinentes as propriedades relativas às circunferências e seus elementos 1 Circunferência e elementos A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano equidistantes de um ponto fixo determinado centro A distância entre qualquer ponto da circunferência e o centro é o raio A Figura 1 traz uma circunferência e os respectivos centro e raio de medida sendo um ponto da curva 𝑂 𝑂𝑃 𝑟 𝑃 Figura 1 Circunferência de centro 𝑂 e raio 𝑂𝑃 Fonte httpspromilitarescombrconcursosmilitaresconteudodefinicoescircunferenciascirculoseseuselementos Todo segmento com extremos em pontos da circunferência é uma corda Quando a corda contém o centro temos um diâmetro Note que se o raio da Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 1 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti circunferência mede o diâmetro mede A Figura 2 ilustra uma corda e 𝑟 2𝑟 𝐸𝐹 um diâmetro na circunferência de centro 𝐴𝐷 𝐶 Figura 2 Corda e diâmetro de uma circunferência Fonte httpswwwpreparaenemcommatematicacircunferenciahtm Cada pedaço da circunferência entre dois pontos desta é um arco Note na Figura 3 que sempre temos um arco menor contém o ponto C e um arco maior contém o ponto D com os mesmos extremos A e B Em nossos estudos a priori estamos considerando apenas os arcos menores Figura 3 Arco menor e arco maior com extremos nos pontos A e B da circunferência Fonte httpswwwuelbrprojetosmatessencialbasicogeometriacirculoshtml O segmento com extremos nos pontos médios da corda e do arco delimitados pelos menos dois pontos é uma flecha A Figura 4 ilustra esse tipo de situação Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 2 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti Figura 4 Flecha Fonte httpsblogprofessorferrettocombrelementosdacircunferenciaedocirculotextCentro2C20raio2C20diC3A2metro2C20retadiversos20exercC3ADcios20de20geometria20plana Quando os extremos dividem a circunferência em dois arcos de mesmo comprimento cada um destes é uma semicircunferência conforme ilustra a Figura 5 ambas com extremos em R e S sendo que uma contém o ponto T e a outra o ponto U Figura 5 Semicircunferências com extremos nos pontos R e S da circunferência Fonte httpswwwuelbrprojetosmatessencialbasicogeometriacirculoshtml A constante irracional é a razão entre o comprimento de qualquer π circunferência completa pelo respectivo diâmetro o que faz com que possa obter a medida do comprimento da circunferência conhecendo apenas a medida do raio π 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 2𝑟 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 2π𝑟 Por exemplo uma circunferência cujo raio mede 10cm tem o seu comprimento dado por 2 π 10 62 83 𝑐𝑚 A região do plano constituída por uma circunferência e todos os pontos Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 3 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti interiores a ela é um círculo conforme ilustrado na Figura 6 Figura 6 Círculo e circunferência Fonte httpsblogprofessorferrettocombrconceitosiniciaissobreacircunferenciaeocirculo Dados os pontos A e B de uma circunferência de centro O o setor circular é região do círculo delimitada pelo arco com extremos em A e B e raios e 𝑂𝐴 𝑂𝐵 conforme mostra a Figura 7 Note que é possível pensar em um setor circular maior delimitado pelo arco maior e outro menor delimitado pelo arco menor com os mesmos extremos na circunferência porém normalmente consideramos apenas o setor circular menor Figura 7 Setor circular Fonte httpclubesobmeporgbrblogbrincandocomgeometriasetoresegmentocircular Considerando os mesmos pontos A e B citados parágrafo anterior podemos considerar o segmento circular como a região do plano limitada delimitada pelo arco com extremos em A e B e o segmento Aqui novamente 𝐴𝐵 Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 4 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti seria possível um segmento circular maior e outro menor com os mesmo par de extremos na circunferência porém por simplicidade normalmente consideramos apenas o menor conforme ilustrado na Figura 8 Figura 8 Segmento circular Fonte httpclubesobmeporgbrblogbrincandocomgeometriasetoresegmentocircular 2 Posições relativas envolvendo circunferências Em relação a uma circunferência um ponto pode estar contido nesta ser interior ou exterior Na Figura 9 observamos que o ponto D está na circunferência enquanto os pontos C e E são interior e exterior respectivamente Figura 9 Possibilidades de posição relativa entre ponto e circunferência Fonte Autor Uma reta que não tem ponto de intersecção com a circunferência é exterior a ela já quando o ponto de intersecção é único a reta é tangente à Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 5 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti circunferência enquanto o outro caso possível é o de reta secante à circunferência quando há dois pontos de interseção A Figura 10 elucida tais situações Figura 10 Retas exterior vermelha secante azul e tangenteverde à circunferência Fonte Autor Observe na Figura 11 que o raio com extremo no ponto de tangência é perpendicular à reta tangente Isso ocorre pois o ponto da reta tangente mais próximo ao centro da circunferência é o ponto de tangência e a distância entre uma reta e um ponto é dada pelo comprimento de um segmento perpendicular a tal reta Seguindo a mesma ideia o segmento com extremos no centro da circunferência e no ponto médio de uma corda é perpendicular a tal corda Figura 11 Propriedades das retas tangente e secante a uma circunferência Fonte Autor Considerando a propriedade supracitada referente às retas tangentes é Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 6 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti possível estabelecer que dado um ponto P exterior a uma circunferência e as duas retas a ela tangentes que passam por tal ponto os dois segmentos com extremos em um dos pontos de tangência e no ponto P são congruentes A Figura 12 ilustra tal fato os segmentos em vermelho são congruentes e a justificativa pelo caso de congruência especial dos triângulos retângulos Figura 12 Segmentos tangentes com extremo no mesmo ponto exterior P Fonte Autor O Teorema de Pitot Figura 13 é uma consequência da propriedade ilustrada na Figura 12 O enunciado deste traz que em um quadrilátero convexo circunscritível as somas dos comprimentos dos pares de lados opostos são equivalentes Figura 13 Teorema de Pitot Fonte httpsolimpediafandomcomptbrwikiTeoremadePitot Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 7 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti Considerando agora duas circunferências as posições relativas possíveis dependem do número de intersecções nenhum ponto de intersecção uma circunferência é intetior a outra sendo que as circunferências concêntricas mesmo centro são um caso especial dessa situação ou elas são exterior um ponto de intersecção circunferências tangentes internamente ou externamente dois pontos de intersecção circunferências secantes A Figura 13 ilustra as posições relativas possíveis entre duas circunferências Figura 14 Posições relativas entre duas circunferências Fonte httpsolimpediafandomcomptbrwikiTeoremadePitot 3 Ângulos na circunferência Existem ângulos centrais ângulos inscritos ângulos externos ângulos internos e ângulos de segmento Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 8 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti O ângulo central corresponde a um ângulo também conhecido como ângulo ao centro cujo vértice se encontra no centro da circunferência A medida do arco não confundir com o comprimento do arco é a medida desse ângulo observe a notação na Figura 15 Figura 15 Ângulo central e notação para medida do arco Fonte Autor Quando temos um ângulo com vértice na circunferência o chamamos de ângulo inscrito Nesse caso cada lado do ângulo tem um ponto de interseção com a circunferência O ângulo central correspondente ao arco com extremidades nestes pontos de intersecção e que não contém o vértice do ângulo inscrito tem medida correspondente ao dobro deste A Figura 16 ilustra tal fato Figura 16 Ângulo inscrito na circunferência Fonte httpsblogprofessorferrettocombrangulocentraleanguloinscrito Note que na Figura 16 se mantivermos A e B imóveis porém movimentarmos P o ângulo se mantém constante Essa é a noção de arco 𝐴𝑃𝐵 Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 9 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti capaz ou seja cada arco capaz em relação à é o lugar geométrico de todos 𝐴𝐵 os pontos de uma circunferência que contém os pontos A e B tais que dado um ponto P desta circunferência é constante Na Figura 17 temos dois 𝐴𝑃𝐵 exemplos de arcos capazes a um segmento 𝐴𝐵 Figura 17 Arcos capazes ao segmento 𝐴𝐵 Arcos capazes com medindo 7517º 𝐴𝑃𝐵 Arcos capazes com medindo 5066º 𝐴𝑃𝐵 Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 10 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti Fonte Autor Quando temos um ângulo com vértice dentro ou fora da circunferência também há relações especiais entre ângulos Considerando um ponto P fora da circunferência temos um ângulo externo excêntrico exterior cuja medida corresponde à metade da diferença entre as medidas dos ângulos centrais relativos aos arcos com extremos correspondentes às intersecções entre os lados do ângulo e a circunferência Já no caso em que o ponto P é interior à circunferência temos um ângulo interno excêntrico exterior cuja medida corresponde à média das medidas dos ângulos centrais relativos aos arcos com extremos correspondentes às intersecções entre os lados do ângulo e a circunferência A Figura 18 ilustra as duas situações mencionadas Figura 18 Ângulos excêntricos Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 11 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti Fonte httpsescolaeducacaocombrangulosnocirculo Por fim quando temos um ângulo com vértice na circunferência um lado secante e o outro tangente a ela temos um ângulo de segmento cuja medida corresponde à metade da medida do ângulo central relativo ao arco com extremos no vértice e no ponto de intersecção entre o lado secante do ângulo e a circunferência A Figura 19 elucida o caso Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 12 Licenciatura em Matemática Circunferência e elementos Gustavo Camargo Bérti Figura 19 Ângulo de segmento Fonte httpspromilitarescombrconcursosmilitaresconteudogeometriaplanaangulosnacircunferencia Referências utilizadas na elaboração deste material Clubes de Estudo da OBMEP Setor circular e segmento circular Disponível em httpclubesobmeporgbrblogbrincandocomgeometriasetoresegmentocir cular Acesso em 17 mai 2024 Machado P F Fundamentos de geometria plana Belo Horizonte CAEDUFMG 2012 Matematicapt Ângulos na Circunferência Disponível em httpswwwmatematicaptutilresumosanguloscircunferenciaphp Acesso em 17 mai 2024 UEL Projeto Matemática Essencial Círculo circunferência e arcos Disponível em httpswwwuelbrprojetosmatessencialbasicogeometriacirculoshtml Acesso em 17 mai 2024 Revista PQANP Revista do Programa de Atividades Não Presenciais do IFSC 13