Axiomas e Proposições da Geometria Euclidiana

Geometria Euclidiana Exemplo O Axioma I não é satisfeito pois existe apenas um ponto que não pertence a reta AB O mesmo ocorre com a reta AC O Axioma I II não é satisfeito pois B e C são pontos distintos e não existe reta contendo ambos O Axioma I não é satisfeito pois existe apenas um ponto que não perturba a reta AB O mesmo ocorre com a reta AC O Axioma II não é satisfeito pois B e C são pontos distintos e não existe reta que contenha ambos Definição Dizemos que duas retas são intersecadas se possuem um ponto em comum Proposição Se m e n são retas distintas então elas não se intersectam ou elas se intersectam em um único ponto Definição Dizemos que duas retas são intersecadas se possuem um ponto em comum Proposição Se m e n são retas distintas então elas não se intersectam ou elas se intersectam em um único ponto Sejam m e n retas distintas Caso ocorreu a possibilidade ii afirmamos que elas vão se intersectar em um único ponto De fato se supusermos por absurdo que m e n se intersectam em mais do que um ponto Neste caso pelo do Axioma I m e n são iguais ABSURDO pois Notações Axiomas de Ordem Definições Segmento Proposição 2 Sejam A e B pontos distintos Então SAB AB cup pontos C tais que B está entre A e C 2 Basta estar entre A e D Rightarrow D in pontos C tais que B está entre A e D i SAB cap SBA in AB Seja D in SAB cap SBA Assim D in SAB ext e SBA AB SAB SBA Segue da defini ção da semireta pois SAB e SBA são constituídos pela união do segmento AB com outros pontos Revisão Axioma de Incidência Axioma I Dados dois pontos distintos existe uma única reta passando por estes dois pontos Axioma II Dada uma reta existem pontos pertencentes à reta e não pertencentes à reta Axiomas de Ordem Axioma III Dados três pontos distintos aparecem em algumas localizações entre os outros dois Definição AB A B C A C B SAB AB C C é ponto A B C Proposição Dados A e B pontos distintos Então SAB SBA B SAB SBA B Axioma II Dados dois pontos distintos A e B sempre existem pontos C e D tais que ACB e ABD Proposição Todo conjunto contém infinitos pontos Em outras palavras conjuntos são conjuntos infinitos Proposição Todo conjunto contém infinitos pontos Em outras palavras conjuntos são conjuntos infinitos Definição Dizemos que U e infinito se existir uma função injetora f ℕ U OBS U e infinito se não for finito 3 G onde A G C1 C2 C3 C4 isto é possível devido ao Axioma II Admites C1 C2 AG Supõese que para µ 3 dano n Cα onde AC1C2Cµ Admite C1 C2 AG Cα1 i em particular Cµ1 Cα Define fµ Cµ1 Portanto f N AB é injetora pois fµ1 fµ2 µ1 µ2 Definição Seja m uma reta e sejam A e B dois pontos que não pertencem à reta m Dizemos que A e B estão no mesmo lado da reta m se AB m Definição Semiplano Sejam m uma reta e A um ponto não pertencente a reta m Definimos PA m B B pode ser usado AB m Axioma II Uma reta m determina extratendidamente dois semiplanos distintos cuja interseção é a reta m Axioma II Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é a reta m CONVEXO Ejidalado U não é convexo é estrelado mas não é convexo