Projeto de Controladores: Mapeamento entre Plano Z e Plano S

Capítulo 4 4 Projeto de controladores por métodos clássicos 41 Mapeamento entre plano Z e plano S A estabilidade absoluta e relativa de sistemas lineares com parâmetros invariantes no tempo em se tratando de sistemas de controle em malha fechada em tempo contínuo são determinados pelos pólos de malha fechada no plano S Sabendose que os pólos complexos estão em pares conjugados conforme 2 n d 1 2 1 j n j n s ζ ζω ω ζω ω Figura 41 Pólo complexo no plano complexo S Quando a amostragem é incorporada no processo a relação que rege a transformação do plano complexo S para o plano discreto Z é dada por T ln z 1 s z eTs onde T é o tempo de amostragem e s a raiz complexa Como a raiz s possui uma parte real e uma parte imaginária σ ω j s Então j T T j T Ts e e e e z ω σ σ ω Como a exponencial complexa é dada por T jsin cos T e j T ω ω ω Significando que esta parte é repetida a cada 2πk significando que freqüências que são múltiplas inteiras da freqüência de amostragem 2πT são mapeadas na mesma região no plano Z de acordo com a Figura 42 pois T2 k j T j T T j T Ts e e e e e e z π ω σ ω σ σ ω Figura 42 Faixas periódicas no plano complexo e a correspondente região no plano discreto onde ωs corresponde à freqüência de amostragem Além disso o lado esquerdo do plano S possui parte real negativa significando que 1 e z T σ Então todo o lado esquerdo do plano complexo é localizado no plano Z dentro de um círculo de raio unitário o eixo jω é mapeado exatamente em cima do circulo e o lado direito do plano S é mapeado fora do circulo de raio unitário Além disso quanto menor o tempo de discretização mais próximo do círculo de raio unitário encontrase a raiz Isto ocorre porque se T tende para zero então eσT tende para 1 Observase pela equação de transformação que raízes com a mesma parte real mas com parte imaginária diferente localizamse em forma de círculo no plano complexo de acordo com a Figura 43 Isto também significa que a parte real dá a distância da origem no plano z isto é o raio Figura 43 Localização das raízes complexas com a mesma parte real no plano discreto No caso de raízes complexas com a mesma parte imaginária elas encontramse na forma de retas inclinadas de ω de acordo com a Figura 44 Figura 44 Localização das raízes complexas com a mesma parte imaginária no plano discreto Para traçar as curvas de fator de amortecimento constante basta lembrar que um pólo complexo pode ser dado por d n 2 n n j 1 j s ζ ζω ω ζω ω Aplicando a transformação ω πω ω ω ζ πζ ζω ω s d s d 2 d n j2 1 2 j Ts e e e z Consequentemente ω ω ζ πζ s d 2 1 2 e z e s d 2 angle z ω π ω Assim a magnitude de z decresce e o ângulo aumenta quando ωd que é a freqüência natural amortecida aumenta caracterizando assim uma espiral logarítmica Note que para uma dada relação ωdωs a magnitude de z tornase apenas uma função do fator de amortecimento ζ A representação da curva com fator de amortecimento constante é dada na Figura 45 Figura 45 Representação das curvas de fator de amortecimento constante Note que se a espiral de fator de amortecimento constante está no segundo ou terceiro quadrante do plano S lado real negativo então a espiral decai para dentro do circulo no plano Z Se ela estiver no primeiro ou quarto quadrante lado real positivo que neste caso corresponderia a um caso com fator de amortecimento negativo corresponderia a uma espiral crescendo para fora do circulo de raio unitário Além disso deve se notar que a medida que a freqüência aumenta ela passa de uma banda para outra sendo assim só é necessário representar a primeira parte que corresponde a 0 ω 12ωs Figura 46 a parte correspondente de 12ωs ω 0 é uma imagem espelho para a parte de baixo A curva para freqüência ωn constante são círculos no plano S que são perpendiculares às curvas de fator de amortecimento constante assim a sua representação é dada na Figura 46 onde πT é ωs2 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 0 02 04 06 08 1 09 08 07 06 05 04 03 02 01 πT 09πT 08πT 07πT 06πT 05πT 04πT 03πT 02πT 01πT Figura 46 Representação das curvas de freqüência natural constante e fator de amortecimento constante Esta abordagem anterior foi feita para determinar qual a região dos pólos e zeros desejados para as funções de transferência em tempo discreto Então a partir dos gráficos anteriores podese determinar a região desejada dos pólos e zeros discretos de acordo com a Figura 47 Figura 47 Localização das raízes complexas desejadas no plano discreto Aqui deve ser mencionado que se um sistema em tempo contínuo possui um par de pólos na forma s σ jω1 no plano s e for feita uma amostragem tal que ω1 12ωs em que ωs 2πT sendo T o tempo de amostragem significando que este par de pólos complexo possui freqüência natural maior que a freqüência de Nyquist ele cairá fora da primeira faixa de valores mas como mencionado anteriormente ele será transportado para dentro do circulo de raio unitário do plano Z como se estivesse posicionado no plano S em s σ jω1 ωs 42 Análise de Estabilidade de Sistemas no plano Z Como mencionado anteriormente para que um sistema seja assintoticamente estável no plano complexo S os pólos deverão obrigatoriamente possuir a parte real negativa que significa no plano Z estar localizado dentro do circulo de raio unitário sendo assim Assintoticamente estável todos os pólos deverão apresentar 1 z Para que um sistema seja marginalmente estável no plano complexo S o sistema deverá possuir pelo menos 1 pólo com a parte real nula e os demais possuírem parte real negativa assim marginalmente estável pelo menos 1 pólo em 1 z e os demais com 1 z Para que o sistema seja instável no plano complexo S ele deve possuir pelo menos 1 pólo com parte real positiva que no plano Z corresponde à parte localizada fora do circulo de raio unitário assim instável pelo menos 1 pólo apresentando 1 z Exemplo 41 Considerando o sistema em malha fechada apresentado abaixo determinar a estabilidade para K 1 e um tempo de amostragem T 1s Solução Calculando a convolução do ZOH com a planta 1 T 2 1 1 1 T T T 1 2 1 2 1 s p ZOH z e 1 z 1 z z Te e 1 e 1 T z 1 1 s s 1 Z z 1 1 s s 1 Z z 1 1 s s 1 s e Z 1 G G Z Esta transformada foi obtida através de tabela de transformação Item 13 fazendo a 1 Agora substituindo os valores de T 1 e simplificando obtêmse 1 1 2 1 p ZOH 0 3679z 1 z 1 0 2642z 0 3679z G z G Z G Como a função de transferência em malha fechada é dada por 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 6321z z 1 0 2642z 3679z 0 0 3679z 1 z 1 0 2642z 1 0 3679z 1 0 3679z 1 z 1 0 2642z 0 3679z 1 KGz 1 KGz R z z C Então calculando as raízes do denominador que são os pólos encontrase 0j 6181 50 z 1 2 Pegando o valor absoluto 0 7950 0 6181 50 z 2 2 1 2 Como o valor é menor que 1 significa que o sistema é assintoticamente estável 421 Teste de JURY De modo análogo aos sistemas contínuos podemos também estudar a estabiljdade BIBO dos sistemas discretos Nos sistemas contínuos a condição de estabilidade é que os pólos da função de transferência estejam no semiplano esquerdo aberto do plano complexo Para o caso dos sistemas discretos como já vimos o semiplano esquerdo aberto corresponde ao interior do circulo de raio unitário centrado na origem do plano Z O teste de JURY serve para determinar se um dado polinômio tem ou não todas as suas raízes no interior do circulo de raio unitário Para a realização do teste é necessário seguir o procedimento descrito a seguir TESTE DE JURY E L JURY O potinõmio PZ terá todas as suas raizes no interior do árculo de raio unitário se e somentese 1 janj ao 2Pz 10 3 P z 1 0 paranpar Condições necessálias O para n unpar onde quadro de Jury zo zl z2 znz L 1 an 0 nl 0 n 2 0 n3 a2 2 ao al a2 aJ 0 n2 3 bn1 bn2 bn3 bn4 bl 4 bo bt b2 b3 bn2 5 Cn2 Cn3 Cn4 Cns Co 6 Co c1 c2 c3 Cn2 2n5 P3 P2 Pl Po 2n4 Po Pt P2 P3 2n3 Q2 ql qo n1 z ai 0 nl bo bn1 ZR ao a zo zl z2 z3 z 1 a4 az llr 2 ao a 3 b3 b2 ho 4 ho b2 b3 5 c2 c Co b3 a4 Oo b2 a4 bl a4 bo a4 a4 llo tlo ao 3 b 3 bl b3 b2 c2 bo b3 bo b2 co h o bl Para PZ ser ESTÁVEL devemos ter Condições necessárias 1 la41a0 2 PZlO 3 PZ10 TESTE DE JURY Observe que Ct não precisa ser calculado excitação mas ocorre uma subida rápida o tr será pequeno ao passo que o td será grande 3 Tempo de pico tp Peak Time é o tempo requerido para que a resposta do sistema atinja o primeiro pico de sobresinal 4 Máximo sobresinal Mp Maximun Overshoot é o pico máximo de sinal acima da referência a ser atingida isto é se a referência for a resposta ao degrau é o pico acima da amplitude 1 Por ser um fator que depende da excitação costumase utilizar um percentual de sobresinal definido como 100 c c tc porcentagem de sobresin al 5 Tempo de estabilização ts Settling Time é o tempo necessário para a resposta do sistema alcance e permaneça dentro de uma porcentagem da resposta em regime permanente usualmente 2 Figura 48 Resposta ao degrau de um sistema com os parâmetros de projeto 43 Resposta Transiente Algumas aplicações de controle envolvem a melhora da resposta transitória do sistema segundo alguns critérios A resposta transitória aparece na resposta do sistema quando ocorre alguma mudança de excitação esta mudança pode ser do regime permanente para um outro regime permanente ou simplesmente quando o sistema sai do repouso As especificações para a resposta transiente envolvem normalmente os seguintes parâmetros apresentados na Figura 48 1 Tempo de atraso td Delay time é o tempo requerido para que a resposta do sistema alcance metade da resposta em regime permanente Este parâmetro está relacionado com a velocidade de resposta do sistema 2 Tempo de subida tr Rise Time é o tempo requerido para que a resposta do sistema suba de 10 para 90 ou de 5 para 95 da resposta em regime permanente Observe que se um sistema possui uma constante de tempo baixa isto é ele demore bastante para responder a uma mudança de r Figura 49 Sistema de malha fechada com controlador proporcional O sistema em malha fechada possui a resposta dada por KGz 1 KGz R z Cz onde K representa o ganho do controlador proporcional O denominador ou equação característica é dado por 0 KG z 1 Que pode ser reescrita como 0 p z p z p z z z z z z K z 1 n 2 1 m 2 1 L L O método do lugar das raízes é baseado em dar valores para K na equação cima e encontrar os pólos correspondentes desejados Interessante notar que K 1 p z p z p z z z z z z z n 2 1 m 2 1 L L Exemplo 42 Supondo que o sistema seja dado por T T s p ZOH e z e 1 1 s 1 s e Z 1 G Z G E o controlador seja na forma integral dada por 1 z z K z 1 K z G 1 D Observe que nem todas as especificações são aplicadas a todos os sistemas isto é se um sistema for superamortecido ou se for um sistema de primeira ordem ou se todas as raízes forem puramente reais negativas não ocorrerá o sobre sinal e nem o tempo de pico 44 Método de Projeto baseado no lugar das raízes O método de projeto de controladores baseado no lugar das raízes é baseado no fato que a resposta do sistema é baseada nos pólos dominantes do sistema em malha fechada O modo mais simples de alocálos é utilizar um controlador proporcional na forma apresentada na Figura 49 Empacotando systfnumdenT aplicação do método do lugar das raízes rlocussyszgrid Transfer function 03935 z z2 1607 z 06065 Sampling time 05 Transfer function 06321 z z2 1368 z 03679 Sampling time 1 Transfer function 08647 z z2 1135 z 01353 Sampling time 2 Figura 410 Lugar das raízes para T 05s Solução A função de transferência em malha fechada é dada por T T P ZOH D e z e 1 1 z z K G G z Z G Gz Então T T T 2 T e z e 1 e K 1 z z e K 1 Gz 1 Gz R z z C Substituindo o valor de T 05s Programa feito em Matlab clear allclose allclc tempo de amostragem T 05 Definição da planta num1expT 0 denconv1 11 expT Figura 411 Lugar das raízes para T 1s Figura 412 Lugar das raízes para T 2s Exemplo 43 Observar a influência da variação dos parâmetros do controlador PID para o seguinte sistema 5 1 s s 1 s G p Aplicando a transformada na convolução da planta com o ZOH 1 5T 1 T 2 T 5T 6T 1 5T T 1 5T 1 T 1 T 1 1 5T 1 1 T 1 T 5 1 5T 1 T 1 1 1 1 s p ZOH z e 1 z e 20 1 z e 5e 4e z e 5e 4 z e 1 z e 20 1 z e 1 z 1 z e 1 z 51 z e 1 z e 1 4 z e 20 1 1 z e 4 1 1 z 51 1 z 1 5 20 s 1 1 4 s 1 5s Z 1 z 1 5 1 s s s 1 Z z 1 5 1 s s s 1 s e Z 1 G G Z O primeiro passo é calcular clear allclose allclc Planta contínua num1 numerador denconv1 11 5 denominador Gptfnumden empacotando Planta discreta T01 tempo de amostragem b145expTexp5T b24exp6T5exp5TexpT numd0 b1 b220 numerador a1expTexp5T a2exp6T dend1 a1 a2 denominador GztfnumddendT empacotando figureColor1 1 1 stepGpGz legendContínuoDiscreto diagrama de bode para escolher Kp figurerlocusGzzgridsetgcfColor1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 Step Response Time sec Amplitude Contínuo Discreto Root Locus Real Axis Imaginary Axis 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 01πT 02πT 03πT 04πT 05πT 06πT 07πT 08πT 09πT πT 01πT 02πT 03πT 04πT 05πT 06πT 07πT 08πT 09πT πT 01 02 03 04 05 06 07 08 09 System Gz Gain 0 Pole 0607 Damping 1 Overshoot 0 Frequency radsec 5 System Gz Gain 10 Pole 0734 0206i Damping 0705 Overshoot 438 Frequency radsec 3 System Gz Gain 50 Pole 0648 0538i Damping 0241 Overshoot 458 Frequency radsec 714 Figura 413 Resposta do sistema considerando tempo contínuo e discreto e lugar das raízes Calculando a resposta do sistema com o controlador proporcional fechando a malha Controle porporcional Kp Sys1feedback2Gz1 ganho Kp 2 Sys2feedback10Gz1 ganho Kp 10 Sys3feedback50Gz1 ganho Kp 50 figureColor1 1 1stepSys1Sys2Sys3 legendKP 2KP 10KP 50 Figura 414 Respostadas do sistema controlado para vários valores de Kp Controle PD Kp 50 Kd 0 Kp50Kd0Ki0 numKpKdKi Kp2Kd Kdden1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF1feedbacksysMA1 Kp 50 Kd 10 Kp50Kd10Ki0 numKpKdKi Kp2Kd Kdden1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF2feedbacksysMA1 Kp 50 Kd 50 Kp50Kd50Ki0 numKpKdKi Kp2Kd Kd den1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF3feedbacksysMA1 figureColor1 1 1 stepsysMF1 sysMF2 sysMF33 legendKD 0KD 10KD 50 Controle PID Kp 50 Kd 50 Ki 0 Kp50Kd50Ki0 numKpKdKi Kp2Kd Kdden1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF4feedbacksysMA1 Kp 50 Kd 50 Ki 2 Kp50Kd50Ki2 numKpKdKi Kp2Kd Kdden1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMA GPIDzGz sysMF5feedbacksysMA1 Kp 50 Kd 50 Ki 10 Kp50Kd50Ki10 numKpKdKi Kp2Kd Kdden1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF6feedbacksysMA1 Kp 50 Kd 50 Ki 40 Kp50Kd50Ki40 numKpKdKi Kp2Kd Kd den1 1 0 GPIDztfnumdenT sysMAGPIDzGz sysMF7feedbacksysMA1 figureColor1 1 1 stepsysMF4sysMF5sysMF6sysMF75 legendKI 0KI 2KI 10KI 40 Figura 415 Respostadas do sistema controlado para vários valores de Kd mantendo o valor de Kp 50 Figura 416 Respostadas do sistema controlado para vários valores de Ki mantendo os valores de Kp 50 e Kd 50 45 Projeto de Controladores PID Os controladores PIDs são os controladores mais utilizados na prática devido a sua fácil implementação e ajuste Aqui são apresentados os métodos ZieglerNichols de ajuste de controladores PID Deve ser lembrado que o PID Contínuo é dado por Tis K K T s K T T s T s 1 T s 1 K s K K s s K s K K s K s PID c i c 2 i d c i d c I p 2 d I d p Enquanto que o PID discreto é dado por 1 D 1 I P 1 d 1 1 i c z 1 K z 1 K K z T 1 T z 1 z 1 2T T 1 K PIDz 451 ZieglerNichols malha fechada Supondo um controlador PID na forma Figura 418 Controlador PID Para aplicar o método ZieglerNichols de malha fechada devese primeiro encontrar qual o ganho proporcional Kp com o ganho integral Ki e o ganho Kd iguais a zero que torna o sistema de malha fechada marginalmente estável isto é pelo menos um dos pólos do sistema de malha fechada deve ser puramente imaginário no plano complexo S que no plano discreto Z significa tem módulo 1 ou estar em cima do círculo de raio unitário Este ganho Kp passa a ser chamado de ganho crítico Kcr O sistema apresentado na Figura 418 fazendo o PID somente Kp o sistema de malha fechada é dado por G z Kp 1 GzKp Rz Y z Para o calculo do ganho crítico pelo menos um dos pólos da equação acima deve possuir parte real igual a zero Root Locus Real Axis Imaginary Axis 3 2 1 0 1 2 3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 System Gs Gain 45 Pole 000145 363i Damping 00004 Overshoot 100 Frequency radsec 363 System Gs Gain 447 Pole 000302 363i Damping 0000832 Overshoot 997 Frequency radsec 363 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 01πT 02πT 03πT 04πT 05πT 06πT 07πT 08πT 09πT πT 01πT 02πT 03πT 04πT 05πT 06πT 07πT 08πT 09πT πT 01 02 03 04 05 06 07 08 09 System Gz Gain 335 Pole 0807 059i Damping 0000454 Overshoot 999 Frequency radsec 315 System Gz Gain 335 Pole 0807 059i Damping 0000454 Overshoot 999 Frequency radsec 315 Figura 419 Lugar das Raízes no plano complexo S e no plano discreto Z O segundo passo consiste em traçar a resposta ao degrau do sistema realimentado pelo ganho crítico Kcr Desta resposta é retirado o tempo de oscilação Tu 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 0 05 1 15 Step Response Time sec Amplitude Tempo de Oscilação Tu 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 0 05 1 15 Step Response Time sec Amplitude Tempo de oscilação Tu Figura 420 Resposta ao degrau do sistema realimentado com Kcr Agora os parâmetros do controlador podem ser ajustados de acordo com a tabela abaixo Tabela 41 Ajustes do controlador PID para o método ZieglerNichols malha fechada Tipo do controlador Kc Ti Td P 05 Kcr PI 045Kcr Tu12 PID 06Kcr 05Tu 0125Tu 452 ZieglerNichols Malha Aberta O método ZieglerNichols em malha aberta pode ser aplicado quando a curva de resposta ao degrau unitário de entrada apresentar o aspecto de um S Essa curva de resposta ao degrau unitário pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta 59 Figura 421 Resposta ao degrau unitário A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes o atraso L e a constante de tempo T O atraso e a constante de tempo são determinados desenhandose uma linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato de S e determinandose a interseção da linha tangente com o eixo do tempo O ajuste do controlador PID segundo este método introduz no sistema dois zeros em 1L se o projeto for feito em tempo contínuo Tabela 42 Ajustes do controlador PID para o método ZieglerNichols malha aberta Tipo de controlador Kc Ti Td P TL 0 PI 09TL L03 0 PID 12TL 2L 05L 46 Exercícios Propostos Exercício 41 Para o sistema abaixo quais seriam os pólos em tempo discreto 100 10s s 100 s G 2 Exercício 42 Para o Exemplo 41 encontrar quais os valores que K que tornam o sistema em malha fechada um sistema assintoticamente estável marginalmente estável e instável Exercício 43 Para o sistema em tempo contínuo abaixo encontrar um ajuste para o controlador PID para o sistema em tempo discreto utilizando os métodos Ziegle Nichols de malha aberta e malha fechada e fazer ajustes finos para 3 2 s 1 s s 2 G s e 1 30s 1 H s Para resolver este problema devese assumir que há um amostrador em Xs e um ZOH em Us