Controlabilidade e Observabilidade de Sistemas de Controle

Capítulo 6 6 Controlabilidade e Observabilidade 61 Introdução A controlabilidade se refere à capacidade do sistema ter seu estado alterado de qualquer estado para qualquer outro estado De modo geral significa que o sistema pode ser controlado A observabilidade significa que o sistema pode ter seus estados observados em outras palavras o sistema pode ser inteiramente medido significando que qualquer tipo de informação pode ser conseguida 62 Controlabilidade Um sistema de controle é dito ser de estado completamente controlável se é possível transferir o sistema de um estado qualquer para um outro estado desejável qualquer em um período finito de tempo utilizando uma lei de controle sem restrições Considerando um sistema em espaço de estados discretos na forma Huk Gxk 1 xk Sua solução temporal é dada por 1 T Huk HuT G Hu0 G x0 G Hu j G G x0 kT x k 2 k 1 k 1 k 0 j k j 1 k L k 1 2 3 Esta solução pode ser rearranjada como 0 u 2 n u 1 n u H G GH H G x0 xn n 1 n M L onde n agora é a dimensão da matriz G Significando dada uma lei de controle uk para alterar o estado do sistema a matriz necessariamente precisa obedecer à seguinte relação n H G GH posto H n 1 L Esta matriz é conhecida como matriz de controlabilidade Caso o posto da matriz de controlabilidade seja menor que n não significa que o sistema é incontrolável mas significa que pelo menos um dos estados não pode ser controlado isto é parte do sistema pode ser controlado e parte não Deve ser notado que a controlabilidade de estado independe da saída isto é a controlabilidade de estado é independente das matrizes C e D Exemplo 61 Verificar se os sistemas abaixo são de estado completamente controláveis uk 3 2 k x k x 2 0 0 1 1 k x 1 k x 2 1 2 1 Solução Construindo a matriz de controlabilidade 6 3 2 2 3 2 2 0 0 1 3 2 GH H Não é necessário calcular o posto da matriz e controlabilidade pois é só observar se as linhas são linearmente independentes neste caso o posto 2 então o sistema é completamente controlável uk 0 2 k x k x 2 0 0 1 1 k x 1 k x 2 1 2 1 Solução Construindo a matriz de controlabilidade 0 0 2 2 0 2 2 0 0 1 0 2 GH H Neste caso claramente o sistema possui posto 1 significando que o sistema não é completamente controlável u k k u 1 2 0 0 0 3 0 0 1 0 1 k x 1 k x 1 k x 1 x k 1 k x 5 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 k x 1 k x 1 k x 1 x k 1 k x 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Solução Construindo a matriz de controlabilidade G H G H G H GH H 4 3 2 Como a solução é mais complicada utilizase o matlab para resolver o problema clear allclose allclc definindo matriz G G2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 definindo matriz H H0 10 03 00 02 1 Construindo matriz de Controlabilidade COctrbGH rankCO Como o posto 5 que é a dimensão da matriz G então o sistema é de estado completamente controlável k u k u 0 0 1 2 0 0 0 3 1 0 1 k x 1 x k 1 k x 1 k x 1 k x 5 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 k x 1 x k 1 k x 1 k x 1 k x 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Solução Construindo a matriz de controlabilidade G H G H G H GH H 4 3 2 Como a solução é mais complicada utilizase o matlab para resolver o problema clear allclose allclc definindo matriz G G2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 definindo matriz H H0 13 00 02 10 0 Construindo matriz de Controlabilidade COctrbGH rankCO Como o posto 3 que é menor que a dimensão da matriz G então o sistema não é de estado completamente controlável 63 Controlabilidade de saída Em muitas implementações práticas de sistemas de controle é desejável controlar a saída do sistema e não necessariamente todos os estados do sistema Neste caso deve ser lembrado que a resposta do sistema é dada por 1 T CHuk HuT CG x0 CG DukT Hu j G C G x0 kT y k 1 k 1 k 0 j k j 1 k L k 1 2 3 Esta solução pode ser rearranjada como 0 u 2 n u 1 n u H CG CGH CH CG x0 yn n 1 n M L Significando que para a saída ser completamente controlável o posto da matriz precisa ser m que é a dimensão da matriz C isto é m H CG CGH posto CH n 1 L Caso esteja presente a matriz D a condição de controlabilidade completa de saída é dada por m H CG CGH CH posto D n 1 L Dever ser notado que a controlabilidade de saída é dependente de todas as matrizes que compõe o sistema isto é a controlabilidade de saída é dependente das matrizes G H C e D 64 Observabilidade Um sistema é dito completamente observável se todo estado inicial x0 pode ser determinado a partir da observação de yk em um período finito de tempo Utilizando esta definição então dado um sistema na forma Cxk k y Huk Gxk 1 k x Sua resposta é dada por 1 k 0 j k j 1 k Hu j G C G x0 ykT k 1 2 3 Fazendo x0 CG 1 n y CGx0 y 1 Cx0 0 y n1 M Para o estado inicial ser determinado a partir da saída é necessário que n CG CG C posto 1 n M Esta é conhecida como matriz de observabilidade Normalmente esta equação não é usada mas a equação transposta dela dada por n CG CG posto C n 1 H H H L onde n é a dimensão de G e H representa a hermitiana que é o conjugado transposto Observe que a observabilidade é independente da matriz de entrada B Exemplo 62 Considerando os sistemas abaixo verificar a observabilidade k x x k 5 1 k y x k k x 2 0 0 1 1 x k 1 k x 2 1 2 1 2 1 Encontrando a matriz de observabilidade 10 1 5 1 5 1 2 0 0 1 5 1 G C C H H H Como se observa a matriz de observabilidade tem posto 2 que é a mesma ordem da matriz G então o sistema é completamente observável k x 1 x k 0 k y k x k x 2 0 0 1 1 k x 1 k x 2 1 2 1 2 1 Encontrando a matriz de observabilidade 2 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 G C C H H H Como se observa a matriz de observabilidade tem posto 1 que é menor que ordem da matriz G então o sistema não é completamente observável x k x k x k x k k x 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 y k k y x k x k k x k x k x 3 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 x k 1 x k 1 k x 1 k x 1 k x 5 4 3 2 1 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Como o sistema definido acima é um sistema de alta ordem difícil de ser feito utilizase o Matlab clear allclose allclc definindo matriz G G2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 definindo matriz C C1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 Construindo matriz de Controlabilidade OBobsvGC rankOB Como o posto da matriz de observabilidade é 5 que é a mesma dimensão da matriz G então o sistema é completamente observável x k x k x k k x k x 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 y k k y x k k x x k x k k x 3 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 x k 1 k x 1 x k 1 x k 1 k x 5 4 3 2 1 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Como o sistema definido acima é um sistema de alta ordem difícil de ser feito utilizase o Matlab clear allclose allclc definindo matriz G G2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 definindo matriz C C1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 Construindo matriz de Controlabilidade OBobsvGC rankOB Como o posto da matriz de observabilidade é 4 que é menor que a dimensão da matriz G então o sistema é não é completamente observável 65 Comentários gerais sobre controlabilidade e observabilidade Nesta parte será feito alguns comentários sobre a controlabilidade e observabilidade de sistemas em tempo discreto 651 Condições de controlabilidade e observabilidade em termos de Funções de Transferência Em se tratando de funções de transferência não deve haver cancelamentos entre pólos e zeros das plantas isso significará que este estado será não observável e não controlável Este tipo de situação pode ocorrer em sistemas em série onde os zeros de uma planta são os pólos da outra Como em alguns casos o desejável é realizar o controle entre as duas isso não será possível Exemplo 63 Mostrar que o sistema abaixo não é completamente controlável 0 16 z z 20 z Uz z Y 2 Escrevendo na forma canônica controlável x k 1 x k 20 k y 1 uk 0 x k k x 1 0 16 1 0 1 x k 1 k x 2 1 2 1 2 1 Porém a matriz G pode ser rearranjada e o sistema fica x k 1 x k 20 k y uk 1 0 x k k x 0 16 0 1 0 1 x k 1 k x 2 1 2 1 2 1 Verificando a controlabilidade 1 1 0 0 1 0 0 16 0 1 0 1 0 GH H Verificando que o sistema não é completamente controlável Podese verificar isso diretamente pela matriz G onde a diagonal principal é nula outra forma é fatorando o denominador da FT 20 z 80 z 20 z 0 16 z z 20 z Uz z Y 2 Neste caso verificase que há um zero cancelando um pólo Exemplo 64 Verificar que o sistema não é observável x k x k x k 1 5 4 k y uk 1 0 0 x k x k k x 6 11 6 1 0 0 0 1 0 1 x k 1 x k 1 k x 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Para a observabilidade 1 1 1 5 7 5 6 6 4 1 5 4 25 6 1 60 11 0 36 6 0 1 5 4 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 5 4 C G G C C H 2H H H H Cujo determinante é zero mostrando que o posto da matriz de observabilidade é menor que a dimensão da matriz G Portanto o sistema não é completamente observável Este fato provém do cancelamento entre um pólo por um zero observe que a FT é dada por 3 2 z 1 z z 4 1 z z 6 11z 6z z 4 5z z H G C zI Uz z Y 2 3 2 1 Observando que um pólo é cancelado por um zero significando que este resultado não pode ser observado pois sua influência é anulada 652 Efeito da discretização Quando um sistema sofre uma discretização isto é quando um sistema é passado de tempo contínuo para tempo discreto dependendo da taxa de amostragem T empregada poderá haver cancelamento entre pólos e zeros Para exemplificar considerase o sistema abaixo t x t x 0 1 t y 1 u t 0 t x t x 0 1 1 0 t x t x 2 1 2 1 2 1 Cujas matrizes de controlabilidade e observabilidade são dadas por 0 1 1 0 AB B e 1 0 0 1 A C C H H H Significando que para tempo contínuo o sistema é completamente controlável e observável Aplicando a discretização encontrase x k x k 0 1 k y uk T sin cosT 1 x k k x cosT T sin sin T cosT 1 x k 1 k x 2 1 2 1 2 1 A questão será há algum valor de T para qual o sistema perderá controlabilidade e observabilidade Para responder a esta questão fazse 2cosTsin T sin T T sin 2cos T 1 cosT cosT 1 GH H 2 Para que o sistema não seja controlável fazse o determinante igual a zero chegando a 0 cosT 2sin T 1 Significando que para T nπ a matriz de controlabilidade será de posto menor que a dimensão da matriz G mostrando que o sistema será de estado não completamente controlável O mesmo fato pode ser verificado através da matriz de observabilidade sin T 0 cosT 1 G C C H H H Fisicamente o que ocorreu foi que se pretende observar uma freqüência que é exatamente igual à Nyquist por isso não foi possível controlála 653 Princípio da dualidade Como a transformação para espaço de estados não é única então há uma transformação de uma forma para outra a qual será útil quando se deseja obter uma forma canônica de estado Supondo um sistema na forma Duk Cxk yk Huk Gxk 1 xk Para transformálo na forma canônica controlável aplicase uma matriz de transformação T na forma T MW e Txˆk xk onde M é a matriz de controlabilidade dada por H G GH H M n1 L e a matriz W é dada por 0 0 0 1 0 0 1 a 0 1 a a 1 a a a W 1 n 3 2 n 1 n 2 1 n L L M M O M M L L Aplicando esta transformação no sistema encontrase Duk CTxˆk yˆk T Huk T GTxˆk 1 xˆk 1 1 onde o sistema definido acima está na forma canônica controlável Para transformálo na forma canônica observável aplicase 1 WNH Q e Qxˆk xk onde N é a matriz de observabilidade dada por H n 1 H H H H H G G C C N L Aplicando esta transformação no sistema encontrase Duk CQxˆk yˆk Q Huk Q GQxˆk 1 xˆk 1 1 Interessante notar que se o sistema está na forma canônica controlável dada por Dˆ uk Cˆ xk k y Hˆ uk Gˆ xk 1 k x Para se obter a forma canônica observável basta fazer Dˆ uk xk Hˆ k y uk Cˆ Gˆ xk 1 k x H H Esta equação demostra o princípio da dualidade 66 Exercícios Resolvidos Exemplo 65 Verificar para que valores de a b c e d o sistema é completamente controlável e observável x k x k d c k y uk b a x k k x 31 40 1 0 1 x k 1 k x 2 1 2 1 2 1 Solução a matriz de controlabilidade 31 b 40 a b b a b a 31 40 1 0 b a GH H Calculando o determinante e para que o sistema seje completamente controlável o determinante deve ser diferene de zero então 0 b 31 ab a 40 2 2 Para a matriz de observabilidade 31 d c 40 d d c 31 40 1 0 d c d c CG C Portanto 0 40 d 31 cb c 2 2 Como os valores de a b c e d não podem ser valores complexos temse a resposta como 67 Exercícios Propostos Exercício 61 Para a FT abaixo escrever a representação em matrizes de estado na forma canônica controlável observável e diagonal para utilizando as transformações 3 2 s s s 1 s G s para T 01 s Exercício 62 Determinar para quais valores de a o sistema é completamente observável e controlável a 1 z az z 1 z Gz 2 3 b 1 3z z 1 az Gz 2 c 1 3z z 1 2z az Gz 2 2