Agenda de Aula: Diagramas Polares

01 de dezembro de 2021 PROFESSORA LUDMILA FERREIRA DOS ANJOS Diagramas Polares I Agenda de Hoje Assuntos dessa aula Introdução Diagramas Polares Fator Integral Polo na origem Diagramas Polares Fator Derivativo Zero na origem Diagramas Polares Fator de Primeira Ordem Polo real Diagramas Polares Fator de Primeira Ordem Zero real Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Diagramas Polares Fator Quadrático Zeros conjugados complexos RE DIAGRAMAS POLARES Formas gerais do diagrama polar Exemplos Construção de diagramas de Nyquist com o MATLAB Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 As porções relativas às baixas e às altas frequências do diagrama polar da seguinte função de transferência senoidal Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 As porções relativas às baixas e às altas frequências do diagrama polar da seguinte função de transferência senoidal Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 Diagramas Polares Fator Quadrático Zeros conjugados complexos Ogata p 394 Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Os diagramas polares de uma função de transferência como onde n m ou o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador terão as seguintes formas gerais Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 1 Para λ 0 ou sistemas tipo 0 o ponto de início do diagrama polar que corresponde a w 0 é finito e está sobre o eixo real positivo A tangente do diagrama polar em w 0 é perpendicular ao eixo real O ponto terminal que corresponde a w está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 2 Para λ 1 ou sistemas tipo 1 o termo jw no denominador contribui com 90 do ângulo de fase total de G jw para 0 w Em w 0 o módulo de G jw é infinito e o ângulo de fase é 90 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo Em w o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos 3 Para λ 2 ou sistemas tipo 2 o termo jw² no denominador contribui com 180 para o ângulo de fase total de G jw para 0 w Em w 0 o módulo de G jw é infinito e o ângulo de fase é igual a 180 Em baixas frequências o diagrama polar pode ser assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Em w o módulo torna se nulo e a curva é tangente a um dos eixos Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Resumindo Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 As formas gerais dos ramos de baixa frequência dos diagramas polares dos sistemas dos tipos 0 1 e 2 são apresentadas na Figura 733 Podese observar que se o grau do polinômio do denominador de G jw for maior que o do numerador então os lugares geométricos de G jw vão convergir para a origem no sentido horário Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Em w os lugares são tangentes a um ou outro eixo como mostra a Figura 734 Procedimento de desenho para diagramas polares cont Dada a função de transferência obtenha a função de transferência senoidal Procedimento de desenho para diagramas polares cont O servomotor controlado pelo campo mostrase um sistema típico do Tipo 0 e tem a seguinte função de transferência Gs K0 T s 1T1 s 1T2 s 1 Esboce o diagrama polar desta função de transferência Cada fator do denominador contribui para fase de Gjω com um ângulo que varia de 0 a 90 quando ω varia de 0 a 1º Obtemos a função de transferência senoidal Gjω K0 1 j T ω1 j T1 ω1 j T2 ω 2º Separanos a parte real e imaginária de Gjω Isso é possível multiplicando Gjω pelos complexos conjugados de cada polo como segue Gjω K0 1 j T ω1 j T1 ω1 j T2 ω 1 j T ω 1 j T ω 1 j T1 ω 1 j T1 ω 1 j T2 ω 1 j T2 ω assim obtémse Gjω K01 ω² T T T2 T T2 ω² T1 T2 1 ω² T21 ω² T1²1 ω² T2² Procedimento de desenho para diagramas polares cont 1 Verificar as assintotas se elas existirem isto é observado no comportamento em baixa frequência lim ω0 Gjω K₀1 j T₀ ω1 j T₁ ω1 j T₂ ω lim ω Gjω lim ω K₀1 j T ω1 j T₁ ω1 j T₂ ω lim ω Gjω 0 j0 Isto que dizer que o diagrama polar converge para a origem com valores reais negativos e com valores imaginários positivos 5º Determinamos possíveis cruzamentos com os eixos real e imaginário Interseção com o eixo real Isto ocorre quando ImGjω 0 Observamos a parte imaginária de Gjω jK₀ωT T₁ T₂ ω²TT₁T₂1 ω²T₂²1 ω²T₁²1 ω²T₂² 0 onde determinamos as frequências finitas diferentes de zero que fazem esta parte imaginária nula isto ocorre em ωᵣ T T₁ T₂T₁T₂ então Gjωᵣ 5º Determinamos possíveis cruzamentos com os eixos real e imaginário Interseção com o eixo imaginário Isto ocorre quando ReGjω 0 Observamos a parte real de Gjω K₀1 ω²T₁ T₂T T₁T₂1 ω²T₂²1 ω²T₁²1 ω²T₂² 0 onde determinamos as frequências finitas diferentes de zero que fazem esta parte real nula isto ocorre em ωᵢ 1T₁ T₂T T₁T₂ então Gjωᵢ 6º Verificar as assintotas No comportamento em baixa frequência observamos que temos como assintota a reta vertical em K₀ Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª Edição 2003 PrenticeHall OGATA 2003