Diagramas Polares e Análise de Funções de Transferência

Diagramas Polares Assuntos dessa aula Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Diagramas Polares Fator Quadrático Zeros conjugados complexos Formas gerais do diagrama polar Exemplos Construção de diagramas de Nyquist com o MATLAB Agenda de Hoje Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Os diagramas polares de uma função de transferência como Gjω K1 jωTa1 jωTb jωλ1 jωT11 jωT2 b0jωm b1jωm1 a0jωn a1jωn1 onde n m ou o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador terão as seguintes formas gerais As porções relativas às baixas e às altas frequências do diagrama polar da seguinte função de transferência senoidal Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 Exemplos Procedimento de desenho para diagramas polares 1 Dada a função de transferência obtenha a função de transferência senoidal Gjω Gs sjω 2 Separar a parte real e imaginária da função de transferência senoidal Gjω Rω jlω Gjω Gjωφω 3 Determinar o comportamento de Gjω em baixa frequência lim ω0 Gjω lim ω0 Rω j lω lim ω0 Gjωφω Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 Diagramas Polares Fator Quadrático Polos conjugados complexos Ogata p 394 Diagramas Polares Fator Quadrático Zeros conjugados complexos Ogata p 394 Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 1 Para λ 0 ou sistemas tipo 0 o ponto de início do diagrama polar que corresponde a w 0 é finito e está sobre o eixo real positivo A tangente do diagrama polar em w 0 é perpendicular ao eixo real O ponto terminal que corresponde a w está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 2 Para λ 1 ou sistemas tipo 1 o termo jw no denominador contribui com 90 do ângulo de fase total de G jw para 0 w Em w 0 o módulo de G jw é infinito e o ângulo de fase é 90 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo Em w o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 3 Para λ 2 ou sistemas tipo 2 o termo jw² no denominador contribui com 180 para o ângulo de fase total de G jw para 0 w Em w 0 o módulo de G jw é infinito e o ângulo de fase é igual a 180 Em baixas frequências o diagrama polar pode ser assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Em w o módulo torna se nulo e a curva é tangente a um dos eixos Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Resumindo Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 As formas gerais dos ramos de baixa frequência dos diagramas polares dos sistemas dos tipos 0 1 e 2 são apresentadas na Figura 733 Podese observar que se o grau do polinômio do denominador de G jw for maior que o do numerador então os lugares geométricos de G jw vão convergir para a origem no sentido horário Formas gerais do diagrama polar Ogata p 397 Em w os lugares são tangentes a um ou outro eixo como mostra a Figura 734 Procedimento de desenho para diagramas polares cont Procedimento de desenho para diagramas polares cont Procedimento de desenho para diagramas polares cont O servomotor controlado pelo campo mostrase um sistema típico do Tipo 0 e tem a seguinte função de transferência Gs fracK0Ts 1T1 s 1T2 s 1 Esboce o diagrama polar desta função de transferência Cada fator do denominador contribui para fase de Gjω com um ângulo que varia de 0º a 90º quando ω varia de 0 a 1º Obtemos a função de transferência senoidal Gjω fracK01 j T ω1 j T1 ω1 j T2 ω 2º Sepáramos a parte real e imaginária de Gjω Isso é possível multiplicando Gjω pelos complexos conjugados de cada polo como segue Gjω fracK01 jTω1 jT1 ω1 j T2 ω leftfrac1 jT ω1 jT ωrightleftfrac1 j T1 ω1 j T1 ωrightleftfrac1 jT2 ω1 jT2 ωright assim obtémse Gjω fracK0 1 ω2 T1 T2 T T1 T21 ω2 T21 ω2 T121 ω2 T22 j fracK0 ω T T1 T2 ω2 T1 T21 ω2 T21 ω2 T121 ω2 T22 3º Determinamos o comportamento de Gjω em baixa frequência limω0 Gjω fracK01 j T ω1 j T1 ω1 j T2 ω ou limω0 Gjω K0 ou limω0 Gjω limω0 leftfracK0 1 ω2T1 T2 T T1 T21 ω2 T21 ω2 T121 ω2 T22right isto é limω0 Gjω K0 j0 Isto quer dizer que começamos o diagrama polar desde K0 que sai com valores negativos na parte imaginária 4º Determinamos o comportamento de Gjω em alta frequência lim ω Gjω lim ω K0 1 j T ω1 j T1 ω1 j T2 ω lim ω Gjω lim ω K0 TT1 T2 ω³j³ ou lim ω Gjω lim ω K0 1 ω² T1 T2 T T1 T2 1 ω² T² 1 ω² T1² 1 ω² T2² j K0 ω T T1 T2 ω² TT1 T21 ω² T² 1 ω² T1² 1 ω² T2² lim ω Gjω lim ω K0 ω² T1 T2 T T1 T2 ω² T² ω² T1² ω² T2² j K0 ω ω² T² ω² T1² ω² T2² 5º Determinamos possíveis cruzamentos com os eixos real e imaginário Interseção com o eixo real Isto ocorre quando ImGjω 0 Observamos a parte imaginária de Gjω j K0ω T T1 T2 ω² TT1 T2 1 ω² T² 1 ω² T1² 1 ω² T2² 0 onde determinamos as frequências finitas diferentes de zero que fazem esta parte imaginária nula isto ocorre em ωr T T1 T2 TT1 T2 então Gjωr 5º Determinamos possíveis cruzamentos com os eixos real e imaginário Interseção com o eixo imaginário Isto ocorre quando ReGjω 0 Observamos a parte real de Gjω K0 1 ω²T1 T2 T T1 T2 1 ω² T21 ω² T1²1 ω² T2² 0 onde determinamos as frequências finitas diferentes de zero que fazem esta parte real nula isto ocorre em ωi 1 T1 T2 T T1 T2 então Gjωi 6º Verificar as assintotas No comportamento em baixa frequência observamos que temos como assintota a reta vertical em K0 Im GjωHjω K0 Re ω ωr ω ωi ω ωi ω ωr ω ω 0 Figura 22 Diagrama polar do Exemplo 4 OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª Edição 2003 PrenticeHall OGATA 2003