Álgebra Linear

Exercício Resolvido * Questão 1 Seja \( \mathbb{U} = \mathbb{R}^3 \) com o produto interno usual. Determine um vetor \( \mathbf{u} \in \mathbb{R}^3 \) ortogonal aos vetores \( \mathbf{u_1} = (1,1,2) \), \( \mathbf{u_2} = (5,1,3) \) \( \mathbf{u_3} = (2,-2,-3) \). Solução: Seja \( \mathbf{u} = (x, y, z) \), tal que \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{u_1} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u_2} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u_3} \rangle = 0 \). Então: \( \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 5x + y + 3z = 0 \\ 2x - 2y - 3z = 0 \end{cases} \) Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema: \( \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 5x + y + 3z = 0 \\ 2x - 2y - 3z = 0 \end{cases} \qquad \text{ou} \qquad \begin{cases} (x, y, z) \cdot (1, 1, 2) = 0 \\ (x, y, z) \cdot (5, 3, 3) = 0 \\ (x, y, z) \cdot (2, -2, -3) = 0 \end{cases} \) Fazendo a soma de \( (I) \) com \( (II) \), temos: \begin{cases} 5x + y + 3z = 0 \\ 7x - y = 0 \end{cases} \Rightarrow -y = -7x \rightarrow y = 7x Substituindo \( y = 7x \) na equação \( (I) \), temos: \[ x + 7x + 23z = 0 \] \[ x + 7x + 23z = 0 \] \[ 8x + 23z = 0 \] \[ 23z = -8x \] \[ z = \frac{-8x}{23} \] \[ z = -4x \] Logo, podemos concluir que \( \mathbf{u} = (x, 7x, -4x) \), ou ainda \( \mathbf{u} = x(1, 7, -4) \) para \( x \in \mathbb{R} \).