Álgebra Linear

Exercício Resolvido * Questão 1 Seja \(\mathbb{R}^3\) com o produto interno usual. Determinar um vetor \(\vec{u} \in \mathbb{R}^3\) ortogonal aos vetores \(\vec{u}_1 = (1,1,2)\), \(\vec{u}_2 = (5,1,3)\) e \(\vec{u}_3 = (2,-2,-3)\). Solução: Seja \(\vec{u} = (x, y, z)\), tal que \(\vec{u} \cdot \vec{u}_1\), \(\vec{u} \cdot \vec{u}_2\) e \(\vec{u} \cdot \vec{u}_3\), então: \( \begin{cases} \vec{u} \cdot \vec{u}_1 = 0\\ \vec{u} \cdot \vec{u}_2 = 0\\ \vec{u} \cdot \vec{u}_3 = 0 \end{cases} \) ou \( \begin{cases} (x,y,z) \cdot (1,1,2) = 0\\ (x,y,z) \cdot (5,1,3) = 0\\ (x,y,z) \cdot (2,-2,-3) = 0 \end{cases} \) Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema: \(\begin{cases} x + y + 2z = 0 \,\,\,(1)\\ 5x + y + 3z = 0 \,\,\,(2)\\ 2x - 2y - 3z = 0 \,\,(3)\\ \end{cases}\) Fazendo a soma de (1) com (2), temos: \(\begin{cases} 5x + y + 3z = 0\\ 2x - 2y - 3z = 0 \end{cases}\) Substituindo \(y = 7x\) na equação (1), temos: \(x + 7x + 2\cdot\Bigg(-\frac{7x}{2}\Bigg) = 0\\ 8x + 2\cdot\Bigg(-\frac{8x}{2}\Bigg) = 0\\ 8x - 8x = 0 \\ z = -4x\) Logo, podemos concluir que \(\vec{u} = (x, 7x, -4x)\), ou ainda \(\vec{u} = x(1, 7, -4)\) para \(x \in \mathbb{R}\).