Álgebra Linear

* Questão 1 - Seja 𝑈 = ℝ³ com o produto interno usual. Determine um vetor 𝑢̃ ∈ ℝ³ ortogonal aos vetores 𝑢¹ = (1; 1; 2) , 𝑢² = (5; 1; 3) e 𝑢³ (2; −2; −3). Solução : Seja 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal que 𝑢.𝑢¹ = 0; 𝑢.𝑢² = 0 e 𝑢.𝑢³ = 0, então : { 𝑢.𝑢¹ = 0 { (𝑥, 𝑦, 𝑧) . (1, 1, 2) = 0 { 𝑢.𝑢² = 0 ou { (𝑥, 𝑦, 𝑧) . (5, 1, 3) = 0 { 𝑢.𝑢³ = 0 { (𝑥, 𝑦, 𝑧) . (2, −2, −3) = 0 Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema : { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 ➀ { 5𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0 ➁ { 2𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 0 ➂ Fazendo a soma de ➁ com ➀, temos : { 5𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0 ➁ { 5𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0 => 7𝑥 − 𝑦 = 0 { 2𝑥 + −2𝑦 − 3𝑧 =0 => { -y = -7x 𝑦=7𝑥 Substituindo y = 7𝑥 na equação ➀, temos: {𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 7𝑥 + 2𝑧 = 0 8𝑥 + 2𝑧 = 0 2𝑧 = −8𝑥 𝑧 = -8𝑥/2 𝑧 = -4𝑥 Logo, podemos concluir que 𝑢̃ = (𝑥, 7𝑥, −4𝑥), ou ainda 𝑢̃ = 𝑥(1, 7, −4) para 𝑥 ∈ ℝ