Álgebra Linear

Exercício Resolvido Questão 1 Seja \(\mathbb{R}^3\) com o produto interno usual. Determinar um vetor \(\vec{u}\) e \(\mathbb{R}^3\) ortogonal aos vetores \( \vec{u_1} = (1, 1, 2), \vec{u_2} = (5, 1, 3), \vec{u_3} = (2, -2, -3).\) Solução: Seja \(u = (x, y, z)\), tal que \(\vec{u} \cdot \vec{u_1} = 0\), \(\vec{u} \cdot \vec{u_2} = 0\) e \(\vec{u} \cdot \vec{u_3} = 0\), então: \[ \begin{cases} (x, y, z) \cdot (1, 1, 2) = 0 \\ (x, y, z) \cdot (5, 1, 3) = 0 \\ (x, y, z) \cdot (2, -2, -3) = 0 \end{cases} \] Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema: \[ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \quad \text{①} \\ 5x + y + 3z = 0 \quad \text{②} \\ 2x - 2y - 3z = 0 \quad \text{③} \end{cases} \] Fazendo a soma de ① com ②, temos: \[ \begin{cases} 5x + y + 3z = 0 \\ 7x - y = 0 \\ -y = -7x \Rightarrow y = 7x \end{cases} \] Substituindo \(y = 7x\) na equação ①, temos: \[ \begin{cases} x + 7x + 2z = 0 \\ 8x + 2z = 0 \\ 2z = -8x \\ z = \frac{-8x}{2} \\ z = -4x \end{cases} \] Logo, podemos concluir que \(\vec{u} = (x, 7x, -4x)\), ou ainda \(\vec{u} = x(1, 7, -4)\) para \(x \in \mathbb{R}.\)