Álgebra Linear

Exercício Resolvido * Questão 1 Seja \( U = \mathbb{R}^3 \) com o produto interno usual. Determinar um vetor \( \vec{u} \in \mathbb{R}^3 \) ortogonal aos vetores \( \vec{u_1} = (3, 1, 2) \), \( \vec{u_2} = (5, 3, 3) \) e \( \vec{u_3} = (2, -2, -3) \). Solução: Seja \( u = (x, y, z) \), tal que \( \vec{u} \cdot \vec{u_1} = 0 \), \( \vec{u} \cdot \vec{u_2} = 0 \) e \( \vec{u} \cdot \vec{u_3} = 0 \), então: \[ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{u_1} &= (x, y, z) \cdot (3, 1, 2) = 0 \\ \vec{u} \cdot \vec{u_2} &= (x, y, z) \cdot (5, 3, 3) = 0 \\ \vec{u} \cdot \vec{u_3} &= (x, y, z) \cdot (2, -2, -3) = 0 \end{aligned} \] Da igualdades acima, obtemos o seguinte sistema: \[ \begin{aligned} x + y + 2z &= 0 \quad \text{(I)} \\ x + 3y + 3z &= 0 \quad \text{(II)} \\ 2x - 2y - 3z &= 0 \quad \text{(III)} \end{aligned} \] Fazendo a soma de (I) com (II), temos: \[ \begin{aligned} 5x + 4y + 5z &= 0 \quad \rightarrow \quad 7x - y = 0 \\ 2x - 2y - 3z &= 0 \quad \rightarrow \quad -y = -7x \\ &=\{y = 7x\} \end{aligned} \] Substituindo \( y = 7x \) na equação (I), temos: \[ \begin{aligned} x + y + 2z &= 0 \quad \rightarrow \quad x + 7x + 2z = 0 \\ 8x + 2z &= 0 \\ 2z &= -8x \\ z &= \frac{-8x}{2} \\ z &= -4x \end{aligned} \] Logo, podemos concluir que \( \vec{u} = (x, 7x, -4x) \), ou ainda \( \vec{u} = x(1, 7, -4) \) para \( x \in \mathbb{R} \).