Exercícios Resolvidos de Cálculo Diferencial e Integral - Regras de Derivação e Aplicações

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral Conteúdo Regras de Derivação Professor Joel dos Santos Brandão Aluno Período Exercícios 1 Encontrar a derivada das funções dadas A seguir comparar os resultados encontrados com os resultados obtidos a partir do uso de um software algébrico Geogebra a 𝑓𝑥 3𝑥² 6𝑥 10 b 𝑓𝑥 7𝑥 1𝑥 4 c 𝑓𝑥 5𝑥7 2𝑥2 2 Calcular a derivada a 𝑓𝑥 103𝑥2 7𝑥 310 b 𝑓𝑥 3𝑥2 6𝑥 22 3 c 𝑓𝑥 2𝑥 3𝑥1 d 𝑓𝑥 1 3 𝑒3𝑥 e 𝑓𝑥 23𝑥26𝑥 f 𝑓𝑥 log3 𝑥 1 g 𝑓𝑥 ln 1 𝑥 1 𝑥2 h 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛33𝑥2 6𝑥 i 𝑓𝑥 3 tan2𝑥 1 𝑥 j 𝑓𝑥 3𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑥 k 𝑓𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 l 𝑓𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ𝑥2 3 Calcular 𝑓0 se 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos 3𝑥 4 Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada a 𝑦 3𝑥4 2𝑥 𝑛 5 b 𝑦 𝑒2𝑥1 𝑛 3 c 𝑦 sin 𝑎𝑥 𝑛 7 5 Calcular 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 das seguintes funções definidas implicitamente a 𝑥3 𝑦3 𝑎3 b 𝑥3 𝑥2𝑦 𝑦2 0 c 𝑒𝑦 𝑥 𝑦 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral Conteúdo Aplicações da derivada Professor Joel dos Santos Brandão Aluno Período Exercícios 1 Encontrar os pontos críticos das seguintes funções se existirem Obs pontos críticos são os pontos extremos ou máximos e mínimos relativos a 𝑦 3𝑥 4 b 𝑦 𝑥2 3𝑥 8 c 𝑦 𝑥 𝑥24 d 𝑦 𝑥 2𝑥 4 2 Determinar algebricamente os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes Fazer um esboço do gráfico comparando os resultados a 𝑓𝑥 2𝑥 1 b 𝑓𝑥 3𝑥2 6𝑥 7 c 𝑓𝑥 𝑥3 2𝑥2 4𝑥 2 d 𝑓𝑥 2𝑥 e 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥1 3 Encontrar os intervalos de crescimento decrescimento os máximos e os mínimos das seguintes funções a 𝑓𝑥 2𝑥 5 b 𝑓𝑥 3𝑥2 6𝑥 1 c 𝑔𝑥 4𝑥3 8𝑥2 d 𝑔𝑥 𝑥𝑒𝑥 1 a f x 3x2 6x 10 Fazendo a derivada de f x fx 6x 6 Pelo geogebra fx 3x2 6x 10 fx fx 6x 6 b fx 7x 1 x 4 Fazendo a derivada pela regra do produto fx 7x 1x 4 7x 1x 4 fx 7x 4 7x 11 fx 14x 27 Pelo geogebra fx 7x 1 x 4 fx fx 14x 27 c fx 5x 72x 2 Fazendo a derivada pela regra da divisão fx 5x 72x 2 5x 72x 22x 22 fx 5 2x 2 5x 722x 22 fx 462x 22 6x 12 ou fx 6x2 2x 1 Pelo geogebra fx 5x 72x 2 fx fx 6x2 2x 1 2 a fx 103x2 7x 310 Derivando pela regra da cadeia fx 1010 3x2 7x 39 3x2 7x 3 fx 1003x2 7x 39 6x 7 b fx ³3x2 6x 22 3x2 6x 223 Derivando pela regra da cadeia fx 233x2 6x 213 3x2 6x 2 fx 233x2 6x 213 6x 6 fx 4x13x2 6x 213 c f x 2x3x 1 Fazendo a derivada pela regra da divisao fx 2x3x 1 2x3x 13x 12 fx 2 3x 1 2x 3 23x 1 3x 1 Simplificando fx 3x 2 3x 1 3x 1 d fx 13 e3 x Aplicando a regra da cadeia fx 13 e3 x 3 x fx 13 e3 x 1 fx 13 e3 x e fx 23x2 6x Usando a regra do expoente onde ab eb lna então temos que fx eln2 3x2 6x Aplicando a regra da cadeia fx e3x2 6x ln2 3x2 6x ln2 fx e3x2 6x ln2 6x 6 ln2 Voltando para a base 2 fx 23x2 6x 6x 6 ln2 f1 fx log3 x 1 Usando a propriedade logab ln b ln a Podemos reescrever fx fx lnx 1 ln3 fx 1 ln3 ln x 1 Usando a regra da cadeia ln x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 2 x 112 log3 fx 1 ln 3 1 x 1 1 2 x 112 fx 1 2 ln 3 x 1 x 112 g fx ln 1x 1x2 Aplicando a regra da cadeia fx 1 1x 1x2 1x 1x2 fx 1 1x 1x2 1x2 2x3 fx x 2 x x 1 h fx sen³ 3x² 6x Aplicando a regra da cadeia fx 3 sen² 3x² 6x sen 3x² 6x Aplicando a regra da cadeia novamente sen 3x² 6x cos 3x² 6x 3x² 6x cos 3x² 6x 6x 6 logo fx 3 sen² 3x² 6x cos 3x² 6x 6x 6 i fx 3 tan 2x 1 x Sendo fx 3 tan 2x 1 x 3 tan 2x 1 Aplicando a regra da cadeia 3 tan 2x 1 3 sec² 2x 1 2x 1 3 sec² 2x 1 2 6 sec² 2x 1 x 1 2x logo fx 6 sec² 2x 1 1 2x j fx 3 sec² x x Aplicando a regra da divisão fx 3 sec² x x 3 sec² x x x² fx 6 sec² x tan x 3 sec² x 1 x² fx 6 sec² x tan x 3 sec² x x² k fx arc sec x Aplicando a regra da cadeia fx 1 x² x² 1 x fx 1 x x 1 1 2x Simplificando fx 1 2x x 1 l fx x argcotgh x² Aplicando a regra da cadeia fx 1 1 x²² x² fx 1 1 x⁴ 2x fx 2x 1 x⁴ 3 fx eˣ cos 3x Aplicando a regra do produto fx eˣ cos 3x eˣ cos 3x fx eˣ cos 3x eˣ 3 sen 3x fx eˣ cos 3x 3eˣ sen 3x logo f0 e¹ cos¹ 3 e⁰ sen⁰ f0 1 4 a y 3x4 n5 y1 12 x3 y2 36 x2 y3 72 x1 y4 72 y5 0 b y e2x1 n3 y1 e2x1 2x1 y1 2 e2x1 y2 2 e2x1 2x12 y2 4 e2x1 y3 4 e2x1 2x1 y3 8 e2x1 c y senax n7 y1 a cosax y2 a2 senax y3 a3 cosax y4 a4 senax y5 a5 cosax y6 a6 senax y7 a7 cosax 5 a x3 y3 a3 Derivando os dos lados 3x2 3y2 y 0 y 3x23y2 y x2y2 b x3 x2 y y2 0 Derivando os dois lados 3x2 2xy x2 y 2y y 0 yx2 2y 3x2 2xy y 3x2 2xyx2 2y c ey x y Derivando os dois lados y ey 1 y yey 1 1 y 1ey 1 1 a fx 3x 4 Para encontrar os pontos críticos fazemos fx 0 fx 3 Como fx é uma constante não temos pontos críticos b fx x2 3x 8 Para encontrar os pontos críticos fazemos fx 0 fx 2x 3 0 2x 3 0 2x 3 x 32 logo temos ponto crítico em x 32 c fx x x2 4 Para encontrar os pontos críticos fazemos fx 0 Para fazer a derivada da função fx x x2 4 fazemos pela regra da divisão fx xx2 4 xx2 4 x2 42 fx 1x2 4 x2x x2 42 fx x2 4 x2 42 0 Para fx 0 então x2 4 0 x2 4 logo não existem pontos críticos d fx x 2x 4 Para encontrar os pontos críticos fazemos fx 0 Fazendo a derivada pela regra do produto fx x 2x 4 x 2x 4 fx 1x 4 x 21 fx 2x 2 0 2x 2 0 x 22 1 logo x 1 é ponto crítico 2 a fx 2x 1 Sabemos que fx 2 como fx 0 para todo x Então a função é crescente em b fx 3x2 6x 7 Fazendo a derivada de fx fx 6x 6 Quando fx 0 6x 6 0 x 66 x 1 logo fx é crescente em 1 fx é decrescente em 1 c fx x³ 2x 4x 2 Fazendo a derivada fx 3x² 4x 4 Quando fx 0 3x² 4x 4 0 Podemos reescrever 3x 2x 2 0 logo x 23 e x 2 logo fx é crescente em 2 U 23 fx é decrescente em 2 23 d fx 2ˣ Fazendo a derivada de fx fx 2ˣln 2 Quando fx 0 2ˣln2 0 Verdadeiro sempre logo fx é crescente em e fx x² x 1 Fazendo a derivada de fx pela regra da divisão fx x²x1 x²x1 x1² fx 2x² 2x x² x 1² fx x² 2x x 1² Quando fx 0 x² 2x x 1² 0 logo x² 2x 0 xx 2 0 logo fx é crescente em 0 e 2 fx é decrescente em 0 1 U 1 2 3 a fx 2x 5 Sendo fx 2 como fx 0 sempre então fx é crescente em Sabemos que para encontrar o ponto crítico fazemos fx 0 2 0 logo não admite ponto critico Como não tem ponto critico não tem máximo ou mínimo b fx 3x²6x1 fazendo a derivada de fx fx 6x 6 Quando fx0 6x 6 0 x 66 x 1 logo fx é crescente em 1 fx é decrescente em 1 Pelos intervalos vemos que x 1 é ponto de mínimo c gx 4x³ 8x² Fazendo a derivada de gx gx 12x² 16x Quando gx 0 12x² 16x 0 x 43 e x 0 logo fx é crescente em 0 43 fx é decrescente em 043 Vemos que x 0 e x 43 são pontos críticos pelos intervalos vemos que x 0 é ponto de máximo x 43 é ponto de mínimo d gx xeˣ Fazendo a derivada de gx pela regra do produto gx x eˣ x eˣ gx eˣ eˣ x 0 x eˣeˣ 1 logo fx é decrescente em 1 fx é crescente em 1 Pelo intervalo vemos que x 1 é ponto de mínimo