Revisão sobre Capacitores e Circuitos RC

REVISÃO ANÁLISE DE CIRCUITOS Vóldi C Zambenedetti Com material de prof Alessandro Koerich CAPACITOR Revisando as equações Para um capacitor de placas paralelas 𝐶 𝜀𝐴 𝑑 e 𝑞 𝐶 𝑣 Corrente no capacitor 𝑖𝑡 𝐶𝑑𝑣 𝑑𝑡 Tensão no capacitor 𝑣 𝑡 1 𝐶 𝑡0 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑡0 Potência 𝑝 𝑣 𝑖 𝐶 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 energia armazenada 𝑤 𝑝 𝑑𝑡 1 2 𝐶 𝑣2 ou 𝑤 𝑞2 2𝐶 RC sem Fonte primeira ordem inicialmente carregado em t0 temos 𝑣 0 𝑉0 Sendo que a energia armazena será 𝑤 0 1 2 𝐶 𝑉0 2 Aplicando a LCK 𝑖𝑐 𝑖𝑅 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐶𝑅 0 Então 𝑑𝑣 𝑣 1 𝑅𝐶 𝑑𝑡 e 𝑣 𝑡 𝑉0𝑒 𝑡 𝑅𝐶 t vtV0 0 1 t 03678 5t 000674 0 RC com fonte resposta ao degrau Escolhemos a tensão no capacitor com resposta A tensão inicial é dada 𝑣0 𝑣 0 𝑉0 RESPOSTA COMPLETA Aplicando a LCK obtemos 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝑢 𝑡 𝑉𝑠 𝑅 0 𝑒 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐶𝑅 𝑢 𝑡 𝑉𝑠 𝐶𝑅 Para t0 temos 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐶𝑅 𝑉𝑠 𝐶𝑅 Rearranjando os termos 𝑑𝑣 𝑣𝑉𝑠 𝑑𝑡 𝑅𝐶 RC com fonte resposta ao degrau Integrando ambos os lados e considerando as condições iniciais ln 𝑣 𝑡 𝑉𝑠 ln 𝑉0 𝑉𝑠 𝑡 𝑅𝐶 0 ou ln 𝑣 𝑡 𝑉𝑠 𝑉0𝑉𝑠 𝑡 𝑅𝐶 Fazendo o exponencial de ambos os lados temos 𝑣 𝑡 𝑉𝑠 𝑉0 𝑉𝑠 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 Ou 𝑣 𝑡 𝑉𝑠 𝑉0 𝑉𝑠 𝑒𝑡 𝜏 para t0 e onde 𝜏 𝑅𝐶 ATENÇÃO tRC e vt 1 0368Vs Circuito RC Resposta ao Degrau Método sistemático para encontrar a resposta ao degrau para um circuito RC ou RL Decompor a resposta em dois componentes Duas maneiras de fazer esta decomposição Resposta Completa Resposta Natural Resposta Forçada energia armazenada fonte independente Ou 𝑣 𝑣𝑛 𝑣𝑓 𝑉0𝑒𝑡 𝜏 𝑉𝑠 1 𝑒𝑡 𝜏 Resposta Natural sem fontes independentes Vs v 0V Resposta Forçada condições iniciais nulas v0 0V Circuito RC Resposta ao Degrau A resposta completa pode ser escrita como 𝑣 𝑡 𝑣0 𝑣 𝑒𝑡 𝜏 𝑣 Onde v0 é a tensão inicial em t 0 e v é o valor final ou em regime permanente Assim para encontrar a resposta ao degrau de um circuito RC devemos conhecer 1 A tensão inicial no capacitor v0 2 A tensão final no capacitor v 3 A constante de tempo τ Para o item 1 consideramos t 0 Para os itens 2 e 3 consideramos t 0 Indutor Para um indutor de N espiras e comprimento l a indutância é dada por 𝐿 𝑁2𝜇A l A relação correntetensão é dada por compare com a equação do capacitor 𝑖 𝑡 1 𝐿 න 𝑡0 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑖𝑡0 Onde it0 é a corrente total para t t0 e i0 𝑣 𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 O indutor armazena energia em seu campo magnético Potência 𝑝 𝑣 𝑖 𝑖 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Energia armazenada 𝑤 𝑝 𝑑𝑡 1 2 𝐿 𝑖2 Circuito RL sem Fonte primeira ordem Em t 0 assumimos que o indutor tem um corrente inicial I0 ou i0I0 A energia armazenada no indutor é 𝑤 0 1 2 𝐿 𝐼0 2 Aplicando a LCK 𝑣𝐿 𝑣𝑅 0 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅𝑖 𝐿 Então𝐼0 𝑖𝑡 𝑑𝑖 𝑖 0 𝑡 𝑅 𝐿 𝑑𝑡 e 𝑖 𝑡 𝐼0𝑒𝑅𝑡 𝐿 𝜏 𝐿 𝑅 Circuito RL Resposta ao Degrau O objetivo é encontrar a corrente i através do indutor como sendo a resposta do circuito Aplicando a LTK teremos 𝑉𝑠 𝑢𝑡 𝑣𝑅 𝑣𝐿 0 𝑉𝑠 𝑢𝑡 𝑖 𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Considerando que termos uma corrente inicial I0 correndo pelo indutor teremos 𝑉𝑠 𝐿 𝑅 𝐿 𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑡 0 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑉𝑠𝑅𝑖 𝐿 rearranjando 1 R 𝑑𝑖 𝑖𝑉𝑠 𝑅 𝑑𝑡 𝐿 Circuito RL Resposta ao Degrau Integrando 𝑑𝑖 𝑖𝑉𝑠 𝑅 𝑅𝑑𝑡 𝐿 ln 𝑖 𝑉𝑠 𝑅 ln 𝐼0 𝑉𝑠 𝑅 𝑅 𝐿 𝑡 𝑖 𝑉𝑠 𝑅 𝐼0 𝑉𝑠 𝑅 𝑒𝑡 𝜏 Ou 𝑖 𝑉𝑠 𝑅 𝐼0 𝑉𝑠 𝑅 𝑒𝑡 𝜏 Sendo 𝑉𝑠 𝑅 𝐼𝑚𝑎𝑥 ATENÇÃO tLR e it 1 0368Imax Análise Nodal Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados Assumimos que tem potencial zero Lembrete em elementos passivos a corrente flui de um potencial maior para um menor Em um resistor 𝑖 𝑣𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑣𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑅 Lei das Correntes de Kirchhoff LCK A soma algébrica das correntes entrando em um nó é igual a zero Lei das Tensões de Kirchhoff LTK A soma algébrica de todas as tensões ao redor de um caminho fechado ou laço é igual a zero Ind I atrasada I j Cap I adiantada I j Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como impedância medida em ohms Ω Da tabela temos que para w 0 ZL 0 ZC e para w ZC 0 ZL Conversão sencos para fasores Lembre que Vmcoswtq Vmq Vmcosqj Vmsenq Vmsenwtq Vmq90º Vmsenwt 90º Vmcoswt E portanto Vmcoswt90º Vm90º Vmsenwt Vmcoswt90º 0 jVm Vmcoswt Vm j0 Vmsenwt 0 jVm Análise Nodal resistência pura Exemplo três nós v1 v2 e 0 Em v1 I1i1i2I2 1 Em v2 I2 i2 i3 2 Aplicando a Lei de Ohm 3 Em R1 𝑖1 𝑣10 𝑅1 Em R2 𝑖2 𝑣1𝑣2 𝑅2 Em R1 𝑖3 𝑣20 𝑅3 Dados I11A I23A R110W R247W e R322W calcule v1 v2 i1 i2 i3 Substituindo 3 em 1 e 2 𝐼1 𝐼2 𝑣1 𝑅1 𝑣1 𝑣2 𝑅2 𝐼2 𝑣1 𝑣2 𝑅2 𝑣2 𝑅3 2 1 10 1 47 𝑣1 𝑣2 47 3 𝑣1 47 1 22 1 47 𝑣2 2 3 1212𝑚 212𝑚 212𝑚 667𝑚 𝑣1 𝑣2 Análise Nodal impedância complexa 𝑉0 𝑉𝐴 5 𝑉𝐴 𝑗16 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑗628 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑗628 050 𝑉𝐵 𝑗314 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑗314 3 𝑉𝐴 3 𝑗126 𝑉𝐵 𝑗126 𝑉𝐴 38 70𝑜 𝐼𝑥 24 21𝑜 Análise Nodal com Fontes de Tensão Um super nó pode ser considerado como uma superfície fechada englobando a fonte de tensão e seus dois nós Um super nó é formado englobando uma fonte de tensão dependente ou independente conectada entre dois nós que não sejam de referência e quaisquer elementos conectados em paralelo com ela Análise Nodal com Fontes de Tensão Analisando 𝑣1 10𝑉 LTK no super nó 𝑣2 𝑣3 5𝑉 LCK no super nó 𝑖1 𝑖4𝑖2 𝑖3 𝑣1 𝑣2 2 𝑣1 𝑣3 4 𝑣2 8 𝑣3 6 10 2 10 4 1 2 1 8 𝑣2 1 4 1 6 𝑣3 5 𝑣2 𝑣3 V2 92V V3 42V I1 400mA I4 1449A I2 115 A I3 700mA Análise de Malhas Assumimos inicialmente que os circuitos são planares e não contém fontes de corrente Dado um circuito planar com n malhas sem fontes de corrente a análise de malhas envolve três passos 1 Atribuir correntes de malha i1 i2 in para as n malhas 2 Aplique a LTK em cada uma das n malhas Use a Lei de Ohm para as tensões em termos das correntes de malha 3 Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha Análise de Malhas Calcular as correntes I1 e I2 ao lado 9 𝐼1110 𝐼1220 𝐼2220 0 𝐼2220 𝐼1220 𝐼2330 12 0 9 𝐼1 110 220 𝐼2220 12 𝐼1220 𝐼2 220 330 9 12 330 220 220 550 𝐼1 𝐼2 𝐼1 2310 133100 173𝑚𝐴 𝐼2 1980 133100 149𝑚𝐴 I1 I2 IV4 0014876 devicecurrent IV3 00173554 devicecurrent Va 709091 voltage Fontes de Corrente Se a fonte de corrente pertence a duas malhas Criamos uma super malha excluindo a fonte de corrente e quaisquer elementos conectados em série com ela 206i110i24i20 i1 6 i20 Super Malhas Uma super malha resulta quando duas malhas tem uma fonte de corrente dependente ou independente em comum Propriedades de um super malha 1 A fonte de corrente em uma super malha fornece a equação restrita necessária para resolver as correntes de malha 2 Uma super malha não tem uma corrente própria 3 Uma super malha necessita da aplicação tanto da LTK quanto da LCK Circuitos de Segunda Ordem Circuitos que contêm dois elementos armazenadores de energia usualmente um indutor e um capacitor Suas respostas são descritas por equações diferencias que contem derivadas de 2º grau Condição Inicial e Final Encontrar as condições iniciais e finais para 𝑖 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Lembrete Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor A tensão do capacitor não muda abruptamente 𝑣 0 𝑣 0 A corrente no indutor não muda abruptamente 𝑖 0 𝑖 0