Deslocamentos em Estruturas Isostáticas pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais

TEORIA DAS ESTRUTURAS II Prof William Fernandes CAPÍTULO 1 DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS PELO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 11 Princípio de dAlembert Jean dAlembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual estudando o seguinte caso Seja um ponto material m submetido a um conjunto de forças Pi tal que sua resultante R0 Se for dado um deslocamento δ a este ponto sem introdução de nenhuma nova força no sistema então este será um deslocamento virtual pois não pode ser atribuído a nenhuma causa física real O trabalho virtual W realizado pelas forças Pi reais que atuam em m quando este sofre o deslocamento virtual δ vale WRδ0 Princípio de dAlembert para um ponto material em equilíbrio o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre este ponto quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer é nulo Isso garante para o ponto que sofre o deslocamento virtual duas condições de equilíbrio a estática traduzida pela resultante nula e a de energia traduzida pelo trabalho virtual realizado nulo 12 Princípio dos trabalhos virtuais Seja uma estrutura qualquer sob a ação de várias cargas Sendo a mesma deformável os deslocamentos relativos entre seções transversais devidos aos esforços solicitantes internos podem ser representados da seguinte forma d λf F V GA dx d θ M EI dx ds N EA dx d ϕ T GJ dx 121 Princípio dos Deslocamentos Virtuais Seja uma estrutura deformável em equilíbrio sob a ação de determinado sistema de forças Sob uma pequena deformação virtual compatível o trabalho virtual realizado pelas forças externas é igual ao realizado pelas forças internas W e W i Seja a viga abaixo M P δ δ θB θB B A real virtual onde P e M força e momento externos δ e θ deslocamento e rotação provocados por P e M δ e θ deslocamento e rotação virtuais correspondentes a P e M impostos APÓS a deformação da estrutura Neste caso o trabalho virtual das forças internas provocadas pelo deslocamento virtual fica W i x V dV d λ x M dMdθ Para as forças externas temse W ePδM θB Desprezandose o produto dos infinitesimais e generalizando i Piδi i M iθi x V d λM d θN dsT d ϕdx onde d λf F V GA dx d θ M EI dx ds N EA dx d ϕ T GJ dx sendo V M N T esforços virtuais internos V M N T esforços reais internos fF fator de forma da seção 122 Princípio das Forças Virtuais Seja uma estrutura deformável sujeita a deslocamentos reais provocados por um sistema de forças em equilíbrio Sob a ação de um sistema equilibrado de forças virtuais o trabalho virtual externo produzido pelas forças virtuais externas quando ocorrem deslocamentos reais é igual ao trabalho virtual interno produzido por esforços virtuais internos quando ocorrem deformações reais Matematicamente W e W i Seja a mesma viga anterior δ2 δ1 θB B A real P P M M θA Neste caso W ePδ1 O trabalho virtual das forças internas virtuais provocadas pelo deslocamento real fica W i x V d Vd λ x M d M dθ Desprezandose o produto dos infinitesimais e generalizando i Piδi i M iθi x V d λ M d θ N ds T d ϕ dx onde d λf FV GA dx d θ M EI dx ds N EA dx d ϕ T GJ dx Assim verificase a equivalência dos 2 princípios 13 Fórmula de MaxwellMohr O Princípio dos Trabalhos Virtuais pode ser enunciado matematicamente pela fórmula de Maxwell Mohr Pδ x N N EA M M EI V V GA v T T GJ dx P1 onde as grandezas com notação barra são os esforços solicitantes na estrutura com carregamento unitário e M N V e T são os esforços solicitantes devidos ao carregamento real A integral deve ser realizada ao longo do comprimento de todas as barras Dividindo todos os membros pela unidade de força no sentido generalizado equivale a considerar um modelo com força virtual unitária adimensional temse então o deslocamento desejado δ x N N EA M M EI V V GAv T T GJ dx Para obtenção de rotações aplicase um momento adimensional no ponto e direção da rotação desejada Sendo as forças virtuais independentes das condições de apoio da estrutura desde que equilibradas podese determinar o deslocamento em estruturas hiperestáticas com um modelo para a força unitária isostático Teorema de Pasternak 14 Deslocamentos causados por cargas concentradas e distribuídas EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 1 determine o deslocamento e a inclinação da tangente ou rotação da seção na extremidade livre da viga abaixo pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais usar formulação integral Considere a influência da força cortante e do momento fletor na solução RESPOSTA δ wL 4 8 EI wL 2 2GA v θ wL 3 6 EI EXERCÍCIO 2 idem para a viga abaixo Considere somente a contribuição do momento fletor na solução RESPOSTA δ PL 3 3 EI θ PL 2 2 EI