Geometria Analitica Vetorial Basica - Vetores e Exercicios

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Geometria Analítica Vetorial Básica Avaliações T1 P1 T2 P2 Recuperação Unidade 1 Vetores Exercícios para aula DEFINIÇÃO Do ponto de vista geométrico um vetor é um segmento de reta orientado caracterizado por três aspectos direção tamanho e sentido São usualmente representados por letras minúsculas com uma seta acima 𝑣 ou com a indicação do ponto inicial e do ponto final que definem o vetor por letras maiúsculas com uma seta acima 𝐴𝐵 Qualquer entidade que possua direção sentido e comprimento pode ser representada por um vetor Por exemplo considere a velocidade de um carro que viaja para o nordeste a 40 mih Esta grandeza pode ser representada por uma seta apontando na direção de 45 acima da horizontal para a direita como ilustra a Figura 1 Figura 1 velocidade de um carro Vetores são normalmente orientados em um sistema de coordenadas sendo o mais comum o plano cartesiano As coordenadas 𝑎 𝑏 indicam a abscissa deslocamento horizontal e a ordenada deslocamento vertical da origem até um ponto 𝑃 𝑎 𝑏 Quando escrevemos 𝑣 𝐴𝐵 estamos dizendo que o vetor 𝑣 é determinado pelo segmento orientado 𝐴𝐵 Ou seja 𝑣 é o vetor com origem no ponto 𝐴 𝑥1 𝑦1 e extremidade no ponto 𝐵 𝑥2 𝑦2 𝑣 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 𝑥2 𝑥1 𝑦2 𝑦1 Assim um representante de 𝑣 pode ter a sua origem em qualquer ponto do espaço O ponto 𝐴 é chamado ponto inicial e o ponto 𝐵 é o ponto final Note que o vetor 𝐴𝐵 é o vetor que representa um deslocamento de 𝑥2 𝑥1 unidades na direção do eixo 𝑥 e 𝑦2 𝑦1 unidades na direção do eixo 𝑦 tendo como ponto de partida o ponto 𝐴 Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento mesma direção são paralelos ou colineares e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor Na Figura 2 todos os segmentos orientados paralelos de mesmo sentido e mesmo comprimento de 𝐴𝐵 representam o mesmo vetor que será denotado por 𝐴𝐵 Figura 2 representantes do vetor 𝐴𝐵 Dentre todos os segmentos que representam o vetor 𝐴𝐵 o que melhor o representa é o que tem origem no ponto 00 e extremidade em 𝑥2 𝑥1 𝑦2 𝑦1 como ilustrado na Figura 3 Figura 3 melhor representante do vetor 𝐴𝐵 2 Exemplos 1 Determine o vetor 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 que representa o deslocamento do ponto 𝐴 para o ponto 𝐵 sendo a 𝐴 12 𝑒 𝐵 14 b 𝐴 2 5 𝑒 𝐵 04 c 𝐴 2 2 𝑒 𝐵 22 2 Determine o ponto 𝐵 tal que 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 12 é o vetor que desloca o ponto 𝐴 21 para o ponto 𝐵 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Módulo O comprimento do vetor 𝐴𝐵 é o tamanho do segmento de reta 𝐴𝐵 e é denominado módulo do vetor Notação 𝐴𝐵 𝑥2 𝑥12 𝑦2 𝑦12 A expressão acima que corresponde ao cálculo da distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 facilmente obtida através do Teorema de Pitágoras Direção A direção de um vetor 𝑣 será caracterizada pelo ângulo 𝜃𝑣 tal que 𝑡𝑔𝜃𝑣 𝑣𝑦 𝑣𝑥 isto é 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑣𝑦 𝑣𝑥 Igualdade dois vetores são iguais se possuem a mesma direção mesmo sentido e mesmo comprimento Note que dois vetores iguais não necessariamente começam no mesmo ponto e não precisam estar ao longo da mesma reta como ilustra a Figura 4 Figura 4 𝑣 𝑢 Vetores paralelos dois vetores são paralelos quando possuem a mesma direção incluindo o caso no qual estão ao longo da mesma reta Indicaremos que o vetor 𝑢 é paralelo ao vetor 𝑣 por 𝑢 𝑣 A relação de paralelismo entre vetores satisfaz as seguintes relações i 𝑢 𝑢 ii se 𝑢 𝑣 então 𝑣 𝑢 iii se 𝑢 𝑤 e 𝑤 𝑣 então se 𝑢 𝑣 OPERAÇÕES COM VETORES ADIÇÃO Considere 2 ou mais vetores Partindo de um ponto qualquer 𝑃 e aplicando sucessivamente os vetores de tal maneira que o ponto final do primeiro coincide com o ponto inicial do segundo e assim sucessivamente o vetor soma é o vetor que que une o ponto inicial do primeiro ao ponto final do último regra do polígono Algebricamente a soma pode ser obtida simplesmente somandose as coordenadas correspondentes Figura 5 O vetor 𝑢 𝑣 Figura 6 O vetor 𝑢 𝑣 𝑤 Exemplos 3 Obtenha e represente graficamente o vetor soma a 𝑤 𝑢 𝑣 onde 𝑢 13 𝑣 21 b 𝑤 𝑢 𝑣 𝑠 onde onde 𝑢 13 𝑣 11 𝑠 12 Propriedades i 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 ii 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 iii 𝑢 0 𝑢 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Seja 𝛼 um número real qualquer e 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 um vetor Definimos a operação de multiplicação de 𝑣 pelo escalar 𝛼 por 𝑢 𝛼𝑣 𝛼𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝛼𝑣𝑥 𝛼𝑣𝑦 Isto é obtemos um novo vetor 𝑢 com mesma direção de 𝑣 ou seja 𝑢 𝑣 Propriedades i 𝛼𝑢 𝑣 𝛼𝑢 𝛼𝑣 ii 𝛼 𝛽𝑢 𝛼𝑢 𝛽𝑢 iii 1𝑣 𝑣 iv 𝛼𝛽𝑢 𝛼𝛽𝑢 𝛽𝛼𝑢 Exemplos 4 Resolva a equação 21 𝛼11 𝑏 2 5 Dados 𝑢 3 1 e 𝑣 21 determine a vetor 𝑤 2𝑢 3𝑣 b 𝑢 𝑣 c 𝑢 𝑣 d 𝑤 e 2𝑤 OBSERVAÇÃO A subtração de 2 vetores pode ser definida como 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 3 Figura 7 Subtração de vetores 𝑢 𝑣 REPRESENTAÇÃO DE VETORES Considere um vetor 𝑣 𝑂𝑃 sendo 𝑂 00 𝑒 𝑃 𝑣𝑥 𝑣𝑦 Coordenadas Cartesianas 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 são as coordenadas cartesianas do vetor 𝑣 Coordenadas Polares 𝑣 𝑟𝑣 𝜃 onde 𝑟𝑣 𝑣 e 𝜃 é o ângulo formado entre o vetor e o eixo 𝑥 Neste caso 𝑟𝑣 e 𝜃 são as coordenadas polares do vetor 𝑣 Graficamente Figura 8 coordenadas polares No entanto ao somarmos dois vetores algebricamente deveremos necessariamente somálos quando estiverem explicitados em componentes cartesianas Não poderemos somar dois vetores simplesmente somando suas coordenadas polares Veja o seguinte caso ilustrado na figura abaixo Note que se somarmos geometricamente os vetores 𝑢 e 𝑣 vemos claramente pela figura abaixo que 𝜃𝑢𝑣 𝜃𝑢 𝜃𝑣 bem como 𝑟𝑢𝑣 𝑟𝑢 𝑟𝑣 Desta forma quando tivermos uma situação na qual são fornecidas as coordenadas polares do vetor e quisermos somar os vetores então precisaremos obter as componentes cartesianas do vetor Sempre é possível obter as coordenadas cartesianas 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 a partir das coordenadas polares 𝑟𝑣 e 𝜃 Observe a partir da figura acima que podemos extrair um triângulo retângulo de referência conforme exibe a figura abaixo A partir das razões trigonométricas no triângulo retângulo obtemos 𝑣𝑥 𝑣 cos 𝜃 e 𝑣𝑦 𝑣 sen 𝜃 Exemplos 6 Obtenha as coordenadas cartesianas dos vetores abaixo dados em coordenadas polares a 545𝑜 b 4 270𝑜 Versores O versor de um vetor 𝑣 é o vetor de módulo 1 que possui a mesma direção e mesmo sentido de 𝑣 𝑒𝑣 𝑣 𝑣 Exemplo 7 Encontre o versor dos vetores 𝑣 34 𝑢 11 e 𝑤 2 4 Em muitas situações será vantajoso escolhermos como referência dois vetores perpendiculares cada um com comprimento 1 para representar qualquer outro vetor do plano Escolhemos um vetor horizontal chamado i e outro vertical chamado j de acordo com a Figura 9 Figura 9 vetores 𝒊 e 𝒋 4 O vetor 𝑟 𝑂𝑃 é chamado vetor posição de 𝑃 porque suas componentes correspondem exatamente às coordenadas retangulares 𝑥 𝑦 do seu ponto final 𝑃 Qualquer vetor 𝑟 poderá ser expresso como uma combinação única dos vetores 𝒊 e 𝒋 𝑟 𝑥 𝒊 𝑦 𝒋 e 𝑟 𝑥2 𝑦2 PROJEÇÕES Conforme visto acima um vetor qualquer 𝑟 pode ser decomposto como a soma de um vetor horizontal com um vetor vertical Então 𝑟 𝑟ℎ 𝑟𝑣 Neste processo de decomposição do vetor 𝑟 nós temos que o vetor horizontal 𝑟ℎ será sempre múltiplo do versor 𝒊 e o vetor vertical 𝑟𝑣 será sempre múltiplo do versor 𝒋 𝑟 𝑟ℎ 𝑟𝑣 𝑥 𝒊 𝑦 𝒋 Logo o módulo das componentes vetoriais de 𝑟são essencialmente as projeções de 𝑟 nas respectivas direções Considere o problema de um sistema de vetores força atuando em um ponto conforme exibe a figura abaixo Dizemos que o ponto 𝑂 está em equilíbrio se 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 0 I Como todo vetor pode ser decomposto como a soma de uma componente vetorial horizontal com uma componente vetorial vertical conforme exibe a figura abaixo então teremos que Segue da condição de equilíbrio que Comparando os dois membros da equação acima nós temos que Generalizando temos que Ou seja obtemos uma condição equivalente para a condição de equilíbrio dada pela Equação I Essencialmente o ponto O estará em equilíbrio se e somente se a soma dos vetores força horizontais é igual à zero e a soma dos vetores força verticais é igual à zero Em outras palavras Exemplo 8 Um peso de 50 lbf é suspenso por arames como mostra a figura abaixo Determine as tensões em AB e BC usando o método das projeções 5 9 Num ponto P estão aplicadas forças 𝑓1 𝑓2 e 𝑓3 conforme a figura Sabendose que 𝑓1 𝑓2 𝑓3 42 determine a direção o sentido e a intensidade da força 𝑓 necessária para evitar o deslocamento de P Exercícios propostos e aplicações 1 Determine o vetor 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 que translada o ponto 𝐴 para o ponto 𝐵 nos itens abaixo a 𝐴 13 𝑒 𝐵 44 b 𝐴 1 1 𝑒 𝐵 34 c 𝐴 4 1 𝑒 𝐵 12 d 𝐴 22 𝑒 𝐵 30 2 Responda o que se pede a Determine o ponto 𝐵 tal que o vetor 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 12 desloca o ponto 𝐴 2 1 para o ponto B b Determine o ponto B tal que o vetor 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 52 desloca o ponto 𝐴 2 1 para o ponto B 3 Qual ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor 𝑣 13 sabendo que sua extremidade está em 3 1 Esboçar graficamente este segmento no sistema de coordenadas cartesianas 4 Representar geometricamente no mesmo plano cartesiano a Os vetores 𝑢 2 1 e 𝑣 23 com origem nos pontos 𝐴 14 𝑒 𝐵 1 4 respectivamente b Os vetores de posição 𝑢 e 𝑣 5 Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 onde a 𝐴 3 1 𝐵 42 𝑒 𝐶 55 b 𝐴 51 𝐵 73 𝑒 𝐶 34 6 Resolva as equações para 𝛼 𝑒 𝛽 a 2 3 𝛼2 1 5 𝛽 b 5 𝛼 𝛼 4 𝛽 10 c 102 𝛼35 𝛽12 7 Um bloco pesando 350lb é suspenso por dois cabos como mostra a figura Em um ponto A existem três forças agindo 𝐹1 que empurra o bloco para baixo e 𝐹2 e 𝐹3 que puxam o bloco para cima e para os lados Encontre a tensão em cada cabo 8 Uma mulher anda em direção ao oeste no tombadilho de um navio a 3mih O navio está se movendo em direção ao norte com rapidez de 22mih Determine a rapidez e a direção da mulher em relação à superfície da água 9 Dado o vetor 𝑣 2𝑖 𝑗 encontrar o vetor paralelo a 𝑣 que possua mesmo sentido de 𝑣 e três vezes o módulo de 𝑣 10 Dado o vetor 𝑣 3𝑖 4𝑗 encontrar o vetor que possua sentido contrário de 𝑣 e módulo 2 11 O capitão de um barco deseja viajar na direção do sul a 40 milhas náuticas Se a correnteza marítima se move preponderantemente na direção nordeste a 16 milhas náuticas por hora em que direção e com que intensidade o barco ligado deveria se mover 12 A construção representada na figura está em equilíbrio Calcular as forças de tensão atuantes nos cabos O bloco suspenso pesa 10 N 13 Determine o que se pede em cada item abaixo a Uma carga de 1000 kgf está suspensa conforme mostra a figura Determinar as forças normais atuantes nas barras 𝑓1 𝑓2 𝑓3 α α60 α 6 b A construção dada está em equilíbrio A carga 𝑃 aplicada é de 14tf Determine as forças normais atuantes nos cabos GABARITO 1 a31 b 25 c33 d52 2 a 33 b 33 3 42 5 a22 b12 6 a 𝛼 15 𝑒 𝛽 15 b 𝛼 6 𝑒 𝛽 11 c 𝛼 2 𝑒 𝛽 4 7 𝑇1 280 𝑒 𝑇2 201 8 𝑣 222 𝑚𝑖 ℎ 𝑒 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 22 3 9 6i3j 10 6 5 𝑖 8 5 𝑗 11 𝑣 525 𝑒 𝜃 257 12 𝐹1 𝐹2 707 𝑁 13 a 𝐹1 732 𝑘𝑔𝑓 𝑒 𝐹2 897𝑘𝑔𝑓 b 𝐹1 1050 𝑘𝑔𝑓 𝐹2 1750 𝑘𝑔𝑓 𝑒 𝐹3 1400 𝑘𝑔𝑓