Atividade de Cálculo 4

Trabalho de Calculo 4 1 Instrucoes 1 O trabalho deve ser feito na ordem em que os exercıcios sao propostos 2 Os enunciados das questoes devem ser copiados ou colados e deverao ter algum destaque em relacao as respostas exemplos enunciado a caneta resposta a lapis enunciado digitado resposta a lapis etc Apos cada enunciado das questoes o aluno devera escrever a resposta As respostas devem ser completas e incluir todos os calculos necessarios Nao serao aceitos trabalhos fora da data marcada 3 O trabalho podera ser entregue em formato pdf ate dia 02102024 pelo Canvas 4 Nao serao aceitos arquivos digitados 5 O trabalho podera ser feito de forma individual em dupla ou em grupo de 3 pessoas 2 Questoes 1 Dois carros se movem sobre pistas circulares concˆentricas de raio 1km e 2km respectivamente O primeiro com velocidade angular constante de 20rdh O segundo parte do repouso e mantem aceleracao angular constante de 40rdh2 Suponha que no instante inicial os dois carros estao emparelhados a Encontre os vetores posicao para os dois movimentos b Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro c Ache a velocidade do segundo carro nesse instante 2 Se dois objetos viajam pelo espaco ao longo de duas curvas diferentes e sempre importante saber se eles vao colidir Sera que um mıssil atingiu seu alvo em movimento Vao se colidir duas aeronaves As curvas podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estarao na mesma posicao no mesmo instante Suponha que as trajetorias de duas partıculas sejam dadas pelas seguintes funcoes vetoriais r1t t2 7t 12 t2 r2t 4t 3 t2 5t 6 t 0 As partıculas colidem 3 Achar o trabalho de uma forca variavel dirigida para a origem das coordenadas cuja gran deza e proporcional ao afastamento do ponto em relacao a origem das coordenadas se o ponto de aplicacoes dessa forca descreve no sentido antihorario a parte da elipse x2 4 y2 16 1 no primeiro quadrante 4 O campo vetorial Fx y z x2 y2 z4x4 atua sobre uma partıcula transladando a ao longo da curva intersecao das superfıcies z x2 y2 e z 4x 4y 4 orientada de modo que sua projecao no plano xy seja percorrida uma vez no sentido horario Calcule o trabalho realizado por Fx y z 1 5 Calcule I ₁C ex³ y² dx x y⁵ dy onde C é formada por y x e y 0 0 x 1 que vai do ponto 11 ao ponto 10 6 Achar a massa da elipse x²9 y²4 1 situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual ao produto das coordenadas 7 Considere o campo vetorial Fxy xx² y² i yx² y² j a Calcule caso exista o potencial associado ao campo F b Calcule ₁C Fdr onde C xy ℝ² x²4 y² 1 x 0 y 0 orientada no sentido anti horário 8 Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado do teorema para Fxy x³ xy² i yx² y³ 3x j e C a fronteira da região D xy ℝ² x²9 y²4 1 9 Se D é a região interior à elipse x²25 y²9 1 e exterior à circunferência x² y² 4 calcule a integral de linha I ₁C 2xy ex² dx x² 2x cosy² dy onde C D está orientada positivamente 10 Determine uma representação parametrizada para a superfície a O plano que passa pela origem que contém os vetores i j e j k b A parte do cilindro y² z² 16 que se encontra entre os planos x 0 e x 5 Cálculo 4 QUESTÃO 1 Dois carros se movem sobre pistas circulares de raio 1 km e 2 km respectivamente O primeiro com velocidade angular constante de 20 r dh O segundo parte do repouso e mantém aceleração angular constante de 40 r dh² suponha que no instante inicial os dois carros estão emparelhados a Encontre os vetores posição para os dois movimentos b Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro c Ache a velocidade do segundo carro nesse instante considerando xθ Rcosθ Yθ Rsenθ σθ Rcosθ Rsenθ r 1 km dθdt 20 ω 2 km θ 20t C₁ para o carro 1 σ₁t cos20t C₁ sen20t C₁ para o carro 2 d²θdt² 40 dθdt 40t C₂ onde t 0 pois parte do repouso ω 0 dessa forma C₂ 0 dθdt 40t θ 20t² C₃ vetor posição σ₂t 2cos20t² C₃ 2 sen20t² C₃ para o instante t 0 temos σ₁0 cosC₁ senC₁ σ₂0 2cosC₃ 2senC₃ J ndAca J rlJS t2 116 CA C e cr ct e cr t E ot a íl ao êo J rd 20 l y ot r f t 1 A a cal CJJÍa4 a vdoddadt do JJMO Olé 2 a½ wt Go 110l io l M i li Questão 2 dados r₁t t² 7t 12 t² r₂t 4t 3 t² 5t 6 as partículas não vão se colidir 1 t² 4t 3 2 7t 12 t² 3 5 t 6 1ª equação x t² 4t 3 t 3 t 1 0 3ª equação z t² 5 t 6 t 3 t 2 0 2ª equação y onde t 3 7t 12 t² 73 12 3² as partículas colidem em t 3 r₁3 3² 73 12 3² 9 9 9 em t 3 Questão 3 Trabalho de uma força W c F d r onde F k r onde r xy Trajetória de um elipse x²4 y²16 1 onde x 2 cosθ y 4 senθ 0 a π2 r θ 2 cosθ 4 senθ deslocamento infinitesimal d r dxdθ dydθ dθ dxdθ 2 senθ d r 2 senθ 4 cosθ dθ Calculando o Trabalho w w 0π2 F θ d r θ Calculando o produto escalar por F d r w 0π2 F θ d r θ k 2 cosθ 4 senθ 4 cosθ 20k cosθ senθ w 0π2 20k cosθ senθ w 10k 0π2 senθ 2θ dθ w 10k 12 cos2θ 0π2 10k 12 cosπ cosθ W 10k Trabalho realizado 1 ê 4 4 1 oi1dt ov f ars cJa JlllO 4 y fA Calculando d r pela equação d r dxdt dydt dzdt dt calculando suas respectivas derivadas dxdt 2 sent dydt 2 cost dzdt 8 sent 8 cost Substituindo na equação de d r d r 2 sent 2 cost 8 sent 8 cost Calculando a força F xyz Ft 2 2 cost 2 2 2 sent 2 12 8 cost sent 4 2 2 cost 4 Ft 2 cost 2 sent 12 8 cost sent 8 8 cost 4 Calculando w w 02π Ft d r t r t d r 2 cost 2 sent 0 2 sent 2 cost 8 sent 8 cost Ft d r 4 cost sent 4 sent cost 0 logo F xyz x 2 y 2 z 4x 4 G wmt1cb lc Of X f A I O J pata X o 3 a o Suº tCI q a ª 45 J Glf da cJR s o Questão 7 Fxy x x² y² î y x² y² ĵ calculando o valor de F notação de um campo vetorial Fxy Pxy î Qxy ĵ F Qx Py onde Pxy x x² y² Qxy y x² y² calculando as derivadas de forma parcial em relação a Q a x y x x² y² 2xy x² y²² em relação a P a y y x x² y² 2xy x² y²² dessa forma Qx Py 2xy x² y²² 2xy x² y²² 0 para F F φ φx φy φxy x x² y² dx 12 lnx² y² gy b cqJo Çdr Y oneie O J e ai lcl t Yo f Fcltô C0 v O p01noiol lIJ Clkrf vIiai i e