Séries de Fourier - Expansão em Senos e Cossenos - Exercícios Resolvidos

ENGENHARIA ELÉTRICA PUC COREU Cálculo Aplicado IV Séries de Fourier 2 Expanda a função indicada em uma série de Fourier de senos ou de cossenos 1 fx1 πx0 1 0xπ 2 fxx2 1x1 3 fxπ2x2 πxπ Determine a expansão de cossenos ou de senos em meia escala da função indicada 4 fxx 0xπ2 πx π2xπ 5 fxx 0x1 1 1x2 Respostas 1 fx2π n1 11nn sennx 2 fx13 4π2 n1 1nn2 cosnπx 3 fx4π23 4 n1 1n1n2 cosnx 4 fx4π n1 sennπ2n2 sennx 5 fx34 4π2 n1 cosnπ21n2 cosnπx2 fx n1 4n2 π2 sennπ2 2nπ 1n sennπx2 Questão 1 Aqui como a função 𝑓 é par 𝑓𝑥 𝑓𝑥 teremos uma série de Fourier de cossenos Ou seja 𝒃𝒌 𝟎 Aqui temos um período igual a 𝑇 𝜋 Assim os coeficientes ficam 𝑎0 1 𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝑎0 1 𝜋 𝜋2 𝑥2𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝑎0 2 𝜋 𝜋2 𝑥2𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎0 2 𝜋 𝜋2𝑑𝑥 𝜋 0 2 𝜋 𝑥2𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎0 2𝜋 𝑑𝑥 𝜋 0 2 𝜋 𝑥2𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎0 2𝜋𝑥0 𝜋 2 𝜋 𝑥3 3 0 𝜋 𝑎0 2𝜋𝜋 2 𝜋 𝜋3 3 𝑎0 2𝜋2 2 𝜋2 3 𝒂𝟎 𝟒 𝟑 𝝅𝟐 Também temos 𝑎𝑘 1 𝜋 𝑓𝑥cos 𝑘𝜋 𝜋 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝑎𝑘 1 𝜋 𝜋2 𝑥2 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝑎𝑘 2 𝜋 𝜋2 𝑥2 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 2 𝜋 𝜋2 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 2 𝜋 𝑥2 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 Usando integração por partes na segunda integral temos 𝑢 𝑥2 𝑑𝑣 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 sin 𝑘𝑥 𝑘 Logo temos 𝑎𝑘 2𝜋 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 2 𝜋 𝑢𝑣0 𝜋 𝑣𝑑𝑢 𝜋 0 𝑎𝑘 2𝜋 sin 𝑘𝑥 𝑘 0 𝜋 2 𝜋 𝑥2 sin 𝑘𝑥 𝑘 0 𝜋 sin 𝑘𝑥 𝑘 2𝑥𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 2𝜋 sin 𝑘𝜋 𝑘 sin 0 𝑘 2 𝜋 𝜋2 sin 𝑘𝜋 𝑘 02 sin 0 𝑘 2 𝑘 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 2𝜋0 0 2 𝜋 0 0 2 𝑘 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 2 𝜋 2 𝑘 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 Usando integração por partes temos 𝑢 𝑥 𝑑𝑣 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 cos 𝑘𝑥 𝑘 Logo temos 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝑥 cos 𝑘𝑥 𝑘 0 𝜋 cos 𝑘𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝑥 cos 𝑘𝑥 𝑘 0 𝜋 1 𝑘 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝜋 cos 𝑘𝜋 𝑘 0 cos 0 𝑘 1 𝑘 sin 𝑘𝑥 𝑘 0 𝜋 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝜋 1𝑘 𝑘 0 1 𝑘 0 𝑎𝑘 4 𝜋𝑘 𝜋 1𝑘 𝑘 𝑎𝑘 4 𝑘 1𝑘 𝑘 𝒂𝒌 𝟒𝟏𝒌 𝒌𝟐 Logo a série fica 𝑓𝑥 𝑎0 𝑎𝑘 cos 𝑘𝜋 𝜋 𝑥 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜋 𝜋 𝑥 𝑘1 𝑓𝑥 4 3 𝜋2 41𝑘 𝑘2 cos 𝑘𝑥 0 sin 𝑘𝑥 𝑘1 𝑓𝑥 4 3 𝜋2 4 1𝑘 𝑘2 cos 𝑘𝑥 𝑘1 𝑓𝑥 4 3 𝜋2 4 1𝑘 𝑘2 cos 𝑘𝑥 𝑘1 𝒇𝒙 𝟒 𝟑 𝝅𝟐 𝟒 𝟏𝒌𝟏 𝒌𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝒌𝟏 Questão 1 Aqui como a função f é par f x f x teremos uma série de Fourier de cossenos Ou seja bk0 Aqui temos um período igual a Tπ Assim os coeficientes ficam a0 1 π π π f x dx a0 1 π π π π 2x 2dx a0 2 π 0 π π 2x 2dx a0 2 π 0 π π 2dx2 π 0 π x 2dx a02π 0 π dx2 π 0 π x 2dx a02π x 0 π2 π x 3 3 0 π a02π π 2 π π 3 3 a02π 22 π 2 3 a04 3 π 2 Também temos ak 1 π π π f x cos kπ π xdx ak 1 π π π π 2x 2cosk x dx ak 2 π 0 π π 2x 2coskx dx ak 2 π 0 π π 2coskx dx 2 π 0 π x 2cos kx dx Usando integração por partes na segunda integral temos ux 2 dvcoskx dx du2 xdx vsin kx k Logo temos ak2π 0 π cos kx dx2 πuv 0 π 0 π vdu ak2π sinkx k 0 π 2 πx 2 sinkx k 0 π 0 π sin kx k 2xdx ak2π sinkπ k sin0 k 2 ππ 2 sinkπ k 0 2 sin0 k 2 k 0 π xsinkx dx ak2π 00 2 π002 k 0 π x sinkx dx ak2 π 2 k 0 π x sinkx dx ak 4 πk 0 π xsinkx dx Usando integração por partes temos ux dvsinkx dx dudx vcoskx k Logo temos ak 4 πk x coskx k 0 π 0 π cos kx k dx ak 4 πk x coskx k 0 π 1 k 0 π cos kx dx ak 4 πk π cosk π k 0 cos 0 k 1 k sinkx k 0 π ak 4 πk π 1 k k 0 1 k 0 ak 4 πk π 1 k k ak4 k 1 k k ak4 1 k k 2 Logo a série fica f x a0 k1 ak cos kπ π xbk sin kπ π x f x 4 3 π 2 k1 4 1 k k 2 cos kx0sinkx f x 4 3 π 24 k1 1 k k 2 coskx f x 4 3 π 24 k1 1 k k 2 cos kx f x 4 3 π 24 k1 1 k1 k 2 coskx