Cálculo Integral de Superfície em Helicóide e Superfície Z - Exercícios Resolvidos

Questão 4 7pts Calcule S y dS onde S é o helicóide ruv u cos v u sen v v u 01 e v 0π Questão 5 7pts Avalie a integral S F dS para o campo vetorial Fxyz xyi 4x²j xyz k S é a superfície z x y 0 x 1 0 y 1 com orientação ascendente Questão 4 Temos a seguinte integral y dS Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma xucos v yusin v zv Logo temos a seguinte parametrização ψ uv ucos v usin v v Logo temos ψ u cosv sinv 0 ψ v usinv ucos v 1 Assim o vetor normal à superfície é dado por Nψ u X ψ v i j k cos v sin v 0 usin v ucos v 1 sinv 10 cosv i0 usinv cos v 1 jcos v ucos v sin v usin v k sinv icos v jucos 2vusin 2vk sin vcos vu Assim o módulo do vetor normal é dado por Nsinv 2cos v 2u 2 Ncos 2vsin 2vu 2 N1u 2 Logo temos y dSusinvNd ud v usin v1u 2dudv Integrando ficamos com 0 π sinv 0 1 u1u 2dudv 0 π sin v dv 0 1 u 1u 2 12du cos v 0 π 1 3 1u 2 3 20 1 cos πcos 0 1 3 11 2 3 21 3 10 2 3 2 11 1 3 2 3 21 3 1 3 2 11 1 32 3 21 2 3 221 Questão 5 Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma xx y y zx e y Logo temos a seguinte parametrização ψ x y x y x e y Logo temos ψ x 10e y ψ y 01 x e y Assim o vetor normal à superfície é dado por Nψ x X ψ y i j k 1 0 e y 0 1 xe y 0e y i0xe y j10 k e y x e y1 Logo temos FdSF N dxdy xy 4 x 2 xyze y x e y 1dxdy xy 4 x 2 xy x e ye yxe y 1 dxdy e y xy4 x 3e yx 2 ye ydxdy Assim a integral fica 0 1 0 1 e y xy4 x 3e yx 2 y e yd xd y 0 1 e y y x 2 2 x 4e y x 3 3 y e y 0 1 dy 0 1 e y y 1 2e y 1 3 y e ydy 0 1 e y y 3 6 e y 2 6 y e ydy 0 1 e y1 6 y e ydy 0 1 e ydy1 6 0 1 ye ydy e y0 11 6 y e y0 1 0 1 e ydy e y0 11 6 y e y0 1e y0 1 e 1e 01 6 1e 10e 0e 1e 0 e11 6 ee1 e11 6 1 e 5 6 Questão 4 Temos a seguinte integral 𝑦𝑑𝑆 Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma 𝑥 𝑢 cos 𝑣 𝑦 𝑢 sin 𝑣 𝑧 𝑣 Logo temos a seguinte parametrização 𝜓𝑢 𝑣 𝑢 cos 𝑣 𝑢 sin𝑣 𝑣 Logo temos 𝜓 𝑢 cos 𝑣 sin 𝑣 0 𝜓 𝑣 𝑢 sin𝑣 𝑢 cos 𝑣 1 Assim o vetor normal à superfície é dado por 𝑁 𝜓 𝑢 𝑋 𝜓 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 cos 𝑣 sin𝑣 0 𝑢 sin 𝑣 𝑢 cos 𝑣 1 sin𝑣1 0cos 𝑣𝑖 0𝑢 sin𝑣 cos 𝑣1𝑗 cos 𝑣𝑢 cos 𝑣 sin 𝑣𝑢 sin𝑣𝑘 sin 𝑣𝑖 cos 𝑣𝑗 𝑢 cos2 𝑣 𝑢 sin2 𝑣𝑘 sin 𝑣 cos 𝑣 𝑢 Assim o módulo do vetor normal é dado por 𝑁 sin 𝑣2 cos 𝑣2 𝑢2 𝑁 cos2 𝑣 sin2 𝑣 𝑢2 𝑁 1 𝑢2 Logo temos 𝑦𝑑𝑆 𝑢 sin 𝑣 𝑁𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑢 sin 𝑣 1 𝑢2𝑑𝑢𝑑𝑣 Integrando ficamos com sin 𝑣 𝑢1 𝑢2𝑑𝑢 1 0 𝑑𝑣 𝜋 0 sin 𝑣 𝑑𝑣 𝜋 0 𝑢1 𝑢212𝑑𝑢 1 0 cos 𝑣0 𝜋 1 3 1 𝑢2 3 2 0 1 cos 𝜋 cos 0 1 3 1 12 3 2 1 3 1 02 3 2 1 1 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 1 1 1 3 2 3 2 1 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟏 Questão 5 Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑥𝑒𝑦 Logo temos a seguinte parametrização 𝜓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑦 Logo temos 𝜓 𝑥 10 𝑒𝑦 𝜓 𝑦 01 𝑥𝑒𝑦 Assim o vetor normal à superfície é dado por 𝑁 𝜓 𝑥 𝑋 𝜓 𝑦 𝑖 𝑗 𝑘 1 0 𝑒𝑦 0 1 𝑥𝑒𝑦 0 𝑒𝑦𝑖 0 𝑥𝑒𝑦𝑗 1 0𝑘 𝑒𝑦 𝑥𝑒𝑦 1 Logo temos 𝐹 𝑑𝑆 𝐹 𝑁 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥𝑦 4𝑥2 𝑥𝑦𝑧 𝑒𝑦 𝑥𝑒𝑦 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥𝑦 4𝑥2 𝑥𝑦𝑥𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑥𝑒𝑦 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒𝑦𝑥𝑦 4𝑥3𝑒𝑦 𝑥2𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Assim a integral fica 𝑒𝑦𝑥𝑦 4𝑥3𝑒𝑦 𝑥2𝑦𝑒𝑦𝑑𝑥 1 0 𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦𝑦 𝑥2 2 𝑥4𝑒𝑦 𝑥3 3 𝑦𝑒𝑦 0 1 𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦𝑦 1 2 𝑒𝑦 1 3 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦𝑦 3 6 𝑒𝑦 2 6 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦 1 6 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦𝑑𝑦 1 0 1 6 𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦0 1 1 6 𝑦𝑒𝑦0 1 𝑒𝑦𝑑𝑦 1 0 𝑒𝑦0 1 1 6 𝑦𝑒𝑦0 1 𝑒𝑦0 1 𝑒1 𝑒0 1 6 1𝑒1 0𝑒0 𝑒1 𝑒0 𝑒 1 1 6 𝑒 𝑒 1 𝑒 1 1 6 1 𝒆 𝟓 𝟔