Exercícios Resolvidos de Cálculo 4 - Séries de Fourier e Teorema de Stokes

Para o Trabalho 2 Resolver os seguintes exercícios e entregar no dia 09 de novembro 21 seja S a parte do gráfico de z 9 x² y² z0 com normal exterior Determinar s rot F n ds sendo F 3z 4x 2y 22 Calcule s F n ds sendo F 2x 3y 4z e S é a superfície exterior do sólido delimitado do pelos paraboloides z x² y² 9 e z 2x² 2y² 9 23 Determine a série de Fourier da função fx x π π x π Cálculo 4 1 Temos que 3 9 x² y² e 3 0 com F 3z 4x 2y Pelo Teorema de Stokes s x F n ds c F dr Sundo 3 9 x² y² 0 x² y² 9 Circunferência Parametrização x 3 cost y 3 sint e z 0 De modo que c F dr c F t rt dt Logo F 0 d2 cost 6 sint r 3 sent 3 cost 0 Portanto c F dr c F t rt dt 0²π 36 cos²t dt 36 0²π 1 2 cos²t 2 dt 18 0²π 1 cos 2t dt 18 t 1 2 sin 2t 0²π 18 2 π 36 π logo s x F d s 36 π Temos que 3 x² y² 9 e z 9 2x² 2y² com F 2x 3y 4z Pelo teorema de Gauss s F n ds e F d v Fazendo F 2 3 4 9 Em coordenadas cilíndricas z u2 9 e z 9 2u2 Interseções u2 9 9 2u2 3u2 18 u2 6 u 6 ou seja 9 2u2 z u2 9 0 u 6 e 0 θ 2π Portanto S F n ds ε F dV 02π 06 92u2u29 9 u dz dr dθ 9 02π 06 9 2u2 u2 9 u dr dθ 18π 06 18 3u2 u dr 18π 06 18 u 3 u3 du 18 π 9 u2 34 u406 486π S F n ds 486π 3 Série de Fourier fx a02 n1 an cos n x bn sen n x Sendo fx x π com π x π Os coeficientes a0 1π ππ fx dx 1π ππ x π dx ππ xπ 1 dx a0 x22 π x ππ 2π an 1π ππ fx cos n x dx 1π ππ x π cos n x dx an 1π ππ x cos n x π cos n x dx Por partes u x du dx dv cos n x dx v 1n sen n x an 1π ππ x cos n x dx π ππ cos n x dx an 1π x sen n xn ππ 1n ππ sen n x dx π ππ cos n x dx 0 an 1n π cos n x ππ 0 Função ímpar bn 1π ππ fx sen n x dx 1π ππ x π sen n x dx bn 1π ππ x sen n x π sen n x dx Por partes u x du dx dv sen n x dx v 1n cos n x bn 1π x sen n xn ππ 1n ππ cos n x dx π ππ sen n x dx 0 bn 1π 1n2 sen n x ππ πn cos n x ππ bn 2π n cos n π 2π n 1n Portanto fx π 2π Σn1 1nn sen n x