20 Questões - Lista de Atividade

Pergunta 1 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso A faixa de Mobius não é uma superfície orientável O Campo rotacional de um campo F é dado por rotFF Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo O fluxo do rotacional do campo Fxyz 2xy 0 xz através da superfície do elipsoide x29 y24 z225 1 é maior que zero O fluxo do campo Fxyz xx2 y2 z232 yx2 y2 z232 zx2 y2 z232 através de uma esfera centrada na origem varia de acordo com o raio Pergunta 2 15 pts Calcule a integral de superfície S Fds onde Fxyz x3 i y3 j z3 k S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos z 0 e z 2 Pergunta 3 15 pts Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F yi xzj x2 k ao redor da borda do triângulo cortado pelo plano xyz1 no primeiro octante no sentido anti horário quando vista de cima Use π314 Calcule raiz quadrada cúbica etc na calculadora ao final do exercício utilizando duas casas decimais Coloque sua resposta na lacuna abaixo com duas casas decimais Resposta Pergunta 4 15 pts A base de uma cerca circular com raio de 10 m é dada por x 10 cos t e y 10 sin t A altura da cerca na posição xy é dada pela função hxy 4 001x2 y2 de modo a altura varia de 3 m a 5 m Suponhase que 1 L de tinta cubra 91 m2 Determine de quantos litros de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca Obs 1 considere π 314 Obs 2 Escreva sua resposta na lacuna abaixo com precisão de 3 casas decimais Pergunta 11 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio igual a 8 Se a função densidade for ρx y kxy em que k 3 encontre a massa do arame Escreva a resposta na lacuna abaixo sem nenhuma casa decimal Pergunta 12 15 pts Calcule o trabalho realizado pela força Fx y xx yi xy2 j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 1 0 em seguida ao longo de um segmento de reta até 0 1 e então de volta à origem ao longo do eixo y O 0083333 O 00008333 O 13245111 O 0008333 Pergunta 13 15 pts Calcule a área da calota cortada do paraboloide z 2 x2 y2 pelo cone z x2 y2 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 14 15 pts Calcule o fluxo do campo F através da superfície S com o vetor normal apontando para fora Use F zk com S a porção da esfera x2 y2 z2 R2 sendo que R 5 no primeiro octante Adote caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 5 15 pts Calcule a área da porção do cilindro x2 y2 1 entre os planos z 1 e z 4 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 15 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio 7 Se a função densidade for ρx y kxy sendo k187 encontre a massa do fio Escreva sua resposta na lacuna abaixo com aproximação de três casas decimais Pergunta 16 15 pts Uma partícula inicialmente no ponto 2 0 se move ao longo do eixo x para 2 0 e então ao longo da semicircunferência y R x2 até o ponto inicial Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força Fx y x x3 3xy2 quando R 4 Obs Escreva sua resposta na lacuna abaixo Obs2 Considere π 3 14 Pergunta 17 15 pts Calcule a área da porção do plano zx dentro do cilindro x2 y2 4 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 18 15 pts Calcule o fluxo do campo F xi yj zk através da porção do cilindro x2 y2 1 cortado pelos planos z 0 e z 14 com o vetor normal apontando para fora Adote caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 6 15 pts Calcule a área da porção da esfera x2 y2 z2 4 entre os planos z 1 e z 3 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 19 15 pts Calcule a área da superfície compreendida entre a parte da esfera x2 y2 z2 25 que está dentro do cilindro x2 y2 16 Use π 3 14 e escreva na lacuna abaixo a resposta com 2 casas decimais Pergunta 20 15 pts Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F 2yi 3xj z2 k ao redor da curva C dada pela circunferência x2 y2 9 no plano xy no sentido anti horário quando vista de cima Use π314 Calcule raiz quadrada cúbica etc na calculadora ao final do exercício utilizando duas casas decimais Coloque sua resposta na lacuna abaixo com duas casas decimais Resposta Pergunta 7 15 pts O trabalho realizado por uma partícula que se move sobre uma curva C em que C consiste na metade superior da circunferência x2 y2 4 de 20 a 02 e no segmento de reta de 02 a 43 sujeito ao campo de força Fxy x2 y2 é aproximadamente O 83 O 4444 O 3932 O 2767 Cálculo 4 Pergunta 1 A faixa de Mobius não é uma superfície orientável Verdadeiro A faixa de Mobius possui apenas um lado portanto não é orientável O campo rotacional de um campo F é dado por rot F x F Verdadeiro O rotacional é por definição o produto vetorial de i ddx j ddy k ddz por F Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo Verdadeiro Se F é conservativo então F f para alguma função f Logo rotF rot f x f ²fydz ²fzdyi ²fzdx ²fxdzj ²fxdy ²fydxk 0i 0j 0k Teorema de Clairaut ²fydz ²fzdy etc O fluxo rotacional do campo Fxyz 2xz 0 xz através da superficie do elipsóide x²9 y²4 z²25 é maior que 0 Falso O fluxo do rotacional é rot Fds onde S é a superfície do elipsóide Mas pelo Teorema de Stokes rot Fds Fdr onde C é a fronteira da superfície Mas o elipsóide é uma superfície sem fronteira logo rot Fds 0 Pergunta 8 15 pts Um campo inverso do quadrado é um campo vetorial dado por Fα cαα3 em que α xi yj zk Considere o campo inverso do quadrado na expressão do campo elétrico F eQαα3 conforme é possível ver no Exemplo 5 da Seção 161 do livro Cálculo Volume 2 Stewart Suponha que um elétron com carga de 16 1019 C esteja localizado na origem Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 1012 m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron Determine o trabalho realizado em Joule pelo campo elétrico Use o valor ε 8985 109 O Nenhuma das respostas anteriores O 1300 O 1250 O 1400 O 177 O fluxo do campo Fxyz xx²y²z²³² yx²y²z²³² zx²y²z²³² através de uma esfera centrada na origem varia de acordo com o raio Falso O campo vetorial F descrito é conhecido como o campo gerado por uma carga pontual no eletromagnetismo Logo temos pela Lei de Gauss que o fluxo de F é constante e não depende do raio Resposta V V V F F Pergunta 2 Temos pelo Teorema do Divergente que S Fds E div F dV onde E é o sólido cuja superfície fronteira é S Logo vamos calcular o divergente de F e o integral triplo utilizando coordenadas cilindricas div F f x x³ y y³ z z³ 3x² 3y² 3z² As coordenadas cilíndricas são dadas por x rcosθ y r senθ z z Logo div F 3x² y² z² 3r² z² Além disso em coordenadas cilíndricas temos dV r dr dθ dz Portanto como 0 r 1 0 θ 2π e 0 z 2 temos S F ds 02π 01 02 3r² z² r dr dθ dz 3 02π 01 02 r³ z² r dz dr dθ Pergunta 9 15 pts Calcule C Fdr onde Fxy x2 yi 3x y2j e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6020 Escreva a resposta na lacuna abaixo sem nenhuma casa decimal 3 02π 01 r⁴4 z² r²202 dr dθ 3 02π 01 14 r z²2 dz dθ 3 02π z4 z²601² dθ 3 02π 06 4836 dθ 3 02π 116 dθ 3 116 2π 11 2 π 22 π 3454 Considerando π 324 Pergunta 3 A circulação do campo F é c F dr onde C é a borda do triângulo Temos pelo Teorema de Stokes que c Fdr rot Fds Observe que rot F x F x²y xzzi yz x²xj xzx yyk x i 2x j 2 1 k Para calcular a integral vamos parametrizar a superfície S A equação da superfície é x y z 1 z 1 x y logo podemos parametrizála como ruv ui vj 1 u v k onde 0 u 1 0 v 1 u 1º octante Temos que s rot F ds D rot F n dA onde n é o vetor unitário normal a superfície que é o produto vetorial dos vetores tangentes normalizados Assim rᵤ ru i k e rᵥ rv j k Pergunta 9 15 pts Calcule C Fdr onde Fxy x2 yi 3x y2j e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6020 Escreva a resposta na lacuna abaixo sem nenhuma casa decimal i j k r x v o 1 0 1 k j j i j k 0 1 1 r x v r 1² 1² 1² 3 n i3 j3 K3 i j k13 Assim temos que rotFn xi 2xj z 1 k i j k 13 1 3 x 2x z 1 Substituindo pela parametrização 1 3 3u x u v x 1 3 4u v Portanto cFdr 01 01u 4u v 3 dv du 01 01u 134u v dv du 13 01 4uv v²2 01u du 13 01 4u1u 1u²2 du 13 01 4u 4u² 1 2u u²2 du 13 01 8u 7u² 12 du 123 01 7u³3 3u² u 01 123 73 3 1 123 53 563 048 Pergunta 4 Vamos parametrizar a equação da cerca onde x 10 cos t e y 10 sent Pergunta 10 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso A faixa de Mobius é uma superfície orientável O Campo rotacional de um campo F é dado por rot F F Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo O fluxo do rotacional do campo Fxyz 2xy 0 xz através da superfície do elipsoide x29 y24 z225 1 é nulo O fluxo do campo Fxyz xx2 y2 z232 yx2 y2 z232 zx2 y2 z232 através de uma esfera centrada na origem aumenta a medida que o raio aumenta Temos que hx y h10 cos t 10 sent 4 001 100 cos²t 100 sen²t 4 cos²t sen²t cos 2t cos t cos t sen t sen t 4 cos 2t Assim a área da cerca será A c hxy ds onde c é a base da cerca circunferência de raio 10 e ds dxdt² dydt² dt d10 cos t²dt d10 sent²dt dt 100sen²t cos²t dt 10 dt Portanto A 02π 4 cos 2t 10 dt 10 2 4t Sen 2t π02π 80π No entanto a cerca tem 2 lados assim devemos considerar a área igual a 160π Por fim temos que 191 m² q 160π m² onde q é a quantidade de tinta gasta logo q 160π 91 5024 91 5521L arredondamento de π 314 552087912 Assim serão necessários 5521 L de tinta Pergunta 5 A porção do cilindro de raio 1 x² y² 1 entre 2 1 e 2 4 pode ser planificada como 02π 12 4 z² dz 2πr 2π Portanto A 3 2π 6π 1884 Mesma parametrização de coordenadas esféricas porém com p fixo e usando u e v ao invés de φ e θ Pergunta 6 Primeiro vamos parametrizar a superfície da esfera como ruv 2 senu cosv i 2 senu senv j 2 cosu onde 2 é o raio da esfera x² y² z² 4 a² Observe que 1 z 3 logo 1 2 cos u 3 12 cos u 32 2π3 u π6 divide por 2 Temos que u pode variar entre 0 e π por isso temos esses valores Além disso 0 v 2π Logo temos As ru x rv dA com uv D Ento precisamos calcular ru e rv ru 2 cos u cos v i 1 cos u sen v j 2 senu rv 2 sen u sen v i 2 sen u cos v j 0 k ru x rv i j k 2 cos u cos v 2 cos u sen v 2 sen u 2 sen u sen v 2 sen u cos v 0 4 sen² u cos v i 4 sen² u sen v j 4 sen u cos u k ru x rv 4 sen² u cos v² 4 sen² u sen v² 4 sen u cos u² 16 sen⁴ u cos² v 16 sen⁴ u sen² v 16 sen² u cos² u 16 sen² u sen² u cos² u 4 sen u Portanto As 02π π62π3 16 sen u du dv 02π π62π3 4 cos u dv 4 02π cos2π3 cosπ6 dv 4 02π 12 32 dv 4 02π 1 3 2 dv 4π 1 3 1256 1 3 3429 3 113 π 314 arredondamento de 342883 Pergunta 7 Dado um campo F o trabalho é a integral de linha de F ao longo de um caminho C Considere o campo Fxyx²y² e vamos separar a curva C em dois caminhos C1 x²y²4 de 20 a 02 C2 reta de 02 a 43 Assim W C Fdr C1 Fdr C2 Fdr C1 Com a circunferência tem raio 2 a parametrização de C1 é x2cost y 2sent 0 t π2 r1t 2cost 2sent Logo r1t 2sent 2cost e consequentemente C1 Fdr C Fr1tr1tdt 0 π2 4cos³t 4sen²t 2sent 2cost dt 0 π2 8cos³tsent 8costsen²t dt 8 0 π2 cos³tsent dt 0 π2 sen³tcost dt 8 13 cos³t sen³t π2 0 83 cos³π2 sen³π2 cos³0 sen³0 0 C2 A parametrização da reta é r2t 02 40 32t 4t 2t t 01 Logo r2t 41 Assim C2 Fdr C2 Fr2tr2tdt 0 1 4t²2t² 41 dt 0 1 64t² 4 2t t² dt 0 1 65t² 2t 4 65t³3 t² 4t 0 1 653 1 4 803 2767 Portanto C Fdr 0 2767 2767 Pergunta 8 A carga se move da distância r11012m até 05x1012m Então o trabalho realizado pelo campo elétrico será Wq r2r1 Edr onde q é a carga positiva unitária Logo W 1 1012 05x1012 8988x109 16x1019 r² dr 14376x1010 1012 05x1012 1 r² dr 14376x1010 1 r 05x1012 1012 14376x1010 2x1012 1x1012 14376 J 1400J Também poderia ser nenhuma das anteriores Pergunta 9 Temos pelo Teorema de Green que C Fdr C P dx Q dy D Qx Py dA Temos que Pxy x² y e Qxy 3x y² logo Qx 3 e Py 1 Qx Py 2 C Fdr D 2 dA 2 dA 2 6020 12040 Pergunta 10 VVVFF Exatamente igual à questão 9 Pergunta 11 A massa do fio de arame será C pxy ds Temos que C é parametrizado por xt 8cost e yt 8sent Logo ds dxdt² dydt² dt d8costdt² d8 sentdt² dt 64 sen² t 64 cos² t dt 64 dt 8 dt Assim m 0 π Pxy 8 dt 0 π 3x y 8 dt 0 π 24 8cost 8 sent dt 0 π 1536 cost sent dt 768 0 π 2 cost sent dt 768 0 π sen2t dt 768 cos2t2 0 π 384 cos2π cos0 384 2 768 unidades de massa Pergunta 12 O trabalho será a integral de linha de F ao longo do caminho descrito Podemos dividir e parametrizar o caminho C1 r1t t 0 0 t 1 C2 r2t 10 01t0t º 1tt 0 t 2 C3 r3t 0 1t 0 t 1 Logo r₁t 10 r₂t 11 e r₃t 01 Assim C₁ F dr 0¹ tt00 10 dt 0¹ t² dt t³3₀¹ 13 C₂ F dr 0¹ 1t 1tt² 1t t² 11 dt 0¹ 1 1t 1 1t t² dt 0¹ 1 t t² t³ dt t t²2 t³3 t⁴4₀¹ 1 12 13 14 512 C₃ F dr 0¹ 0 0 1t 0 1t² 01 dt 0 Portanto W C Fdr 13 512 0 412 512 008333 Pergunta 13 Primeiro precisamos encontrar a interseção entre z 2 x² y² e z x² y² Para isso considere r x² y² logo 2 r² r r² r 2 0 Soma e Produto as raízes são 1 e 2 mas como r 0 temos r 1 Portanto a área da calota será A D 1 zx² zy² dA D 1 2x² 2y² dA D 1 4x² 4y² Usando coordenadas polares com 1 r 2 e 0 θ 2π Assim A 0²π 12 1 4r² r dr dθ seja u 1 4r² então du 8r dr du8 r dr além disso u₁ 1 41² 5 u₂ 1 42² 9 Logo A 0²π 5⁹ u du8 dθ 0²π 18 5⁹ u du dθ 0²π 18 23 u325⁹ dθ 0²π 23 932 532 dθ 23 27 55 θ0²π 54 1053 2π 11304 6285 3 6615 Primitivo é substituí π 314 e 5 depois fiz a conta e arredondei Pergunta 14 Parametrizando a porção da esfera obtemos x 5 senθ cosφ y 5 senθ senφ z 5 cosθ onde 0 θ π e 0 φ π2 O vetor normal é n rθ rφ logo rθ 5 cosθ cosφ 5 cosθ senφ senθ rφ 5 senθ senφ 5 senθ cosφ 0 n rθ rφ i j k 5 cosθ cosφ 5 cosθ senφ 5 senθ 5 senθ senφ 5 senθ cosφ 0 25 sen²θ cosφ 25 sen²θ senφ 25 senθ cosθ Analogo a questão 6 O elemento de área é ds n dθ dφ 25 senθ dθ dφ Logo Fnds 00z 25 sen²θ cosφ 25 sen²θ senφ 25 senθ cosθ ds 0π 0π2 125 cos³θ senθ 25 senθ dθ dφ Fnds 3125 0π2 0π2 cos²θ sen²θ dθ dφ 3125 0π2 0π2 sen2θ2² dθ dφ 3125 0π2 0π2 1 cos4θ8 dθ dθ 31258 0π2 θ sen4θ4 dθ 31258 0π2 π2 sen4π24 dθ 3125π16 0π2 3125π²32 96285 Pergunta 15 Análogo a Pergunta 11 temos xt 7 cost yt 7 sent e ds 7 dt Assim m 0π2 pxy1 dt 0π2 187 7 cost 7 sent 7 dt 187 343 0π2 cost sent dt 64141 0π2 sen 2t dt2 641412 cos2t20π2 641414 cos2 π2 cos0 641412 320705 Pergunta 16 Observe que y 4 x² pode ser expresso como x² y² 4 2 x 2 e 0 y 2 então o caminho C é dado por um segmento de reta e uma semicircunferência de raio 2 Além disso podemos expressar Fxy Pxyi Qxyj onde Pxy x e Qxy 2x³ 3xy² Assim temos pelo Teorema de Green que D Pdx Qdy D Qx Py dA D x x² 3xy² y x dA D 3x² 3y² dA Para resolver esta integral vamos utilizar coordenadas polares onde 0 r 2 e 0 θ π logo D Pdx Qdy 0π 02 3 r² r dr dθ 0π 02 3r³ d r dθ 0π r³02 dθ 0π 8 dθ 8θ 0π 8π 8 314 2512 Pergunta 17 Para calcular esta área vamos considerar a projeção da área no plano xy A área do círculo projetado em xy é πr² mas como r2 temos A₁ 4π Temos que a inclinação do plano zx afeta a área de superfície Observe o seguinte no plano xy z0 temos D 1 zx² zy² dA D 1 dA 4π pois z0 Por outro lado considerando o plano zx temos zx 1 e zy0 Logo AS D 1 zx² zy² dA D 1 1² 0² dA D 2 dA 2 D dA 2 4π 141 4 314 177096 1771 Pergunta 18 Para calcular o fluxo do campo F xi yj zk através da porção do cilindro podemos usar o teorema do divergente S F n ds V div F dV Temos que div F F x x y y z z 1 1 1 3 Utilizando coordenadas cilíndricas temos 0 r 1 0 θ 2π 0 z 14 Logo S F n ds 0¹⁴ 0²π 0¹ 3r dr dθ dz 0¹⁴ 0²π 3r²20¹ dθ dz 32 0¹⁴ dz 0²π dθ 32 z0¹⁴ θ0²π 32 14 2π 42π 13188 Pergunta 19 Primeiro vamos calcular a interseção entre o cilindro e a esfera Temos que x² y² 16 logo x² y² z² 25 16 z² 25 z² 9 z 3 Vamos utilizar coordenadas cilíndricas logo r² 16 r 4 0 r 4 0 θ 2π e a esfera pode ser expressa como r² z² 25 isto é z 25 r² Assim regra da cadeia vθ corta o 2r dzdr r 25 r² r25 r² e dzdθ 0 Logo A 0²π 0⁴ r25 r²² 0² 1 r dr dθ 0²π 0⁴ r²25 r² 1 r dr dθ 0²π 0⁴ r² 25 r²25 r² r dr dθ 0²π dθ 0⁴ 5r25 r² dr 2π 0⁴ 5r25 r² dr Fazendo u 25 r² obtemos dudr 2r du 2r dr u₁ 25 e u₂ 25 4² 9 logo A 2π 25⁹ 52 duu 5π 9²⁵ duu 5π 2 u 9²⁵ 5π 225 29 5π 10 6 20π 6280 Pergunta 20 Temos pelo Teorema de Stokes que c F dr s rot F ds onde rot F F i j k x y z 2y 3x 2z y z² i x 2yj y 2xk 3k 2k k Portanto c F dr 0²π 0³ k ds 0²π 0³ r dr dθ 0 0²20³ 3²2 2π 3π 2826