Energia-no-Campo-Eletrostatico-Eletromagnetismo-Aplicado-a-Engenharia-Eletrica

Disciplina ELETROMAGNETISMO APLICADO À ENGENHARIA ELÉTRICA Profª Drª Rose Mary S Batalha 47 Energia no Campo Eletrostático Introduzimos o conceito de potencial considerando o trabalho realizado ou energia gasta ao se mover uma carga pontual numa região de campo elétrico Vamos agora determinar a energia associada a essa movimentação Trazer uma carga positiva q do infinito até uma região de campo de outra carga positiva Q requer trabalho Este trabalho sendo realizado por uma fonte externa ao mover a carga q Nesse sentido a fonte externa move a carga q até um certo ponto próximo à carga fixa Q e a mantém lá no ponto Como energia deve ser conservada essa energia associada ao deslocamento da carga energia cinética agora se torna energia potencial pois se a fonte externa for desligada a carga q irá se mover para longe da carga fixa adquirindo energia cinética Para determinar a energia potencial presente em um sistema de cargas devemos encontrar o trabalho realizado por uma fonte externa ao posicionar as cargas Começamos com o universo ou o espaço vazio Trazer uma carga Q1 do infinito até uma certa posição nesse espaço não exige trabalho pois não há nenhum campo presente O posicionamento de Q2 até um certo ponto no campo de Q1 requer uma quantidade de trabalho dada pelo produto da carga Q2 pelo potencial na posição de Q2 devido a Q1 Representamos esse potencial por V21 o primeiro subscrito indica a posição e o segundo subscrito indica a fonte Assim Trabalho para posicionar Q2 Q2 V21 De maneira similar podemos expressar o trabalho necessário para posicionar cada carga adicional no campo de todas as outras cargas já presentes como Trabalho para posicionar Q3 Q3 V31 Q3 V32 Trabalho para posicionar Q4 Q4 V41 Q4 V42 Q4 V43 e assim por diante Trabalho total para posicionar todas as cargas energia potencial do campo WE WE Q2 V21 Q3 V31 Q3 V32 Q4 V41 Q4 V42 Q4 V43 Observem agora a seguinte expressão onde R13 e R31 cada representam a distância entre Q1 e Q3 A expressão acima pode igualmente ser escrita para Q1V13 Se cada termo na expressão da energia total for substituído por seu equivalente obtemos WE Q2 V21 Q3 V31 Q3 V32 Q4 V41 Q4 V42 Q4 V43 Adicionando as duas expressões para a energia resulta em Cada soma de potenciais entre parêntesis é o potencial total devido a todas as cargas exceto aquela que está no ponto em questão Ou potencial na posição de Q1 devido a todas as outras cargas Assim obtemos Queremos agora determinar a expressão da energia armazenada de uma distribuição contínua de carga Com relação à expressão acima cada carga Qm é substituída por um elemento de carga dq ρvdv e o somatório de infinitos termos tornase uma integral Essas duas últimas equações nos permite determinar a energia potencial total presente em um sistema de cargas pontuais ou em uma distribuição contínua de carga contendo uma densidade volumétrica de carga Uma expressão de energia mais útil pode ser obtida em termos do vetor campo elétrico E e do vetor densidade de fluxo elétrico D Como os campos são grandezas vetoriais teremos que recorrer à análise vetorial e utilizar a identidade vetorial e também relembrando a 1ª equação de Maxwell ρv Temos A integral de superfície é igual a zero pois V 1r D 1r2 ds r2 Exemplo Vamos aplicar a expressão da energia para calcular a energia armazenada no campo eletrostático de um cabo coaxial Do capítulo 3 E portanto E a ρSε0 ρ aρ Assim WE 12 0L 02π ab ε0 a2 ρS2ε02 ρ2 ρ dρ dφ dz π L a2 ρS2ε0 lnba Va ba Eρ dρ ba a ρSε0 ρ dρ a ρSε0 lnba Q 2 π a L ρS WE 12 Q Va Exercício D411 Find the energy stored in free space for the region 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 φ 90 given the potential field V a 200r V b 300 cos θr2 V Ans 1391 pJ 367 J Exercício D411 Find the energy stored in free space for the region 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 φ 90 given the potential field V a 200r V b 300 cos θr2 V Ans 1391 pJ 367 J W 12 ε0 E2 dv dv r2 sinθ dr dθ dφ Ē V Vr ar 1r Vθ aθ 1r sinθ Vφ aφ a Ē r 200r ar 200r2 ar Ē2 E2 200r22 4x104r4 W 12 ε0 0π2 0π2 00020003 4x104r4 r2 sinθ dr dθ dφ ε02 4x104 00020003 1r12 0π2 cosθπ20 0π2 dφ W 2x104 ε0 10003 10002 cosπ2 cos0 π2 0 10006 W 2x104 ε0 x 10006 x 1 x π2 W 4636 μJ Exercício Seja uma casca esférica de espessura infinitesimal e raio a contendo uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície totalizando Q C A casca esférica está posicionada no vácuo Calcular o campo elétrico e o potencial em relação ao infinito dentro e fora da casca esférica Esboçar os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial em função da distância radial E x r e V x r Exercício Determinação do campo elétrico pela Lei de Gauss primeiro devido a simetria esférica da carga s D d s Qmenv D Dr ˆa r ˆE Er ˆa r os campos têm somente componente na direção radial esférica d³ r² senθ dθ dφ ˆa r s D d s Dr ˆa r r² senθ dθ dφ ˆa r Dr r² 4π Qmenv s superfície gaussiana esférica Para 0 r a Qmenv 0 Dr 0 Er 0 0 r a Para r a Qmenv Q Dr r² 4π Q Dr Q4 π r² Er Q4 π ϵ₀ r² i D ϵ₀ E E Vab ᐱa b E d l Para r a V1 a E dl a Q4 π ϵ₀ r² dr Q4 π ϵ₀ 1a V1 Q4 π ϵ₀ r a V1 Q4 π ϵ₀ 1r 1 V1a Q4 π ϵ₀ 1a r a Para 0 r a V1a a E dl ra E dl a Q4 π ϵ₀ r² dr a ra 0 dl Q4 π ϵ₀ a 0 r a V1a Q4 π ϵ₀ 1r Q4 π ϵ₀ 1a 1 V1a Q4 π ϵ₀ a 0 r a