Lista de Exercicios Resolucao - Calculo IV - Area de Superficie e Integrais

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 3ª Lista de Cálculo IV Questão 1 Calcule a área da superfície do cilindro x2 y2 2x limitada pelo plano z 0 e o cone z x2 y2 Questão 2 Calcule a área da superfície da esfera x2 y2 z2 12 que não se encontra no interior do parabolóide z x2 y2 Questão 3 Calcule as integrais de superfície a S x2 y2 ds onde S é a esfera x2 y2 z2 a2 b S xyzds onde S é o triângulo de vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 Questão 4 Determine C Fdr onde Fx y z yz x3 xz 3y2 xy 4 e C é a curva obtida como interseção das superfícies de equações z 5 y2 z 1 e x z 5 orientada no sentido de crescimento de y Questão 5 Seja Fx y z yx2 y2 xx2 y2 z Calcule C Fdr onde C é a curva x2 y2 4 z 0 orientada no sentido antihorário Questão 6 Calcule C Fdr onde Fx y z ey zex ez xey ex yez e C é a curva parametrizada por σt ln1 tln 2 sinπt2 1 et1 e 0 t 1 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 3ª Lista de Cálculo IV Questão 7 Calcule S Fnds onde Fx y z 2x xy zy z22 y2z S é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos z 0 e z 1 cuja base no plano xy é limitada pelas curvas de equações x2 y 12 4 y 1 x2 y 12 4 y 1 x 22 y2 1 x 2 x 22 y2 1 x 2 e n é a normal exterior a S Questão 8 Uma função fx y z é dita harmônica se 2fx2 2fy2 2fz2 0 para qualquer x y z R3 Mostre que se f é de classe C2 e harmônica e S é uma superfície fechada então S f n ds 0 Questão 9 Determine o fluxo do campo Fx y z ey cos yz 2zy sin xz z2 32 através da superfície S orientada positivamente união das superfícies S1 e S2 onde S1 é definida por z 4 2x2 y2 0 z 2 e S2 tem equação z 1 x2 y22 1 z 2 Questão 10 Calcule o valor da integral S Fnds onde F r r sendo r xi yj zk e S é o hemisfério z 1 x2 y2 e no disco x2 y2 1 no plano xy Questão 11 Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos A1 0 0 B1 2 1 e C0 2 1 e de volta para a origem sob a influência do campo de forças Fx y z z2 i 2xy j 4y2 k Calcule o trabalho realizado Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 3ª Lista de Cálculo IV Questão 12 Calcule C yx2 y2 dx xx2 y2 dy onde C é a curva definida por y2 2x 2 2 x 2 orientada no sentido decrescente de y Questão 13 Seja T o tetraedro de vértices O0 0 0 A2 0 0 B0 6 0 e C0 0 2 Sejam S a superfície lateral de T constituída pelas faces de T que não estão no plano xy e Fx y z 3y z x 4z 2y x uma campo vetorial de R3 Calcule S Rot F n ds com a normal exterior a S Questão 14 Dado o campo de vetores Fx y z z2 x i 13 y3 tan z j x2 z y2 k calcule S Fnds onde S é a superfície dada por z 1 x2 y2 Pontifıcia Universidade Catolica de Minas Gerais 3ª Lista de Calculo IV 1º Sem2021 Resposta 1 8 2 4 126π 3 a 8πa3 3 b 3 120 4 32 5 2π 6 3e1 7 10π 16 8 exercıcio de demonstracao 9 6π