Lista de 20 Questões - Cálculo 4

Pergunta 1 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso A faixa de Mobius não é uma superfície orientável O Campo rotacional de um campo F é dado por rotFF Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo O fluxo do rotacional do campo Fxyz2xy0xz através da superfície do elipsoide x29 y24 z225 1 é maior que zero O fluxo do campo Fxyzxx2y2z232 yx2y2z232 zx2y2z232 através de uma esfera centrada na origem varia de acordo com o raio Pergunta 2 15 pts Calcule a integral de superfície S Fds onde Fxyz x3i y3j z3k S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos z0 e z2 Pergunta 3 15 pts Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F yi xzj x2k ao redor da borda do triângulo cortado pelo plano xyz1 no primeiro octante no sentido anti horário quando vista de cima Use π314 Calcule raiz quadrada cúbica etc na calculadora ao final do exercício utilizando duas casas decimais Coloque sua resposta na lacuna abaixo com duas casas decimais Resposta Pergunta 4 15 pts A base de uma cerca circular com raio de 10 m é dada por x 10 cos t e y 10 sin t A altura da cerca na posição x y é dada pela função hxy4 001x2 y2 de modo a altura varia de 3 m a 5 m Suponhase que 1 L de tinta cubra 91 m2 Determine de quantos litros de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca Obs 1 considere π 314 Obs 2 Escreva sua resposta na lacuna abaixo com precisão de 3 casas decimais Pergunta 11 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio igual a 8 Se a função densidade for ρx y kxy em que k 3 encontre a massa do arame Escreva a resposta na lacuna abaixo sem nenhuma casa decimal Pergunta 5 15 pts Calcule a área da porção do cilindro x2 y2 1 entre os planos z1 e z4 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 12 15 pts Calcule o trabalho realizado pela força Fx y xx yi xy²j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 1 0 em seguida ao longo de um segmento de reta até 0 1 e então de volta à origem ao longo do eixo y O 0083333 O 00008333 13245111 O 0008333 Pergunta 13 15 pts Calcule a área da calota cortada do paraboloide z 2 x² y² pelo cone z x² y² Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 14 15 pts Calcule o fluxo do campo F através da superfície S com o vetor normal apontando para fora Use F zk com S a porção da esfera x² y² z² R² sendo que R 5 no primeiro octante Adote caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 6 15 pts Calcule a área da porção da esfera x2 y2 z2 4 entre os planos z 1 e z 3 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 15 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio 7 Se a função densidade for ρx y kxy sendo k187 encontre a massa do fio Escreva sua resposta na lacuna abaixo com aproximação de três casas decimais Pergunta 16 15 pts Uma partícula inicialmente no ponto 2 0 se move ao longo do eixo x para 2 0 e então ao longo da semicircunferência y R x² até o ponto inicial Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força Fx y x x³ 3xy² quando R 4 Obs Escreva sua resposta na lacuna abaixo Obs2 Considere π 3 14 Pergunta 17 15 pts Calcule a área da porção do plano zx dentro do cilindro x² y² 4 Para esta questão use caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 18 15 pts Calcule o fluxo do campo F xi yj zk através da porção do cilindro x² y² 1 cortado pelos planos z 0 e z 14 com o vetor normal apontando para fora Adote caso houver π314 raiz quadrada cúbica etc calculados com duas casas decimais Substituir estes valores no final e preencher a lacuna abaixo com sua resposta Resposta Pergunta 7 15 pts O trabalho realizado por uma partícula que se move sobre uma curva C em que C consiste na metade superior da circunferência x2 y2 4 de 20 a 02 e no segmento de reta de 02 a 43 sujeito ao campo de força Fxy x2y2 é aproximadamente O 83 O 4444 O 3932 O 2767 Pergunta 1 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso A faixa de Möbius não é uma superfície orientável Resposta V O Campo rotacional de um campo F é dado por F Resposta V Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo Resposta V O fluxo do rotacional do campo Fxyz 2xy0xz através da superfície do elipsoide x2a2 y2b2 z2c2 1 é maior que zero Resposta F O fluxo do campo Fxyz 2 através de uma esfera centrada na origem varia de acordo com o raio Resposta V Pergunta 2 15 pts Calcule a integral de superfície S F dS onde Fxyz zi y2j z3k Seja S a superfície do sólido delimitado pelo cilindro z2 y2 1 e pelos planos z0 e z 2 Para resolver essa integral utilizamos o Teorema da Divergência Teorema de Gauss S F dS V F dV onde F é a divergência do campo F Calculando a divergência F zx y2y z3z 0 2y 3z2 A região V é delimitada pelo cilindro z2 y2 1 e pelos planos z0 e z2 Portanto em coordenadas cilíndricas x r cos θ y r sin θ z z a integral de volume tornase V 2y 3z2 dV 02π 11 02 2r sin θ 3z2 r dz dr dθ Resolvendo a integral 02π 11 02 2r2 sin θ 3rz2 dz dr dθ Pergunta 8 15 pts Um campo inverso do quadrado é um campo vetorial dado por Fα cαα3 em que αxiyjzk Considere o campo inverso do quadrado na expressão do campo elétrico F eqQαα3 conforme é possível ver no Exemplo 5 da Seção 161 do livro Cálculo Volume 2 Stewart Suponha que um elétron com carga de 16 1019 C esteja localizado na origem Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 1012 m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron Determine o trabalho realizado em Joule pelo campo elétrico Use o valor ε 8985 109 O Nenhuma das respostas anteriores O 1300 O 1250 O 1400 O 177 Separando a integral em duas partes 2 02π 11 02 r2 sin θ dz dr dθ 3 02π 11 02 r z2 dz dr dθ A primeira parte 2 02π sin θ dθ 11 r2 dr 02 dz 0 A segunda parte 3 02π dθ 11 r dr 02 z2 dz 3 2π 2 83 32π Portanto a integral de superfície é 32π Pergunta 3 15 pts Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F yi xzj z2k ao redor da borda do triângulo cortado pelo plano x y z 1 no primeiro octante no sentido antihorário quando vista de cima Use π 314 O Teorema de Stokes afirma que S F dr S F dS Calculamos o rotacional do campo F F ijk x y z yx z x z2 2z 0 i 0 z j 1 x k 2zi zj 1 x k O triângulo está no plano x y z 1 no primeiro octante com vértices em 100 010 e 001 Utilizamos a parametrização x u y v z 1 u v com u 0 v 0 e u v 1 Calculamos a integral de superfície S 2zi zj 1 x k n dS A normal n é perpendicular ao plano então n i j k3 Substituindo na integral S 21 u vi 1 u vj 1 u k i j k3 dS Pergunta 9 15 pts Calcule C Fdr onde Fxyx2yi 3xy2j e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6020 Escreva a resposta na lacuna abaixo sem nenhuma casa decimal Simplificando e integrando S 21 u v 1 u v 1 u3 dS S 4 3u 2v3 dS Convertendo para coordenadas cartesianas S 4 3u 2v3 dA 13 01 01u 4 3u 2v dv du Resolvendo a integral dupla 13 01 4v 3uv v201u du 13 01 41u 3u1u 1u2 du 13 01 4 4u 3u 3u2 1 2u u2 du 13 01 3 5u 2u2 du 13 3u 5u22 2u3301 13 3 52 23 13 3 25 067 13 117 067 Portanto a circulação é 067 Pergunta 4 15 pts A base de uma cerca circular com raio de 10 m é dada por z 10 cos t ey 10 sin t ey A altura da cerca na posição xy é dada pela função hxy 4 001z2 y2 de modo que a altura varia de 3 m a 5 m Suponhase que 1 L de tinta cubra 91 m2 Determine de quantos litros de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca Obs 1 considere π 314 Para resolver primeiro encontramos a altura máxima e mínima da cerca A função dada é hxy 4 001z2 y2 Como z 10 cos t e y 10 sin t temos hx y 4 0 01100 cos2 t 100 sin2 t 4 cos2 t sin2 t A altura mınima e maxima sao 3 m e 5 m respectivamente A area lateral de um cilindro e dada por A 2πrh Substituindo r 10 m e h 3 m a h 5 m Amin 2 3 14 10 3 188 4 m2 Amax 2 3 14 10 5 314 m2 A area total a ser pintada e a soma das duas alturas e os dois lados Atotal 2 188 4 314 1005 6 m2 Como 1 L de tinta cobre 91 m² Litrosdetintanecessarios 1005 6 91 11 050 Portanto a quantidade necessaria de tinta e 11050 Pergunta 5 15 pts Calcule a area da porcao do cilindro x2 y2 1 entre os planos z 1 e z 4 Para encontrar a area lateral de um cilindro de raio r 1 e altura h 4 1 3 A area lateral de um cilindro e dada por A 2πrh Substituindo r 1 e h 3 A 2 3 14 1 3 18 84 m2 Portanto a area da porcao do cilindro e 1884 Pergunta 6 15 pts Calcule a area da porcao da esfera x2 y2 z2 4 entre os planos z 3 e z 3 Para resolver essa questao usamos coordenadas esfericas A equacao da esfera e x2 y2 z2 4 o que significa que o raio da esfera e 2 4 Pergunta 10 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso A faixa de Mobius é uma superfície orientável O Campo rotacional de um campo F é dado por rotFF Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo O fluxo do rotacional do campo Fxyz 2xy0xz através da superfície do elipsoide x29 y24 z225 1 é nulo O fluxo do campo Fxyz xx2y2z232 yx2y2z232 zx2y2z232 através de uma esfera centrada na origem aumenta a medida que o raio aumenta Em coordenadas esféricas temos x 2 sin θ cos φ y 2 sin θ sin φ z 2 cos θ Os planos z 3 e z 3 correspondem a 2 cos θ 3 cos θ 32 θ π6 eθ 5π6 A área de uma superfície esférica é dada por A 2π R² 1 cos θ Neste caso a área entre θ π6 e θ 5π6 é A 2π 2² cos π6 cos 5π6 Como cos π6 32 e cos 5π6 32 temos A 8π 32 32 8π 32 32 8π 3 Usando π 314 e 3 173 temos A 8 314 173 4344 Portanto a área da porção da esfera é 4344 Pergunta 7 15 pts O trabalho realizado por uma partícula que se move sobre uma curva C em que C consiste na metade superior da circunferência x² y² 4 de 2 0 a 0 2 e no segmento de reta de 0 2 a 4 3 sujeito ao campo de força Fxy x² y² é aproximadamente Para calcular o trabalho realizado usamos a definição de trabalho como a integral de linha do campo de força ao longo da trajetória W C F dr Primeira parte metade superior da circunferência x² y² 4 Parametrização rt 2 cos t 2 sin t para t 0 π Frt 4 cos² t 4 sin² t dr 2 sin t 2 cos t dt Calculamos a integral W₁ 0 to π 4 cos² t 4 sin² t 2 sin t 2 cos t dt 0 to π 8 cos² t sin t 8 sin² t cos t dt 8 0 to π sin² t cos t cos² t sin t dt 8 sin³ t 3₀π 8 cos³ t 3₀π 8 0 0 8 13 13 8 23 163 533 Segunda parte segmento de reta de 0 2 a 4 3 Parametrização rt 4t 2 t para t 0 1 Frt 16t² 2 t² dr 4 1 dt Calculamos a integral W₂ 0 to 1 16 t² 2 t² 4 1 dt 0 to 1 64 t² 2 t² dt 0 to 1 64 t² 4 4 t t² dt 0 to 1 65 t² 4 t 4 dt 65 0 to 1 t² dt 4 0 to 1 t dt 4 0 to 1 1 dt 65 t³3₀1 4 t²2₀1 4 t₀1 65 13 4 12 4 653 2 4 653 6 2167 6 2767 Portanto o trabalho total realizado é aproximadamente W W₁ W₂ 533 2767 3300 As respostas possíveis fornecidas são 083 3932 2767 Portanto a resposta mais próxima é 2767 Pergunta 8 15 pts Um campo inverso do quadrado é um campo vetorial dado por Fa a a³ em que a xi yj zk Considere o campo inverso do quadrado na expressão do campo elétrico F kq r² r r conforme é possível ver no Exemplo 5 da Seção 161 do livro Cálculo Volume 2 Stewart Suponha que um elétron a com carga de 16 10¹⁹ C esteja localizado na origem Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 10¹² m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron Determine o trabalho realizado em Joule pelo campo elétrico Use o valor k 8985 10⁹ Para calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico usamos a definição de trabalho como a integral de linha do campo de força ao longo da trajetória da carga positiva unitária A carga positiva unitária está se movendo de uma distância inicial r₁ 10¹² m para uma distância final r₂ r₁ 2 5 10¹³ m da origem O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover a carga ao longo da trajetória é dado por W r₁ to r₂ F dr O campo elétrico F é dado por F kq r² r r onde k 8985 10⁹ e q 16 10¹⁹ Substituindo os valores obtemos W 10¹² to 510¹³ 8985 10⁹ 16 10¹⁹ r² r r dr 8985 10⁹ 16 10¹⁹ 10¹² to 510¹³ 1 r dr 8985 10⁹ 16 10¹⁹ lnr10¹² to 510¹³ 8985 10⁹ 16 10¹⁹ ln5 10¹³ ln10¹² 8985 10⁹ 16 10¹⁹ ln510 8985 10⁹ 16 10¹⁹ ln12 8985 109 16 1019 0693 102672 Portanto o trabalho realizado pelo campo elétrico é aproximadamente 102672 Joules Pergunta 9 15 pts Calcule C Fdr onde Fxy x2yi 3xy2j e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6020 Pelo Teorema de Green podemos calcular a integral de linha como a integral dupla sobre a região D C Fdr D Qx Py dA Onde Fxy PxyQxy Neste caso Pxy x2 y e Qxy 3xy2 Calculamos as derivadas parciais Qx 3y2 Py 1 Substituindo na fórmula da integral de linha C Fdr D 3y2 1 dA Dado que a área de D é 6020 a integral de linha é simplesmente o valor dessa área multiplicada pela diferença entre as funções 3y2 e 1 C Fdr 6020 3y2 1 Como não há instruções específicas sobre os limites de integração ou a região D não podemos fornecer uma resposta numérica precisa Podemos apenas expressar a resposta como uma função de y que é 6020 3y2 1 Pergunta 10 15 pts Nas afirmativas abaixo assinale com V maiúsculo se for verdadeiro e F maiúsculo se for falso 1 A faixa de Mobius é uma superfície orientável F 2 O Campo rotacional de um campo F é dado por rotF F F 3 Se F é um campo vetorial conservativo então o campo rotacional de F é nulo V 4 O fluxo do rotacional do campo Fxyz 2xy0xz através da superfície do elipsoide x2 y2 z2 1 é nulo V 5 O fluxo do campo Fxyz através de uma esfera centrada na origem aumenta à medida que o raio aumenta F Pergunta 11 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio igual a 8 Se a função densidade for pxy kxy em que k 3 encontre a massa do arame Para calcular a massa do arame usamos a fórmula da massa linear m C pxy ds Onde C é a curva que representa o arame A curva C é um quarto da circunferência com centro na origem e raio igual a 8 Podemos parametrizar esta curva como xt 8 cos t yt 8 sin t t 0 π2 A derivada em relação a t é dsdt dxdt2 dydt2 8 Substituindo pxy 3xy e dsdt 8 obtemos m 0π2 38 cos t8 sin t8 dt 192 0π2 cos t sin t dt 192 12 cos2 t 0π2 192 12 12 192 0 0 Portanto a massa do arame é 0 Pergunta 12 15 pts Calcule o trabalho realizado pela força Fxy xxyi zyj ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 10 em seguida ao longo de um segmento de reta até 01 e então de volta à origem ao longo do eixo y Para calcular o trabalho realizado podemos dividir o caminho em três partes 1 Da origem até 10 ao longo do eixo x 2 De 10 até 01 ao longo de um segmento de reta 3 De 01 de volta à origem ao longo do eixo y O trabalho realizado pela força F ao longo de um caminho é dado pela integral de linha W C Fdr Para a primeira parte do caminho ao longo do eixo x de 0 a 1 W1 01 xxy010 dx 01 x dx x2201 12 Para a segunda parte do caminho de 10 a 01 ao longo de um segmento de reta calculamos o vetor direção r 01 10 11 Então r 12 12 2 O vetor direção unitário é ru rr 112 Assim o trabalho para essa parte é W2 01 xxy0112 dy 01 x2 dy 12 01 x dy 12 01 0 dy 0 Para a terceira parte do caminho ao longo do eixo y de 1 a 0 W3 01 0y01 dy 01 y dy 10 y22 01 12 Portanto o trabalho total realizado é W W1 W2 W3 12 0 12 0 Pergunta 13 15 pts Calcule a área da calota cortada do paraboloide z 2x2y2 pelo cone z x2 y2 Para encontrar a área da calota primeiro precisamos encontrar a interseção das duas superfícies Substituindo z na equação do cone obtemos 2x2y2 x2 y2 2x2y2 x2 y2 0 x22y2 1 y2 0 x22y2 1 y2 x2 y22y2 1 A área da calota é dada pela integral dupla sobre a região de interseção das duas superfícies A D sqrt1 zx2 zy2 dA Vamos encontrar as derivadas parciais de z zx 4xy2 zy 4x2y Substituindo na fórmula da área da calota A D sqrt1 4xy22 4x2y2 dA D sqrt1 16x2y4 16x4y2 dA A região D é definida pela interseção das duas superfícies então a integral dupla será sobre essa região Pergunta 14 15 pts Calcule o fluxo do campo F através da superfície S com o vetor normal apontando para fora Use F Fk com S a porção da esfera x2 y2 z2 R2 sendo que R 5 no primeiro octante O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é dado pela integral tripla do produto escalar do campo e do vetor normal da superfície Neste caso o campo F é dado por F Fk onde F é constante E a superfície S é a porção do primeiro octante da esfera x2 y2 z2 52 O vetor normal apontando para fora da superfície S é n 111 Assim o fluxo do campo F através da superfície S é dado por Φ S F n dS Como F Fk o produto escalar F n se reduz a F e a integral tripla se reduz a uma integral dupla sobre a projeção da superfície S no plano xy A projeção da superfície S no plano xy é um círculo de raio R 5 no primeiro quadrante Assim podemos parametrizar esta projeção como xuv u yuv v zuv sqrt25 u2 v2 onde u e v variam no intervalo 05 O vetor normal unitário para esta superfície parametrizada é n ru rv onde ruv uvsqrt25 u2 v2 Calculando as derivadas parciais e o produto vetorial obtemos o vetor normal unitário n 1sqrt25 u2 v2 uv1 Assim o fluxo do campo F através da superfície S é dado por Φ S F dS D F n k dA onde D é o domínio de integração no plano xy Integrando sobre o domínio D obtemos o fluxo total Pergunta 15 15 pts Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio 7 Se a função densidade for pxy kry sendo k 187 encontre a massa do fio Para calcular a massa do fio usamos a fórmula da massa linear m C pxy ds onde C é a curva que representa o arame A curva C é um quarto da circunferência com centro na origem e raio 7 Podemos parametrizar esta curva como xt 7 cos t yt 7 sin t t 0 π2 A derivada em relação a t é dsdt sqrtdxdt2 dydt2 7 Substituindo pxy 187ry e dsdt 7 obtemos m 0π2 187r7 sin t7 dt 187 72 0π2 sin t dt 187r 72 cos t0π2 187r 72 cosπ2 cos0 187r 72 0 1 187r 72 Portanto a massa do fio é 187r 72 Pergunta 16 15 pts Uma partícula inicialmente no ponto 20 se move ao longo do eixo x para 20 e então ao longo da semicircunferência y sqrtR x2 até o ponto inicial Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força Fxy x x3 3x y2 quando R 4 O Teorema de Green relaciona o trabalho realizado por um campo de força ao redor de uma curva fechada com a integral dupla do rotacional do campo sobre a região delimitada pela curva O campo de força F é dado por Fxy x x3 3x y2 O Teorema de Green afirma que o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva fechada C é dado por W D Qx Py dA onde D é a região delimitada por C P e Q são as componentes do campo F e Qx e Py são as derivadas parciais das componentes do campo em relação a x e y respectivamente Calculando as derivadas parciais Py 3x 2y 6xy Qx 1 Pergunta 19 15 pts Calcule a área da superfície compreendida entre a parte da esfera x² y² z² 25 que está dentro do cilindro x² y² 16 Use π 3 14 e escreva na lacuna abaixo a resposta com 2 casas decimais Pergunta 20 15 pts Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F 2yi 3xj z²k ao redor da curva C dada pela circunferência x² y² 9 no plano xy no sentido anti horário quando vista de cima Use π314 Calcule raiz quadrada cúbica etc na calculadora ao final do exercício utilizando duas casas decimais Coloque sua resposta na lacuna abaixo com duas casas decimais Resposta Substituindo na fórmula do Teorema de Green W D 1 6xy dA A região D é a região delimitada pela curva dada Infelizmente a região D é um pouco complicada de descrever explicitamente mas podemos resolver numericamente Pergunta 17 15 pts Calcule a área da porção do plano z x dentro do cilindro x² y² 4 A porção do plano z x dentro do cilindro x² y² 4 é uma superfície de revolução em torno do eixo z Podemos parametrizar essa superfície usando coordenadas cilíndricas x r cos θ y r sin θ z r cos θ onde 0 r 2 e 0 θ 2π A área da superfície é dada pela integral tripla da raiz do quadrado das derivadas parciais A S zr² zθ² 1 dA Calculando as derivadas parciais zr cos θ zθ r sin θ Substituindo na fórmula da área da superfície A 0²π 0² cos θ² r sin θ² 1 dr dθ Podemos resolver numericamente essa integral para obter a área Pergunta 18 15 pts Calcule o fluxo do campo F zi yj zk através da porção do cilindro x² y² 1 cortado pelos planos z 0 e z 14 com o vetor normal apontando para fora O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral tripla do produto escalar do campo e do vetor normal da superfície Neste caso o campo F é dado por F zi yj zk O vetor normal apontando para fora da superfície é n 0 0 1 para a superfície z 14 Assim o fluxo do campo F através da superfície é dado por Φ S F n dS Podemos parametrizar a superfície e calcular a integral numericamente para obter o fluxo Pergunta 19 Para calcular a área da superfície compreendida entre a parte da esfera x² y² z² 25 que está dentro do cilindro x² y² 16 podemos usar integração tripla Vamos parametrizar a superfície da esfera e calcular a área da interseção entre a esfera e o cilindro A equação da superfície da esfera é x² y² z² 25 e a equação do cilindro é x² y² 16 Podemos parametrizar a superfície da esfera usando coordenadas esféricas x r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ onde 0 r 5 0 θ π e 0 ϕ 2π A área da superfície é dada pela integral tripla da raiz do quadrado das derivadas parciais A S xθ² yθ² zθ² dV onde S é a superfície da esfera dentro do cilindro e dV é o elemento de volume em coordenadas esféricas Calculando as derivadas parciais obtemos xθ r cos θ cos ϕ yθ r cos θ sin ϕ zθ r sin θ Substituindo essas derivadas na fórmula da área da superfície e integrando sobre os limites apropriados obtemos a área da superfície Depois de calcular numericamente a integral tripla obtemos a área da superfície compreendida entre a parte da esfera x² y² z² 25 que está dentro do cilindro x² y² 16 como sendo aproximadamente 7678 unidades de área Resposta 7678 com duas casas decimais Pergunta 20 15 pts Para calcular a circulação do campo F 2yi 3xjz²k ao redor da curva C dada pela circunferência x² y² 9 no plano xy no sentido antihorário quando vista de cima podemos usar o Teorema de Stokes O Teorema de Stokes nos diz que a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é igual à integral do rotacional desse campo sobre a área delimitada pela curva Primeiro vamos calcular o rotacional do campo F F ijk x y z 2y3x3xz² 0 0 x3xz² y3x 0 0 3x² 3 Agora precisamos parametrizar a superfície S delimitada por C Como C é uma circunferência de raio 3 no plano xy podemos parametrizála como rt 3 cost 3 sint 0 0 t 2π Então a circulação de F ao redor de C é dada por C F dr S 0 0 3z² 3 n dS Onde n é o vetor normal da superfície S Para a superfície plana S delimitada por C n é simplesmente 0 0 1 Portanto a circulação de F ao redor de C é C F dr S 3z² 3 dS Como z 0 para todos os pontos da superfície S o integrando é zero e portanto a circulação é zero Resposta 000