Lista de Atividade

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 2ª Lista de Cálculo IV Questão 1 Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da porção da esfera com o plano dados por x2 y2 z2 4 y 0 e x z 2 Sabendose que a densidade em cada ponto do arame é dada por fxyz xy calcule a massa total do arame Questão 2 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Fxy x2 y22xy ao mover uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x a e y a a 0 no sentido anti horário Questão 3 Seja F Pi Qj um campo vetorial de classe C1 no R2 exceto em 00 tal que Qx xy Py xy 4 para todo xy 00 Sabendo que γ Pdx Qdy 6π onde γ é a circunferência x2 y2 1 orientada no sentido antihorário calcule o valor de C Pdx Qdy onde C é a elipse x24 y225 1 orientada no sentido antihorário Questão 4 Calcule a integral C 2x y3dx xydy onde C é a fronteira da região limitada pelas curvas x2 y2 4 e x2 y2 9 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 2ª Lista de Cálculo IV Questão 5 a Determine a função potencial para o campo vetorial Fxy 2xy3 y2 cos x 1 2y sin x 3x2 y2 b Calcule C 2xy3 y2 cos x dx C 1 2y sin x 3x2 y2 dy onde C é o arco da parábola 2x πy2 de P1 00 a P2 π2 1 Questão 6 Calcule C yx2 dx x3 dy x2 y22 onde C é a curva dada pela equação x24 y 132 1 percorrida no sentido antihorário Questão 7 Seja Fxy Pxy i Qxy j um campo vetorial conservativo e com descontinuidade nos pontos 40 00 e 40 Indique por C1 C2 C3 e C4 as circunferências de equações x22 y2 9 x22 y2 9 x2 y2 25 e x2 y21 respectivamente orientadas no sentido anti horário Sabendo que C1 Pdx Qdy 11 C2 Pdx Qdy 9 e C3 Pdx Qdy 13 calcule C4 Pdx Qdy Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 2ª Lista de Cálculo IV Questão 8 Calcule C F dr em que a Fxy x2 2xy y2 2xy e C é a parábola y x2 de 24 a 11 b Fxy x x2 y2 y x2 y2 e C é a circunferência de centro na origem e raio a percorrida no sentido antihorário c Fxy y 3x 2y x e C é a elipse 4x2 y2 4 percorrida no sentido antihorário d Fxy x2 y2 x2 y2 e C é a curva de equação y 1 1 x de 00 a 20 Questão 9 Seja F PQ um campo vetorial de classe C1 no R2 exceto em 00 tal que Qx xy Py xy 4 para todo xy 00 Sabendo que γ Pdx Qdy 6π em que γ é a circunferência x2 y2 1 orientada no sentido antihorário calcule C Pdx Qdy sendo C a elipse x24 y225 1 orientada no sentido antihorário Questão 10 Seja Fxy y x2 y2 x x2 y2 3x um campo vetorial em R2 Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2 orientadas no sentido antihorário em que a C1 é a circunferência de equação x2 y2 4 b C2 é a fronteira do retângulo R xy R2 π x π 3 y 3 Pontifıcia Universidade Catolica de Minas Gerais 2ª Lista de Calculo IV Resposta 1 4 2 2a3 3 42π 4 195π4 5 afx y x2y3 y2 sin x y bπ24 6 π 7 7 8 a 369 10 b0 c 4π e d 4 3 9 42π 10 a14π b38π 2ª Lista de Cálculo 1 Temos x² y² z² 4 x² y² 2x² 4 2x² y² 4x x z 2 y² 4x 2x² y 4x 2x² 0 Logo reescrevo a seguinte parametrização xt t yt 4t 2t² zt 2 t δt t 4t 2t² 2 t Temos ds δt dt 1 2 2t 4t 2t² 1 dt 2 2t t²12 dt Por fim M 0 2 fδt δt dt 0 2 t 4t 2t² 2 2t t² dt 2 0 2 t dt 2 2² 2 4 Questão 2 Fxy x² y² i 2xy j y x a 4 1 a 3 2 Vamos calcular o trabalho em 4 percursos diferentes Temos W W1 W2 W3 W4 W1 0 a x² y² i i dx 0 a x² dx x³30a a³3 em y 0 W2 0 a x² y² j j dy 2a 0 a y dy a y²0a a³ em x a W3 a 0 x² y² i i dx a 0 x² a² dx x³3 a²xa0 2a³3 em y a W4 0 a x² y² j j dy 0 em x 0 Logo W a³3 a³ 2a³3 2a³ Questão 3 F P Q classe C¹ em R² exceto em 00 P dx Q dy 6π γ x² y² 1 no sentido antihorário Sendo C a elipse Qx Py 4 Qx Py 4 no sentido antihorário x²4 y²25 1 podemos aplicar o Teorema de Green na região entre a elipse e a circunferência visto que nessa região F é de classe C¹ Temos C P dx Q dy γ P dx Q dy Qx Py dA K 4 C P dx Q dy 6π 4 Selipse S circunferência C P dx Q dy 6π 4 π 2 5 π 1 42 π k é a área entre o elipse e a circunferência Questão 4 C 2x y³ dx x y dy Sendo a função vetorial 2x y³ x y de classe C¹ em ℝ² aplicamos o Teorema de Green C 2x y³ dx x y dy C₁ 2x y³ dx x y dy C₂ 2x y³ dx x y dy K y 3 y² dA Qx Py C₁ x² y² 9 área entre as circunferências C₂ x² y² 4 Logo temos em coordenadas polares x r cosθ y r senθ dA r dr dθ K y 3 y² dA ₀²π ₂³ 3 r² r² sen²θ 2 r senθ r dr dθ ₀²π ₂³ 3 r⁴ sen²θ dr dθ ₀²π ₂³ r² senθ dr dθ 34 r⁴₂³ ₀²π sen²θ dθ 13 r³₂² ₀²π r senθ dθ 1958 ₀²π dθ ₀²π cos 2θ dθ 2π 1958 195π4 Questão 5 a Fx y 2x y³ y² cos x 1 2 y sen x 3 x² y² Supondo que F é gradiente de alguma função potencial Φx y Φx 2x y³ y² cos x Φy 1 2 y sen x 3 x² y² Logo integrando a primeira equação Φ 2x y³ y² cos x dx hy Φ x² y³ y² sen x hy Derivando em relação a y Φy 1 2 y sen x 3 x² y² 3 x² y² 2 y sen x hy hy 1 hy y C sendo C ℝ Por fim Φ x² y³ y² sen x y C b C 2x y3 y2 cos x dx 1 2y ln x 3x2 y2 dy Sabemos que AB F dl ϕB ϕA sendo F ϕ Logo o valor da integral é igual a ϕ12 ϕ11 ϕπ2 1 ϕ00 0 π24 senπ2 1 π24 Questão 6 C y3 x2 dx x3 dy x2 y22 sendo C x24 y 132 1 Tendo P yx2x2 y22 e Q x3x2 y22 Sendo PQ de classe C1 em R2 00 pelo Teorema de Green Qx x4 3x2 y2 x2 y23 Py x4 3x2 y2 x2 y23 Qx Py 0 Basicamente então podemos escolher qualquer outro caminho interno à elipse e sua integral de linha será igual a na elipse F PQ vamos escolher a integral de linha sobre o quadrado de vértices 110 110 110 110 110 110 e 110 110 no sentido antihorário a origem está em seu interior C y3 x2 dx x3 dy x2 y22 A1 A2 A3 A4 integras em cada lado do quadrado A1 0101 01 x2 x2 0122 dx 01 0101 x2 x2 0122 dx Seja x 01 tanθ dx 01 sec2θ dθ π4 π4 A1 01 π4π4 012 tan2θ 01 sec2θ 014 sec4θ dθ π4π4 sen2θ dθ π4π4 12 12 cos2θ dθ 12 π4 π4 14 cosπ2 cosπ2 π2 12 A2 0101 y3 012 y22 dy Seja y 01 tanθ dy 01 sec2θ A2 013 π4π4 012 sec2θ 012 012 tan2θ2 dθ π4π4 cos2θ dθ Questão 8 a Temos F x² 2xy y² 2xy Parametrizando a curva yx² rt t t² rt 1 2t Logo F dr Frt rt dt 21 t² 2t³ t⁴ 2t³1 2t dt π4π4 12 12 cos2θ dθ 12 π4 π4 12 π4 12 A₃ 0101 01 x² x² 01²² dx π2 12 A₄ 0101 01³ y² 01²² dy π2 12 Logo c y³ x² dx x³ dy x² y²² 2π2 12 2π2 12 π Questão 7 F xy P î Q ĵ conservativo com descontinuidades nos pontos 40 00 e 40 C₁ x2² y² 9 C₂ x2² y² 9 C₃ x² y² 25 C₄ x² y² 1 c₁ P dx Q dy 11 c₃ P dx Q dy 13 c₂ P dx Q dy 9 Se F é conservativo então Qx Py 0 rotacional Logo precisamos utilizar uma área que não contenha as descontinuidades de F para aplicar o Teorema de Green c₃ P dx Q dy c₄ P dx Q dy c₁ P dx Q dy c₂ P dx Q dy k Qx Py dA c₄ P dx Q dy 11 9 13 7 K área da figura abaixo área utilizada no Teorema de Green 21 t2 2t3 2t5 4t4 dt t33 t42 t63 4t5521 36910 b 𝐅 xy xx2 y2 yx2 y2 C x2 y2 a2 Parametrizando em coordenadas polares 𝛿 θ a cosθ a sinθ 𝛿 θ a sinθ a cosθ Logo 𝐅 d𝛿 𝐅 𝛿 θ 𝛿 θ dθ 02π n cosθn2 cos2 θ n2 sin2 θ12 n cosθn2 cos2 θ n2 sin2 θ12 a sinθ a cosθ dθ 02π a n cosθ sinθ a n sinθ cosθ dθ 0 c 𝐅 xy y 3x 2y x C 4x2 y2 4 Campo vetorial de classe C1 em ℝ2 onde P y 3x e Q 2y x Aplicando o Teorema de Green C P dx Q dy K Qx Py dA área da elipse K 1 1 dA 2 K dA 2πab 2π 1 2 4π d 𝐅 x2 y2 x2 y2 C 1 1x y 1 y x 0 2 1 𝛿1 t tt 𝛿1 t 11 𝛿2 t t t 2 𝛿2 t 1 1 Separamos em 2 caminhos Temos 𝐅 d𝛿 𝐅 𝛿1 t 𝛿1 t dt 𝐅 𝛿2 t 𝛿2 t dt 01 t2t2 t2t211 dt 12 2t24t4 4t411 dt 01 2t2 dt 12 2t28t8 dt 23t301 23t3 4t2 8t12 43 Questão 9 𝐅 PQ de classe C1 em ℝ2 00 Qx Py 4 para todo xy 0 γ x2 y2 1 C x24 y225 1 Podemos aplicar o Teorema de Green na região entre a elipse e a circunferência C P dx Q dy γ P dx Q dy K 4 dA k área entre o elipse e a circunferência c Pdx Qdy 6π 4 π25 π1 42π elipse círculo Questão 10 a Fxy y x² y² x x² y² 3x classe C1 em ℝ²00 Parametrizando C1 C1 x² y² 4 o1θ 2cosθ 2rsinθ o1θ 2rsinθ 2cosθ 2π 0 F dr F o1θ o10 dθ 2π 0 rsinθ 2 cosθ 2 6cosθ 2rsinθ 2cosθ dθ 2π 0 r²sin²θ cos²θ 12cos²θ dθ 2π 0 7 6cos2θ dθ 7θ 3rnm2θ 2π0 14π b vejamos Qx 3 y² x² x² y² ² Py y² x² x² y² ² Qx Py 3 Ccplicando o Teorema de Green na região entre o retângulo e a circunferência c2 Pdx Qdy c1 Pdx Qdy K 3dA c2 Pdx Qdy 14π 3 62π π2² 38π