Resistencia dos Materiais Hibbeler 7ed - Resolucao Completa dos Problemas

R Reessiissttêênncciiaa ddooss M Maatteerriiaaiiss R R CC H Hiibbbbeelleerr 77ªª eeddiiççããoo D Dee aaccoorrddoo ccoom m oo SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ddee U Unniiddaaddeess SSII Resolução Steven Róger Duarte SUMÁRIO 10 TENSÃO 1 11 PROBLEMAS 2 12 PROBLEMAS 27 13 PROBLEMAS 52 14 PROBLEMAS DE REVISÃO 69 15 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 74 20 DEFORMAÇÃO 75 21 PROBLEMAS 76 22 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 93 30 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 94 31 PROBLEMAS 95 32 PROBLEMAS 107 33 PROBLEMAS DE REVISÃO 111 34 CORREÇÃO 116 40 CARGA AXIAL 117 41 PROBLEMAS 119 42 PROBLEMAS 135 43 PROBLEMAS 155 44 PROBLEMAS 164 45 PROBLEMAS DE REVISÃO 177 46 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 182 50 TORÇÃO 183 51 PROBLEMAS 185 52 PROBLEMAS 206 53 PROBLEMAS 221 54 PROBLEMAS 229 55 PROBLEMAS 241 56 PROBLEMAS DE REVISÃO 251 57 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 257 60 FLEXÃO 258 61 PROBLEMAS 260 62 PROBLEMAS 299 63 PROBLEMAS 341 64 PROBLEMAS 353 65 PROBLEMAS 368 66 PROBLEMAS DE REVISÃO 388 67 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 395 70 CISALHAMENTO TRANSVERSAL 396 71 PROBLEMAS 397 72 PROBLEMAS 420 73 PROBLEMAS 431 74 PROBLEMAS DE REVISÃO 388 75 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER 453 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 454 ANEXO I TABELA PRORIEDADES MECÂNICAS MÉDIAS DE MATERIAIS TÍPICOS DE ENGENHARIA 455 APRESENTAÇÃO Este livro contém as resoluções dos problemas do livro Resistência dos Materiais RC Hibbeler 7ª edição dos capítulos 1 ao 7 sujeito a correções e melhorias tem sido elaborado ao longo da minha vida acadêmica como aluno do curso de engenharia civil pelo Centro Universitário de Anápolis UniEVANGÉLICA As resoluções deste livro foram desenvolvidas de forma direta e objetiva e estão de acordo com o Sistema Internacional de Unidades SI Cada capítulo contém uma breve introdução dos tópicos que considerei ser importante Ao final de cada capítulo existe um quadro de correção das respostas do livro do Hibbeler que pude observar que não estão de acordo com as desenvolvidas neste livro devido a problemas de convenção de unidades Os desenhos esboçados os ajudaram no entendimento do problema como um todo O objetivo aqui é despertar o interesse do aluno pela disciplina Resistência dos Materiais tão importante na engenharia e mostrar que tal disciplina não é um bicho de sete cabeças Bons estudos e faça bom proveito 1 Capítulo 1 TTeennssããoo DDeesseennvvoollvviim meennttoo hhiissttóórriiccoo AA oorriiggeem m ddaa rreessiissttêênncciiaa ddooss m maatteerriiaaiiss oouu m meeccâânniiccaa ddooss m maatteerriiaaiiss rreem moonnttaa aaoo iinníícciioo ddoo ssééccuulloo XXVVIIII qquuaannddoo G Gaalliilleeuu rreeaalliizzoouu eexxppeerriim meennttooss ppaarraa eessttuuddaarr ooss eeffeeiittooss ddee ccaarrggaass ssoobbrree hhaasstteess ee vviiggaass ffeeiittaass ddee ddiiffeerreenntteess m maatteerriiaaiiss EEnnttrreettaannttoo ppaarraa aa ccoom mpprreeeennssããoo aaddeeqquuaaddaa ddeesssseess eeffeeiittooss ffooii nneecceessssáárriioo ffaazzeerr ddeessccrriiççõõeess eexxppeerriim meennttaaiiss pprreecciissaass ddaass pprroopprriieeddaaddeess m meeccâânniiccaass ddooss vváárriiooss m maatteerriiaaiiss CCoom m oo ppaassssaarr ddooss aannooss ddeeppooiiss ddee m muuiittooss ddooss pprroobblleem maass ffuunnddaam meennttaaiiss ddaa m meeccâânniiccaa ddooss m maatteerriiaaiiss tteerreem m ssiiddoo rreessoollvviiddooss ttoorrnnoouussee nneecceessssáárriioo uussaarr ttééccnniiccaass aavvaannççaaddaass ddaa m maatteem mááttiiccaa ee ddaa ccoom mppuuttaaççããoo ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleem maass m maaiiss ccoom mpplleexxooss CCoom moo rreessuullttaaddoo eessssee aassssuunnttoo ssee eexxppaannddiiuu ppaarraa oouuttrraass áárreeaass ddaa m meeccâânniiccaa aavvaannççaaddaa ccoom moo aa tteeoorriiaa ddaa eellaassttiicciiddaaddee ee aa tteeoorriiaa ddaa ppllaassttiicciiddaaddee AA ppeessqquuiissaa nneessssaass áárreeaass éé ccoonnttíínnuuaa nnããoo aappeennaass ppaarraa aatteennddeerr àà nneecceessssiiddaaddee ddee rreessoollvveerr pprroobblleem maass aavvaannççaaddooss ddee eennggeennhhaarriiaa m maass ttaam mbbéém m ppaarraa jjuussttiiffiiccaarr aa m maaiioorr uuttiilliizzaaççããoo ee aass lliim miittaaççõõeess aa qquuee eessttáá ssuujjeeiittaa aa tteeoorriiaa ffuunnddaam meennttaall ddaa m meeccâânniiccaa ddooss m maatteerriiaaiiss CCaarrggaass eexxtteerrnnaass UUm m ccoorrppoo ppooddee sseerr ssuubbm meettiiddoo aa vváárriiooss ttiippooss ddee ccaarrggaass eexxtteerrnnaass ttooddaavviiaa qquuaallqquueerr uum maa ddeellaass ppooddee sseerr ccllaassssiiffiiccaaddaa ccoom moo uum maa ffoorrççaa ddee ssuuppeerrffíícciiee oouu uum maa ffoorrççaa ddee ccoorrppoo RReeaaççõõeess ddoo aappooiioo AAss ffoorrççaass ddee ssuuppeerrffíícciiee qquuee ddeesseennvvoollvveem m nnooss aappooiiooss oouu ppoonnttooss ddee ccoonnttaattoo eennttrree ccoorrppooss ssããoo ddeennoom miinnaaddooss rreeaaççõõeess EEqquuaaççõõeess ddee eeqquuiillííbbrriioo O O eeqquuiillííbbrriioo ddee uum m ccoorrppoo eexxiiggee uum m eeqquuiillííbbrriioo ddee ffoorrççaass ppaarraa iim mppeeddiirr aa ttrraannssllaaççããoo oouu m moovviim meennttoo aacceelleerraaddoo ddoo ccoorrppoo aaoo lloonnggoo ddee uum maa ttrraajjeettóórriiaa rreettaa oouu ccuurrvvaa ee uum m eeqquuiillííbbrriioo ddee m moom meennttooss ppaarraa iim mppeeddiirr qquuee oo ccoorrppoo ggiirree CCaarrggaass rreessuullttaanntteess iinntteerrnnaass UUm maa ddaass m maaiiss iim mppoorrttaanntteess aapplliiccaaççõõeess ddaa eessttááttiiccaa nnaa aannáálliissee ddee pprroobblleem maass ddee rreessiissttêênncciiaa ddooss m maatteerriiaaiiss éé ppooddeerr ddeetteerrm miinnaarr aa ffoorrççaa ee oo m moom meennttoo rreessuullttaanntteess qquuee aaggeem m nnoo iinntteerriioorr ddee uum m ccoorrppoo ee qquuee ssããoo nneecceessssáárriiooss ppaarraa m maanntteerr aa iinntteeggrriiddaaddee ddoo ccoorrppoo qquuaannddoo ssuubbm meettiiddoo aa ccaarrggaass eexxtteerrnnaass TTeennssããoo aaddm miissssíívveell UUm m eennggeennhheeiirroo rreessppoonnssáávveell ppeelloo pprroojjeettoo ddee uum m eelleem meennttoo eessttrruuttuurraall oouu m meeccâânniiccoo ddeevvee rreessttrriinnggiirr aa tteennssããoo aattuuaannttee nnoo m maatteerriiaall aa uum m nníívveell sseegguurroo AAlléém m ddiissssoo uum maa eessttrruuttuurraa oouu m mááqquuiinnaa eem m uussoo ccoonnttíínnuuoo ddeevvee sseerr aannaalliissaaddaa ppeerriiooddiiccaam meennttee ppaarraa qquuee ssee vveerriiffiiqquuee qquuaaiiss ccaarrggaass aaddiicciioonnaaiiss sseeuuss eelleem meennttooss oouu ppaarrtteess ppooddeem m ssuuppoorrttaarr PPoorrttaannttoo vvaallee rreeppeettiirr éé nneecceessssáárriioo ffaazzeerr ooss ccáállccuullooss uussaannddoossee uum maa tteennssããoo sseegguurraa oouu aaddm miissssíívveell UUm m m mééttooddoo ppaarraa eessppeecciiffiiccaarr aa ccaarrggaa aaddm miissssíívveell ppaarraa oo pprroojjeettoo oouu aannáálliissee ddee uum m eelleem meennttoo éé oo uussoo ddee uum m nnúúm meerroo ddeennoom miinnaaddoo ffaattoorr ddee sseegguurraannççaa O O ffaattoorr ddee sseegguurraannççaa FFSS éé aa rraazzããoo eennttrree aa ccaarrggaa ddee rruuppttuurraa FFrruupp ee aa ccaarrggaa aaddm miissssíívveell FFaaddm m Tensão 2 Resolução Steven Róger Duarte 11 PROBLEMAS 11 Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada coluna Em a o segmento BC tem massa de 300 kgm e o segmento CD tem massa de 400 kgm Em b a coluna tem uma massa de 200 kgm Figura 11 a Coluna a b Coluna b W2 400 x 981 x 12 47088 kN W 200 x 981 x 3 5886 kN W1 30 x 981 x 3 8829 kN NA W 8 6 6 45 45 0 NA W1 W2 5 6 0 NA 349 kN NA 2454 kN 12 Determine o torque resultante interno que age sobre as seções transversais nos pontos C e D do eixo O eixo está preso em B Figura 12 250 TC 0 TD 250 400 0 TC 250 Nm TD 150 Nm Tensão 3 Resolução Steven Róger Duarte 13 Determine o torque resultante interno que age nas seções transversais nos pontos B e C Figura 13 TC 500 0 TB 500 350 0 TC 500 Nm TB 150 Nm 14 O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção no ponto A Figura 14 VAcos60 NAcos30 80sen45 0 1 VAsen60 NAsen30 80cos45 0 2 Resolvendo as equações 1 e 2 obtemos VA 207 N e NA 773 N MA 80cos45 x 03cos30 80sen45 x 01 03sen30 0 MA 055 Nm Tensão 4 Resolução Steven Róger Duarte 15 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D do elemento AB Figura 15 04Ay 70 0 Ay Cy 0 015Cy 02Cx 0 Ax Cx 0 Ay 175 N Cy 175 N Cx 13125 N Ax 13125 N ND 13125 0 VD 175 0 MD 175 x 005 0 ND 13125 N VD 175 N MD 875 Nm Tensão 5 Resolução Steven Róger Duarte 16 A viga AB é suportada por um pino em A e por um cabo BC Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D Figura 16 ϕ arctang arctang075 3687 2TBCsenθ 5 x 12 0 θ ϕ artang arctang125 5134 TBC 12 kN θ 5134 3687 1447 ND TBCcosθ 5cosϕ 0 VD TBCsenθ 5senϕ 0 MD dBDTBCsenθ 5senϕ x dBD 0 ND 1563 kN VD 0 kN MD 0 kNm Tensão 6 Resolução Steven Róger Duarte 17 Resolva o Problema 16 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E Figura 17 ϕ arctang arctang075 3687 2TBCsenθ 5 x 12 0 θ ϕ arctang arctang125 5134 TBC 12 kN θ 5134 3687 1447 NE TBCcosθ 5cosϕ 0 VE TBCcosθ 5senϕ 0 ME dBETBCsenθ 5senϕ x dBE 0 NE 1563 kN VE 0 kN ME 0 kNm Tensão 7 Resolução Steven Róger Duarte 18 A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm peso uniforme de 750 Nm Se o guindaste e a carga pesam 1500 N determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A B e C Figura 18 Seção 1 0 VA 0675 15 0 MA 15 x 09 0675 x 045 0 NA 0 kN VA 217 kN MA 1654 kNm Seção 2 0 VB 2475 15 0 MB 15 x 33 2457 x 165 0 NB 0 kN VB 398 kN MB 9034 kNm Seção 3 0 NC 1125 2925 15 0 MC 2925 x 195 39 x 15 0 VC 0 kN NC 555 kN MC 11554 kNm Tensão 8 Resolução Steven Róger Duarte 19 A força F 400 N age no dente da engrenagem Determine as cargas internas resultantes na raiz do dente isto é no centroide da seção aa ponto A Figura 19 VA 400cos15 0 NA 400sen15 0 MA 400cos15 x 000575 400sen15 x 0004 0 VA 36837 N NA 10357 N MA 1808 Nm 110 A viga suporta a carga distribuída mostrada Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto C Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais Figura 110 3 x 27 81 6RB 0 RA 22815 27 81 0 RB 22815 kN RA 12286 kN NC 0 kN 12285 162 VC 0 MC 162 x 18 12285 x 36 0 VC 392 kN MC 1507 kNm Tensão 9 Resolução Steven Róger Duarte 111 A viga suporta a carga distribuída mostrada Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos D e E Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais Figura 111 3 x 27 81 6RB 0 RA RB 27 81 0 RB 22815 kN RA 12286 kN Ponto E NE 0 kN VE 203 0 ME 203 x 0 VE 203 kN ME 0911 kNm Ponto D ND 0 kN VD 81 12285 0 MD 81 x 09 12285 x 18 0 VD 418 kN MD 14823 kNm Tensão 10 Resolução Steven Róger Duarte 112 Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção aa e b seção bb Cada seção está localizada no centroide ponto C Figura 112 a Seção aa 36 x 3 6sen45 x RB 0 NC 25456cos45 0 25456sen45 24 VC 0 RB 2545 kN NC 18 kN VC 1723 kN MC 24 x 2 25456 x 4sen45 0 MC 24 kNm b Seção bb NC 25456 24cos45 0 VC 24sen45 0 MC 24 x 2 25456 x 4sen45 0 NC 085 kN VC 17 kN MC 24 kNm Tensão 11 Resolução Steven Róger Duarte 113 Determine a resultante das forças internas normal e de cisalhamento no elemento e a seção aa e b seção bb sendo que cada uma delas passa pelo ponto A Considerando θ 60 A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento Figura 113 a Seção aa b Seção bb Vaa 0 N Vbb 650cos90 60º Nbb 650sen90 60º Vbb 563 N Nbb 325 N Naa 650 N 114 Determine a resultante das forças interna normal e de cisalhamento no elemento na seção bb cada uma em função de θ Represente esses resultados em gráficos para θ A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento Figura 114 Nbb 650sen90 θ 0 Vbb 650cos90 θ Nbb 650cosθ Vbb 650senθ Tensão 12 Resolução Steven Róger Duarte 115 A carga de 4000 N está sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M que pesa 450 N Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B na viga A viga pesa 600 Nm e está fixada à parede em A Figura 115 NB 2 0 VB 072 4 0 MB 072 x 06 2 x 045 4 x 1275 0 NB 2 kN VB 472 kN MB 4632 kNm 116 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelos pontos C e D da viga no Problema 115 Figura 116 Tensão 13 Resolução Steven Róger Duarte Ponto C NC 2 0 VC 4 126 0 MC 2 x 045 126 x 105 4 x 2175 0 NC 2 kN VC 526 kN MC 9123 kNm Ponto D ND 0 kN VD 252 4 045 0 MD 045 x 12 252 x 21 4 x 4275 0 VD 697 kN MD 22932 kNm 117 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B Figura 117 NB 0 kN VB 1440 0 MB 1440 x 0 VB 1440 kN MB 1920 kNm Tensão 14 Resolução Steven Róger Duarte 118 A viga suporta a carga distribuída mostrada Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais Figura 118 Resolvendo 1 e 2 45 x 45 45 x 6 9RB 0 1 RA RB 45 45 0 2 RA 375 kN e RB 525 kN NC 0 kN VC 05 15 375 0 MC 375 x 3 05 x 1 15 x 15 0 VC 175 kN MC 85 kNm 119 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D no Problema 118 Figura 119 Resolvendo 1 e 2 45 x 45 45 x 6 9RB 0 1 RA RB 45 45 0 2 RA 375 kN e RB 525 kN Tensão 15 Resolução Steven Róger Duarte Ponto D ND 0 kN VD 05 35 525 0 MD 35 x 15 05 x 2 525 x 3 0 VD 125 kN MD 95 kNm 120 A estrutura do poste de energia elétrica suporta os três cabos e cada um deles exercem uma força de 4 kN nas escoras Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A B e C determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos D E e F Figura 120 Ax Cx 0 1 Ay Cy 12 0 2 M 4 x 12 4 x 12 412 0 M 48 kNm Cx 267 kN Cy 6 kN 12Ay 09Ax 4 x 24 0 3 12Cy 09Cx 4 x 24 0 4 Ax 267 kN Ay 6 kN Tensão 16 Resolução Steven Róger Duarte Ponto D VD 0 kN ND 0 kN MD 0 kNm Ponto E VE 267 0 NE 6 0 ME 267 x 09 0 VE 267 kN NE 6 kN ME 24 kNm Ponto F VF 267 267 0 NF 6 6 0 MF 267 x 09 267 x 267 0 VF 0 kN NF 12 kN MF 48 kNm 121 O guindaste de tambores suspende o tambor de 25 kN O pino de ligação está conectado à chapa em A e B A ação de aperto sobre a borda do tambor é tal que somente forças horizontais e verticais são exercidas sobre o tambor em G e H Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto I Figura 121 Tensão 17 Resolução Steven Róger Duarte RACsen30 RBDsen30 0 RACcos30 RBDcos30 25 0 RAC RBD R R 1443 kN Ponto I VI 1443cos60 0 NI 1443sen60 0 MI 1443cos60 x 02 0 VI 0722 kN NI 125 kN MI 0144 kNm 122 Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos K e J no guindaste de tambores no Problema 121 Figura 122 Tensão 18 Resolução Steven Róger Duarte RACsen30 RBDsen30 0 RACcos30 RBDcos30 25 0 RAC RBD R R 1443 kN Ponto J NJ 1443 0 VD 0 kN MJ 0 kNm NJ 1443 kN Ponto K 3016 NK 0 VK 0 kN MK 0 kNm NK 3016 kN 123 O cano tem massa de 12 kgm Se ele tiver fixado à parede em A determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B Despreze o peso da chave CD Figura 123 Tensão 19 Resolução Steven Róger Duarte NBx 0 N VBz 12 x 981 x 04 12 x 981 x 02 TBx 47088 x 02 VBz 706 N TBx 942 Nm MBy 60 x 035 60 x 005 47088 x 02 23544 x 01 MBz 0 Nm MBy 623 Nm VBy 0 N 124 A viga mestra AB suporta a carga na asa do avião As cargas consideradas são a reação da roda de 175 kN em C o peso de 6 kN do combustível no tanque da asa com centro de gravidade em D e o peso de 2 kN da asa com centro de gravidade em E Se a viga estiver fixada à fuselagem em A determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto Considere que a asa não transfere nenhuma carga à fuselagem exceto pela viga Figura 124 TAy 045 x 6 03 x 2 0 MAz 0 kNm MAx 6 x 18 2 x 36 175 x 3 0 TAy 21 kNm MAx 507 kNm VAx 0 kN NAy 0 kN VAz 175 6 2 0 VAz 167 kN Tensão 20 Resolução Steven Róger Duarte 125 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B do poste de sinalização O poste está fixado ao solo e uma pressão uniforme de 50 Nm² age perpendicularmente à parede frontal da placa de sinalização Figura 125 VBx 750 N VBy 0 N NBz 0 N MBx 0 Nm MBy 750 x 75 TBz 570 x 05 MBy 5625 Nm TBz 375 Nm 126 O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e está sujeito ás polias nele fixadas Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D As forças de 400 N agem na direção z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção y Os suportes A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo Figura 126 Tensão 21 Resolução Steven Róger Duarte 04i x 160j 07i x 400j 11i x 800k 14i x Ay j Az k 0 880 14Azj 334 14Ayk 0 880 14Az 0 1 334 14Ay 0 2 resolvendo 1 e 2 Ay 24571 N Az 62857 N By 31429 N Bz 17143 N VDz 17143 0 VDy 160 31429 0 NDx 0 N VDz 1714 N VDy 1543 N MDz 31429 x 055 160 x 015 0 MDy 17143 x 055 0 TDx 0 Nm MDz 149 Nm MDy 943 Nm 127 O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e está sujeito às forças aplicadas às polias nele fixadas Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C As forças de 400 N agem na direção z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção y Os apoios A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo Figura 127 Tensão 22 Resolução Steven Róger Duarte 04i x 160j 07i x 400j 11i x 800k 14i x Ay j Az k 0 880 14 Azj 334 14 Ayk 0 Ay 24571 N Az 62857 N By 31429 N Bz 17143 N MCy 800 x 02 629 x 05 0 MCz 246 x 05 0 TCx 0 Nm MCy 154 Nm MCz 123 Nm NCx 0 N VCy 246 0 VCz 800 62857 0 VCy 246 N VCz 171 N 128 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal da estrutura nos pontos F e G O contato em E é liso Figura 128 Tensão 23 Resolução Steven Róger Duarte 15FE 400 x 27 0 09Cy 720sen30 x 18 0 720 By 720sen30 0 FE 720 N Cy 720 N By 360 N Ponto F 12Cx 09Cy 0 MF 400 x 06 0 NF 0 N VF 400 0 Cx 540 N MF 240 Nm VF 400 N Bx 835383 N Ponto G 8354 NG 0 VG 360 0 360 x 045 MG 0 NG 8354 N VG 360 N MG 162 Nm Tensão 24 Resolução Steven Róger Duarte 129 A haste do parafuso está sujeita a uma tensão de 400 N Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto C Figura 129 400 NC 0 VC 0 N MC 400 x 015 0 NC 400 N MC 60 Nm 130 O cano tem massa de 12 kgm e está preso à parede em A Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa por B Figura 130 VBx 0 N NBy 600 N VBz 23544 23544 450 VBz 921 N MBx 1 x 23544 2 x 23544 2 x 450 TBy 0 Nm MBz 800 Nm MBx 1606 Nm Tensão 25 Resolução Steven Róger Duarte 131 A haste curvada tem raio r e está presa em B Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto A o qual está localizado a um ângulo θ em relação à horizontal Figura 131 VA Pcos90 θ 0 NA Psen90 θ 0 MA Pr rcosθ 0 VA Psenθ NA Pcosθ MA Pr1 cosθ 132 A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w Se ela estiver no plano horizontal determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B Dica A distância entre o centroide C do segmento AB e o ponto O é CO 09745r Figura 132 NB 0 MBx x 09745rsen225 0 MBx 0293wr² VB 0 TB r 09745rcos225 VB 0785 wr TB 00783 wr² Tensão 26 Resolução Steven Róger Duarte 133 Um elemento diferencial tomado de uma barra curva é mostrado na figura Mostre que dNdθ V dVdθ N dMdθ T e dTdθ M Figura 133 Tensão 27 Resolução Steven Róger Duarte 12 PROBLEMAS 134 A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN aplicada no centroide da área da seção transversal Determine a tensão normal média que age na seção aa Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área Figura 134 A 10 x 150 x 2 10 x 140 4400 mm² σ 182 MPa 135 O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN Se o pino tiver diâmetro de 6 mm determine a tensão média de cisalhamento no pino Figura 135 5305 MPa Tensão 28 Resolução Steven Róger Duarte 136 Durante uma corrida o pé de um homem com massa 75 kg é submetido momentaneamente a uma força equivalente a 5 vezes o seu peso Determine a tensão normal média desenvolvida na tíbia T da perna desse homem na seção aa A seção transversal pode ser considerada circular com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro interno de 25 mm Considere que a fíbula F não está suportando nenhuma carga Figura 136 σméd P 5mg 5 x 75 x 981 367875 N σméd 3346 MPa 137 O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B C e D Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seção Figura 137 Dados NB 500 N NC 500 N ND 200 N dB 65 mm dC 140 mm dD 100 mm 151 kPa 325 kPa 255 kPa Tensão 29 Resolução Steven Róger Duarte 138 O pequeno bloco tem espessura de 5 mm Se a distância de tensão no apoio desenvolvida pela carga variar como mostra a figura determine a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto onde ela é aplicada Figura 138 F1 60 40 x 106 x 006 x 0005 30 kN XCG 124 mm centro de gravidade do trapézio 30 6 F 0 F2 40 x 106 x 003 x 0005 6 kN F 36 kN x 60F2 124F1 36d 0 d 110 mm 139 A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB cujo diâmetro médio é 6 mm Se um binário for aplicado à alavanca determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a alavanca Figura 139 T 20 x 05 10 Nm méd 295 MPa Tensão 30 Resolução Steven Róger Duarte 140 O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 084 MPa determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar Figura 140 A 350 x 25 x 2 3 x 50 x 100 32500 mm² σrup Padm σrup x A 084 x 32500 273 kN 141 O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura Se ele for submetido a uma força P 4 kN aplicada em seu centro determine a tensão normal média no material Mostre o resultado sobre um elemento de volume infinitesimal do material Figura 141 A 350 x 25 x 2 3 x 50 x 100 32500 mm² σrup 0123 MPa Tensão 31 Resolução Steven Róger Duarte 142 A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A Determine qual das hastes está submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor Considere θ 30 O diâmetro de cada haste é dado na figura Figura 142 Resolvendo 1 e 2 FACcos30 FADcos45 0 1 FACsen30 FADsen45 250 0 2 FAC 1832 N e FAD 2242 N σAD 5074 MPa σAC 6473 MPa σAB 393 MPa 143 Resolva o Problema 142 para θ 45 Figura 143 Resolvendo 1 e 2 FACcos45 FADcos45 0 1 FACsen45 FADsen45 250 0 2 FAC FAD 17678 N σAB 393 MPa σAC 6252 MPa σAD 4001 MPa Tensão 32 Resolução Steven Róger Duarte 144 A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A Determine o ângulo de orientação θ de AC de modo que a tensão normal média na haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste AD Qual é a intensidade da tensão em cada haste O diâmetro de cada haste é dado na figura Figura 144 σAC 2σAD FAC 128FAD 3 FACcosθ FADcos45 1 FACsenθ FADsen45 250 0 2 Resolvendo 1 2 e 3 obtemos θ 56466 FAD 14092 N e FAC 1803771 N σAB 393 MPa σAC 638 MPa σAD 319 MPa 145 O eixo está sujeito à força axial de 30 kN Se ele passar pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A determine a tensão no mancal que age sobre o colar C Determine também a tensão de cisalhamento média que age ao longo da superfície interna do colar no ponto onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro Figura 145 σmancal 483 MPa méd 184 MPa Tensão 33 Resolução Steven Róger Duarte 146 Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angular de 60 Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda Figura 146 Resolvendo 1 e 2 obtemos 8 Vcos60 Ncos30 0 1 Vsen60 Nsen30 0 2 V 4 kN e N 693 kN A 86603 mm² méd 462 MPa σ 8 MPa 147 O gancho é usado para sustentar o tubo de tal modo que a força no parafuso vertical é 775 N Determine a tensão normal média desenvolvida no parafuso BC se ele tiver diâmetro de 8 mm Considere que A seja um pino Figura 147 775 x 004 007FBCcos20 0 FBC 47128 N σBC 938 MPa Tensão 34 Resolução Steven Róger Duarte 148 A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da seção aa a 15 em relação ao eixo da prancha Figura 148 Resolvendo 1 e 2 Vcos15 Ncos75 425 0 1 Nsen75 Vsen15 0 2 N 10986 N e V 410 N A 7244444 mm² σ 00152 MPa méd 00567 MPa 149 A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 N e uma placa a outra Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga cria na face da solda seção AB Figura 149 Resolvendo 1 e 2 Vcos60 Ncos30 250 0 1 Vsen60 Nsen30 0 2 N 216506 N e V 125 N A 8660254 mm² σ 25 kPa méd 1434 kPa Tensão 35 Resolução Steven Róger Duarte 150 O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52 sob uma carga axial de 100 kN Se o diâmetro do corpo de prova for 12 mm determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média que agem na área do plano de falha inclinado Determine também qual a tensão normal média em atuação sobre a seção transversal quando acorreu a falha Figura 150 Resolvendo 1 e 2 temos 100 Ncos38 Vcos52 0 1 Vsen52 Nsen38 0 2 N 788 kN e V 6157 kN A 1435226 mm² σ 54905 MPa méd 42896 MPa 151 Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma seção na qual ela ocorre Figura 151 Resolvendo 1 e 2 temos Ncos90 θ Vcosθ P 0 1 Nsen90 θ Vsenθ 0 2 N Vtangθ e V Para que V seja máximo 0 θ 45 Substituindo θ em V temos V A méd Tensão 36 Resolução Steven Róger Duarte 152 A junta está submetida a uma força axial de 5 kN Determine a tensão normal média que age nas seções AB e BC Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura Figura 152 Resolvendo 1 e 2 obtemos NABcos30 5cos45 0 1 NBC NABsen30 5sen45 0 2 NAB 4082 kN NBC 14945 kN σAB 204 MPa σBC 0598 MPa 153 O garfo está sujeito a força e a um binário Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso que age nas seções transversais que passam por A e B O parafuso tem 6 mm de diâmetro Dica O binário sofre a resistência de um conjunto de forças desenvolvidas nas hastes do parafuso Figura 153 Tensão 37 Resolução Steven Róger Duarte 154 Os dois elementos usados na construção da fuselagem de um avião estão interligados por uma solda em bocadepeixe a 30 Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média no plano de cada solda Considere que cada plano inclinado suporta uma força horizontal de 2 kN Figura 154 Resolvendo 1 e 2 obtemos Ncos60 Vcos30 2 0 1 Nsen60 Vsen30 0 2 N 1 kN e V 1732 kN A 1875 mm² σ 53333 kPa méd 92376 kPa 155 Os grampos na fileira AB contida no grampeador estão colados de modo que a tensão de cisalhamento máxima que a cola pode suportar é θmáx 84 kPa Determine a força mínima F que deve ser aplicada ao êmbolo para extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem deformação pela fenda em C As dimensões externas do grampo são mostradas na figura e a espessura é 125 mm Considere que todas as outras partes são rígidas e despreze o atrito Figura 155 A 75 125 x 125 x 2 125 x 125 3125 mm² θmáx Fmín Aθmáx 3125 x 0084 263 N Tensão 38 Resolução Steven Róger Duarte 156 Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm respectivamente Se for aplicada uma carga de 8 kN ao anel em B determine a tensão normal média em cada haste se θ 60 Figura 156 Resolvendo 1 e 2 obtemos FBCcos60 FAB 0 1 FBCsen60 8 0 2 FBC 92376 kN e FAB 46188 kN σAB 368 MPa σBC 327 MPa 157 Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm respectivamente Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B determine o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente Qual é essa tensão Figura 157 Resolvendo 1 e 2 obtemos FBCcosθ FAB 0 1 FBCsenθ 8 0 2 FBC e FAB σAB σBC θ 636 FBC 893 kN σAB σBC 316 MPa Tensão 39 Resolução Steven Róger Duarte 158 Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm² Determine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga P 40 kN Indique se a tensão é de tração ou de compressão Figura 158 Dado A 780 mm² Ponto C 40 x 24 30 x 12 09FBC 0 FBC 146667 kN Ponto A Ponto B 08FAB FAE 0 06FAB 40 0 06FAB FBE 06FBD 0 FAE 5333 kN FAB 66667 kN FBD 116667 kN Ponto E FED FAE 0 FBE 30 0 FED 5333 kN FBE 30 kN σAB 8547 MPa T σAE 68376 MPa C σED 68376 MPa C σBE 38462 MPa T σBD 149573 MPa C σBC 188034 MPa T Tensão 40 Resolução Steven Róger Duarte 159 Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm² Se a tensão normal máxima em qualquer barra não pode ultrapassar 140 MPa determine o valor máxima P das cargas que podem ser aplicadas à treliça Figura 159 σAB σBE 06FAB P 0 P 6552 kN FBE 075P 0 P 1456 kN FAB 1667P FBE 075P σBC σadm 24P 075P x 12 09FBC 0 P 2978 kN FBC 3667P 160 O tampão é utilizado para vedar a extremidade do tubo cilíndrico que está sujeito a uma pressão interna p 650 Pa Determine a tensão de cisalhamento média que a cola exerce sobre os lados do tubo necessária para manter o tampão no lugar Figura 160 ρ V x 0035² x 650 06254 N méd 199 Pa Tensão 41 Resolução Steven Róger Duarte 161 O alicate de pressão é usado para dobrar a extremidade do arame E Se uma força de 100 N for aplicada nas hastes do alicate determine a tensão de cisalhamento média no pino em A O pino está sujeito a cisalhamento duplo e tem diâmetro de 5 mm Somente uma força vertical é exercida no arame Figura 161 Resolvendo 1 e 2 obtemos 375Ay 875By 0 1 25By 100 x 125 0 2 Ay 1166667 N e By 500 N A x 5² 19635 mm² médA 29709 MPa 162 Resolva o Problema 161 para o pino B o qual está sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de diâmetro Figura 162 Resolvendo 1 e 2 obtemos 375Ay 875By 0 1 25By 100 x 125 0 2 Ay 1166667 N e By 500 A x 5² 19635 mm² médB 12732 MPa Tensão 42 Resolução Steven Róger Duarte 163 A lâmpada de engate do vagão é sustentada pelo pino de 3 mm de diâmetro em A Se a lâmpada pesar 20 N e peso do braço extensor AB for 8 Nm determine a tensão de cisalhamento média no pino necessária para sustentar a lâmpada Dica A força de cisalhamento no pino é causada pelo binário exigido para o equilíbrio em A Figura 163 A x 3² 70686 mm² 045 x 72 09 x 20 0032V 0 méd 93901 MPa V 66375 N 164 A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento distribuído mostrado Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem nas seções aa e bb A seção transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm Considere w 8 kNm Figura 164 Dados Aaa 1225 mm² Abb 2041667 mm² Seção aa Seção bb 08FBC x 3 8 x 3 x 15 0 FBC 15 kN 15 N 0 Vaa 0 kN N 15 x 06 0 15 x 08 V 0 Naa 15 kN Nbb 9 kN Vbb 12 kN σaa 122 MPa aa 0 MPa σbb 441 MPa bb 588 MPa Tensão 43 Resolução Steven Róger Duarte 165 O elemento A da junta escalonada de madeira usada na treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kN Determine a tensão normal média que age na haste do pendural C com diâmetro de 10 mm e no elemento B com espessura de 30 mm Figura 165 σC 551 MPa 5cos60 FB 0 5cos30 FC 0 σB 208 MPa FB 25 kN FC 433 kN 167 A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC Se P 15 kN determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A B e C Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo como mostra a figura e cada um tem diâmetro de 18 mm Figura 167 Tensão 44 Resolução Steven Róger Duarte 2 x 15 x 05 4 x 15 x 2 4 x 15 x 35 45 x 15 FBCsen30 0 FBCcos30 Ax 0 FBC 165 kN Ax 1428942 kN A P 4P 4P 2P Ay FBCsen30 0 A 165 kN Ay 605 kN A 25447 mm² A 324 MPa B C 324 MPa 168 A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC Determine o valor máximo P das cargas que a viga suportará se a tensão de cisalhamento média em cada pino não puder ultrapassar 80 MPa Todos os pinos sofrem cisalhamento duplo como mostra a figura e cada um tem diâmetro de 18 mm Figura 168 05 x P 4P x 15 4P x 3 2P x 45 5Ay 0 P 4P 4P 2P 55P FBCsen30 0 Ay 55P FBC 11P Ax 11P x cos30 0 11P Ax 95263P A x 18² 254469 mm² P 370 kN Tensão 45 Resolução Steven Róger Duarte 169 A estrutura está sujeita a carga de 1 kN Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso em A em função do ângulo da barra θ Represente essa função em gráfico para e indique os valores de θ para os quais essa tensão é mínima O parafuso tem diâmetro de 6 mm e está sujeito a cisalhamento simples Figura 169 015FABcosθ 06 FABsenθ 105 0 A MPa FAB Para que a tensão seja mínima Sendo assim resolvendo a derivada obtemos θ 7596 Tensão 46 Resolução Steven Róger Duarte 170 O guindaste giratório está preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode deslocarse ao longo da flange inferior da viga Se a capacidade de carga normal máxima do guindaste for 75 kN determine a tensão normal média máxima na barra BC de 18 mm de diâmetro e a tensão de cisalhamento média máxima no pino de 16 mm de diâmetro em B Figura 170 Para que a tensão sejamáxima x 36 m FBC 5000 x 36 18000 N 7500x 3FBCsen30 0 ABC x 18² 25447 mm² σbarra 70736 MPa FBC 5000x AB x 16² 201062 mm² pino 44762 MPa 171 A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um ângulo θ em relação à horizontal Represente em gráfico a variação dessas tensões em função de θ º Figura 171 Tensão 47 Resolução Steven Róger Duarte P Ncos90 θ Vcosθ 0 1 Nsen90 θ Vsenθ 0 2 Resolvendo as equações 1 e 2 obtemos N Psenθ e V A σ sen²θ sen2θ 172 A lança tem peso uniforme de 3 kN e é alçada até a posição desejada por meio do cabo BC Se o cabo tiver diâmetro de 15 mm construa um gráfico da tensão normal média no cabo em função da posição da lança θ para º Figura 172 BC² 1² 1² 2 x 1 x 1 x cosϕ ² 1 senθ² x² BC x cosθ cosα senα 3 x 05cosθ Fcosα x 1 1 senθ Fsenαcosθ 0 F 15 kN A x 15² 176715 mm² σBC 12 MPa Tensão 48 Resolução Steven Róger Duarte 173 A área da seção transversal da barra é 400106 m² Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura determine a tensão normal média na barra em função de x para Figura 173 3 6 8 x 125 R 0 N 8x 19 0 R 19 kN N 19 8x kN σ 475 20x MPa 174 A área da seção transversal da barra é 400106 m² Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura determine a tensão normal média na barra em função de x para Figura 174 3 6 8 x 125 R 0 N 6 8x 19 0 R 19 kN N 13 8x kN σ 325 20x MPa Tensão 49 Resolução Steven Róger Duarte 175 A coluna é feita de concreto de densidade 230 Mgm³ e está sujeita a uma força de compressão axial de 15 kN em sua extremidade superior B Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base Observação por causa da deformação localizada nas extremidades o resultado servirá apenas para determinar a tensão normal média em seção removida das extremidades da coluna Figura 175 A π x 180² 101787602 mm² V 10178776 x 4 407150408 mm³ W ρgV 91865 kN Pz ρ x Vz ρ x g x π x r² x z 229663z F w 15 0 F 24186 kN N Pz F 0 N 24186 229663z kN σ 238 226z kPa 176 A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada Determine a maior intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na seção bb ultrapasse ζ 15 MPa e 16 MPa respectivamente O elemento CB tem seção transversal quadrada de 30 mm de lado Figura 176 Tensão 50 Resolução Steven Róger Duarte 4VA 15 x 3w 0 15 x 3w 3HA 0 HB HA 0 VA 1125w HA 15w HB 15w senθ 06 15w Vbb 0 1125 Nbb 0 A 30 x 30 900 mm² Vbb 15w Nbb 1125w A 1500 mm² σbb w 20 kNm bb w 16 kNm 177 O pedestal suporta uma carga P em seu centro Se a densidade de massa do material for ρ determine a dimensão radial r em função de z de modo que a tensão normal no pedestal permaneça constante A seção transversal é circular Figura 177 Tensão 51 Resolução Steven Róger Duarte 178 O raio do pedestal é definido por m onde y é dado em metros Se o material tiver densidade de 25 Mgm³ determine a tensão normal média no apoio Figura 178 V dy 158404 m³ N W ρ x g x V 38848 kN σméd 495 kPa 179 A barra uniforme com área da seção transversal A e massa por unidade de comprimento m está apoiada por um pino em seu centro Se ela girar no plano horizontal a uma velocidade angular constante determine a tensão normal média na barra em função de x Figura 179 Tensão 52 Resolução Steven Róger Duarte 13 PROBLEMAS 180 O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4 kN Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10 mm de espessura determine com aproximação de 5 mm a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda adm 21 MPa Figura 180 V 1538 kN adm 21 h 7324 mm 75 mm 181 A junta está presa por dois parafusos Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for rup 350 MPa Use um fator de segurança para cisalhamento FS 25 Figura 181 V 20 kN rup d 1349 mm Tensão 53 Resolução Steven Róger Duarte 182 As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é ζrup 510 MPa Usando um fator de segurança FS 175 para tração determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C Figura 182 rup 4 x 2 6 x 4 5 x 7 10FCD 0 FAB 15 67 0 d 602 mm FCD 67 kN FAB 83 kN 183 A manivela está presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm Se o eixo for fixo e uma força vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo determine a dimensão d se a tensão de cisalhamento admissível para a chaveta for adm 35 MPa Figura 183 adm 20Faa 200 x 500 0 d 571 mm Faa 5 kN Tensão 54 Resolução Steven Róger Duarte 184 O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da tensão de cisalhamento média ao longo do plano sombreado que tem a menor seção transversal Determine o menor tamanho a das duas soldas se a força aplicada á chapa for P 100 kN A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é adm 100 MPa Figura 184 Dado A 2a x 100 x cos45 14142a mm² V P 100 kN adm a 7071 mm 185 O tamanho do cordão de solda é a 8 mm Considerando que a junta falhe por cisalhamento em ambos os lados do bloco ao longo do plano sombreado que é a menor seção transversal determine a maior força P que pode ser aplicada à chapa A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é adm 100 MPa Figura 185 Dado A 2 x 8 x 100 x cos45 1131371 mm² V P adm P 11314 kN Tensão 55 Resolução Steven Róger Duarte 186 O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 kN Determine seu diâmetro d com aproximação de múltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximação de múltiplos de 5 mm do suporte de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o suporte A tensão normal admissível para o parafuso é ζadm 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o material do suporte é adm 35 MPa Figura 186 σadm d 1457 mm 15 mm adm h 909 mm 10 mm 187 A estrutura está sujeita a carga de 8 kN Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for adm 42 MPa O pino A está sujeito a cisalhamento duplo ao passo que o pino B está sujeito a cisalhamento simples Figura 187 A 3FD 8 x 21 0 Ax 8 0 Ay 56 0 A 9765 kN FD 56 kN Ax 8 kN Ay 56 kN V A 9765 kN adm dA 12166 mm 15FBCsenα 3Ay 0 FBC 1584 kN dB 21913 mm Tensão 56 Resolução Steven Róger Duarte 188 Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível ζadm 200 MPa determine o diâmetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for P 5 kN Figura 188 Dado Resolvendo 1 e 2 obtemos 08TAC TABsen60 0 1 06TAC TABcos60 5 0 2 TAB 435 kN e TAC 471 kN σadm dAB 526 mm σadm dAB 548 mm 189 Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível ζadm 180 MPa e se o cabo AB tiver diâmetro de 6 mm e o cabo AC tiver diâmetro de 4 mm determine a maior força P que pode ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe Figura 189 Dado Resolvendo 1 e 2 obtemos FACcosϕ FABcos30 0 1 FACsenϕ FABcos30 P 0 2 FAB 087P e FAC 0941726P AAB x 6² 282743 mm² AAC x 4² 125664 mm² σadm P 585 kN σadm P 24 kN Tensão 57 Resolução Steven Róger Duarte 190 A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6 mm com tensão normal admissível ζadm 168 MPa Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando θ 30 e ϕ 45 Despreze o tamanho do guincho Figura 190 α β 60 A x 6² 282743 mm² Tcos60 W x 6cosϕ Tsen60 x 6senϕ 0 σadm W 1739 kN T 273206W 191 A lança é suportada pelo cabo do guincho cuja tensão normal admissível é ζadm 168 MPa Se a lança tiver de levantar lentamente uma carga de 25 kN de θ 20 até θ 50 determine o menor diâmetro do cabo com aproximação de múltiplos de 5 mm O comprimento da lança AB é 6 m Despreze o tamanho do guincho Considere d 36 m Figura 191 Dado tang20º 36 6cosϕ x tang20 6senϕ α 90 ϕ 58158 06 cosϕ x tang20 senϕ β ϕ 20º 11842 113247cos²ϕ 0159cosϕ 095231 0 Resolvendo a equação obtemos Φ 31842 α β 70 σadm d0 Tcosα β 25 x 6cosϕ Tsenα β x 6senϕ 0 d0 28 mm 30 mm T 103491 kN Tensão 58 Resolução Steven Róger Duarte 192 A estrutura está sujeita ao carregamento distribuído de 2 kNm Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for adm 100 MPa Ambos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo Figura 192 3HA 6 x 15 0 3 HB 0 VA VB 6 0 HA 3 kN HB 3 kN VA VB 3 kN RA 4243 kN adm dA dB 520 mm 193 Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem suportar é P 150 kN A tensão de tração a tensa de apoio e a tensão de cisalhamento admissível são ζtadm 175 MPa ζaadm 275 MPa e ζadm 115 MPa Figura 193 σaadm d3 264 mm σadm t 158 mm σtadm d1 446 mm Tensão 59 Resolução Steven Róger Duarte 194 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for ζaadm 28 MPa determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A e B exigidos para suportar a carga Considere P 75 kN A dimensão das chapas deverá ter aproximação de 10 mm As reações nos apoios são verticais Figura 194 Dado 10 x 15 15 x 3 10 x 45 45 FB 7 x 75 0 FA 35 10 10 15 10 75 0 FB 35 kN FA 175 kN σaadm aA 80 mm σaadm aB 120 mm 195 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for ζaadm 28 MPa determine a carga P máxima que pode ser aplicada à viga As seções transversais quadradas das chapas de apoio A e B são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm respectivamente Figura 195 Dados AA 2500 mm² AB 10000 mm² 10 x 15 15 x 3 10 x 45FB 7P 0 FA FB 10 10 15 10 P 0 FB FA σaadm P 264 kN σaadm P 3 kN Tensão 60 Resolução Steven Róger Duarte 196 Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e os diâmetros exigidos para os pinos em A e B se a tensão normal admissível for ζadm 21 MPa e a tensão de cisalhamento for adm 28 MPa Figura 196 75 x 06 75 x 18 24By 0 Ay 75 75 By 0 By 75 kN Ay 75 kN Bx x L x sen60 75 x L x cos60 0 433 Cx 0 Ax 433 0 Bx 433 kN Cx 433 kN Ax 433 kN A B 866 kN admA dA 1984 mm dB 1403 mm FBC A 866 kN ABC 4126 mm² Tensão 61 Resolução Steven Róger Duarte 197 O conjunto consiste em três discos A B e C usados para suportar a carga de 140 kN Determine o menor diâmetro d1 do disco superior o diâmetro d2 do espaço entre os apoios e o diâmetro d3 do orifício no disco inferior A tensão de apoio admissível para o material é ζadma 350 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é adm 125 MPa Figura 197 σadma d1 226 mm adm d2 357 mm σadma d3 276 mm 198 As tiras A e B devem ser coladas com a utilização das duas tiras C e D Determine a espessura exigida t para C e D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente A largura das tiras A e B é 15 vezes a das tiras C e D Figura 198 t 225 mm Tensão 62 Resolução Steven Róger Duarte 199 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for ζaadm 28 MPa determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A e B exigidos para suportar a carga A dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm As reações nos apoios são verticais Considere P 75 kN Figura 199 Dado σaadm 28 MPa 45 x 225 45RB 75 x 675 0 RA 45 3375 75 0 RB 3375 kN RA 1875 kN σadmA aA 90 mm σadmB aB 110 mm 1100 Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for ζaadm 28 MPa determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga As seções transversais quadradas das chapas de apoio A e B são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm respectivamente Figura 1100 Dados σaadm 28 MPa AA 2500 mm² AB 10000 mm² 45 x 225 45RB 675P 0 RA 45 RB P 0 RB 225 15P RA 225 05P σadmA P 31 kN σadmB P 367 kN Tensão 63 Resolução Steven Róger Duarte 1101 O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w 12 kNm Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em A e a tensão de tração média na haste AB com diâmetro de 12 mm Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for e 175 MPa e a tensão de escoamento por tração para a haste for ζe 266 MPa determine o fator de segurança em relação ao escoamento em cada caso Figura 1101 adm FSpino 102 216 x 09 12FABsenϕ 0 adm 17188 MPa FAB 27 kN adm 238732 MPa FShaste 111 1102 Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível de adm 95 MPa nos parafusos de 10 mm de diâmetro em A e B e uma tensão de tração admissível de ζadm 155 MPa na haste AB de 12 mm de diâmetro Figura 1102 Dados adm 95 MPa σadm 155 MPa dp 10 mm dAB 12 mm adm adm 12FABsenϕ 18w x 09 0 w 6632 kNm w 7791 kNm FAB 225w Tensão 64 Resolução Steven Róger Duarte 1103 A barra é suportada pelo pino Se a tensão de tração admissível para a barra for ζtadm 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o pino for adm 85 MPa determine o diâmetro do pino para o qual a carga P será máxima Qual é essa carga máxima Considere que o orifício na barra tem o mesmo diâmetro d do pino Considere também t 6 mm e w 50 mm Figura 1103 Dados σtadm 150 MPa adm 85 MPa t 6 mm w 50 mm adm P adm P 05 05 Resolvendo a equação d 1529 mm P 05π x 1529² x 85 3123 kN 1104 A barra está acoplada ao suporte por um pino de diâmetro d 25 mm Se a tensão de tração admissível para a barra for ζtadm 140 MPa e a tensão de apoio admissível entre o pino e a barra for ζaadm 210 MPa determine as dimensões w e t tais que a área bruta da área da seção transversal seja wt 1250 mm² e a carga P seja máxima Qual é essa carga Considere que o orifício da barra tem o mesmo diâmetro do pino Figura 1104 adm P 175 35t x 105 N adm P 525 x 105t N 175 35t x 105 525 x 105t t 20 mm P 525 x 105002 105 kN 625 mm Tensão 65 Resolução Steven Róger Duarte 1105 A viga composta de madeira está interligada por um parafuso em B Considerando que os acoplamentos em A e B C e D exerçam somente forças verticais na viga determine o diâmetro exigido para o parafuso em B e o diâmetro externo exigido para as respectivas arruelas se a tensão de tração admissível para o parafuso for ζtadm 150 MPa e a tensão de apoio admissível para a madeira for ζaadm 28 MPa Considere que o orifício das arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso Figura 1105 Resolvendo 1 e 2 obtemos 3 x 2 4FC 55FB 0 1 2 x 15 3 x 15 45FB 6FC 0 2 FB 44 kN e FC 455 kN σtadm dB 611 mm σaadm dm 154 mm 1106 A barra é mantida em equilíbrio por pinos em A e B Observe que o apoio em A tem uma única orelha o que envolve cisalhamento simples no pino e o apoio B tem orelha dupla o que envolve cisalhamento duplo A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é adm 150 MPa Se uma carga uniformemente distribuída w 8 kNm for colocada sobre a barra determine sua posição admissível mínima x em relação a B Cada um dos pinos A e B tem diâmetro de 8 mm Despreze qualquer força axial na barra Figura 1106 Dados adm 150 MPa dA dB 8 mm adm Bz 1508 kN 2i x Byj Bz k 3 05xi x 82 xk 0 x² 4x 44602 0 Resolvendo a equação Bz 24 8x 2x² kN x 0909 m Tensão 66 Resolução Steven Róger Duarte 1107 A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B Observe que o apoio em A tem uma única orelha o que envolve cisalhamento simples no pino e o apoio B tem orelha dupla o que envolve cisalhamento duplo A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é adm 125 MPa Se x 1 m determine a carga distribuída máxima w que a barra suportará Cada um dos pinos A e B tem diâmetro de 8 mm Despreze qualquer força axial na barra Figura 1107 Dados 2i x Byj Bzk 35i x wk 0 adm w 718 kNm By 0 kN Bz 175w kN 1108 A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B Observe que o apoio em A tem uma única orelha o que envolve cisalhamento simples no pino e o apoio B tem orelha dupla o que envolve cisalhamento duplo A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é adm 125 MPa Se x 1 m e w 12 kNm determine o menor diâmetro exigido para os pinos A e B Despreze qualquer força axial na barra Figura 1108 adm dB 103 mm 2i x Byj Bzk 35i x 12k 0 Bz 21 kN Az 9 kN adm dA 957 mm Tensão 67 Resolução Steven Róger Duarte 1109 O pino está submetido a cisalhamento duplo visto que é usado para interligar os três elos Devido ao desgaste a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo livre Determine o diâmetro d do pino se a tensão de cisalhamento admissível for adm 70 MPa e a carga P 40 kN Determine também as intensidades das cargas w1 e w2 Figura 1109 Dados adm 70 MPa P 40 kN 00375w1 P 00125w2 05P adm d w1 106667 kNm w2 160000 kNm d 19073 mm 1110 O pino está submetido a cisalhamento duplo visto que é usado para interligar os três elos Devido ao desgaste a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo livre Determine a carga máxima P que o acoplamento pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível para o material for adm 56 MPa e o diâmetro do pino for 125 mm Determine também as intensidades das cargas w1 e w2 Figura 1110 Dados adm 56 MPa d 125 mm 00375w1 P 00125w2 05P adm w1 26667P w2 40P P 13744 kN w1 26667 x 13744 36652 kNm w2 40 x 13744 54978 kNm Tensão 68 Resolução Steven Róger Duarte 1111 A chaveta é usada para manter as duas hastes juntas Determine a menor espessura t da chaveta e o menor diâmetro d das hastes Todas as partes são feitas de aço com tensão de ruptura por tração ζrup 500 MPa e tensão de ruptura por cisalhamento rup 375 MPa Use um fator de segurança FSt 250 em tração e FSc 175 em cisalhamento Figura 1111 σrup d 138 mm adm t 7 mm Tensão 69 Resolução Steven Róger Duarte 14 PROBLEMAS DE REVISÃO 1112 O parafuso longo passa pela chapa de 30 mm de espessura Se a força na haste do parafuso for 8 kN determine a tensão normal média na haste a tensão de cisalhamento média ao longo da área cilíndrica da chapa definida pelas linhas de corte aa e a tensão de cisalhamento média na cabeça do parafuso ao longo da área cilíndrica definida pelas linhas de corte bb Figura 1112 méd 208 MPa méda 472 MPa médb 455 MPa 1113 A sapata de apoio consiste em um bloco de alumínio de 150 mm por 150 mm que suporta uma carga de compressão de 6 kN Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no plano que passa pela seção aa Mostre os resultados em um elemento de volume infinitesimal localizado no plano Figura 1113 Vaa 6cos60 0 Naa 6sen60 0 Vaa 3 kN Naa 5196 kN A 25980762 mm² aa 1155 kPa aa 200 kPa Tensão 70 Resolução Steven Róger Duarte 1114 Determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais que passam pelos pontos D e E da estrutura Figura 1114 09senθFBC 6 x 12 0 Ax FBCcosθ 0 Ay 6 FBCsenθ 0 FBC 10 kN Ax 6 kN Ay 2 kN Ponto D ND 6 0 2 1125 VD 0 MD 2 x 045 1125 x 0225 0 ND 6 kN VD 313 kN MD 1153 kNm Ponto E NE 10 kN VE 0 kN ME 0 kNm Tensão 71 Resolução Steven Róger Duarte 1115 O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A Determine a tensão de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga Figura 1115 méd 796 MPa 1116 O cabo tem peso específico pesovolume e área de seção transversal A Se a flecha s for pequena de modo que o comprimento do cabo seja aproximadamente L e seu peso possa ser distribuído uniformemente ao longo do eixo horizontal determine a tensão normal média no cabo em seu ponto mais baixo C Figura 1116 w Ts 0 T méd Tensão 72 Resolução Steven Róger Duarte 1117 A viga AB é suportada por um pino em A e também por um cabo BC Um cabo separado CG é usado para manter a estrutura na posição vertical Se AB pesar 2 kNm e o peso da coluna FC for 3 kNm determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais localizadas nos pontos D e E Despreze a espessura da viga e da coluna nos cálculos Figura 1117 35TBCsenθ 72 x 18 0 Ax TBCcosθ 0 Ay TBCsenθ 72 0 TBC 113842 kN Ax 108 kN Ay 36 kN Ponto D ND TBCcosθ 0 VD TBCsenθ 36 0 MD 36 x 09 18TBCsenθ 0 ND 108 kN VD 0 kN MD 324 kNm Ponto E VE 27 0 NE 252 36 0 ME 27 x 12 0 VE 27 kN NE 216 kN ME 324 kNm Tensão 73 Resolução Steven Róger Duarte 1118 O tubo de concreto de 3 Mg está suspenso por três cabos Se os diâmetros de BD e CD forem 10 mm e AD tiver diâmetro de 7 mm determine a tensão normal média em cada cabo Figura 1118 senθ cosθ TAD TADcosθ x cos60i TADcosθ x cos30j TADsenθk TBD TBDcosθi TBDcosθ x cos90j TBDsenθk TAD TBD TCD T 10968 kN TCD TCDcosθ x cos60i TCDcosθ x cos30j TCDsenθk W 2943 kNk CD BD 140 MPa AD 285 MPa 1119 O acoplamento de gancho e haste está sujeito a uma força de tração de 5 kN Determine a tensão normal média em cada haste e a tensão de cisalhamento média no pino A entre os elementos Figura 1119 30 707 MPa 40 398 MPa méd 509 MPa Tensão 74 Resolução Steven Róger Duarte 15 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro R C Hibbeler Correção 112 NC 162 kN VC 54 kN MC 1296 kNm NC 18 kN VC 1723 kN MC 24 kNm NC 764 kN VC 1527 kN MC 1296 kNm NC 085 kN VC 17 kN MC 24 kNm 140 Padm 1092 kN Padm 273 kN 141 σ 308 MPa σ 0123 MPa 149 σ 25 MPa méd 14434 MPa σ 25 KPa méd 1434 kPa 154 σ 53333 Pa méd 92376 Pa σ 53333 kPa méd 92376 kPa 181 h 75 mm d 135 mm 186 d 15 mm d 10 mm d 15 mm h 10 mm 196 ABC 1834416 mm² dA 41854 mm dB 29595 mm ABC4126 mm² dA1984 mm dB1403 mm 1110 w1 36652 kNm w2 54978 kNm w136652 kNm w254978 kNm P 13744 kN Quadro 1 Correção 75 Capítulo 2 D Deeffoorrm maaççããoo DDeeffoorrm maaççããoo SSeem mpprree qquuee uum maa ffoorrççaa éé aapplliiccaaddaa aa uum m ccoorrppoo eessttaa tteennddee aa m muuddaarr aa ffoorrm maa ee oo ttaam maannhhoo ddeellee EEssssaass m muuddaannççaass ssããoo ddeennoom miinnaaddaass ddeeffoorrm maaççõõeess ee ppooddeem m sseerr aallttaam meennttee vviissíívveeiiss oouu pprraattiiccaam meennttee iim mppeerrcceeppttíívveeiiss ssee nnããoo ffoorreem m uuttiilliizzaaddooss eeqquuiippaam meennttooss qquuee ffaaççaam m m meeddiiççõõeess pprreecciissaass DDee m mooddoo ggeerraall aa ddeeffoorrm maaççããoo ddee uum m ccoorrppoo nnããoo sseerráá uunniiffoorrm mee eem m ttooddoo oo sseeuu vvoolluum mee ee ppoorrttaannttoo aa m muuddaannççaa nnaa ggeeoom meettrriiaa ddee ccaaddaa sseeggm meennttoo ddee rreettaa nnoo iinntteerriioorr ddoo ccoorrppoo ppooddee vvaarriiaarr aaoo lloonnggoo ddee sseeuu ccoom mpprriim meennttoo CCoom m iissssoo ppeerrcceebbeem mooss qquuee aa qquuaannttiiddaaddee ddaa m muuddaannççaa eem m qquuaallqquueerr sseeggm meennttoo ddee rreettaa llooccaalliizzaaddoo eem m uum m ppoonnttoo ddiissttiinnttoo ddoo ccoorrppoo sseerráá ddiiffeerreennttee ddaa oobbsseerrvvaaddaa eem m qquuaallqquueerr oouuttrroo ppoonnttoo AAlléém m ddiissssoo eessssaass m muuddaannççaass ttaam mbbéém m ddeeppeennddeem m ddaa oorriieennttaaççããoo ddoo sseeggm meennttoo ddee rreettaa nnoo ppoonnttoo eem m qquueessttããoo DDeeffoorrm maaççããoo nnoorrm maall O O aalloonnggaam meennttoo oouu ccoonnttrraaççããoo ddee uum m sseeggm meennttoo ddee rreettaa ppoorr uunniiddaaddee ddee ccoom mpprriim meennttoo éé ddeennoom miinnaaddoo ddeeffoorrm maaççããoo nnoorrm maall SSee aa ddeeffoorrm maaççããoo nnoorrm maall ffoorr ccoonnhheecciiddaa ppooddeem mooss uussaarr eessssaa eeqquuaaççããoo ppaarraa oobbtteerr oo ccoom mpprriim meennttoo ffiinnaall aapprrooxxiim maaddoo ddee uum m sseeggm meennttoo ccuurrttoo ddee rreettaa nnaa ddiirreeççããoo ddee nn aappóóss aa ddeeffoorrm maaççããoo TTeem mooss Δs 1 Δs Por consequência quando é positivo a reta inicial se alongará ao passo que se for negativo a reta se contrairá Deformação por cisalhamento A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento Esse ângulo é representado por e medido em radianos rad Análise de pequenas deformações A maioria dos projetos de engenharia envolvem aplicações para as quais são permitidas somente pequenas deformações Por exemplo quase todas as estruturas e máquinas parecem ser rígidas e as deformações que ocorrem durante a utilização dificilmente são percebidas Além disso ainda que a deflexão de um elemento como uma chapa fina ou haste delgada seja aparentemente grande o material de que ele é feito poderá estar submetido somente a deformações muito pequenas Deformação 76 Resolução Steven Róger Duarte 21 PROBLEMAS 21 O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm Se a pressão do ar em seu interior for aumentada até o diâmetro atingir 175 mm determine a deformação normal média na borracha 01667 mmmm 22 O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375 mm Se a fita for esticada ao redor de um cano de diâmetro externo 125 mm determine a deformação normal média na fita 00472 mmmm 23 A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD Figura 23 ΔBD 42857 mm CE 00025 mmmm BD 000107 mmmm Deformação 77 Resolução Steven Róger Duarte 24 O diâmetro da parte central do balão de borracha é d 100 mm Se a pressão do ar em seu interior provocar o aumento do diâmetro do balão até d 125 mm determine a deformação normal média na borracha Figura 24 méd 025 mmmm 25 A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE Se a carga P aplicada à viga for deslocada 10 mm para baixo determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD Figura 25 ΔBD 42857 mm ΔCE 7142857 mm CEméd 179 x 103 mmmm BDméd 143 x 103 mmmm Deformação 78 Resolução Steven Róger Duarte 26 A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE Se a deformação admissível máxima em cada cabo for máx 0002 mmmm determine o deslocamento vertical máximo da carga P Figura 26 Dados máx 002 mmmm LCE 4 m máx ΔCE 8 mm ΔP 112 mm 27 Os dois cabos estão interligados em A Se a força P provocar um deslocamento horizontal de 2 mm no ponto em A determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo Figura 27 LCA 301733 mm AC 000578 mmmm Deformação 79 Resolução Steven Róger Duarte 28 Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento rígido CBD e um cabo flexível AB Se uma força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma rotação θ 03º determine a deformação normal no cabo Em sua posição original o cabo não está esticado Figura 28 AB² 400² 300² 2400300cos903 AB 50125506 mm AB 251 x 103 mmmm 29 Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento CBD e um cabo flexível AB Se uma força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma deformação normal no cabo de 00035 mmmm determine o deslocamento do ponto D Em sua posição original o cabo não está esticado Figura 29 Dados AC 400 mm CB 300 mm CD 600 mm AB 1 AB 50175 mm 50175 ² 400² 300² 2400300cosϕ ϕ 90418 θ 9048º 90 0418 DD 600 x 0418º 438 mm Deformação 80 Resolução Steven Róger Duarte 210 O cabo AB não está esticado quando θ 45º Se uma carga vertical for aplicada à barra AC e provocar a mudança do ângulo para θ 47º determine a deformação normal no cabo Figura 210 AB L L² ² BA² 2 BAcos20435º BC L Resolvendo a equação acima obtemosBA 14705L 18435 2 20435 AB 00398 mmmm 211 Se a carga aplicada á barra AC provocar o deslocamento do ponto A para a esquerda de uma quantidade ΔL determine a deformação normal no cabo AB Originalmente θ 45º Figura 211 Dados AB L BA² ΔL² L² 2ΔL cos135 AB 1 BA AB Deformação 81 Resolução Steven Róger Duarte 212 A forma original de uma peça de plástico é retangular Determine a deformação por cisalhamento xy nos cantos A e B se o plástico se distorcer como mostra as linhas tracejadas Figura 212 α 000662252 rad β θ 000496278 rad xy α β 116 x 103 rad xy θ α 116 x 103 rad 213 A forma original de uma peça de plástico é retangular Determine a deformação por cisalhamento xy nos cantos D e C se o plástico se distorcer como mostram as linhas tracejadas Figura 213 Dados α 000662252 rad β 000496278 rad Ver Problema anterior xy α β 116 x 103 rad xy α β 116 x 103 rad 214 A forma original de uma peça de plástico é retangular Determine a deformação normal média que ocorrer ao longo das diagonais AC e DB Figura 214 Deformação 82 Resolução Steven Róger Duarte AC 500 mm DC 302007 mm DB 5064 mm DA 403005 mm β 03794 α 5008 mm AC 16 x 103 mmmm DB 128 x 103 mmmm 215 Originalmente o cabo de ancoragem AB de uma estrutura de edifício não está esticado Devido a um terremoto as duas colunas da estrutura inclinamse até um ângulo θ 2º Determine a deformação normal aproximada do cabo quando a estrutura estiver nessa posição Considere que as colunas são rígidas e giram ao redor de seus apoios inferiores Figura 215 xB 4sen2 01396 m AB 50827 m yB 4cos2 39976 m AB 168 x 103 mm xA sen2 00349 m Deformação 83 Resolução Steven Róger Duarte 216 Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados Determine a deformação por cisalhamento ao longo das bordas da chapa em A e B Figura 216 θA 45 θB 45 θA 435607 θB 4643923 xy 2 005024 rad xy 2 005024 rad 217 Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados Determine as deformações normais médias ao longo do lado AB e das diagonais AC e DB Figura 217 AC 500 mm AC 20 x 103 mmmm AC 510 mm AB 4686 x 103 mmmm AB 353553 mm DB 30 x 103 mmmm AB 351897 mm DB 500 mm DB 485 mm Deformação 84 Resolução Steven Róger Duarte 218 O quadrado deformase até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação normal média ao longo de cada diagonal AB e CD O lado DB permanece horizontal Figura 218 AB 70711 mm CD AB 70824 mm CD 796 mm AB 161 x 103 mmmm CD 126 x 103 mmmm 219 O quadrado deformase até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação por cisalhamento em cada um de seus cantos A B C e D O lado DB permanece horizontal Figura 219 00262 rad 0205 rad 00262 rad 0205 rad Deformação 85 Resolução Steven Róger Duarte 220 O bloco é deformado até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação normal média ao longo da reta AB Figura 220 AB 1077033 mm AB 00381 mmmm h 1089725 mm AB 1118034 mm 221 Um cabo fino que se encontra ao longo do eixo x é deformado de tal modo que cada um de seus pontos sofre um deslocamento Δx kx² ao longo do eixo Se k for constante qual é a deformação normal em qualquer ponto P ao longo do cabo Figura 221 2kx Deformação 86 Resolução Steven Róger Duarte 222 A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada Determine a deformação por cisalhamento média xy da chapa Figura 222 tangθ θ 11458 θ 90 11458 911458º 002 rad 223 A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação por cisalhamento média xy da chapa Figura 223 θ 88854 002 rad Deformação 87 Resolução Steven Róger Duarte 224 A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas Determine as deformações normais médias ao longo da diagonal AC e do lado AB Figura 224 CD AB 15003 mm 25240642 mm θ arctang 88854 AB 2 x 104 mmmm ϕ 180 88854 9114576 AC 963 x 103 mmmm 225 A forma original da peça de borracha é retangular Determine a deformação por cisalhamento média xy se os cantos B e D forem submetidos a deslocamentos que provoquem a distorção da borracha mostrada pelas linhas tracejadas Figura 225 tang1 04297 θ tang1 0382 θ θ 0497 0382 0879 x 00142 rad Deformação 88 Resolução Steven Róger Duarte 226 A forma original da peça de borracha é retangular e ela é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação normal média ao longo da diagonal DB e do lado AD Figura 226 AD 400011 mm DB 4966 mm AB 300007 mm DB 000680 mmmm ϕ arctng 0382 AD 00281 x 103 mmmm θ arctng 043 α 90 0382 043 891883 227 O material é distorcido até a posição como mostra a figura Determine a as deformações normais médias x e y e a deformação por cisalhamento xy em A e b a deformação normal média ao longo da reta BE Figura 227 a x 0 y 000319 mmmm xy arctang 4574 00798 rad b BB 8 mm BE 9265 mm EE 6 mm BE 00179 mmmm BE 9434 mm x 80 6 8 78 mm Deformação 89 Resolução Steven Róger Duarte 228 O material é distorcido até a posição como mostra a figura Determine a deformação normal média que ocorre ao longo das diagonais AD e CF Figura 228 AD CF 148408 mm AD 1570032 mm tang1 6843 AD 00579 mmmm FD 12590 mm tang1 4574 CF 1432654 mm AC 1254 mm CF 00347 mmmm 229 O bloco é deformado até a posição mostrada pelas linhas tracejadas Determine a deformação por cisalhamento nos cantos C e D Figura 229 0137 rad 0137 rad Deformação 90 Resolução Steven Róger Duarte 230 O comprimento original da barra é 30 mm quando está reta Se ela for submetida a uma deformação por cisalhamento definida por onde x é dado em milímetros determine o deslocamento Δy na extremidade de sua borda inferior A barra foi distorcida até a forma mostrada na qual não ocorre alongamento da barra na direção x Figura 230 Δy 203 mm 231 O raio original do tubo curvado é 06 m Se ele sofrer aquecimento não uniforme que provoque uma deformação normal ao longo de seu comprimento 005cosθ determine o aumento no comprimento do tubo Figura 231 d rdθ 0030 m 30 mm Deformação 91 Resolução Steven Róger Duarte 232 Resolva o Problema 231 considerando 008senθ Figura 232 d rdθ 0048 m 48 mm 233 Um cabo fino é enrolado ao longo da superfície cuja forma é y 002x² onde x e y são dados em mm A posição original da extremidade B é x 250 mm Se o cabo sofrer uma deformação normal 00002x ao longo de seu comprimento determina mudança no comprimento do cabo Dica Para a curva y fx ds dx Figura 233 AB dL 00002 x 42252 mm Deformação 92 Resolução Steven Róger Duarte 234 A fibra AB tem comprimento L e orientação θ Se suas extremidades A e B sofrerem deslocamentos muito pequenos uA e vB respectivamente determine a deformação normal na fibra quando ela estiver na posição AB Figura 234 LAB AB 1 235 Se a deformação normal for definida em relação ao comprimento final isto é em vez de em relação ao comprimento original Equação 22 mostre que a diferença entre essas deformações é representada como um termo de segunda ordem a saber n n nn Logo Deformação 93 Resolução Steven Róger Duarte 22 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro R C Hibbeler Correção 24 CE 000250 mmmm BD 000107 mmmm méd 025 mmmm 216 005024 rad 005024 rad 005024 rad 005024 rad Quadro 2 Correção 94 Capítulo 3 P Prroopprriieeddaaddeess m meeccâânniiccaass ddooss m maatteerriiaaiiss O O eennssaaiioo ddee ttrraaççããoo ee ccoom mpprreessssããoo AA rreessiissttêênncciiaa ddee uum m m maatteerriiaall ddeeppeennddee ddee ssuuaa ccaappaacciiddaaddee ddee ssuuppoorrttaarr uum maa ccaarrggaa sseem m ddeeffoorrm maaççããoo eexxcceessssiivvaa oouu rruuppttuurraa EEssssaa pprroopprriieeddaaddee éé iinneerreennttee aaoo pprróópprriioo m maatteerriiaall ee ddeevvee sseerr ddeetteerrm miinnaaddaa ppoorr m mééttooddooss eexxppeerriim meennttaaiiss UUm m ddooss tteesstteess m maaiiss iim mppoorrttaanntteess nneesssseess ccaassooss éé oo eennssaaiioo ddee ttrraaççããoo oouu ccoom mpprreessssããoo EEm mbboorraa sseejjaa ppoossssíívveell ddeetteerrm miinnaarr m muuiittaass pprroopprriieeddaaddeess m meeccâânniiccaass iim mppoorrttaanntteess ddee uum maa m maatteerriiaall ppoorr eessssee tteessttee eellee éé uussaaddoo pprriinncciippaallm meennttee ppaarraa ddeetteerrm miinnaarr aa rreellaaççããoo eennttrree aa tteennssããoo nnoorrm maall m mééddiiaa ee aa ddeeffoorrm maaççããoo nnoorrm maall m mééddiiaa eem m m muuiittooss m maatteerriiaaiiss uussaaddooss nnaa eennggeennhhaarriiaa ccoom moo m meettaaiiss cceerrââm miiccaass ppoollíím meerrooss ee ccoom mppóóssiittooss M Maatteerriiaaiiss ddúúcctteeiiss Q Quuaallqquueerr m maatteerriiaall qquuee ppoossssaa sseerr ssuubbm meettiiddoo aa ggrraannddeess ddeeffoorrm maaççõõeess aanntteess ddee ssooffrreerr rruuppttuurraa éé ddeennoom miinnaaddoo m maatteerriiaall ddúúccttiill M Maatteerriiaaiiss ffrráággeeiiss M Maatteerriiaaiiss qquuee eexxiibbeem m ppoouuccoo oouu nneennhhuum m eessccooaam meennttoo aanntteess ddaa ffaallhhaa ssããoo ddeennoom miinnaaddooss m maatteerriiaaiiss ffrráággeeiiss LLeeii ddee HHooookkee O O ddiiaaggrraam maa tteennssããooddeeffoorrm maaççããoo ppaarraa aa m maaiioorriiaa ddooss m maatteerriiaaiiss ddee eennggeennhhaarriiaa eexxiibbee uum maa rreellaaççããoo lliinneeaarr eennttrree tteennssããoo ee ddeeffoorrm maaççããoo ddeennttrroo ddaa rreeggiiããoo eelláássttiiccaa PPoorr ccoonnsseeqquuêênncciiaa uum m aauum meennttoo nnaa tteennssããoo pprroovvooccaa uum m aauum meennttoo pprrooppoorrcciioonnaall ddaa ddeeffoorrm maaççããoo EEssssee ffaattoo ffooii ddeessccoobbeerrttoo ppoorr RRoobbeerrtt HHooookkee eem m 11667766 ppaarraa m moollaass ee éé ccoonnhheecciiddoo ccoom moo lleeii ddee HHooookkee ee ppooddee sseerr eexxpprreessssoo m maatteem maattiiccaam meennttee ccoom moo EE Coeficiente de Poisson Quando submetido a uma força de tração axial um corpo deformável não apenas se alonga mas também se contrai lateralmente No início do século XIX o cientista francês S D Poisson percebeu que dentro da faixa elástica a razão entre essas deformações é uma constante visto que e são proporcionais Essa constante é denominada coeficiente de Poisson v nu e seu valor numérico é único para um determinado material homogênio e isotrópico Em termos matemáticos v Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal deformação positiva provoca contração lateral deformação negativa e viceversa Propriedades Mecânicas dos Materiais 95 Resolução Steven Róger Duarte 31 PROBLEMAS 31 Um cilindro de concreto com 150 mm de diâmetro e 300 mm de comprimento de referência é testado sob compressão Os resultados do ensaio são apresentados na tabela como carga em relação à contração Desenhe o diagrama tensãodeformação usando escalas de 10 mm 2 MPa e 10 mm 01 103 mmmm Use o diagrama para determinar o módulo de elasticidade aproximado Figura 31 Eaprox 2667 GPa 32 Os dados obtidos em um ensaio de tensãodeformação para um material cerâmico são dados na tabela A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência Figura 32 Eaprox 3873 GPa ur 00696 MJm³ Propriedades Mecânicas dos Materiais 96 Resolução Steven Róger Duarte 33 Os dados obtidos em um ensaio de tensãodeformação para um material cerâmico são dados na tabela A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade A tensão de ruptura é σr 3738 MPa Figura 33 ut 0595 MJm³ 34 Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 13 mm e 50 mm de comprimento de referência foi submetido a um ensaio de tração Os dados resultantes são apresentados na tabela Construa o gráfico do diagrama tensãodeformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade da tensão de escoamento do limite de resistência e da tensão de ruptura Use uma escala de 10 mm 209 MPa e 10 mm 005 mmmm Desenhe novamente a região elástica usando a mesma escala de tensão mas use uma escala de deformação de 10 mm 0001 mmmm Figura 34 Eaprox 2608 GPa Propriedades Mecânicas dos Materiais 97 Resolução Steven Róger Duarte 35 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação para um açoliga com 12 mm de diâmetro original e comprimento de referência 50 mm Determine os valores para o material a carga aplicada ao corpo de prova que causa escoamento e a carga máxima que o corpo de prova suportará Figura 35 Dados E 290 GPa Pe 3280 kN Pmáx 622 kN 36 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação para um açoliga com 12 mm de diâmetro original e 50 mm de comprimento de referência Se o corpo de prova for submetido a carga de tração até 500 MPa determine o valor aproximado da recuperação elástica e do aumento no comprimento de referência após o descarregamento Figura 36 E 290 GPa 172414 x 103 mmmm 172414 x 103 x 50 008621 mm Aumento no comprimento 008 000172414 x 50 391379 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 98 Resolução Steven Róger Duarte 37 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação para um açoliga com 12 mm de diâmetro original e 50 mm de comprimento de referência Determine os valores aproximados do módulo de resiliência e do módulo de tenacidade para o material Figura 37 ur 0145 MPa ut 33 x 004 x 100 132 MPa 38 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação de uma barra de aço Determine os valores aproximados do módulo de elasticidade limite de proporcionalidade limite de resistência e módulo de resiliência Se a barra for submetida a uma carga de tração de 450 MPa determine o valor da recuperação da deformação elástica e da deformação permanente na barra quando descarregada Figura 38 325 MPa 500 MPa Propriedades Mecânicas dos Materiais 99 Resolução Steven Róger Duarte 39 A figura mostra o diagrama σ para as fibras elásticas que compõem a pele e os músculos dos seres humanos Determine o módulo de elasticidade das fibras e estime os módulos de tenacidade e de resiliência Figura 39 E 385 kPa ur 77 kPa ut 77 385 77 x 13475 kPa 310 Uma barra de aço A36 tem comprimento de 1250 mm e área de seção transversal de 430 mm² Determine o comprimento da barra se ela for submetida a uma tração axial de 25 kN O material tem comportamento elástico linear Figura 310 5814 MPa E 2907 x 104 mmmm L L0 L0 2907 x 104 x 1250 1250 1250363 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 100 Resolução Steven Róger Duarte 311 O diagrama tensãodeformação para o polietileno que é utilizado para revestir cabos coaxiais é determinado por um ensaio com um corpo de prova com comprimento de referência de 250 mm Se uma carga P aplicada ao corpo de prova desenvolver uma deformação 0024 mmmm determine o valor aproximado do comprimento do corpo de prova medido entre os pontos de referência quando a carga é removida Considere que o corpo de prova se recupere elasticamente Figura 311 E 35 GPa 35 x 109 001657 mmmm L L0 L0 001657 x 250 250 254143 mm 312 A figura mostra o diagrama tensãodeformação para fibra de vidro Se uma barra de 50 mm de diâmetro e 2 m de comprimento fabricada com esse material for submetida a uma carga de tração axial de 60 kN determine seu alongamento Figura 312 3056 MPa 10375 x 102 mmmm L 0010375 x 50 208 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 101 Resolução Steven Róger Duarte 313 A mudança de peso de um avião é determinada pela leitura de um extensômetro A montado no suporte de alumínio da roda do avião Antes de o avião ser carregado a leitura do extensômetro no suporte é 1 000100 mmmm ao passo que após o carregamento é 2 000243 mmmm Determine a mudança na força que age sobre o suporte se a área da seção transversal dele for 2200 mm² Eal 70 GPa Figura 313 2 1 000243 000100 000143 mmmm Eal 000143 x 70 x 109 1001 MPa ΔP 22022 kN 314 Um corpo de prova com comprimento original de 300 mm tem diâmetro original de 12 mm e é submetido a uma força de 25 kN Quando a força é aumentada para 9 kN o corpo de prova sofre um alongamento de 225 mm Determine o módulo de elasticidade para o material se ele permanecer elástico ΔP P2 P1 65 kN 57473 MPa Δ ΔL E 7663 MPa 315 Um elemento estrutural de um reator nuclear é feito de uma liga de zircônio Se esse elemento tiver se suportar uma carga axial de 20 kN determine a área da seção transversal exigida Use um fator de segurança 3 em relação ao escoamento Qual é a carga sobre o elemento se ele tiver 1 m de comprimento e seu alongamento for 05 mm Ezr 100 GPa σe 400 MPa O material tem comportamento elástico Dados P 20 kN FS 3 05 mm Ezr 100 GPa σe 400 MPa L 1 m Aexig 150 mm² P 75 kN Propriedades Mecânicas dos Materiais 102 Resolução Steven Róger Duarte 316 O poste é sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de aço A36 Se o diâmetro do arame for 5 mm determine quanto ele se deforma quando uma força horizontal de 15 kN agir sobre o poste Figura 316 LAB 254 m 8334 MPa 15 x 12 22 x TABsen30 0 0004167 mmmm TAB 163636 kN LAB 0004167 x 2540 10586 mm 317 A adição de plastificadores ao cloreto de polivinil provoca a redução de sua rigidez Os diagramas tensãodeformação apresentados a seguir mostram tal efeito para três tipos desse material Especifique o tipo que deve ser usado na fabricação de uma haste com 125 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro que terá de suportar no mínimo uma carga axial de 100 kN e alongar no máximo 6 mm Figura 317 5093 MPa 0048 mmmm Logo o material que atende as características do diagrama tensão deformação é o copolímero Propriedades Mecânicas dos Materiais 103 Resolução Steven Róger Duarte 318 Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg Se a tensão axial admissível para os cabos for σadm 130 MPa determine o diâmetro exigido para cada cabo Além disso qual é o novo comprimento do cabo AB após a aplicação da carga Considere que o comprimento não alongado de AB seja 750 mm Eaço 200 GPa Figura 318 WA 200 x 981 1962 N Resolvendo 1 e 2 obtemos TABcos60 06TAC 0 1 TABsen60 08TAC WA 0 2 TAB 1280177 N e TAC 106677 N dAB 354 mm dAC 323 mm LAB 1 LAB 75049 mm 319 A figura mostra o diagrama tensãodeformação para duas barras de poliestireno Se a área da seção transversal da barra AB for 950 mm² e a de BC for 2500 mm² determine a maior força P que pode ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura Considere que não ocorre nenhuma flambagem Figura 319 Dados AAB 950 mm² ABC 2500 mm² P 9975 kN 12P 1206FAB 0 08FAB Cx 0 P 6563 kN FAB 1667P Cx FCB 1333P Propriedades Mecânicas dos Materiais 104 Resolução Steven Róger Duarte 320 A figura mostra o diagrama tensãodeformação de duas barras de poliestireno Determine a área da seção transversal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simultânea quando a carga P 15 kN é aplicada Considere que não ocorra nenhuma flambagem Figura 320 Dados AAB 14286 mm² 12 x 15 1206FAB 0 08 x 25 Cx 0 ABC 57143 mm² FAB 25 kN Cx FCB 20 kN 321 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação para uma resina de poliéster Se a viga for suportada por uma barra AB e um poste CD ambos feitos desse material e for submetida à carga P 80 kN determine o ângulo de inclinação da viga quando a carga for aplicada O diâmetro da barra é 40 mm e o diâmetro do poste é 80 mm Figura 321 Dados dAB 40 mm dCD 80 mm E 322 GPa AB 00098854 mmmm FAB FCD 80 0 31831 MPa CD 000247133 mmmm FAB FCD 40 kN 7958 MPa ABLAB 197708 mm CDLCD 1235665 mm α arctang 0708 Propriedades Mecânicas dos Materiais 105 Resolução Steven Róger Duarte 322 A figura apresenta o diagrama tensãodeformação para uma resina de poliéster Se a viga for suportada por uma barra AB e um poste CD ambos feitos desse material determine a maior carga P que pode ser aplicada à viga antes da ruptura O diâmetro da barra é 12 mm e o diâmetro do poste é 40 mm Figura 322 Dados dAB 12 mm dCD 40 mm FAB FCD P 0 P 1131 kN P 23876 kN FAB FCD 05P 323 A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de aço A36 Se o cabo tiver diâmetro de 5 mm determine quanto ele estica quando um carregamento distribuído w 15 kNm agir sobre o tubo O material permanece elástico Figura 323 LAB 346 m 22918 MPa 45 x 15 3FABsen30 0 1146 x 103 mmmm FAB 45 kN LAB 1146 x 103 x 3460 3970 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 106 Resolução Steven Róger Duarte 324 A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de aço A36 Se o cabo tiver diâmetro de 5 mm determine o carregamento w se a extremidade B for deslocada 18 mm para baixo Figura 324 Dados AB 346 m Eaço 200 GPa α arctang 0343776 15 x 3w 3FABsen30 0 AB FAB 3w AB 34731 m 259471 x 103 mmmm 152788745w Eaço w 340 kNm 325 Às vezes são instalados indicadores de tração em vez de torquímetros para garantir que um parafuso tenha a tração prescrita quando utilizado em conexões Se uma porca do parafuso for apertada de tal modo que seis cabeças do indicador cujas alturas originais eram de 3 mm forem esmagadas até 03 mm deixando uma érea de contato de 15 mm² em cada cabeça determine a tensão na haste do parafuso O diagrama tensãodeformação do material é mostrado na figura Figura 325 01 mmmm Equação da reta que passa pelos pontos 00015 mmmm450 MPa e 03 mmmm600 MPa σ 502513 449246 Logo quando 01 mmmm temos σ 502513 x 01 449246 500 MPa T 6A 6 x 15 x 500 450 kN Propriedades Mecânicas dos Materiais 107 Resolução Steven Róger Duarte 32 PROBLEMAS 326 A haste plástica de acrílico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro Se uma carga axial de 300 N for aplicada a ela determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro Ep 270 GPa vp 04 Figura 326 16976 MPa long 000062874 mmmm longL 0126 mm v lat 00002515 mmmm dlat 000377 mm 327 O bloco é feito de titânio Ti6A14V É submetido a uma compressão de 15 mm ao longo do eixo y e sua forma sofre uma inclinação de θ 897 Determine x y e xy Figura 327 Dados Ly 100 mm vti 036 yLy y 001500 mmmm vti x 000540 mmmm α 180 897 903 000524 rad 328 Um bloco cilíndrico curto de bronze C86100 com diâmetro original de 38 mm e comprimento de 75 mm é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até atingir o comprimento de 745 mm Determine o novo diâmetro do bloco Dado vb 034 L L0 745 75 05 mm y 6667 x 103 mmmm vb x 22667 x 103 mmmm d d dx 38 38 x 22667 x 103 380861 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 108 Resolução Steven Róger Duarte 329 A figura mostra a porção elástica do diagrama tensãodeformação para um açoliga O corpo de prova do qual ela foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e comprimento de referência de 50 mm Quando a carga aplicada ao corpo de prova for 50 kN o diâmetro é 1299265 mm Determine o coeficiente de Poisson para o material Figura 329 Dados P 50 kN d0 13 mm d 1299265 mm E 200 GPa σ 3767 MPa σ Elong long 1883 x 103 mmmm lat 56538 x 104 mm mm v 0300 330 A figura mostra a porção elástica do diagrama tensãodeformação para um açoliga O corpo de prova do qual ela foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e comprimento de referência de 50 mm Se uma carga P 20 kN for aplicada ao corpo de prova determine seu diâmetro e comprimento de referência Considere v 04 Figura 330 Dados P 20 kN d0 13 mm L 50 mm v 04 E 200 GPa σ 15068 MPa σ Elong long 7534 x 104 mmmm L L Llong 500377 mm lat 30136 x 104 mmmm d d0 d0lat 1299608 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 109 Resolução Steven Róger Duarte 331 A figura mostra o diagrama tensãodeformação de cisalhamento para um açoliga Se um parafuso de 6 mm de diâmetro feito desse material for utilizado em uma junta sobreposta determine o módulo de elasticidade E e a força P exigida para provocar o escoamento do material Considere v 03 Figura 331 Dados d 6 mm v 03 350 MPa P 9896 kN 875 GPa G E 2275 GPa 332 As sapatas do freio do pneu de uma bicicleta são feitas de borracha Se uma força de atrito de 50 N for aplicada de cada lado dos pneus determine a deformação por cisalhamento média na borracha As dimensões da seção transversal de cada sapata são 20 mm e 50 mm Gb 020 MPa Figura 332 Dado Gb 020 MPa 50 kPa Gb 0250 rad Propriedades Mecânicas dos Materiais 110 Resolução Steven Róger Duarte 333 O tampão tem diâmetro de 30 mm e ajustase ao interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32 mm Ambos tampão e luva têm 50 mm de comprimento Determine a pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva Determine também a que distância o tampão deve ser comprimido para baixo para que isso aconteça O material do tampão tem E 5 MPa e v 045 Figura 333 2 x 107p dt dl latdt dt dl p 741 kPa 741 mm 334 O bloco de borracha é submetido a um alongamento de 075 mm ao longo do eixo x e suas faces verticais sofrem uma inclinação de modo que θ 893 Determine as deformações x y e xy Considere vb 05 Figura 334 Dado vb 05 x 000750 mmmm vb y 000375 mmmm 00122 rad Propriedades Mecânicas dos Materiais 111 Resolução Steven Róger Duarte 33 PROBLEMAS DE REVISÃO 335 A figura mostra a porção elástica do diagrama tensãodeformação para uma liga de alumínio O corpo de prova usado para o ensaio tem comprimento de referência de 50 mm e 125 mm de diâmetro Quando a carga aplicada for 45 kN o novo diâmetro do corpo de prova será 1248375 mm Calcule o módulo de cisalhamento Gal para o alumínio Figura 335 E 81433 GPa 366693 MPa 4503 x 103 mmmm lat 4503103v 1248375 125 125 x 0004503v v 02887 3160 GPa 336 A figura mostra a porção elástica do diagrama tensãodeformação para uma liga de alumínio O corpo de prova usado para o ensaio tem comprimento de referência de 50 mm e 125 mm de diâmetro Quando a carga aplicada é 50 kN determine o novo diâmetro do corpo de prova O módulo de cisalhamento Gal 28 GPa Figura 336 E 81433 GPa 4074366 MPa 50032 x 103 mmmm lat 50032103v v 0454 lat 50032 x 103 x 0454 2272 x 103 mmmm d d dlat 124716 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 112 Resolução Steven Róger Duarte 337 O cabeçote H está acoplado ao cilindro de um compressor por seis parafusos de aço Se a força de aperto de cada parafuso for 4 kN determine a deformação normal nos parafusos Cada um deles tem 5 mm de diâmetro Se ζe 280 MPa e Eaço 200 GPa qual é a deformação em cada parafuso quando a porca é desatarraxada aliviando assim a força de aperto Figura 337 20372 MPa σp Eaço 00010186 mmmm Ao desatarraxar a porca o parafuso volta ao seu tamanho original pois σp σe 280 MPa 0 logo 0 338 O tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de aço A36 Se o diâmetro do cabo for 5 mm determine o quanto ele é esticado quando uma carga P 15 kN age sobre o tubo O material permanece elástico Figura 338 LAB 2771 m 15279 MPa 24 x 15 24TABcos60 0 σAB Eaço 763944 x 104 mmmm TAB 3 kN LAB 763944 x104 x 2771 21171 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 113 Resolução Steven Róger Duarte 339 O tubo rígido é sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de aço A36 Se o diâmetro do cabo for 5 mm determine a carga P se a extremidade B for deslocada 25 mm para a direita Figura 339 Dados dAB 5 mm Eaço 200 Gpa LAB 2771 m BC 24 m AC 1386 m 10186 x 105P 24P 24TABcos60 0 σAB Eaço 5093 x 107P TAB 2P LAB LAB LAB 27713 141075106P 0059683 LAB 2772531 mm 27713 141075106P 2772531 P 0885 kN 340 Ao ser submetido a um ensaio de tração um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de 50 mm sofre uma deformação de 040 mmmm quando a tensão é de 490 MPa Se ζe 315 MPa quando e 00025 mmmm determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada 38889 x 103 mmmm p 040 00038889 03961 mmmm L pL 50 03961 x 50 69806 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 114 Resolução Steven Róger Duarte 341 O parafuso de 8 mm de diâmetro é feito de uma liga de alumínio e está instalado em uma luva de magnésio com diâmetro interno de 12 mm e diâmetro externo de 20 mm Se os comprimentos originais do parafuso e da luva forem 80 mm e 50 mm respectivamente determine as deformações na luva e no parafuso se a porca do parafuso for apertada de tal modo que a tensão no parafuso seja de 8 kN Considere que o material em A é rígido Eal 70 GPa Emg 45 GPa Figura 341 15915 MPa σp Ealp p 000227 mmmm 39789 MPa σl Emgl l 0000884 mmmm 342 Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 125 mm e comprimento de referência de 50 mm foi submetido a um ensaio de tração Os dados resultantes do teste são apresentados na tabela Construa o diagrama tensãodeformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade limite de resistência e tensão de ruptura Use uma escala de 20 mm 50 MPa e 20 mm 005 mmmm Desenhe novamente a região elástica linear usando a mesma escala de tensão mas uma escala de deformação de 20 mm 0001 mmmm Figura 342 A 12272 x 104 m² Eaprox 250 GPa Propriedades Mecânicas dos Materiais 115 Resolução Steven Róger Duarte 343 Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 125 mm e comprimento de referência de 50 mm foi submetido a um ensaio de tração Usando os dados apresentados na tabela construa o diagrama tensãodeformação e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade Use uma escala de 20 mm 50 MPa e 20 mm 005 mmmm Figura 343 ut 1885 x 25 x 106 x 0025 118 x 106 344 Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elat 100 GPa Se a haste tiver 3 m de comprimento e for submetida a uma carga axial de 2 kN determine seu alongamento Qual será o alongamento se o diâmetro for 6 mm Figura 344 397887 MPa σ Elatlong long 397887 x 104 mmmm Llong 3000 x 397887 x 104 1193 mm 707355 MPa σ Elatlong long 707355 x 104 mmmm Llong 3000 x 707355 x 104 2122 mm Propriedades Mecânicas dos Materiais 116 Resolução Steven Róger Duarte 34 CORREÇÃO Problema Resposta do livro Correção 39 E 385 GPa ur 7700 MPa ut 13475 MPa E 385 kPa ur 7700 kPa ut 13475 kPa Quadro 3 Correção 117 Capítulo 4 CCaarrggaa aaxxiiaall PPrriinnccííppiioo ddee SSaaiinnttVVeennaannttee NNooss ccaappííttuullooss aanntteerriioorreess ddeesseennvvoollvveem mooss oo ccoonncceeiittoo ddee tteennssããoo ccoom moo uum m m meeiioo ppaarraa m meeddiirr aa ddiissttrriibbuuiiççããoo ddee ffoorrççaa nnoo iinntteerriioorr ddee uum m ccoorrppoo ee oo ccoonncceeiittoo ddee ddeeffoorrm maaççããoo ccoom moo uum m m meeiioo ppaarraa m meeddiirr aa ddeeffoorrm maaççããoo ggeeoom mééttrriiccaa ddee uum m ccoorrppoo TTaam mbbéém m m moossttrraam mooss qquuee aa rreellaaççããoo m maatteem mááttiiccaa eennttrree tteennssããoo ee ddeeffoorrm maaççããoo ddeeppeennddee ddoo ttiippoo ddee m maatteerriiaall ddoo qquuaall oo ccoorrppoo éé ffeeiittoo EEm m ppaarrttiiccuullaarr ssee oo m maatteerriiaall ssee ccoom mppoorrttaarr ddee m maanneeiirraa lliinneeaarr eelláássttiiccaa aa lleeii ddee HHooookkee sseerráá aapplliiccáávveell ee hhaavveerráá uum maa rreellaaççããoo pprrooppoorrcciioonnaall eennttrree tteennssããoo ee ddeeffoorrm maaççããoo O O ffaattoo ddee aa tteennssããoo ee aa ddeeffoorrm maaççããoo ccoom mppoorrttaarreem mssee ddeessssaa m maanneeiirraa éé ddeennoom miinnaaddoo PPrriinnccííppiioo ddee SSaaiinnttVVeennaanntt vviissttoo qquuee ffooii oobbsseerrvvaaddoo ppeellaa pprriim meeiirraa vveezz ppeelloo cciieennttiissttaa ffrraannccêêss BBaarrrréé ddee SSaaiinnttVVeennaanntt eem m 11885555 EEm m eessssêênncciiaa eessssee pprriinnccííppiioo aaffiirrm maa qquuee aa tteennssããoo ee aa ddeeffoorrm maaççããoo pprroodduuzziiddaass eem m ppoonnttooss ddee uum m ccoorrppoo ssuuffiicciieenntteem meennttee ddiissttaanntteess ddaa rreeggiiããoo ddaa aapplliiccaaççããoo ddaa ccaarrggaa sseerrããoo iigguuaaiiss àà tteennssããoo ee àà ddeeffoorrm maaççããoo pprroodduuzziiddaass ppoorr qquuaaiissqquueerr ccaarrrreeggaam meennttooss aapplliiccaaddooss qquuee tteennhhaam m aa m meessm maa rreessuullttaannttee eessttaattiiccaam meennttee eeqquuiivvaalleennttee ee sseejjaam m aapplliiccaaddooss aaoo ccoorrppoo ddeennttrroo ddaa m meessm maa rreeggiiããoo O O pprriinnccííppiioo ddaa ssuuppeerrppoossiiççããoo O O pprriinnccííppiioo ddaa ssuuppeerrppoossiiççããoo éé ffrreeqquueenntteem meennttee uussaaddoo ppaarraa ddeetteerrm miinnaarr aa tteennssããoo oouu oo ddeessllooccaam meennttoo eem m uum m ppoonnttoo ddee uum m eelleem meennttoo qquuaannddoo eessttee eessttiivveerr ssuujjeeiittoo aa uum m ccaarrrreeggaam meennttoo ccoom mpplliiccaaddoo SSuubbddiivviiddiinnddoo oo ccaarrrreeggaam meennttoo eem m ccoom mppoonneenntteess oo pprriinnccííppiioo ddaa ssuuppeerrppoossiiççããoo aaffiirrm maa qquuee aa tteennssããoo oouu oo ddeessllooccaam meennttoo rreessuullttaannttee nnoo ppoonnttoo ppooddee sseerr ddeetteerrm miinnaaddoo ssee aanntteess ssee ddeetteerrm miinnaarr aa tteennssããoo oouu oo ddeessllooccaam meennttoo ccaauussaaddoo ppoorr ccaaddaa ccoom mppoonneennttee ddaa ccaarrggaa aaggiinnddoo sseeppaarraaddaam meennttee ssoobbrree oo eelleem meennttoo TTeennssããoo ttéérrm miiccaa UUm maa m muuddaannççaa nnaa tteem mppeerraattuurraa ppooddee pprroovvooccaarr aalltteerraaççõõeess nnaass ddiim meennssõõeess ddee uum m m maatteerriiaall SSee aa tteem mppeerraattuurraa aauum meennttaa oo m maatteerriiaall eem m ggeerraall eexxppaannddeessee ssee aa tteem mppeerraattuurraa ddiim miinnuuii oo m maatteerriiaall ccoonnttrraaii AA rreellaaççããoo eennttrree aa eexxppaannssããoo oouu ccoonnttrraaççããoo ddoo m maatteerriiaall ee oo aauum meennttoo oouu rreedduuççããoo ddaa tteem mppeerraattuurraa nnoorrm maallm meennttee éé lliinneeaarr SSee ffoorr eessssee oo ccaassoo ee ssee oo m maatteerriiaall ffoorr hhoom mooggêênniioo ee iissoottrróóppiiccoo eessttuuddooss eexxppeerriim meennttaaiiss ddeem moonnssttrraarraam m qquuee aa ddeeffoorrm maaççããoo ddee uum m eelleem meennttoo ddee ccoom mpprriim meennttoo LL ppooddee sseerr ccaallccuullaaddaa ppeellaa ffóórrm muullaa CCoonncceennttrraaççããoo ddee tteennssããoo NNaa pprrááttiiccaa ddaa eennggeennhhaarriiaa aa ddiissttrriibbuuiiççããoo ddee tteennssããoo rreeaall nnããoo pprreecciissaa sseerr ddeetteerrm miinnaaddaa EEm m vveezz ddiissssoo bbaassttaa ssaabbeerr qquuaall éé aa tteennssããoo m mááxxiim maa nneessssaass sseeççõõeess ee eennttããoo oo eelleem meennttoo éé pprroojjeettaaddoo ppaarraa rreessiissttiirr aa eessssaa tteennssããoo qquuaannddoo aa ccaarrggaa aaxxiiaall PP ffoorr aapplliiccaaddaa EEm m ccaassooss nnooss qquuaaiiss aa áárreeaa ddaa sseeççããoo ttrraannssvveerrssaall ddee uum m eelleem meennttoo m muuddaa ccoom moo ooss jjáá ddiissccuuttiiddooss ppooddeem mssee ddeetteerrm miinnaarr vvaalloorreess eessppeeccííffiiccooss ddaa tteennssããoo nnoorrm maall m mááxxiim maa nnaa sseeççããoo ccrrííttiiccaa ppoorr m mééttooddooss eexxppeerriim meennttaaiiss oouu ppoorr ttééccnniiccaass m maatteem mááttiiccaass aavvaannççaaddaass qquuee uuttiilliizzaam m aa tteeoorriiaa ddaa eellaassttiicciiddaaddee O Oss rreessuullttaaddooss ddeessssaass iinnvveessttiiggaaççõõeess nnoorrm maallm meennttee ssããoo aapprreesseennttaaddooss eem m ggrrááffiiccooss ccoom m aa uuttiilliizzaaççããoo ddee uum m ffaattoorr ddee sseegguurraannççaa KK DDeeffiinniim mooss KK ccoom moo aa rraazzããoo eennttrree aa tteennssããoo m mááxxiim maa ee aa tteennssããoo m mééddiiaa qquuee aaggeem m ssoobbrree aa m meennoorr sseeççããoo ttrraannssvveerrssaall iissttoo éé Carga Axial 118 Resolução Steven Róger Duarte G Grrááffiiccooss ppaarraa ddeetteerrm miinnaaççããoo ddoo ffaattoorr ddee ccoonncceennttrraaççããoo ddee tteennssããoo KK Carga Axial 119 Resolução Steven Róger Duarte 41 PROBLEMAS 41 O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço A36 com 8 m de comprimento medido desde a hélice até o mancal de encosto D no motor Se o eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura de parede de 50 mm determine a quantidade de contração axial do eixo quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre o eixo Os apoios em B e C são mancais de deslizamento Figura 41 300 mm 364 x 103 mm 42 A coluna de aço A36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício Determine o deslocamento vertical de sua extremidade A se P1 200 kN P2 310 kN e a coluna tiver área de seção transversal de 14625 mm² Figura 42 0492308 mm 1255385 mm 0492308 1255385 174769 mm Carga Axial 120 Resolução Steven Róger Duarte 43 A coluna de aço A36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício Determine as cargas P1 e P2 se A se mover 3 mm para baixo e B se mover 225 mm para baixo quando as cargas forem aplicadas A coluna tem área de seção transversal de 14625 mm² Figura 43 Dados Eaço 200 GPa A 14625 mm² LAB 36 m LBC 36 m 3 225 075 mm P1 30469 kN P2 60938 kN 44 O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem dAB 20 mm dBC 25 mm e dCD 12 mm Considere Ecobre 126 GPa Figura 44 38483 mm Carga Axial 121 Resolução Steven Róger Duarte 45 A haste de aço A36 está sujeita ao carregamento mostrado Se a área de seção transversal da haste for 60 mm² determine o deslocamento de B e A Despreze o tamanho dos acoplamentos em B C e D Figura 45 264 mm 231 mm 46 O conjunto é composto por uma haste CB de aço A36 e uma haste BA de alumínio 6061T6 cada uma com diâmetro de 25 mm Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar 05 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas O comprimento de cada segmento quando não alongado é mostrado na figura Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas Figura 46 Dados d 25 mm Eaço 200 GPa P1 7046 kN P2 15227 kN Carga Axial 122 Resolução Steven Róger Duarte 47 O eixo AC de aço A36 com 15 mm de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B Se for submetido a uma carga axial 80 kN em sua extremidade determine a distribuição de pressão uniforme p no colar exigida para o equilíbrio Calcule também o alongamento nos segmentos BC e BA Figura 47 Dados Eaço 200 GPa deixo 15 mm dcolar 70 mm PBC 80 kN 113 mm PBA 0 p 218 MPa 48 A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos rígidos AB e DC Determine o deslocamento vertical da carga de 25 kN se os elementos estiverem na horizontal quando for aplicada Cada cabo tem área de seção transversal de 16 mm² Figura 48 Dados Eaço 193 GPa A 16 mm² 25 x 09 12 TB 0 TA TB 25 0 0625 x 03 09TC 0 TD TC 0625 0 TB 1875 N TA 625 N TC 208333 N TD 416667 kN 001093 mm 091078 mm 012144 mm Carga Axial 123 Resolução Steven Róger Duarte y 004048 mm HH y 01012 mm AA HH 02105 mm tangϕ 583333 x 104 0524646 mm 0736 mm 49 A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos rígidos AB e DC Determine o ângulo de inclinação de cada elemento após a aplicação da carga de 25 kN A posição original dos elementos era horizontal e cada cabo tem área de seção transversal de 16 mm² Figura 49 Dados Eaço 193 GPa A 16 mm² 25 x 09 12 TB 0 TA TB 25 0 0625 x 03 09TC 0 TD TC 0625 0 TB 1875 N TA 625 N TC 208333 N TD 416667 N 001093 m 091078 mm 012144 mm y 004048 mm HH y 01012 mm AA HH 02105 mm ϕ tang1 00334 θ tang1 00039 Carga Axial 124 Resolução Steven Róger Duarte 410 A barra tem área de seção transversal de 1800 mm² e E 250 GPa Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído Figura 410 Px 375x43 92 x 104 mm 411 O conjunto é composto por três hastes de titânio Ti6A14V e uma barra rígida AC A área da seção transversal de cada haste é dada na figura Se uma força de 30 kN for aplicada ao anel F determine o deslocamento horizontal do ponto F Figura 411 Dado Eti 120 GPa FAB 20 kN 03333 mm 06FCD 03FAB 0 FAB FCD 30 FCD 10 kN 01667 mm x 01111 mm 0278 mm 00625 mm 034 mm Carga Axial 125 Resolução Steven Róger Duarte 412 O conjunto é composto por três hastes de titânio Ti6A14V e uma barra rígida AC A área da seção transversal de cada haste é dada na figura Se uma força de 30 kN for aplicada ao anel F determine o ângulo de inclinação da barra AC Figura 412 Eti 120 GPa FAB 20 kN 03333 mm 06FCD 03FAB 0 FAB FCD 30 FCD 10 kN 01667 mm x 01111 mm α tang1 001061 413 Um suporte para tubos apoiado por molas é composta por duas molas que na posição original não estão alongadas e têm rigidez k 60 kNm três hastes de aço inoxidável 304 AB e CD com diâmetro de 5 mm e EF com diâmetro de 12 mm e uma viga rígida GH Se o tubo e o fluido que ele transporta tiverem um peso de 4 kN determine o deslocamento do tubo quando estiver acoplado ao suporte Figura 413 Carga Axial 126 Resolução Steven Róger Duarte FEF 4 kN 33333 mm deformação da mola 3387 mm 414 Um suporte para tubos apoiados por molas é composto por duas molas que na posição original não estão alongados e têm rigidez k 60 kNm três hastes de aço inoxidável 304 AB e CD com diâmetro de 5 mm e EF com diâmetro de 12 mm e uma viga rígida GH Se o tubo for deslocado 82 mm quando estiver cheio de fluido determine o peso do fluido Figura 414 FEF 4 kN x 8071 mm W 2kx 2 x 60 x 8071 96852 N 969 kN Carga Axial 127 Resolução Steven Róger Duarte 415 O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida AC A área da seção transversal de cada haste é dada na figura Se uma força vertical P 20 kN for aplicada ao anel F determine o deslocamento vertical do ponto F Eti 350 GPa Figura 415 Dados P 20 kN Eti 350 GPa FAB 12 kN 075FCD 05FAB 0 FAB FCD 20 0 FCD 8 kN 1142857 mm 1015873 mm 1142857 mm x 00762 mm x 1092073 mm 223 mm 416 O sistema articulado é composto por três elementos de aço A36 conectados por pinos cada um com área de seção transversal de 500 mm² Se uma força vertical P 250 kN for aplicada à extremidade B do elemento AB determine o deslocamento vertical do ponto B Figura 416 Carga Axial 128 Resolução Steven Róger Duarte FAD FAC F 390625 mm 2F x 08 250 0 2500 390625² 1500² 2000 ² 488 F 15625 kN 488 mm 1237 mm 417 O sistema articulado é composto por três elementos de aço A36 conectados por pinos cada um com área de seção transversal de 500 mm² Determine o valor da força P necessária para deslocar o ponto B a uma distância de 25 mm para baixo Figura 417 Dados A 500 mm² Eaço 200 GPa FAD FAC F 15625108P 2F x 08 P 0 25 ² 15² 2 ² 25 mm F 0625P P 5047 kN Carga Axial 129 Resolução Steven Róger Duarte 419 A barra rígida é sustentada pela haste CB acoplada por pino com área de seção transversal de 14 mm² e feita de alumínio 6061T6 Determine a deflexão vertical da barra em D quando a carga distribuída for aplicada Figura 419 2 x 06 FBC 2 x 12 0 α 90248 FBC 2 kN β 90248 90 0248 51835 mm 4tang0248 173 mm 420 A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço A36 Se a tensão admissível para o aço for ζadm 115 MPa a carga w 50 kNm e x 12 m determine o diâmetro de cada haste de modo que a viga permaneça na posição horizontal quando carregada Figura 420 Dados σadm 115 MPa Eaço 200 GPa 22321 mm 60 x 06 24FCD 0 60 FAB FCD 0 12887mm FC 15 kN FA 45 kN Carga Axial 130 Resolução Steven Róger Duarte 421 A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço A36 Os diâmetros das hastes são dAB 12 mm e dCD 75 mm Se a tensão admissível para o aço for ζadm 115 MPa determine a intensidade da carga distribuída w e seu comprimento x sobre a viga para que esta permaneça na posição horizontal quando carregada Figura 421 Dados σadm 115 MPa Eaço 200 GPa dAB 12 mm dCD 75 mm wx05x 24FCD 0 wx FAB FC 0 FCD FAB wx wx 1 wx² 2 Igualando as equações 1 e 2 temos x 135 m w 1341 kNm 422 O poste é feito de Abeto Douglas e tem diâmetro de 60 mm Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar resistência ao atrito w 4 kNm uniformemente distribuída ao longo de seus lados determine a força F na parte inferior do poste necessária para haver equilíbrio Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste A em relação á sua parte inferior B Despreze o peso do poste Figura 422 0864 m F 8 20 0 F 12 kN Carga Axial 131 Resolução Steven Róger Duarte 423 O poste é feito de abeto Douglas e tem diâmetro de 60 mm Se estiver sujeito a uma carga 20 kN e o solo proporcionar resistência ao atrito uniformemente distribuído ao longo do comprimento do poste e variar linearmente de w 0 em y 0 a w 3 kNm em y 2 m determine a força F em sua parte inferior necessária para haver equilíbrio Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste A em relação à sua parte inferior B Despreze o peso do poste Figura 423 wx 15y F 3 20 0 Py 15y² 103 mm F 17 kN 424 A haste tem uma leve conicidade e comprimento L Está suspensa a partir do teto e suporta uma carga P em sua extremidade Mostre que o deslocamento de sua extremidade em razão dessa carga é δ PLπEr2r1 Despreze o peso do material O módulo de elasticidade é E Figura 424 A equação da reta que passa pelos pontos r10 e r2L é x logo Ay πx² dy Carga Axial 132 Resolução Steven Róger Duarte 425 Resolva o Problema 424 incluindo P e o peso do material e também considerando que o peso específico da haste é peso por unidade de volume Figura 425 426 Dois lados opostos de uma esfera de raio r0 foram cortados para fabricar o suporte apresentado na figura Se a altura original do suporte for r02 determine até que distância ele se encurta quando suporta uma carga P O módulo de elasticidade é E Figura 426 Ay πx² πr0 2 y² Resolvendo a integral obtemos Carga Axial 133 Resolução Steven Róger Duarte 427 Uma bola cujas extremidades foram truncadas é usada para suportar a carga de apoio P Se o módulo de elasticidade para o material for E determine o decréscimo em sua altura quando a carga é aplicada Figura 427 Ay πx² πr2 y² x² y² r² Resolvendo a integral temos y² r² y 428 Determine o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força axial de 30 kN Eal 70 GPa Figura 428 Carga Axial 134 Resolução Steven Róger Duarte 429 A peça fundida é feita de um material com peso específico e módulo de elasticidade E Se ela tiver a forma da pirâmide cujas dimensões são mostradas na figura determine ate que distância sua extremidade será deslocada pela ação da gravidade quando estiver suspensa na posição vertical Figura 429 x z Ay xz Vy W 430 O raio do pedestal apresentado na figura é definido pela função r 22y12 m onde y é dado em metros Se o módulo de elasticidade para o material for E 100 MPa determine o deslocamento da parte superior do pedestal quando ele suportar a carga de 5 kN Figura 430 Dados E 100 MPa Ay πr² 01804 mm Carga Axial 135 Resolução Steven Róger Duarte 42 PROBLEMAS 431 A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A36 Se ela for submetida a uma força axial de 150 kN determine a tensão normal média no concreto e em cada haste Cada uma tem diâmetro de 20 mm Figura 431 6Faço Fconc 150 kN 1 Fconc 1363Faço 2 Faço 7641 kN Fconc 104152 kN 24323 MPa 3527 MPa 432 A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A36 Se for submetida a uma força axial de 150 kN determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 14 da carga suportada pelo concreto e 34 pelo aço Figura 432 Fconc 375 kN 6Faço 1125 kN 375 4495 mm Carga Axial 136 Resolução Steven Róger Duarte 433 O tubo de aço A36 tem núcleo de alumínio 6061T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm Figura 433 Faço Fal 200 kN 1 Faço 08886Fal 2 Substituindo Faço na equação 1 obtemos Faço 941 kN e Fal 1059 kN sendo assim 799 MPa 275 MPa 434 A coluna de concreto é reforçada com quatro hastes de aço cada uma com diâmetro de 18 mm Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800 kN Eaço 200 GPa Ec 25 GPa Figura 434 Fconc 4Faço 800 kN 1 Fconc 4371Faço 2 Substituindo Fconc na equação 1 obtemos Faço 16768 kN e Fconc 732933 kN sendo assim 659 MPa 824 MPa Carga Axial 137 Resolução Steven Róger Duarte 435 A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A36 Se for submetida a uma força axial de 800 kN determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 14 da carga seja suportada pelo aço e 34 pelo concreto Eaço 200 GPa e Ec 25 GPa Figura 435 Faço 200 kN daço Fc 600 kN 339 mm 436 O tubo de aço A36 tem raio externo de 20 mm e raio interno de 15 mm Se ele se ajustar exatamente entre as paredes fixas antes de ser carregado determine a reação nas paredes quando for submetido à carga mostrada Figura 436 Substituindo FA na equação 1 temos FA FC 16 0 1 FA 2 FA 112 kN e FC 48 kN Carga Axial 138 Resolução Steven Róger Duarte 437 O poste A de aço inoxidável 304 tem diâmetro d 50 mm e está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400 Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida Se for aplicada uma força de 25 kN à tampa rígida determine a tensão normal média desenvolvida no poste e no tubo Figura 437 Substituindo Faço em 1 temos Faço Flat 25 kN 1 Faço 07212Flat 2 Flat 145247 kN e Faço 104752 kN 5335 MPa 2792 MPa 438 O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400 Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida Se for aplicada uma força de 25 kN à tampa rígida determine o diâmetro d exigido para o poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente entre o poste e o tubo Figura 438 Faço Flat F 125 kN daço 2 5888 mm Flat Faço 25 0 F 125 kN Carga Axial 139 Resolução Steven Róger Duarte 439 A carga de 75 kN deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais ζe 500 MPa Se os comprimentos originais dos cabos AB e AC forem 1250 mm e 12525 mm respectivamente determine a força desenvolvida em cada cabo depois da suspensão da carga Cada cabo tem área de seção transversal de 125 mm² Figura 439 Dados σe 500 MPa Eaço 200 GPa A 125 mm² LAB 1250 mm LAC 12525 mm Substituindo TAB em 1 TAB TAC 75 0 1 TAB 1002TAC 5000 N 2 TAB 6251 kN e TAC 1249 kN 440 A carga de 4 kN deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais ζe 560 MPa Se os comprimentos originais dos cabos AB e AC forem 1250 mm e 12525 mm respectivamente determine a área da seção transversal de AB para que a carga seja compartilhada igualmente entre os dois cabos O cabo AC tem área de seção transversal de 13 mm² Figura 440 Dados σe 560 MPa Eaço 200 GPa AAC 13 mm² LAB 1250 mm LAC 12525 mm 55415 MPa TAB TAC 4 kN OK TAB TAC 2 kN 360911 mm² Carga Axial 140 Resolução Steven Róger Duarte 441 O apoio é composto por um poste sólido de latão vermelho C83400 embutido em um tubo de aço inoxidável 304 Antes da aplicação da carga a folga entre essas duas partes é 1 mm Dadas as dimensões mostradas na figura determine a maior carga axial que pode ser aplicada à tampa rígida A sem provocar o escoamento de qualquer um dos materiais Figura 441 Flat Faço P 0 1 2 P Flat 442 Dois cabos de aço A36 são usados para suportar o motor de 325 kN 325 kg O comprimento original de AB é 800 mm e o de AB é 8002 mm Determine a força suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por eles Cada cabo tem área de seção transversal de 625 mm² Figura 442 TAB TAB 3250 N 1 TAB 099975TAB 312422 N 2 Substituindo TAB na equação 1 obtemos TAB 1469 kN e TAB 1781 kN Carga Axial 141 Resolução Steven Róger Duarte 443 O parafuso AB tem diâmetro de 20 mm e passa por uma luva com diâmetro interno de 40 mm e diâmetro externo de 50 mm O parafuso e a luva são feitos de aço A36 e estão presos aos apoios rígidos como mostra a figura Se o comprimento do parafuso for 220 mm e o comprimento da luva for 200 mm determine a tração no parafuso quando for aplicada uma força de 50 kN aos apoios Figura 443 Pp Pl 50 0 1 Pl 2475Pb 2 Substituindo Pl na equação 1 obtemos Pp 144 kN 444 O corpo de prova representa um sistema de matriz reforçada por filamentos feito de plástico matriz e vidro fibra Se houver n fibras cada uma com área de seção transversal Af e módulo Ef embutidas em uma matriz com área de seção transversal Am e módulo Em determine a tensão na matriz e em cada fibra quando a força P for imposta ao corpo de prova Figura 444 Substituindo Ff na equação 1 temos Ff Fm P 0 1 Ff 2 Fm Ff Carga Axial 142 Resolução Steven Róger Duarte 445 O carregamento distribuído é sustentado pelas três barras de suspensão AB e EF são feitas de alumínio e CD é feita de aço Se cada barra tiver área de seção transversal de 450 mm² determine a intensidade máxima w do carregamento distribuído de modo a não ultrapassar uma tensão admissível de ζadmaço 180 MPa no aço e ζadmal 94 MPa no alumínio Eaço 200 GPa Eal 70 GPa Figura 445 Substituindo TAB em 1 temos TCD 17647w TAB TCD TEF 3w 0 1 TAB 035TCD 2 w 459 kNm TAB 035 x 17647w 0617645w w 6849 kNm 446 O elo de aço BC com comprimento de 200 mm quando não alongado com área de seção transversal de 225 mm² e um bloco curto de alumínio com 50 mm de comprimento quando não carregado com área de seção transversal de 40 mm² Se o elo for submetido à carga vertical mostrada determine a tensão normal média no cabo e no bloco Eaço 200 GPa Eal 70 GPa Figura 446 450 x 025 015FBC 015FD 0 FBC FD 750 1 FD 24889FBC 2 Substituindo FD na equação 1 temos FBC 215 N e FD 535 N 955 MPa 134 Mpa Carga Axial 143 Resolução Steven Róger Duarte 447 O elo rígido é sustentado por um pino em A um cabo de aço BC com comprimento de 200 mm quando não alongado com área de seção transversal de 225 mm² e um bloco curto de alumínio com 50 mm de comprimento quando não carregado com área de seção transversal de 40 mm² Se o elo for submetido á carga vertical mostrada na figura determine a rotação do elo em torno do pino A Dê a resposta em radianos Eaço 200 GPa Eal 70 GPa Figura 447 450 x 025 015FBC 015FD 0 FBC FD 750 1 FD 24889FBC 2 Substituindo FD na equação 1 temos FBC 215 N e FD 535 N 000955 mm 0003648 637 x 106 rad 448 Cada um dos três cabos de aço A36 tem diâmetro de 2 mm e comprimentos LAC 160 m e LAD 200 m quando não carregados Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A Figura 448 Dados Eaço 200 GPa LAC 160 m LAD LAB 200 m d 2 mm 06FAD 06FAB 0 FAD FAB F 1 2 x 08F FAC 14715 0 2 F 064FAC 3 Substituindo F na equação 2 obtemos FAC 727 N e FAB FAD 465 N Carga Axial 144 Resolução Steven Róger Duarte 449 Cada um dos três cabos AB e AD de aço A36 tem diâmetro de 2 mm e comprimento LAC 160 m e LAB LAD 200 m quando não carregados Determine o diâmetro exigido para o cabo AC de modo que cada cabo seja submetido à mesma força provocada pela massa de 150 kg suspensa pelo anel em A Figura 449 06FAD 06FAB 0 FAD FAB F 1 2 x 08F FAC 14715 0 2 3 dAC 179 mm 450 As três barras de suspensão são feitas de mesmo material e têm áreas de seção transversal iguais A Determine a tensão normal média em cada barra se a viga rígida ACE for submetida à força P Figura 450 2 05dP dFCD 2dFEF 0 1 FAB P FCD FEF 0 2 3 Desmembrando a equação 3 obtemos FAB 2FCD FEF sendo assim FCD FEF e FAB Carga Axial 145 Resolução Steven Róger Duarte 451 O conjunto é composto por um parafuso de aço A36 e um tubo de latão vermelho C83400 Se a porca for apertada contra o tubo de modo que L 75 mm e quando girada um pouco mais avance 002 mm no parafuso determine a força no parafuso e no tubo O parafuso tem diâmetro de 7 mm e o tubo tem área de seção transversal de 100 mm² Figura 451 2 Faço Flat 0 Faço Flat P 1 116 kN 452 O conjunto é composto de aço A36 e um tubo de latão vermelho C83400 A porca foi apertada contra o tubo de modo que L 75 mm Determine a quantidade máxima de avanço adicional da porca no parafuso para que o material não sofra escoamento O parafuso tem diâmetro de 7 mm e o tubo tem área de seção transversal de 100 mm² Figura 452 Paço 9621 kN Plat 70 x 100 7 kN a 0120 mm Carga Axial 146 Resolução Steven Róger Duarte 453 O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze O diâmetro externo dessa luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm Se o parafuso for submetido a uma força de compressão P 20 kN determine a tensão normal média no aço e no bronze Eaço 200 GPa Ebr 100 GPa Figura 453 Substituindo Fbr na equação 1 obtemos Fbr Faço 20 0 1 Fbr 15Faço 2 Faço 8 kN e Fbr 12 kN 102 MPa 509 MPa 454 O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze O diâmetro externo dessa luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm Se a tensão de escoamento para o aço for ζelat 520 MPa determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao conjunto Eaço 200 GPa Elat 100 GPa Figura 454 Substituindo Fbr na equação 1 temos Fbr Faço P 0 1 Fbr 15Faço 2 Faço 04P P 126 kN Carga Axial 147 Resolução Steven Róger Duarte 455 O elemento rígido é mantido na posição mostrada na figura por três tirantes de aço A36 Cada tirante tem comprimento de 075 m quando não alongado e área de seção transversal de 125 mm² Determine as forças nos tirantes se for dada uma volta completa em um parafuso tensor na haste EF O avanço da rosca é 15 mm Despreze o tamanho do parafuso tensor e considereo rígido Observação O avanço provocaria na haste quando não carregada um encurtamento de 15 mm quando o parafuso tensor girasse uma revolução completa Figura 455 Dados Eaço 200 GPa A 125 mm² LEF 075 m 05TEF 1TCD 0 1 TAB TCD TEF 0 2 TEF 333 kN TCD 05TEF 1667 kN TAB TCD 167 kN 456 A barra está presa por um pino em A e é sustentada por duas hastes de alumínio cada um com diâmetro de 25 mm e módulo de elasticidade Eal 70 GPa Considerando que a barra é rígida e inicialmente vertical determine o deslocamento da extremidade B quando for aplicada uma força de 10 kN Figura 456 Dados d 25 mm Eal 70 GPa LEF 03 m LAE 09 m Substituindo FEF na equação 1 temos 03FCD 09FEF 10 x 06 0 1 FEF 6FCD 2 FCD 1053 kN e FEF 6316 kN 0055142 mm tang 6127 x 105 LABtang 0073522 mm Carga Axial 148 Resolução Steven Róger Duarte 457 A barra está presa por um pino em A e é sustentada por duas hastes de alumínio cada uma com diâmetro de 25 mm e módulo de elasticidade Eal 70 GPa Considerando que a barra é rígida e inicialmente vertical determine a força em cada haste quando for aplicada uma força de 10 kN Figura 457 Substituindo FEF na equação 1 temos 03FCD 09FEF 10 x 06 0 1 FEF 6FCD 2 FCD 1053 kN e FEF 6316 kN 458 O conjunto é composto por dois postes do material 1 com módulo de elasticidade E1 e cada um com área de seção transversal A1 e um poste do material 2 com módulo de elasticidade E2 e área de seção transversal A2 Se uma carga central P for aplicada à tampa rígida determine a força em cada material Figura 458 Substituindo F1 na equação 1 obtemos F1 F2 F1 P 0 1 2 F2 F1 Carga Axial 149 Resolução Steven Róger Duarte 459 O conjunto é composto por dois postes AB e CD do material 1 com módulo de elasticidade E1 e área de seção transversal A1 cada e um poste central EF do material 2 com módulo de elasticidade E2 e área de seção transversal A2 Se os postes AB e CD tiverem de ser substituídos por postes do material 2 determine a área da seção transversal exigida para esses novos postes de modo que ambos os conjuntos sofram o mesmo grau de deformação quando carregados Figura 459 Substituindo F1 na equação 1 temos F1 F2 F1 P 0 1 2 F2 e F1 Substituindo F1 e F2 em A obtemos A1 A1 460 O conjunto é composto por dois postes AB e CD do material 1 com módulo de elasticidade E1 e área de seção transversal A1 cada e um poste central EF do material 2 com módulo de elasticidade E2 e área de seção transversal A2 Se o poste EF tiver de ser substituído por um poste do material 1 determine a área da seção transversal exigida para esse novo poste de modo que ambos os conjuntos sofram o mesmo grau de deformação quando carregados Figura 460 Substituindo F1 na equação 1 temos F1 F2 F1 P 0 1 2 F2 e F1 Após o poste EF ser substituído pelo material 1 temos F2 Substituindo F2 na equação 1 obtemos F1 igualando as duas equações de F1 obtemos Carga Axial 150 Resolução Steven Róger Duarte 461 O suporte é mantido preso à parede por três parafusos de aço A36 em B C e D Cada parafuso tem diâmetro de 125 mm e comprimento de 50 mm quando não alongado Se uma força de 4 kN for aplicada ao suporte como mostra a figura determine a força desenvolvida em cada parafuso Para o cálculo considere que os parafusos não sofrem cisalhamento ao contrário a força vertical de 4 kN é suportada pela saliência em A Considere também que a parede e o suporte são rígidos O detalhe mostra a deformação muito ampliada dos parafusos Figura 461 2 125FB 375FC 875FD 4 x 50 0 1 3 Substituindo FD e FB na equação 1 temos FC 08136 kN FD 18983 kN FB 02712 kN 462 O suporte é mantido preso à parede por três parafusos de aço A36 em B C e D Cada parafuso tem diâmetro de 125 mm e comprimento de 50 mm quando não alongado Se uma força de 4 kN for aplicada ao suporte como mostra a figura determine até que distância s a parte superior do suporte afastase da parede no parafuso D Para o cálculo considere que os parafusos não sofrem cisalhamento ao contrário a força vertical de 4 kN é suportada pela saliência em A Considere também que a parede e o suporte são rígidos O detalhe mostra a deformação muito ampliada dos parafusos Figura 462 2 125FB 375FC 875FD 4 x 50 0 1 3 Substituindo FD e FB na equação 1 obtemos FC 08136 kN 0003867 mm Carga Axial 151 Resolução Steven Róger Duarte 463 A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco e uma mola Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1 m e a área de seção transversal for 600 mm² e a mola tiver rigidez k 2 MNm e comprimento 102 m quando não deformada determine a força em cada poste após a aplicação da carga á barra Figura 463 FA FB F 2 2F Fk 100 0 1 FA FB 256 kN 464 A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco e uma mola Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1 m e a área de seção transversal for 600 mm² e a mola tiver rigidez k 2 MNm e comprimento de 102 m quando não deformada determine o deslocamento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra Figura 464 Dados L0 1 m Lf 102 m A 600 mm² k 2 MNm E 965 GPa FA FB F 2 2F Fk 100 0 1 FA FB 256 kN 442 mm Carga Axial 152 Resolução Steven Róger Duarte 465 A roda está sujeita à força de 18 kN transmitida pelo eixo Determine a força em cada um dos três raios Considere que o aro é rígido que os raios são feitos do mesmo material e que cada um tem a mesma área de seção transversal Figura 465 FAC FAD Lei do cosseno FACcos60 FADcos60 FAB 18 0 1 2 Desmembrando a equação 2 e deixandoa em função de FAB obtemos 0004 43200 FAB 518400 0 3 Resolvendo a equação do segundo grau obtemos FAB 12 kN T FAC FAD 18 12 6 kN C 466 O poste é feito de alumínio 6061T6 e tem 50 mm de diâmetro Está preso aos suportes A e B e em seu centro C há uma mola espiral acoplada ao colar rígido Se a mola não estiver comprimida na posição original determine as reações em A e B quando a força P 40 kN é aplicada ao colar Figura 466 Dados Eal 689 GPa d 50 mm P 40 kN k 200 MNm FA FB 1 x 3 FA FB 169 kN x 00312 mm FA FB Fk P 0 2 Carga Axial 153 Resolução Steven Róger Duarte 467 O poste é feito de alumino 6061T6 e tem diâmetro de 50 mm Está preso aos suportes A e B e em seu centro C há uma mola espiral acoplada ao colar rígido Se a mola não estiver comprimida na posição inicial determine a compressão na mola quando a carga P 50 kN for aplicada ao colar Figura 467 FA FB 1 x 3 x 00390 mm FA FB Fk 50 0 2 468 A barra rígida suporta um carregamento distribuído uniforme de 90 kNm Determine a força em cada cabo se cada um tiver área de seção transversal de 36 mm² e E 200 GPa Figura 468 270 x 15 x 1 x 3 0 1 TCD 3TBC 2 Substituindo TCD na equação 1 obtemos TBC 452804 kN e TCD 3 x 452804 1358411 kN Carga Axial 154 Resolução Steven Róger Duarte 469 A posição original da barra rígida é horizontal e ela é sustentada por dois cabos com área de seção transversal de 36 mm² cada e E 200 GPa Determine a leve rotação da barra quando uma carga uniforme é aplicada Figura 469 270 x 15 x 1 x 3 0 1 TCD 3TBC 2 Substituindo TCD na equação 1 obtemos TBC 452804 kN e TCD 1358411 kN sendo assim LAB 1 m 140625 mm Carga Axial 155 Resolução Steven Róger Duarte 43 PROBLEMAS 470 A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação CD e AB se aquecem o que provoca a translação e a rotação do braço rígido BDE até fechar o contato em F A posição original de BDE é vertical e a temperatura é 20C Se AB for feita de bronze C86100 e CD de alumínio 6061T6 determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110C Figura 470 Dados ΔT 90C αal 23 x 106C αbr 17 x 106C LCD 300 mm LAB 300 mm s 07425 mm 471 Uma trena de aço é usada por um supervisor para medir o comprimento de uma reta A seção transversal da trena é retangular com 125 mm de espessura por 5 mm de largura e o comprimento é 30 m quando T1 20C e a carga de tração na trena é 100 N Determine o comprimento verdadeiro da reta medida se a leitura da trena for 139 m quando usada sob tração de 175 N a T2 40C O piso onde a trena é utilizada é plano αaço 17106C Eaço 200 GPa Figura 471 17 x 106 x 20 x 139 004726 m 834 mm L L 139 004726 000834 139056 m Carga Axial 156 Resolução Steven Róger Duarte 472 Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando a temperatura é T1 20C determine a tensão normal média em cada material quando a temperatura atingir T2 40C Figura 472 3385 MPa 13541 MPa Fbr Fal Faço Fbr Fal Faço 106349 kN 1505 MPa 473 Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem 6 m de comprimento quando sua temperatura é 10 C Se houver uma folga de 3 mm em um de seus lados antes de tocar seu apoio fixo determine a temperatura exigida para fechar a folga Qual é a tensão de compressão no concreto se a temperatura aumentar até 60 C T 5545C 11 x 10660 554529 x 103 145 Mpa Carga Axial 157 Resolução Steven Róger Duarte 474 Um tubo de vapor com 18 m de comprimento é feito de aço com ζe 280 MPa e está ligado diretamente as duas turbinas A e B como mostra a figura O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a espessura da parede é 6 mm A ligação foi feita a T1 20C Considerando que os pontos de acoplamento das turbinas são rígidos determine a força que o tubo exerce sobre elas quando o vapor e portanto o tubo atingem uma temperatura de T2 135C Figura 474 ri r0 t 50 6 44 mm F 48903 kN 276 MPa OK 475 Um tubo de vapor com 18 de comprimento e feito de aço com ζe 280 MPa e está ligado diretamente a duas turbinas A e B como mostra a figura O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a espessura da parede é 6 mm A ligação foi feita a T1 20C Considerando que a rigidez dos pontos de acoplamento das turbinas é k 16 MNmm determine força que o tubo exerce sobre as turbinas quando o vapor e portanto o tubo atingem uma temperatura de T2 135C Figura 475 ri 50 6 44 mm x 002983 mm F kx 16 x 106 x 002983 47729 kN 26937 MPa OK Carga Axial 158 Resolução Steven Róger Duarte 476 Os trilhos de aço A36 de uma ferrovia têm 12 m de comprimento e foram assentados com uma pequena folga entre eles para permitir dilatação térmica Determine a folga δ exigida para que os trilhos apenas encostem um no outro quando a temperatura aumentar de T1 30C para T2 30C Considerando essa folga qual seria a força axial nos trilhos se a temperatura atingisse T3 40C A área de seção transversal de cada trilho é 3200 mm² Figura 476 8640 mm Até 30C sua dilatação será 864 mm passando dessa temperatura haverá tensão devido a força uma vez que os trilhos estarão encostados um no outro logo F 7680 kN 477 Os dois segmentos de haste circular um de alumínio e o outro de cobre estão presos às paredes rígidas de tal modo que há uma folga de 02 mm entre eles quando T1 15C Qual é a maior temperatura T2 exigida para apenas fechar a folga Cada haste tem diâmetro de 30 mm αal 24106C Eal 70 GPa αcobre 17106C Ecobre 126 GPa Determine a tensão normal média em cada haste se T2 95C Figura 477 Dados αal 24 x 106C Eal 70 GPa αcobre 17 x 106C Ecobre 126 GPa 3077C T 4577C 00523 mm 01477 mm Fal Fcu F F 61958 kN 8765 MPa Carga Axial 159 Resolução Steven Róger Duarte 478 Os dois segmentos de haste circular um de alumínio e o outro de cobre estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 02 mm entre eles quando T1 15C Cada haste tem diâmetro de 30 mm αal 24106C Eal 70 GPa αcobre 17106C Ecobre 126 GPa Determine a tensão normal média em cada haste se T2 150C Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio Figura 478 Dados αal 24 x 106C Eal 70 GPa αcobre 17 x 106C Ecobre 126 GPa T1 15 C T2 150 C 3077C T 4577C 00523 mm 01477 mm Fal Fcu F F 1312 kN 18558 MPa 0117793 mm 200117793 mm 479 Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T1 10ºC Determine a força exercida nos apoios rígidos quando a temperatura for T2 20ºC As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura Figura 479 Dados T1 10 C T2 20 C Laço Llat 300 mm F 699 kN Carga Axial 160 Resolução Steven Róger Duarte 480 A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 30ºC até T2 180C por resistência elétrica Na temperatura mais baixa a folga entre C e a barra rígida é 07 mm Determine a força nas hastes AB e EF provocadas pelo aumento na temperatura As hastes AB e EF são feitas de aço e cada uma tem área de seção transversal de 125 mm² CD é feita de alumínio e tem área de seção transversal de 375 mm² Eaço 200 GPa Eal 70 GPa αaço 12106ºC e αal 23106ºC Figura 480 07 mm Tf 1568116C FAB FCD FEF 0 2 2FAB FCD 1 FAB 423 kN FCD 2 x 423 846 kN 481 A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 30C até T2 180C por resistência elétrica As duas hastes AB e EF situadas nas extremidades também são aquecidas de T1 30C até T2 50C Na temperatura mais baixa T1 a folga entre C e a barra rígida é 07 mm Determine a força nas hastes AB e EF provocada pelo aumento na temperatura As hastes AB e EF são feitas de aço e cada um tem área de seção transversal de 125 mm² CD é feita de alumínio e tem área de seção transversal de 375 mm² Eaço 200 GPa Eal 70 GPa αaço 12106C e αal 23106C Figura 481 01104 mm 0072 mm Tf ΔT T2 1698C FAB FCD FEF 0 2 2FAB FCD 1 FAB FEF 185 kN Carga Axial 161 Resolução Steven Róger Duarte 482 O tubo de aço A36 está acoplado aos colares em A e B Quando a temperatura é 15 C não há nenhuma carga axial no tubo Se o gás quente que passa pelo tubo provocar uma elevação de ΔT 2030xC na temperatura do tubo onde x é dado em metros determine a tensão normal média no tubo O diâmetro interno é 50 mm e a espessura na parede é 4 mm Figura 482 483 O tubo de bronze 86100 tem raio interno de 125 mm e espessura de parede de 5 mm Se o gás que passa por ele mudar a temperatura do tubo uniformemente de TA 60C em A para TB 15C em B determine a força axial que ele exerce sobre as paredes O tubo foi instalado entre as paredes quando T 15 C Figura 483 Tx TA kx sabemos que para x L Tx TB logo k sendo assim a variação de temperatura será 45 1875x r0 ri t F 18566 kN Carga Axial 162 Resolução Steven Róger Duarte 484 O bloco rígido pesa 400 kN e será suportado pelos postes A e B feitos de aço A36 e pelos postes C feito de latão vermelho C83400 Se todos os postes tiverem o mesmo comprimento original antes de serem carregados determine a tensão normal média desenvolvida em cada um deles quando o poste C for aquecido de modo que sua temperatura aumente 10C Cada poste tem área de seção transversal de 5000 mm² Figura 484 Dados αlat 18 x 106C Elat 101 GPa ΔT 10 C A 5000 mm² 2Faço Flat 400 kN 1 2 Faço 123393 kN Flat 400 2Faço 153214 kN 2468 MPa 3064 MPa 485 A barra tem área de seção transversal A comprimento L módulo de elasticidade E e coeficiente de expansão térmica α A temperatura da barra muda uniformemente ao longo de seu comprimento de TA em A para TB em B de modo que em qualquer ponto x ao longo da barra T TA xTB TAL Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas Inicialmente não há nenhuma força axial na barra Figura 485 F Carga Axial 163 Resolução Steven Róger Duarte 486 A haste é feita de aço A36 e tem diâmetro de 6 mm Se as molas forem comprimidas 12 mm quando a temperatura da haste é T 10ºC determine a força na haste quando sua temperatura for T 75ºC Figura 486 k 200 Nmm x0 12 mm F kx x0 2x 020892 mm Substituindo o valor de x obtemos F 200020892 12 F 2442 kN Carga Axial 164 Resolução Steven Róger Duarte 44 PROBLEMAS 487 Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando submetida a uma carga P 8 kN Figura 487 025 k 2375 190 MPa 488 Se a tensão normal admissível para a barra for ζadm 120 MPa determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra Figura 488 k 2375 001P MPa 120 2375 x 001P P 505 kN 489 A barra de aço tem as dimensões mostradas na figura Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada de modo a não ultrapassar uma tensão de tração admissível ζadm 150 MPa Figura 489 02 k 245 P 441 kN Carga Axial 165 Resolução Steven Róger Duarte 490 Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra A barra é feita de aço e tem tensão admissível ζadm 147 MPa Figura 490 02 k 245 P 54 kN 491 Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando sujeita a uma carga P 8 kN Figura 491 02 k 245 21778 MPa 492 Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando sujeita a uma carga P 8 kN Figura 492 05 k 14 747 MPa 01 k 265 883 MPa Carga Axial 166 Resolução Steven Róger Duarte 493 A distribuição de tensão resultante ao longo da seção AB para a barra é mostrada na figura Por essa distribuição determine o valor aproximado da força axial resultante P aplicada à barra Além disso qual é o fator de concentração de tensão para essa geometria Figura 493 075 k 126 P 19 kN 494 A distribuição de tensão resultante ao longo da seção AB para a barra é mostrada na figura Por essa distribuição determine o valor aproximado da força axial resultante P aplicada à barra Além disso qual e o fator de concentração de tensão para essa geometria Figura 494 025 k 16 P 36 kN 45 MPa Carga Axial 167 Resolução Steven Róger Duarte 495 A chapa de aço A36 tem espessura de 12 mm Se houver filetes de rebaixo em B e C e ζadm 150 MPa determine a carga axial máxima P que ela pode suportar Calcule o alongamento da chapa desprezando o efeito dos filetes Figura 495 05 2 k 14 P 771 kN 0429 mm 496 O peso de 1500 kN 150 t é assentado lentamente no topo de um poste feito de alumínio 2014 T6 com núcleo de aço A36 Se ambos os materiais puderem ser considerados elásticos perfeitamente plásticos determine a tensão em cada um deles Figura 496 Substituindo Fal na equação 1 temos Fal Faço 1500 kN 1 Fal 10965Faço 2 Faço 715478 kN 3644 MPa constatase que ocorre escoamento no aço pois Portanto Faço 49087 kN Fal 1500 49087 100913 kN 17131 MPa Carga Axial 168 Resolução Steven Róger Duarte 497 A haste do parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutida em uma luva de bronze O diâmetro externo dessa luva é 20 mm Se a tensão de escoamento for ζeaço 640 MPa para o aço e ζebr 520 MPa para o bronze determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao conjunto Eaço 200 GPa Ebr 100 GPa Figura 497 Substituindo Fbr na equação 1 temos P Fbr Faço 0 1 Fbr 15Faço 2 Faço 04P P 126 kN 498 O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio cada um com mesmo comprimento inicial de 3 m e área de seção transversal de 4 mm² Se considerarmos que os materiais são elásticos perfeitamente plásticos com ζeaço 120 MPa e ζeal 70 MPa determine a força em cada cabo se o peso for a 600 N e b 720 N Eal 70 GPa Eaço 200 GPa Figura 498 a W 600 N Substituindo Fal na equação 1 obtemos Faço Fal 600 1 035Faço 2 Faço 444 N 11111 MPa Fal 600 444 156 N Carga Axial 169 Resolução Steven Róger Duarte b W 720 N Substituindo Fal na equação 1 obtemos Faço 53333 N Faço Fal 720 1 035Faço 2 13333 Mpa Ocorre escoamento no aço logo Faço 480 N Fal 720 480 240 N 499 A barra tem área de seção transversal de 625 mm² Se uma força P 225 kN for aplicada em B e então removida determine a tensão residual nas seções AB e BC ζe 210 MPa Figura 499 FA P FC 5625 kN FA FC P 0 1 16875 kN 2 270 MPa 210 MPa Ocorre escoamento do material logo FC 13125 kN FA P FC 9375 kN 150 MPa 90 MPa 60 MPa T 60 MPa T Carga Axial 170 Resolução Steven Róger Duarte 4100 A barra tem área de seção transversal de 300 mm² e é feita de um material cujo diagrama tensão deformação pode ser aproximado pelos dois segmentos de reta mostrados na figura Determine o alongamento da barra resultante do carregamento aplicado Figura 4100 8333 MPa não ocorre escoamento mmmm 0357 mm 21667 MPa ocorre escoamento em B pois 140 MPa sendo assim 1793 mm 18286 mm Carga Axial 171 Resolução Steven Róger Duarte 4101 A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois cabos de aço cada um com diâmetro de 4 mm Se a tensão de escoamento para os cabos for ζe 530 MPa e Eaço 200 GPa determine a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga e provocará um início de escoamento somente no cabo EB Qual é o deslocamento do ponto G para esse cabo Para o cálculo considere que o aço é elástico perfeitamente plástico Figura 4101 Dados d 4 mm σe 530 MPa Eaço 200 GPa TBE 666 kN 2 04TBE 04 x 08w 065TCD 0 1 3 TCD 10823 kN 86125 MPa ocorre escoamento do material logo TCD TBE 666 kN Substituindo TCD e TBE na equação 1 obtemos w 219 kNm 212 mm 00053 424 mm Carga Axial 172 Resolução Steven Róger Duarte 4102 A barra é sustentada por um pino em A e dois cabos de aço cada um com diâmetro de 4 mm Se a tensão de escoamento para os cabos for ζe 530 MPa e Eaço 200 GPa determine a a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga de modo a provocar um início de escoamento somente em um dos cabos e b a menor intensidade da carga distribuída que provoque o escoamento de ambos os cabos Para o cálculo considere que o aço é elástico perfeitamente plástico Figura 4102 Dados d 4 mm σe 530 MPa Eaço 200 GPa a Início de escoamento apenas em um dos cabos TBE 666 kN 2 04TBE 04 x 08w 065TCD 0 1 3 TCD 10823 kN 86125 MPa ocorre escoamento do material logo TCD 666 kN TCD 1625TBE TBE 4099 kN Substituindo TBE e TCD na equação 1 obtemos w 187 kNm b Escoamento de ambos os cabos TBE TCD 666 kN substituindo TBE e TCD na equação 1 obtemos w 219 kNm Carga Axial 173 Resolução Steven Róger Duarte 4103 A viga rígida é suportada pelos três postes A B e C de comprimentos iguais Os postes A e C têm diâmetros de 75 mm e são feitos de alumínio para o qual Eal 70 GPa e ζeal 20 MPa O poste B tem diâmetro de 20 mm e é feito de latão para o qual Elat 100 GPa e ζelat 590 MPa Determine o menor valor de P de modo que a somente as hastes A e C sofram escoamento e b todos os postes sofram escoamento Figura 4103 a Somente as hastes A e C sofram escoamento Fal 9844Flat 2 Fal Flat Fal P P 0 1 Fal 88357 kN 3 Substituindo Fal na equação 2 temos Flat 8976 kN Agora substituindo Fal e Flat em 1 temos P 928 kN b Todos os postes sofram escoamento Fal 88357 kN Flat 18535 kN substituindo Fal e Flat na equação 1 obtemos P 181 kN 4104 A viga rígida é suportada pelos três postes A B e C de comprimentos iguais Os postes A e C têm diâmetros de 60 mm e são feitos de alumínio para o qual Eal 70 GPa e ζeal 20 MPa O poste B é feito de latão para o qual Elat 100 GPa e ζelat 590 MPa Se P 130 kN determine o maior diâmetro do poste B de modo que todos os postes sofram escoamento ao mesmo tempo Figura 4104 Fal 56549 kN 2 Fal Flat Fal P P 0 1 Flat N 3 Substituindo Fal e Flat na equação 1 obtemos dB 178 mm Carga Axial 174 Resolução Steven Róger Duarte 4105 A viga é sustentada por três cabos de aço A36 cada um com comprimento de 12 m A área da seção transversal de AB e EF é 10 mm² e a área da seção transversal de CD é 4 mm² Determine a maior carga distribuída w que pode ser suportada pela viga antes que qualquer dos cabos comece a escoar Se considerarmos que o aço é elástico perfeitamente plástico determine até que distância a viga é deslocada para baixo exatamente antes de todos os cabos começarem a escoar Figura 4105 TEF TAB 25 kN 3 TAB TCD TEF 3w 0 1 TEF 25TCD 2 Substituindo TEF em 2 TCD 1 kN Substituindo TCD TEF e TAB na equação 1 obtemos w 200 kNm 1500 mm 4106 O diagrama tensãodeformação de um material pode ser descrito pela curva σ cε12 Determine a deflexão δ da extremidade de uma haste feita desse material se ela tiver comprimento L área de seção transversal A e peso específico Figura 4106 w Carga Axial 175 Resolução Steven Róger Duarte 4107 Resolva o Problema 4106 se o diagrama tensãodeformação for definido por σ cε32 Figura 4107 w 4108 A barra com diâmetro de 50 mm está presa em suas extremidades e suporta a carga axial P Se o material for elástico perfeitamente plástico com mostra o diagrama de tensãodeformação determine a menor carga P necessária para provocar o escoamento do segmento AC Se essa carga for liberada determine o deslocamento permanente do ponto C Figura 4108 FA 27489 kN 2 FA FB P 0 1 FA FB 27489 kN substituindo FA e FB na equação 1 obtemos P 54978 kN E 140 GPa 180 mm Carga Axial 176 Resolução Steven Róger Duarte 4109 Determine o alongamento da barra no Problema 4108 quando são removidos tanto a carga P quanto os apoios Figura 4109 FA 27489 kN 2 FA FB P 0 1 FA FB 27489 kN substituindo FA e FB na equação 1 obtemos P 54978 kN E 140 GPa 180 mm 0300 mm A barra alongase 03 mm para a esquerda em A daí o sinal negativo Carga Axial 177 Resolução Steven Róger Duarte 45 PROBLEMAS DE REVISÃO 4110 Um rebite de aço com 6 mm de diâmetro a uma temperatura de 800C está preso entre duas chapas de tal modo que nessa temperatura ele tem 50 mm de comprimento e exerce uma força de aperto de 125 kN entre as chapas Determine o valor aproximado da força de aperto entre as chapas quando o rebite esfriar até 5C Para o cálculo considere que as cabeças do rebite e as chapas são rígidas Considere também αaço 14106C Eaço 200 GPa O resultado é uma estimativa conservadora da resposta real Justifique sua resposta Figura 4110 FT 6294 kN Logo a força de aperto devido à tração será Faperto 125 6294 64189 kN Sim porque conforme o rebite esfria as chapas e as cabeças do rebite também se deformarão A força FT no rebite não será tão grande 4111 Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à chapa de aço A tensão admissível é ζadm 150 MPa Figura 4111 2 01 k 24 01 k 265 P 225 kN P 3260 kN Carga Axial 178 Resolução Steven Róger Duarte 4112 O elo rígido é sustentado por um pino em A e dois cabos de aço A36 cada um com comprimento de 300 mm quando não alongados e área de seção transversal de 78 mm² Determine a força desenvolvida nos cabos quando o elo suportar a carga vertical de 175 kN Figura 4112 175 x 015 01FB 0225FC 0 1 FC 225FB 2 Substituindo FB e FC na equação 1 obtemos FB 0433 kN e FC 0974 kN 4113 A força P é aplicada à barra a qual é composta por um material elástico perfeitamente plástico Construa um gráfico para mostrar como a força varia em cada seção AB e BC ordenadas à medida que P abscissa aumenta A barra tem áreas de seção transversal de 625 mm² na região AB e 2500 mm² na região BC e σe 210 MPa Figura 4113 Carga Axial 179 Resolução Steven Róger Duarte 4114 A haste de alumínio 2014T6 tem diâmetro de 12 mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T1 25C Se a temperatura baixar para T2 20C e uma força axial P 80 N for aplicada ao colar rígido como mostra a figura determine as reações em A e B Figura 4114 Dados αal 23 x 106C Eal 731 GPa L 325 mm L1 125 mm d 12 mm P 80 N T1 25 C T2 20C FB 8526 kN 2 FA FB P 0 1 FA P FB 8606 kN 4115 A haste de alumínio 2014T6 tem diâmetro de 12 mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T1 40C Determine a força P que deve ser aplicada ao colar de modo que quando T 0C a reação em B seja nula Figura 4115 Dados αal 23 x 106C Eal 731 GPa L 325 mm L1 125 mm d 12 mm T1 40 C T2 0 C Para T 0C FB 0 logo P 19776 kN 4116 A coluna de aço A36 tem área de seção transversal de 11250 mm² e está engastada em concreto de alta resistência como mostra a figura Se uma força axial de 300 kN for aplicada à coluna determine a tensão de compressão média no concreto e no aço Até que distância a coluna se encurta Seu comprimento original é 24 m Figura 4116 Carga Axial 180 Resolução Steven Róger Duarte Fconc 1015Faço 2 Fconc Faço 300 0 1 Substituindo Fconc na equação 1 obtemos Faço 14888 kN 1323 kN Fconc 300 14888 15112 kN 192 kN 015881 mm 4117 A coluna de aço A36 está engastada em concreto de alta resistência como mostra a figura Se uma força axial de 300 kN for aplicada à coluna determine a área exigida para o aço de modo que a força seja compartilhada igualmente entre o aço e o concreto Até que distância a coluna se encurta Seu comprimento original é 24 m Figura 4117 Faço Fconc F Aaço 1139738 m² Fconc Faço 300 0 F 150 kN 015793 mm 4118 O conjunto é formado por uma barra de alumínio ABC com 30 mm de diâmetro com um colar fixo em B e uma haste de aço CD com 10 mm de diâmetro Determine o deslocamento do ponto D quando o conjunto for carregado como mostra a figura Despreze o tamanho do colar em B e o acoplamento em C Eaço 200 GPa Eal 70 GPa Figura 4118 117 mm Carga Axial 181 Resolução Steven Róger Duarte 4119 A junta é composta por três chapas de aço A36 interligadas nas costuras Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B quando a junta for submetida às cargas axiais mostradas Cada chapa tem espessura de 5 mm Figura 4119 0276 mm 003067 mm 0184 mm 0491 mm Carga Axial 182 Resolução Steven Róger Duarte 46 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro Correção 410 2990 mm 000092 mm 412 000143 00106 469 0180 0806 494 P 7200 kN 4500 MPa k 160 P 3600 kN 4500 MPa k 160 Quadro 4 Correção 183 Capítulo 5 TToorrççããoo Deformação por torção de um eixo Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal O efeito do torque é uma preocupação primária em projetos de eixos ou eixos de acionamento utilizados em veículos e estruturas diversas A fórmula da torção a tensão de cisalhamento máxima no eixo que ocorre na superfície externa T torque interno resultante que age na seção transversal Seu valor é determinado pelo método das seções e pela equação de equilíbrio de momento aplicado ao redor da linha central longitudinal do eixo J momento polar de inércia da área da seção transversal c raio externo do eixo Ângulo de torção Às vezes o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação ou torque que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque Além do mais saber calcular o ângulo de torção para um eixo é importante quando analisamos as reações em eixos estaticamente indeterminados Na prática da engenharia normalmente o material é homogêneo de modo que G é constante Além disso a área da seção transversal do eixo e o torque aplicado são constantes ao longo do comprimento do eixo Tubos de parede fina com seções transversais fechadas Tubos de parede fina de forma não circular são usados frequentemente para construir estruturas leves como as utilizadas em aviões Em algumas aplicações elas podem ser submetidas a um carregamento de torção Torção inelástica As equações de tensão e deformação desenvolvidas são válidas se o esforço de torção aplicado fizer o material se comportar de maneira linear elástica Todavia se os carregamentos de torção forem excessivos o material pode escoar e por consequência teremos de fazer uma análise plástica para determinarmos a distribuição da tensão de cisalhamento e o ângulo de torção Para fazer essa análise é necessário cumprir as condições de deformação e equilíbrio para o eixo 184 Tabela para determinação da tensão de cisalhamento máxima e do ângulo de torção Seção transversal quadrada triangular e elíptica Torção 185 Resolução Steven Róger Duarte 51 PROBLEMAS 51 Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm 84 MPa Se o diâmetro do eixo for 375 mm determine o torque máximo T que pode ser transmitido Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso Figura 51 087 kNm 0698 kNm 56 MPa 52 O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T Determine o raio r do núcleo interno do eixo que resista à metade do torque aplicado T2 Resolva o problema de duas maneiras a usando a fórmula da torção e b determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento Figura 52 a Usando a fórmula da torção Substituindo em temos sabemos que logo 0841r b Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento 0841r Torção 186 Resolução Steven Róger Duarte 53 O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T Determine o raio r do núcleo interno do eixo que resista a 14 do torque aplicado T4 Resolva o problema de duas maneiras a usando a fórmula da torção e b determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento Figura 53 a Usando a fórmula da torção Substituindo em temos sabemos que logo 0707r b Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento dA 2 dT r 0707r 54 O tubo é submetido a um torque de 750 Nm Determine a parcela desse torque à qual a seção sombreada cinza resiste Resolva o problema de duas maneiras a usando a fórmula da torção e b determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento Figura 54 a Usando a fórmula da torção T 515 Nm b Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento Torção 187 Resolução Steven Róger Duarte 55 O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Figura 55 Tmáx 400 Nm 755 MPa 56 O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens Se o eixo estiver apoiado em mancais lisos em A e B que não resistem a torque determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo nos pontos C e D Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 56 Ponto C TC 185 Nm 2875 MPa Ponto D TD 75 Nm 1166 MPa Torção 188 Resolução Steven Róger Duarte 57 O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm Se for submetido aos torques aplicados mostrado na figura determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta desenvolvida no eixo Os mancais lisos em A e B não resistem a torque Figura 57 Tmáx 185 Nm 4582 MPa 58 O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm Se for submetido aos torques aplicados mostrado na figura faça o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial que se encontra no interior da região EA do eixo Os mancais lisos em A e B não resistem a torque Figura 58 4582 MPa 3580 MPa Torção 189 Resolução Steven Róger Duarte 59 O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligados por uma redução em B O tubo menor tem diâmetro externo de 1875 mm e diâmetro interno de 17 mm enquanto que o tubo maior tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 215 mm Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo da chave Figura 59 TAB 75015 02 2625 Nm 6255 MPa 1889 MPa 510 O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião Se o tubo de alumínio conectado tiver 25 mm de diâmetro interno e parede de 5 mm de espessura determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600 N for aplicada aos cabos Além disso trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal Figura 510 c0 ci t 125 5 175 mm T 600 x 075 075 90 Nm 145 MPa 1032 MPa Torção 190 Resolução Steven Róger Duarte 511 O eixo é composto por três tubos concêntricos todos do mesmo material e cada um com os raios internos e externos mostrados na figura Se for aplicado um torque T 800 Nm ao disco rígido preso à sua extremidade determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Figura 511 J 254502 x 106 m4 119 Mpa 512 O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos de torção mostrados Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 512 742 MPa 679 MPa Torção 191 Resolução Steven Róger Duarte 513 Um tubo de aço com diâmetro externo de 625 mm é usado para transmitir 3 kW quando gira a 27 revminuto Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o diâmetro interno d do tubo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 70 MPa Figura 513 T 005683 m 5683 mm 60 mm 514 O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm e tensão de cisalhamento admissível τadm 6 MPa Determine o maior torque T1 que pode ser aplicado ao eixo se ele também estiver sujeito a outros carregamentos de torção Exigese que T1 aja na direção mostrada Determine também a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões CD e DE Figura 514 TBC T1 68 Nm T1 21526 215 Nm TCD 21526 68 49 9826 Nm 400 MPa TDE 21526 68 49 35 6326 Nm 258 MPa Torção 192 Resolução Steven Róger Duarte 515 O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da linha radial do eixo onde a tensão de cisalhamento é máxima Considere T1 20 Nm Figura 515 Tmáx 68 49 35 20 132 Nm 538 MPa 516 O motor transmite um torque de 50 Nm ao eixo AB Esse torque é transmitido ao eixo CD pelas engrenagens em E e F Determine o torque de equilíbrio T no eixo CD e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo Os mancais B C e D permitem a livre rotação dos eixos Figura 516 TCD 125 Nm 943 MPa T TCD 0 148 MPa T 125 Nm Torção 193 Resolução Steven Róger Duarte 517 Se o torque aplicado ao eixo CD for T 75 Nm determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta em cada eixo Os mancais B C e D permitem a livre rotação dos eixos e o motor impede a rotação dos eixos Figura 517 891 MPa 30 Nm 566 MPa 518 O tubo de cobre tem diâmetro externo de 625 mm e diâmetro interno de 575 mm Se estiver firmemente preso à parede em C e for submetido a um torque uniformemente distribuído como mostra a figura determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B Esses pontos se encontram na superfície externa do tubo Faça um rascunho da tensão de cisalhamento sobre os elementos de volume localizados em A e B Figura 518 TA 625 x 03 1875 Nm 1379 MPa TB 625 x 0525 328125 Nm 2414 MPa Torção 194 Resolução Steven Róger Duarte 519 O tubo de cobre tem diâmetro externo de 625 mm e diâmetro interno de 575 mm Se estiver firmemente preso à parede em C e for submetido ao torque uniformemente distribuído ao longo de todo o seu comprimento determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no tubo Discuta a validade desse resultado Figura 519 Tmáx 625 x 03 0225 01 390625 Nm 2873 MPa 520 O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e trace um rascunho da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 520 TA 400 Nm 943 MPa TB 800 400 600 600 Nm 1415 MPa Torção 195 Resolução Steven Róger Duarte 521 O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção e concentrados mostrados na figura Determine as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo e especifique suas localizações medidas em relação à extremidade fixa Figura 521 Tmáx 04 2 x 08 06 14 kNm 330 MPa Ocorre em x 0 T 04 06 208 x 0 T 14 2x kNm Para que T seja mínimo T 0 14 2x 0 x 0700 m Entretanto por conta do princípio de SaintVenant a obtida não é válida 522 O eixo maciço é submetido aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura Determine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm 175 MPa Figura 522 Tmáx 04 2 x 08 06 14 kNm 172 mm d 2c 2 x 172 344 mm Entretanto a análise não é válida por conta do princípio de Saint Venant Torção 196 Resolução Steven Róger Duarte 523 Os eixos de aço estão interligados por um filete de solda como mostra a figura Determine a tensão de cisalhamento média na solda ao longo da seção aa se o torque aplicado aos eixos for T 60 Nm Observação A seção crítica onde a solda falha encontrase ao longo da seção aa Figura 523 T Vd V 193548 N A 2 x 2 16527524 mm² 117 MPa 524 A haste tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 Nm Determine a tensão de torção máxima provocada na haste pelo seu peso em uma seção localizada em A Figura 524 w1 09 x 80 72 N Tx 09 x 24 045 x 72 54 Nm w2 09 x 80 72 N 15915 MPa w3 03 x 80 24 N Torção 197 Resolução Steven Róger Duarte 525 Resolva o Problema 524 para a tensão de torção máxima em B Figura 525 w1 80 x 09 72 kN TB 045 x 72 09 x 24 54 Nm w2 80 x 09 72 kN 15915 MPa w3 80 x 03 24 kN 527 O poste de madeira o qual está enterrado no solo até a metade de seu comprimento é submetido a um momento de torção de 50 Nm que o faz girar a uma velocidade angular constante Esse momento enfrenta a resistência de uma distribuição linear de torque desenvolvida pelo atrito com o solo que varia de zero no solo a t0 Nmm na base do poste Determine o valor de equilíbrio para t0 e então calcule a tensão de cisalhamento nos pontos A e B que se encontram na superfície externa do poste Figura 527 Equação da reta da distribuição de torque que passa pelos pontos 05t00 e 0075m ty t0 T 2 0375t0 0375t0 50 0 t0 13333 133 Nmm TA 50 Nm 0255 MPa TB 2 2778 Nm 0141 MPa Torção 198 Resolução Steven Róger Duarte 528 Uma mola cilíndrica é composta por um anel de borracha e eixo rígidos Mantendo o anel fixo e aplicando um torque T ao eixo determine a tensão de cisalhamento máxima na borracha Figura 528 529 O eixo tem diâmetro de 80 mm e devido ao atrito na superfície no interior do furo está sujeito a um torque variável descrito pela função t Nm onde x é dado em metros Determine o torque mínimo T0 necessário para vencer o atrito e fazer o eixo girar Determine também a tensão máxima absoluta no eixo Figura 529 T 670 Nm 666 MPa T0 670 0 T0 670 Nm Torção 199 Resolução Steven Róger Duarte 530 O eixo maciço tem conicidade linear de rA em uma extremidade e rB na outra extremidade Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo Figura 530 y c y rB 531 Ao perfurar um poço à velocidade constante a extremidade inferior do tubo de perfuração encontra uma resistência à torção TA Além disso o solo ao longo das laterais do tubo cria um torque de atrito distribuído ao longo do comprimento do tubo que varia uniformemente de zero na superfície B a tA em A Determine o torque mínimo TB que deve ser transmitido pela unidade de acionamento para se vencerem os torques de resistência e calcule a tensão de cisalhamento máxima no tubo O tubo tem raio externo ro e raio interno ri Figura 531 Equação da reta da distribuição de torque que passa pelos pontos tA0 e 0L TB TA T 0 Torção 200 Resolução Steven Róger Duarte 532 O eixo de transmissão AB de um automóvel é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm 56 MPa Se o diâmetro externo do eixo for 625 mm e o motor transmitir 165 kW ao eixo quando estiver girando a 1140 revminuto determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo Figura 532 11938 rads 002608 m 2608 mm 3125 2608 517 mm 533 O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede fina O motor transmite 125 kW quando o eixo está girando a 1500 revminuto Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 625 mm A tensão de cisalhamento admissível do material é τadm 50 MPa Figura 533 15708 rads 0028252 m 28252 mm 3125 28252 2998 mm Torção 201 Resolução Steven Róger Duarte 534 O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W quando gira a 300 revminuto Se o eixo tiver diâmetro de 12 mm determine a tensão de cisalhamento máxima que será desenvolvida no eixo Figura 534 31416 rads 9382 MPa 535 O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W quando gira a 80 revminuto Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for τadm 28 MPa determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o menor diâmetro do eixo que pode ser usado Figura 535 8378 rads 001016 m 1016 mm 15 mm Torção 202 Resolução Steven Róger Duarte 536 O eixo de transmissão de um trator é feito de um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm 42 MPa Se o diâmetro externo for 75 mm e o motor transmitir 145 kW ao eixo quando estiver girando a 1250 revminuto determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo 1309 rads 003407 m 3407 mm 375 3407 3427 mm 537 O motorredutor de 25 kW pode girar a 330 revminuto Se o diâmetro do eixo for 20 mm determine a tensão de cisalhamento máxima que será desenvolvida no eixo Figura 537 34557 rads 46055 MPa Torção 203 Resolução Steven Róger Duarte 538 O motorredutor de 25 kW pode girar a 330 revminuto Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for τadm 56 MPa determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o menor diâmetro do eixo que pode ser usado Figura 538 34557 rads 001874 m 1874 mm 20 mm 539 O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 mm e está apoiado nos mancais lisos em D e E O eixo está acoplado a um motor em C que transmite 3 kW de potência ao eixo quando está girando a 50 revs Se as engrenagens A e B absorvem 1 kW e 2 kW respectivamente determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das regiões AB e BC O eixo é livre para girar em seus mancais de apoio D e E Figura 539 31416 rads 3183 Nm 104 MPa 955 Nm 311 MPa Torção 204 Resolução Steven Róger Duarte 540 Um navio tem um eixo de transmissão da hélice que gira a 1500 revminuto quando está desenvolvendo 1500 kW Se o eixo tiver 24 m de comprimento e 100 mm de diâmetro determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo causado por torção 15708 rads 48634 MPa 541 O motor A desenvolve potência de 300 W e gira a polia acoplada a 90 revminuto Determine os diâmetros exigidos para os eixos de aço nas polias em A e B se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 85 MPa Figura 541 9425 rads 00124 m 124 mm 00168 m 168 mm Torção 205 Resolução Steven Róger Duarte 542 O motor transmite 400 kW ao eixo de aço AB o qual é tubular e tem diâmetro externo de 50 mm e diâmetro interno de 46 mm Determine a menor velocidade angular com que ele pode girar se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm 175 MPa Figura 542 3283712 rads x 3135714 rpm 543 O motor transmite 40 kW quando está girando a taxa constante de 1350 rpm em A Esse carregamento é transmitido ao eixo de aço BC do ventilador pelo sistema de correia e polia mostrado na figura Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o menor diâmetro desse eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for τadm 84 MPa Figura 543 141372 rads 00325 m 325 mm 35 mm Torção 206 Resolução Steven Róger Duarte 52 PROBLEMAS 544 As hélices de um navio estão acopladas a um eixo maciço de aço A36 com 60 m de comprimento diâmetro externo de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm Se a potência de saída for 45 MW quando o eixo gira a 20 rads determine a tensão de torção máxima no eixo e seu ângulo de torção 443 MPa 02085 rad x 119 545 Um eixo é submetido a um torque T Compare a efetividade da utilização do tubo mostrado na figura com a de uma seção maciça de raio c Para isso calcule o aumento percentual na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento para o tubo em comparação com o da seção maciça Figura 545 Aumento percentual na tensão de torção 667 Aumento percentual do ângulo de torção Aumento percentual na tensão de torção 667 Torção 207 Resolução Steven Róger Duarte 546 O eixo de transmissão tubular para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rads determine o diâmetro interno exigido para o eixo considerando que o diâmetro externo seja 250 mm Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação Considere τadm 90 MPa e G 75 GPa Figura 546 0201 m 201 mm Φ 00095558 rad x 330 547 O eixo de aço A36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele gire livremente Se as engrenagens presas às extremidades do eixo forem submetidas a torques de 85 Nm determine o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D Os tubos têm diâmetros externos de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm A seção maciça tem diâmetro de 40 mm Figura 547 0007104 rad 0001127347 rad 0007104 rad 0007104 0001127347 0007104 0015335 rad x 0879 Torção 208 Resolução Steven Róger Duarte 548 O eixo de aço A36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele gire livremente Se as engrenagens presas às extremidades do eixo forem submetidas a torques de 85 Nm determine o ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm A seção maciça tem diâmetro de 40 mm Figura 548 0001127347 rad x 00646 549 O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A36 e tem 30 m de comprimento Está acoplado a um motor diesel em linha o qual transmite uma potência máxima de 2000 kW e provoca rotação de 1700 rpm no eixo Se o diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total Figura 549 ci c0 t 100 10 90 mm 1780236 rads 20797 MPa 0083188 rad x 4766 Torção 209 Resolução Steven Róger Duarte 550 As extremidades estriadas e engrenagens acopladas ao eixo de aço A36 estão sujeitas aos torques mostrados Determine o ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem D O eixo tem diâmetro de 40 mm Figura 550 0004244 rad x 0243 551 O eixo de aço A36 de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados Determine o ângulo de torção da extremidade B Figura 551 TBC 80 Nm TCD 80 20 60 Nm TDA 60 30 90 Nm 01 rad x 574 Torção 210 Resolução Steven Róger Duarte 552 O parafuso de aço A36 com 8 mm de diâmetro está parafusado firmemente ao bloco em A Determine as forças conjugadas F que devem ser aplicadas à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máxima no parafuso seja de 18 MPa Calcule também o deslocamento correspondente de cada força F necessário para causar essa tensão Considere que a chave de torque seja rígida Figura 552 T 2 x 150F 300F F 603 N 0720 mm 553 A turbina desenvolve 150 kW de potência que é transmitida às engrenagens de tal modo que C recebe 70 e D recebe 30 Se a rotação do eixo de aço A36 de 100 mm de diâmetro for 800 revminuto determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção da extremidade E do eixo em relação a B O mancal em E permite que o eixo gire livremente em torno de seu eixo Figura 553 Dados P 150 kW c 50 mm Gaço 75 GPa 83776 rads 1790493 Nm PC 70 x 150 105 kW 1253342 Nm PD 30 x 150 45 kW 537147 Nm 912 MPa 001021317 rad x 0585 Torção 211 Resolução Steven Róger Duarte 554 A turbina desenvolve 150 kW de potência que é transmitida às engrenagens de tal modo que C e D recebem quantidades iguais Se a rotação do eixo de aço A36 de 100 mm de diâmetro for 500 revminuto determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e a rotação da extremidade B do eixo em relação a E O mancal em C permite que o eixo gire livremente em torno de seu eixo Figura 554 Dados P 150 kW c 50 mm Gaço 75 GPa 5236 rads 2864789 Nm 146 MPa 75 kW 1432394 Nm 0019454 rad x 111 555 O motor transmite 33 kW ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20 Hz O eixo é apoiado em mancais lisos em A e B que permite a livre rotação do eixo As engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 20 kW e 12 kW respectivamente Determine o diâmetro do eixo com aproximação de mm se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e o ângulo de torção admissível de C em relação a D for 02º Figura 555 Dados Pm 33 kW f 20 Hz PD 12 kW PC 20 kW LCD 200 mm Gaço 75 GPa 02 3491 rad Tm 2626056 Nm 144 mm TCD 95493 Nm 1468 mm d 2c 2 x 144 288 mm 30 mm Torção 212 Resolução Steven Róger Duarte 556 O motor transmite 32 kW ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20 Hz O eixo tem diâmetro de 375 mm e está apoiado em mancais lisos em A e B que permitem a livre rotação do eixo As engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 20 kW e 12 kW respectivamente Determine a tensão máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem D Figura 556 Dados P 32 kW f 20 Hz PD 12 kW PC 20 kW LCD 200 mm Gaço 75 GPa c 1875 mm 25465 Nm 2459 MPa TCD 95493 Nm 0001312 rad x 0075152 557 O motor produz um torque T 20 Nm na engrenagem A Se a engrenagem C travar repentinamente e parar de girar mas B puder girar livremente determine o ângulo de torção F em relação a E e de F em relação a D do eixo de aço L2 cujo diâmetro interno é 30 mm e diâmetro externo é 50 mm Calcule também a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo O eixo está apoiado em mancais em G e H Figura 557 6667 Nm 312 MPa 0999 x 103 rad Torção 213 Resolução Steven Róger Duarte 558 Os dois eixos são feitos de aço A36 Cada um tem diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em A B e C que permitem livre rotação Se o apoio em D for fixo determine o ângulo de torção da extremidade B quando os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura Figura 558 90 Nm TDH 120 90 30 Nm 0020861 rad 00313 rad x 1793 559 Os dois eixos são feitos de aço A36 Cada um tem diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em A B e C que permitem livre rotação Se o apoio em D for fixo determine o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura Figura 559 90 Nm TDH 120 90 30 Nm 0020861 rad 00313 rad 003651 rad x 2092 Torção 214 Resolução Steven Róger Duarte 561 Os eixos de 30 mm de diâmetro são feitos de açoferramenta L2 e estão apoiados em mancais que permitem aos eixos girarem livremente Se o motor em A desenvolver um torque T 45 Nm no eixo AB enquanto a turbina em E é fixa e não pode girar determine a quantidade de rotação das engrenagens B e C Figura 561 TAB 45 Nm 0648 675 Nm 00084883 rad 0486 562 O eixo maciço de 60 mm de diâmetro é feito de aço A36 e está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura Determine o ângulo de torção na extremidade livre A do eixo devido a esses carregamentos Figura 562 Tx 2000x Nm 0007545 rad x 0432 Torção 215 Resolução Steven Róger Duarte 563 Quando um poço é perfurado considerase que a extremidade do tubo da perfuratriz que se aprofunda no solo encontra uma resistência à torção TA Além disso o atrito do solo ao longo das laterais do tubo cria uma distribuição linear de torque por unidade de comprimento que varia de zero na superfície B a t0 em A Determine o torque necessário TB que deve ser fornecido pela unidade de acionamento para girar o tubo Calcule também o ângulo de torção relativo de uma extremidade do tubo em relação à outra extremidade no instante em que o tubo está prestes a girar O tubo tem raio externo ro e raio interno ri O módulo de cisalhamento é G Figura 563 Equação da distribuição de torque que passa pelos pontos 05t00 e 0L é 2 TA TB T 0 1 Substituindo 2 em 1 obtemos 564 O conjunto é feito de aço A36 e é composto por uma haste maciça de 15 mm de diâmetro conectada ao interior de um tubo por meio de um disco rígido em B Determine o ângulo de torção em A O tubo tem diâmetro externo de 30 mm e espessura de parede de 3 mm Figura 564 00470565 rad x 270 Torção 216 Resolução Steven Róger Duarte 565 O dispositivo serve como uma mola de torção compacta É feito de aço A36 e composto por um eixo interno maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B Podemos considerar que o anel em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar Se um torque T 025 kNm for aplicado ao eixo determine o ângulo de torção na extremidade C e a tensão de cisalhamento máxima no tubo e eixo Figura 565 0054536 rad x 3125 8149 MPa 149 MPa 566 O dispositivo serve como uma mola de torção compacta É feito de aço A36 e composto por um eixo interno maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B Podemos considerar que o anel em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar Se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm 84 MPa e o ângulo de torção em C estiver limitado a ϕadm 3º determine o torque máximo T que pode ser aplicado na extremidade C Figura 566 TC 24002 Nm Substituindo T na fórmula da tensão de torção obtemos 7823 MPa 84 MPa OK Torção 217 Resolução Steven Róger Duarte 567 O eixo tem raio c e está sujeito a um torque por unidade de comprimento t0 distribuído uniformemente por todo o comprimento L do eixo Se ele estiver preso em sua extremidade distante A determine o ângulo de torção ϕ na extremidade B O módulo de cisalhamento é G Figura 567 Tx t0x 568 O parafuso de aço A36 é apertado dentro de um furo de modo que o torque de reação na haste AB pode ser expresso pela equação t kx² Nmm onde x é dado em metros Se um torque T 50 Nm for aplicado à cabeça do parafuso determine a constante k e a quantidade de torção nos 50 mm de comprimento da haste Considere que a haste tem um raio constante de 4 mm Figura 568 50 T 0 k 120 x 106 Nm² 006217 rad 356 Torção 218 Resolução Steven Róger Duarte 569 Resolva o Problema 568 se o torque distribuído for t kx23Nmm Figura 569 T 50 0 k 1228 x 10³ 570 O contorno da superfície do eixo é definido pela equação y eax onde a é uma constante Se o eixo for submetido a um torque T em suas extremidades determine o ângulo de torção na extremidade A em relação à extremidade B O módulo de cisalhamento é G Figura 570 Torção 219 Resolução Steven Róger Duarte 571 O eixo de aço A36 tem diâmetro de 50 mm e está sujeito aos carregamentos distribuídos e concentrados mostrados Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e construa um gráfico para o ângulo de torção do eixo em radianos em relação a x Figura 571 Tx 150 200x Nm o torque T será máximo para x 05 portanto Tmáx 150 200 x 05 250 Nm 102 MPa 326x 217x²103 rad Torção 220 Resolução Steven Róger Duarte 572 Uma mola cilíndrica é composta por um anel de borracha preso a um anel e eixo rígidos Se o anel for mantido fixo e um torque T for aplicado ao eixo rígido determine o ângulo de torção do eixo O módulo de cisalhamento da borracha é G Dica Como mostrado na figura a deformação do elemento no raio r pode ser determinada por rdθ dr Use essa expressão juntamente com do Problema 528 para obter o resultado Figura 572 Torção 221 Resolução Steven Róger Duarte 53 PROBLEMAS 573 O eixo de aço A36 tem diâmetro de 50 mm e está preso nas extremidades A e B Se for submetido ao momento determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB do eixo Figura 573 TAC 2TBC 2 300 TAC TBC 0 1 Substituindo TAC na equação 1 obtemos TAC 200 Nm e TBC 100 Nm 815 MPa 407 MPa 574 O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 375 mm e espessura de 03 mm A conexão C está sendo apertada com uma chave de torque Se o torque desenvolvido em A for 16 Nm determine o valor F das forças conjugadas O tubo está engastado na extremidade B Figura 574 16 TBC 03F 0 1 TBC 20 Nm 2 Substituindo TBC na equação 1 obtemos F 120 N Torção 222 Resolução Steven Róger Duarte 575 O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 375 mm e espessura de 3 mm A conexão em C está sendo apertada com uma chave de torque Se for aplicada uma força F 100 N determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo Figura 575 TBC TAC 30 0 1 TBC 125TAC 2 Substituindo TBC na equação obtemos TAC 13333 Nm e TBC 125 x13333 16667 Nm ci c0 t 1875 3 1575 mm 321 Mpa 576 O eixo de aço é composto por dois segmentos AC com diâmetro de 12 mm e CB com diâmetro de 25 mm Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 750 Nm determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Gaço 75 GPa Figura 576 0 TA 78816 Nm 23230 MPa Torção 223 Resolução Steven Róger Duarte 577 O eixo é feito de açoferramenta L2 tem diâmetro de 40 mm e está preso em suas extremidades A e B Se for submetido ao conjugado determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB Figura 577 TA TB 200 0 1 TA 15TB 2 Substituindo TA na equação 1 obtemos TB 80 Nm e TA 120 Nm 955 MPa 637 MPa 578 O eixo composto tem uma seção média que indica o eixo maciço de 20 mm de diâmetro e um tubo soldado a flanges rígidas em A e B Despreze a espessura das flanges e determine o ângulo de torção da extremidade C do eixo em relação à extremidade D O eixo é submetido a um torque de 800 Nm O material é aço A36 Figura 578 Ttubo Teixo 800 0 1 Teixo 2 Substituindo Ttubo na equação 1 obtemos Teixo 18632 Nm e Ttubo 78138 Nm 000553536 rad x 0317 Torção 224 Resolução Steven Róger Duarte 579 O eixo é composto por uma seção maciça de aço AB e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão Se o eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um torque T 50 Nm a ele em C determine o ângulo de torção que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço Considere Gaço 80 GPa Glat 40 GPa Figura 579 Taço Tlat 50 0 1 30Tlat 2 Substituindo Taço na equação 1 obtemos Tlat 1613 Nm e Taço 48387 Nm 00062974 rad x 0361 411 MPa 103 MPa 5134 x 106 rad 2567 x 106 rad 580 Os dois eixos de 1 m de comprimento são feitos de alumínio 2014T6 Cada eixo tem diâmetro de 30 mm e os dois estão acoplados pelas engrenagens presas a uma das extremidades de cada um deles As outras extremidades de cada um dos eixos estão engastadas em apoios fixos em A e B Além disso os eixos estão apoiados em mancais em C e D que permitem que eles girem livremente ao longo de suas linhas centrais Se um torque de 900 Nm for aplicado à engrenagem que está mais acima como mostra a figura determine a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo Figura 580 Substituindo TB na equação 3 obtemos TA 08F 900 0 1 TB 2TA 4 TA 180 Nm e TB 360 Nm F 25TB 2 TA 2TB 900 0 3 3395 MPa 6791 MPa Torção 225 Resolução Steven Róger Duarte 581 Os dois eixos são feitos de aço A36 Cada eixo tem diâmetro de 25 mm e os dois estão acoplados pelas engrenagens presas a uma das extremidades de cada um deles As outras extremidades de cada um dos eixos estão engastadas em apoios fixos em A e B Além disso os eixos estão apoiados em mancais em C e D que permitem que eles girem livremente ao longo de suas linhas centrais Se for aplicado um torque de 500 Nm à engrenagem em E como mostra a figura determine as reações em A e B Figura 581 TA 01F 500 0 1 Substituindo TA na equação 3 obtemos TB 005F 0 2 TA 556 Nm TA 2TB 500 3 TA 025TB 4 TB 222 Nm 582 Determine a rotação da engrenagem em E no Problema 581 Figura 582 TA 01F 500 0 1 Substituindo TA na equação 3 obtemos TB 005F 0 2 TA 556 Nm TA 2TB 500 3 TA 025TB 4 TB 222 Nm 0028973 rad x 166 Torção 226 Resolução Steven Róger Duarte 583 O eixo de aço A36 é composto por dois segmentos AC com diâmetro de 10 mm e CB com diâmetro de 20 mm Se o eixo estiver engastado em suas extremidades A e B e for submetido a um torque distribuído uniforme de 300 Nmm ao longo do segmento CB determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Figura 583 t 300 Nm m Tx tx 300x 0 TA 12 Nm TB 108 Nm 6875 MPa 584 O eixo cônico está confinado pelos apoios fixos em A e B Se for aplicado um torque T em seu ponto médio determine as reações nos apoios Figura 584 TA TB T 0 Resolvendo a integral obtemos Torção 227 Resolução Steven Róger Duarte 585 Uma porção do eixo de aço A36 é submetida a um carregamento de torção distribuído linearmente Se o eixo tiver as dimensões mostradas na figura determine as reações nos apoios fixos A e C O segmento AB tem diâmetro de 30 mm e o segmento BC tem diâmetro de 15 mm Figura 585 Usando semelhança de triângulos a equação da distribuição de torque é Nmm Nm Resolvendo a integral obtemos TC 2174 Nm 87826 Nm 586 Determine a rotação da junta B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo do Problema 585 Figura 586 Usando semelhança de triângulos a equação da distribuição de torque é Nmm Nm Resolvendo a integral obtemos TC 2174 Nm 87826 Nm 16566 MPa 0056 rad x 3208 Torção 228 Resolução Steven Róger Duarte 587 O eixo de raio c é submetido a um torque distribuído t medido como torquecomprimento do eixo Determine as reações nos apoios A e B Figura 587 T TA TB 0 1 2 Substituindo TA na equação 1 obtemos Torção 229 Resolução Steven Róger Duarte 54 PROBLEMAS 588 Compare os valores da tensão de cisalhamento elástica máxima e do ângulo de torção desenvolvidos em eixos de aço inoxidável 304 com seções transversais circular e quadrada Cada eixo tem a mesma área de seção transversal de 5600 mm² comprimento de 900 mm e está submetido a um torque de 500 Nm Figura 588 4222 mm 423 MPa 574 MPa 000120215 rad x 00689 0001359 rad x 00778 589 O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica Se for submetido ao carregamento de torção mostrado determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC e o ângulo de torção ϕ da extremidade B em relação à extremidade A Figura 589 1592 MPa 0955 MPa 00036175 rad x 02073 Torção 230 Resolução Steven Róger Duarte 590 Resolva o Problema 589 para a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC e ângulo de torção ϕ da extremidade B em relação à C Figura 590 1592 MPa 0955 MPa 00011227 rad x 00643 591 O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é parafusado em parede com uma chave de torque Determine as maiores forças conjugadas F que podem ser aplicadas ao eixo sem provocar o escoamento do aço e 56 MPa Figura 591 T 04F F 45478 N Torção 231 Resolução Steven Róger Duarte 592 O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é parafusado em uma parede com uma chave de torque Determine a máxima tensão de cisalhamento no eixo e o deslocamento que cada força conjugada sofre se o valor das forças conjugadas for F 150 N Gaço 75 GPa Figura 592 T 04 x 150 60 Nm 1847 MPa 0004362 rad 200 x 0004362 0872 mm 593 O eixo é feito de plástico e tem seção transversal elíptica Se for submetido ao carregamento de torção mostrado determine a tensão de cisalhamento no ponto A e mostre a tensão de cisalhamento em um elemento de volume localizado nesse ponto Determine também o ângulo de torção ϕ na extremidade B Gp 15 GPa Figura 593 286 MPa 00157 rad x 0899 Torção 232 Resolução Steven Róger Duarte 594 O eixo quadra é usado na extremidade de um cabo de acionamento para registrar a rotação do cabo em um medidor Se tiver as dimensões mostradas na figura e for submetido a um torque de 8 Nm determine a tensão de cisalhamento no eixo no ponto A Faça um rascunho da tensão de cisalhamento sobre um elemento de volume localizada nesse ponto Figura 594 308 MPa 595 O cabo de latão tem seção transversal triangular de 2 mm em um lado Se a tensão de escoamento para o latão for τe 205 MPa determine o torque máximo T ao qual o cabo pode ser submetido de modo a não sofrer escoamento Se esse torque for aplicado a um segmento de 4 m de comprimento determine o maior ângulo de torção de uma extremidade do cabo em relação à outra extremidade que não causará dano permanente ao cabo Glat 37 GPa Figura 595 T 00820 Nm 255 rad Torção 233 Resolução Steven Róger Duarte 596 Pretendese fabricar uma barra circular para resistir a torque todavia durante o processo de fabricação a barra ficou elíptica sendo que uma dimensão ficou menor que a outra por um fator k como mostra a figura Determine o fator k que causará aumento da tensão de cisalhamento máxima Figura 596 Fator de aumento da tensão de cisalhamento máxima 597 Uma escora de alumínio 2014T6 está presa entre as duas paredes em A e B Se tiver seção transversal quadrada de 50 mm por 50 mm e for submetida ao carregamento de torção mostrado determine as reações nos apoios fixos Determine também o ângulo de torção em C Figura 597 Dados LBD 600 mm LDC 600 mm LAC 600 mm a 50 mm Gal 27 GPa TB 40 Nm TA 60 30 40 50 Nm 0001262 rad x 00723 Torção 234 Resolução Steven Róger Duarte 598 O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 80 MPa determine o torque máximo T que ele pode transmitir Calcule também o ângulo de torção de uma extremidade do tubo em relação à outra se o tubo tiver 4 m de comprimento Despreze as concentrações de tensão nos cantos As dimensões médias são mostradas na figura Figura 598 Dados t 10 mm Gaço 75 GPa L 4 m Am 30 x 70 2100 mm² T 336 kNm s 2 x 30 2 x 70 200 mm 02032 rad x 116 599 O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm Se o torque aplicado for T 50 Nm determine a tensão de cisalhamento média no tubo Despreze as concentrações de tensão nos cantos As dimensões médias são mostradas na figura Figura 599 119 MPa Torção 235 Resolução Steven Róger Duarte 5100 Determine a espessura constante do tubo retangular se a tensão de cisalhamento média não pode ultrapassar 84 MPa quando um torque T 25 kNm for aplicado ao tubo Despreze as concentrações de tensão nos cantos As dimensões médias do tubo são mostradas na figura Figura 5100 000298 m 298 mm 5101 Determine o torque T que pode ser aplicado ao tubo retangular se a tensão de cisalhamento média não pode ultrapassar 84 MPa Despreze as concentrações de tensão nos cantos As dimensões médias do tubo são mostradas na figura e o tubo tem espessura de 3 mm Figura 5101 2520 Nm Torção 236 Resolução Steven Róger Duarte 5102 Um tubo com as dimensões mostradas na figura é submetido a um torque a T 50 Nm Despreze as concentrações de tensão em seus cantos determine a tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B Mostre a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 5102 394 MPa 236 MPa 5103 O tubo é feito de plástico tem 5 mm de espessura e as dimensões médias mostradas na figura Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se ele for submetido ao torque T 5 Nm Mostre a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 5103 53 kPa 53 kPa Torção 237 Resolução Steven Róger Duarte 5104 O tubo de aço tem seção transversal elíptica com as dimensões médias mostradas na figura e espessura constante t 5 mm Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e o tubo tiver de resistir a um torque T 375 Nm determine a dimensão b A área média para a elipse é Am πb05b Figura 5104 Am 05πb² 2065 mm 5105 O tubo é feito de plástico tem 5 mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque T 500 Nm Mostre a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos Despreze as concentrações de tensão nos cantos Figura 5105 962 MPa 962 MPa Torção 238 Resolução Steven Róger Duarte 5106 O tubo de aço tem seção transversal elíptica de dimensões médias mostradas na figura e espessura constante t 5 mm Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa determine a dimensão b necessária para resistir ao torque mostrado A área média para a elipse é Am πb05b Figura 5106 Am 05πb² Tmáx 450 120 75 0 Tmáx 405 Nm 2146 mm 5107 O tubo simétrico é feito de aço de alta resistência tem as dimensões médias mostradas na figura e 5 mm de espessura Se for submetido a um torque T 40 Nm determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pontos A e B Indique a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos Figura 5107 Am 40 x 60 x 2 60 60 40 x 40 11200 mm² 357 kPa Torção 239 Resolução Steven Róger Duarte 5108 Devido a um erro de fabricação o círculo interno do tubo é excêntrico em relação ao círculo externo Qual é a porcentagem de redução da resistência à torção quando a excentricidade e for igual a 14 da diferença entre os raios Figura 5108 Percentual de redução da resistência à torção 5109 Para uma tensão de cisalhamento média dada determine o fator de elevação da capacidade de resistência ao torque se as seções semicirculares forem invertidas das posições indicadas pelas linhas tracejadas para as posições da seção mostrada na figura O tubo tem 25 mm de espessura Figura 5109 8292 mm Torção 240 Resolução Steven Róger Duarte 1215457 mm² Logo o fator de elevação da capacidade de resistência ao torque será 285 5110 Para uma dada tensão de cisalhamento máxima determine o fator de elevação da capacidade de resistência ao torque se a seção semicircular for invertida da posição indicada pelas linhas tracejadas para a posição da seção mostradas na figura O tubo tem 25 mm de espessura Figura 5110 8292 mm 275 mm 1500 mm² 166 Torção 241 Resolução Steven Róger Duarte 55 PROBLEMAS 5111 A tensão de cisalhamento admissível para o aço usada no eixo é τadm 8 MPa Se os elementos forem interligados por um filete de solda de raio r 4 mm determine o torque máximo T que pode ser aplicado Figura 5111 25 02 k 125 T 201 Nm 5112 O eixo é usado para transmitir 660 W ao girar a 450 rpm Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Os segmentos são interligados por um filete de solda de raio 1875 mm Figura 5112 47124 rads 2 015 k 13 4748 MPa Torção 242 Resolução Steven Róger Duarte 5113 O eixo está preso à parede em A e é submetido aos torques mostrados na figura Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Um filete de solda de raio 45 mm é usado para interligar os eixos em B Figura 5113 Dados r 45 mm c 15 mm 2 015 k 13 472 MPa 1768 MPa 1226 MPa 5114 O eixo aumentado foi projetado para girar a 720 rpm enquanto transmite 30 kW de potência Isso é possível A tensão de cisalhamento admissível é τadm 12 MPa Figura 5114 75398 rads 125 0133 k 128 39761 Nm 2998 kW Não não é possível pois Pmáx P 30 kW Torção 243 Resolução Steven Róger Duarte 5115 O eixo aumentado foi projetado para girar a 540 rpm Se o raio do filete de solda que interliga os eixos for r 720 mm e a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm 55 MPa determine a potência máxima que o eixo pode transmitir Figura 5115 56549 rads 125 012 k 13 179433 Nm 56549 x 179433 1015 kW 101 kW 5116 A tensão de cisalhamento admissível para o aço usado na fabricação do eixo é τadm 8 MPa Se os elementos forem interligados por um filete de solda de raio r 225 mm determine o torque máximo T que pode ser aplicado Figura 5116 2 015 k 13 816 Nm Torção 244 Resolução Steven Róger Duarte 5117 Um eixo maciço é submetido ao torque T que provoca o escoamento do material Se o material for elásticoplástico mostre que o torque pode ser expresso em termos do ângulo de torção ϕ do eixo como T 43Te1ϕe 34ϕ3 onde Te e ϕe são o torque e o ângulo de torção quando o material começa a escoar 1 2 Substituindo na equação 1 obtemos 5118 Um eixo maciço com diâmetro de 50 mm é feito de material elásticoplástico com tensão de escoamento τe 112 MPa e módulo de cisalhamento G 84 GPa Determine o torque exigido para desenvolver um núcleo elástico no eixo com diâmetro de 25 mm Calcule também o torque plástico Dados G 84 GPa 125 mm c 25 mm 3551 kNm 3665 kNm 5119 Determine o torque necessário para torcer um cabo de aço curto de 3 m de diâmetro por várias revoluções se ele for feito de um aço que se presume ser elásticoplástico com tensão de escoamento τe 80 MPa Considere que o material se torna totalmente plástico 0565 Nm 5120 Um eixo maciço tem diâmetro de 40 mm e comprimento de 1 m e é feito de um material elástico plástico com tensão de escoamento Determine o torque elástico máximo Te e o ângulo de torção correspondente Qual é o ângulo de torção se o torque for aumentado para T 12Te G 80 GPa 125664 Nm 126 kNm 00625 rad 358 00848 rad 486 Torção 245 Resolução Steven Róger Duarte 5121 O eixo é submetido a um torque T que produz escoamento na superfície do segmento de maior diâmetro Determine o raio do núcleo elástico produzido no segmento de menor diâmetro Despreze a concentração de tensão no filete Figura 5121 substituindo obtemos Logo 5122 Uma barra com seção transversal circular de 75 mm de diâmetro é submetido a um torque de 12 kNm Se o material for elásticoplástico com determine o raio do núcleo elástico substituindo os dados obtemos Logo 5123 Um eixo tubular tem diâmetro interno de 20 mm diâmetro externo de 40 mm e comprimento de 1 m É feito de um material elástico perfeitamente plástico com tensão de escoamento τe 100 MPa Determine o torque máximo que ele pode transmitir Qual é o ângulo de torção de uma extremidade em relação à outra extremidade se a deformação por cisalhamento na superfície interna do tubo estiver prestes a escoar G 80 GPa Figura 5123 Dados 147 kNm 000125 rad Torção 246 Resolução Steven Róger Duarte 5124 O tubo de 2 m de comprimento é feito de um material elásticoplástico como mostra a figura Determine o torque aplicado T que submete o material da borda externa do tubo a uma deformação por cisalhamento de Qual seria o ângulo de torção permanente do tubo quando o torque for removido Faça um rascunho da distribuição da tensão residual no tubo Figura 5124 5125 O tubo tem comprimento de 2 m e é feito de um material elástico plástico material como mostra a figura Determine o torque necessário só para tornar o material totalmente plástico Qual é o ângulo de torção permanente do tubo quando esse torque é removido Figura 1125 7183775 Nm 718 kNm Torção 247 Resolução Steven Róger Duarte 5126 O eixo é feito de um material endurecido por deformação cujo diagrama é mostrado na figura Determine o torque T que deve ser aplicado ao eixo de modo a criar um núcleo elástico no eixo com raio Figura 5126 5127 O tubo de 2 m de comprimento é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura Determine o torque aplicado T que submete o material da borda externa do tubo à superfície à deformação por cisalhamento 0006 rad Qual será o ângulo de torção permanente do tubo quando esse torque for removido Faça um rascunho da distribuição de tensão residual no tubo Figura 5127 Dados 698 kNm 0343 rad 70 GPa 0184 rad ângulo de torção após Tp ser removido 0159 rad x 911 Torção 248 Resolução Steven Róger Duarte 5128 O diagrama tensão deformação por cisalhamento para um eixo maciço de 50 mm de diâmetro pode ser aproximado como mostra a figura Determine o torque exigido para provocar uma tensão de cisalhamento máxima de 125 MPa no eixo Se o eixo tiver 3 m de comprimento qual será o ângulo de torção correspondente Figura 5128 3269 Nm 327 kNm 120 rad 688 5129 O eixo é composto por duas seções rigidamente acopladas Se o material for elástico perfeitamente plástico como mostra a figura determine o maior torque T que pode ser aplicado ao eixo Além disso desenhe a distribuição da tensão de cisalhamento na linha radial para cada seção Despreze o efeito da concentração de tensão Figura 5129 Torção 249 Resolução Steven Róger Duarte 5130 O eixo é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura Faça um gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial se o eixo for submetido a um torque T 2 kNm Qual será a distribuição da tensão no eixo quando o torque for removido Figura 5130 Dados c 20 mm T 2 kNm 187 mm 15915 MPa 915 MPa 14881 MPa 122 MPa 5131 Um eixo de 40 mm de diâmetro é feito de um material elástico plástico como mostra a figura Determine o raio de seu núcleo elástico se ele for submetido a um torque T 300 Nm Se o eixo tiver 250 mm de comprimento determine o ângulo de torção Figura 5131 Dados 1677 mm 0089445 rad 51248 Torção 250 Resolução Steven Róger Duarte 5132 Um torque é aplicado ao eixo que tem raio de 100 mm Se o material obedecer a uma relação tensão deformação por cisalhamento de MPa determine o torque que deve ser aplicado ao eixo de modo que a máxima deformação por cisalhamento se torne 0005 rad Figura 5132 644646 Nm 645 kNm 5133 O eixo é feito de um material perfeitamente plástico como mostra a figura Determine o torque que o eixo pode transmitir se o ângulo de torção admissível for 0375 rad Determine também o ângulo de torção permanente uma vez removido o torque O eixo tem 2 m de comprimento Figura 5133 000375 rad 10 mm 243 kNm 80 GPa 0242 rad 0133 x 761 Torção 251 Resolução Steven Róger Duarte 56 PROBLEMAS DE REVISÃO 5134 Considere um tubo de parede fina de raio médio r e espessura t Mostre que a tensão de cisalhamento máxima no tubo devido a um torque aplicado T se aproxima da tensão de cisalhamento média calculada pela Equação 518 quando rt Figura 5134 isso nos mostra que t é tão pequeno que logo sabendose que pelo fato de que temse que 5135 O eixo de aço inoxidável 304 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 60 mm Quando está girando a 60 rads transmite 30 kW de potência do motor E para o gerador G Determine a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 150 MPa e o eixo estiver restrito a uma torção não maior do que 008 rad Figura 5135 500 Nm 00284 m 284 mm 30 284 16 mm 5988 MPa OK Torção 252 Resolução Steven Róger Duarte 5136 O eixo maciço de aço inoxidável 304 tem 3 m de comprimento e diâmetro de 50 mm Ele deve transmitir 40 kW de potência do motor E para o gerador G Determine a menor velocidade angular que o eixo pode ter se estiver restrito a uma torção não maior do que 15º Figura 5136 996 rads 5137 O tubo de uma perfuratriz de poço de petróleo é feito de aço e tem diâmetro externo de 112 mm e espessura de 6 mm Se o tubo estiver girando a 650 revminuto enquanto recebe potência de um motor de 12 kW determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo 68068 rads 176295 Nm 175 MPa 5138 O eixo cônico é feito de liga de alumínio 2014T6 e seu raio pode ser descrito pela função r 0021 x32 m onde x é dado em metros Determine o ângulo de torção de sua extremidade A se ele for submetido a um torque de 450 Nm Figura 5138 m4 00277 rad 159 Torção 253 Resolução Steven Róger Duarte 5139 O motor do helicóptero transmite 660 kW ao eixo do rotor AB quando a hélice está girando a 1500 revminuto Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o diâmetro do eixo AB se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e as vibrações limitarem o ângulo de torção do eixo a 005 rad O eixo tem 06 m de comprimento e é feito de açoferramenta L2 Figura 5139 Dados 15708 rads 42017 Nm 2558 mm 15986 MPa Logo ocorre escoamento do material pois logo 7256 mm 75 mm 5140 O motor do helicóptero transmite 660 kW ao eixo do rotor AB quando a hélice está girando a 1500 revminuto Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o diâmetro do eixo AB se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 75 MPa e as vibrações limitarem o ângulo de torção do eixo a 003 rad O eixo tem 06 m de comprimento e é feito de açoferramenta L2 Figura 5140 Dados 15708 rads 42017 Nm 2906 mm 109 MPa 3292 mm d 2c 6584 mm 70 mm Torção 254 Resolução Steven Róger Duarte 5141 O material de fabricação de cada um dos três eixos tem tensão de escoamento τe e módulo de cisalhamento G Determine qual das geometrias resistirá ao maior torque sem escoamento Qual porcentagem desse torque pode ser suportada pelos outros dois eixos Considere que cada eixo é feito com a mesma quantidade de material e tem a mesma área de seção transversal A Figura 5141 Círculo 1 Quadrado 2 Triângulo 3 Comparando os resultados encontrados para os torques notase que a forma circular resistirá ao maior torque logo substituindo r em 1 obtemos Forma quadrangular Forma triangular Torção 255 Resolução Steven Róger Duarte 5142 O tubo circular de aço A36 é submetido a um torque de 10 kNm Determine a tensão de cisalhamento no raio médio ρ 60 mm e calcule o ângulo de torção do tubo se ele tiver 4 m de comprimento e estiver preso em sua extremidade mais distante Resolva o problema usando as equações 57 515 518 e 520 Figura 5142 Equação 518 11309733 mm² 8842 MPa Equação 57 1 2 Resolvendo as equações 1 e 2 obtemos 8827 MPa Equação 520 0078595 rad 4503 Equação 515 007845882 rad 4495 Torção 256 Resolução Steven Róger Duarte 5143 O tubo de alumínio tem 5 mm de espessura e dimensões da seção transversal externa mostradas na figura Determine a máxima tensão de cisalhamento média no tubo Se o tubo tiver comprimento de 5 m determine o ângulo de torção Gal 28 GPa Figura 5143 13775 mm² 203 MPa Torção 257 Resolução Steven Róger Duarte 57 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro Correção 51 a T 087 kNm b T 087 kNm a T 087 kN b T 0698 kNm 5129 Tp 1173 kNm 4779 MPa Tp 14661 Nm 4779 MPa Quadro 5 Correção 258 Capítulo 6 Flexão Diagramas de força cortante e momento fletor Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas Em geral vigas são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas Por conta dos carregamentos aplicados as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna força cortante e momento fletor que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga Para projetar uma viga corretamente em primeiro lugar é necessário determinar a força de cisalhamento e o momento máximos que agem na viga Um modo de fazer isso é expressar V e M em função de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da viga Então essas funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor Deformação por flexão de um elemento reto O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fletor provoca o alongamento do material na parte inferior da barra e a compressão do material na porção superior da barra Por consequência entre essas duas regiões deve existir uma superfície denominada superfície neutra na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material A fórmula da flexão ζmáx tensão normal no elemento que ocorre em um ponto na área da seção transversal mais afastada do eixo neutro M momento interno resultante determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno do eixo neutro da seção transversal I momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro c distância em torno do eixo neutro a um ponto perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro onde ζmáx age Vigas compostas Vigas construídas com dois ou mais materiais diferentes são denominados vigas compostas Citamos como exemplos as de madeira com tiras de aço nas partes superior e inferior ou as mais comuns vigas de concreto reforçadas com hastes de aço Os engenheiros projetam essas vigas de propósito para desenvolver um meio mais eficiente de suportar cargas aplicadas Vigas de concreto armado Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão Porém o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração portanto por si só não seria adequado para resistir a um momento fletor Para contornar essa deficiência os engenheiros colocam hastes de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração 259 Tabela para utilização Vigas curvas Gráficos para determinação do fator de concentração de tensão K Flexão 260 Resolução Steven Róger Duarte 61 PROBLEMAS 61 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo Os mancais em A e B exercem somente reações verticais no eixo Figura 61 08RB 24 x 025 0 RA RB 24 0 RB 75 kN RA 315 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Flexão 261 Resolução Steven Róger Duarte 62 Um dispositivo é usado para suportar uma carga Se a força aplicada ao cabo for 250 N determine as tensões T1 e T2 em cada extremidade da corente e então represente graficamente os diagramas de força cortante e momento para o braço ABC Figura 62 03 x 250 0075T2 0 T1 T2 250 0 T2 100 kN T1 125 kN Seção AB Seção BC kNm kNm Flexão 262 Resolução Steven Róger Duarte 63 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletror para o eixo Os mancais em A e D exercem somente reações verticais sobre o eixo A carga é aplicada às polias em B C e E Figura 63 035 x 400 085 x 550 1225RD 1525 x 175 0 RA RD 400 550 175 0 RD 713775 N RA 41123 N Seção AB Seção BC Nm Nm Seção CD Seção DE Nm Nm Flexão 263 Resolução Steven Róger Duarte 64 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 64 10 x 1 10 x 2 10 x 3 10 x 4 5R2 0 R1 R2 40 0 R2 20 kN R1 20 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 Seção 4 Seção 5 kNm kNm Flexão 264 Resolução Steven Róger Duarte 65 Um suporte de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento para o suporte quando submetido à carga das longarinas mostradas na figura Considere que as colunas A e B exercem somente reações verticais no suporte Figura 65 60 x 1 35 x 1 35 x 25 35 x 4 5RB 60 x 6 0 RA RB 225 0 RB 1125 kN RA 1125 kN Seção 1 Seção 2 Seção 3 kNm kNm kNm Seção 4 Seção 5 Seção 6 kNm kNm kNm Flexão 265 Resolução Steven Róger Duarte 66 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo Expresse também a força cortante e o momento no eixo em função de x dentro da região 125 mm x 725 mm Figura 66 800 x 0125 1500 x 0725 08RB 0 RA RB 800 1500 0 RB 148438 N RA 2300 N Seção 1 Seção 2 Nm Nm Seção 3 Nm Flexão 266 Resolução Steven Róger Duarte 67 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine a força cortante e o momento em todo o eixo em função de x Os mancais em A e B exercem somente rações verticais sobre o eixo Figura 67 4 x 09 15RB 25 x 195 0 RA RB 65 0 RB 565 kN RA 085 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm Flexão 267 Resolução Steven Róger Duarte 68 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo A extremidade rosqueada está sujeita a uma força horizontal de 5 kN Dica As reações no pino C devem ser substituídas por cargas equivalentes no ponto B no eixo do tubo Figura 68 04Cy 008Cx 0 1 Cx 5 0 2 Substituindo 2 em 1 obtemos Cy RA 1 kN CX 5 kN Seção AB kNm Flexão 268 Resolução Steven Róger Duarte 69 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Dica A carga de 100 KN deve ser substituída por cargas equivalentes no ponto C no eixo da viga Figura 69 75 x 1 100 x 025 3By 0 1 RA By 75 0 2 Bx 100 0 3 Resolvendo as equações 1 2 e 3 obtemos By 1667 kN RA 5833 kN Bx 100 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm Flexão 269 Resolução Steven Róger Duarte 610 O guindaste de motores é usado para suportar o motor que pesa 6 kN Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor da lança ABC quando ela está na posição horizontal mostrada Figura 610 12 x 06FB 24 x 6 0 1 2 3 Resolvendo as equações 1 2 e 3 obtemos FB 20 kN Ay 10 kN Ax 12 kN Seção AB Seção BC kNm kNm Flexão 270 Resolução Steven Róger Duarte 611 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta Ela é suportada por uma chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e por isso não pode suportar uma força vertical embora possa suportar momento e carga axial Figura 611 MA Pa 3a x 2P 4a x P 0 FC 2P 0 MA Pa FC 2P Seção AB Seção BC Seção CD Flexão 271 Resolução Steven Róger Duarte 612 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta interligada por um pino em B Figura 612 30 x 1 40 x 25 35Cy 0 Ay Cy 70 0 Cy 20 kN Ay 50 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm Flexão 272 Resolução Steven Róger Duarte 613 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 613 M0 M0 M0 3aRB 0 Ay RB 0 Seção 1 Seção 2 Seção 3 Flexão 273 Resolução Steven Róger Duarte 615 A viga está sujeita ao momento uniforme distribuído m momentocomprimento Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 615 MA mL 0 MA mL Seção AB 616 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 616 Flexão 274 Resolução Steven Róger Duarte Seção 1 MA 10 x 25 x 125 10 x 25 x 375 0 kNm MA 625 kNm kN Seção 2 kNm kN 617 Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de um barco com largura uniforme e peso de 50 Nm Determine o momento fletor máximo exercido sobre o barco Considere que a água exerce uma carga distribuída uniforme para cima na parte inferior do barco Figura 617 5w 750 50 x 5 0 w 200 Nm Seção 1 Seção 2 Nm Nm N N Mmáx M25 75 x 25² 750 x 25 1875 46875 469 Nm Flexão 275 Resolução Steven Róger Duarte 618 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Ela é suportada por uma chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e por isso não pode suportar uma força vertical embora possa suportar momento e carga axial Figura 618 MA wL x FBL 0 wL FB 0 FB wL Seção AB Flexão 276 Resolução Steven Róger Duarte 619 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 619 30 x 15 x 075 45 3FB 0 FA FB 45 0 FA 4125 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm kN Seção 3 kNm Flexão 277 Resolução Steven Róger Duarte 620 Determine os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e o momento em toda a viga em função de x Figura 620 M 30 x 24 x 12 50 x 24 40 x 36 200 0 30 x 24 F 50 40 0 M 5504 kNm F 162 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Flexão 278 Resolução Steven Róger Duarte 621 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e momento na viga em função de x 12 m x 3 m Figura 621 03 25 x 18 x 09 18FB 03 0 FA FB 45 0 FB 225 kN FA 225 kN Seção1 Seção 2 kNm kN Seção 3 Flexão 279 Resolução Steven Róger Duarte 622 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta Os três segmentos estão interligados por pinos em B e E Figura 622 3 x 1 3FA 0 3 x 2 4FA 08 x 4 x 1 3 x 4 6FF 2 FD 0 FA 1 kN FD 36 kN Seção 1 Seção 2 Seção 3 kNm kNm kNm kN Seção 4 Seção 5 kNm kNm kN kN Seção 6 Seção 7 kNm kNm Flexão 280 Resolução Steven Róger Duarte 623 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 623 30 x 15 x 075 30 30 x 15 x 225 3FB 0 FA FB 90 0 FB 325 kN FA 575 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm kN Seção 3 kNm kN Flexão 281 Resolução Steven Róger Duarte 624 A viga está parafusada ou presa por pino em A e repousa sobre um coxim em B que exerce uma carga uniformemente distribuída na viga ao longo de seu 06 m de comprimento Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga se ela suportar uma carga uniforme de 30 kNm Figura 624 06w x 3 30 x 24 x 15 0 RA 06w 72 0 w 60 kNm RA 36 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm kN Seção 3 kNm kN Flexão 282 Resolução Steven Róger Duarte 625 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Os dois segmentos estão interligados em B Figura 625 24FC 5 x 24 x 12 0 FA 6 52 0 MA 40 x 15 24 x 46 0 FC 6 kN FA 46 kN MA 504 kNm Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm kN Flexão 283 Resolução Steven Róger Duarte 627 Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do momento seja um mínimo Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para essa condição Figura 627 aFB wL x 05L 0 FA FB wL 0 Seção 1 Seção 2 Flexão 284 Resolução Steven Róger Duarte 628 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a barra Somente reações verticais ocorrem em suas extremidades A e B Figura 628 Seção AB Flexão 285 Resolução Steven Róger Duarte 629 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 629 Seção 1 Seção 2 Flexão 286 Resolução Steven Róger Duarte 630 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 630 Seção 1 Seção 2 Flexão 287 Resolução Steven Róger Duarte 631 A viga T está sujeita ao carregamento mostrado Represente graficamente os diagramas de força cortante e de momento fletor Figura 631 Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm kN Flexão 288 Resolução Steven Róger Duarte 632 O esqui suporta o peso de 900 N 90 kg do homem Se a carga de neve em sua superfície inferior for trapezoidal como mostra a figura determine a intensidade w e então represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o esqui Figura 632 Nm w 600 Nm N Nm N Flexão 289 Resolução Steven Róger Duarte 633 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 633 1125 x 15 1125 x 75 9FB 0 FA FB 225 0 FB 1125 kN FA 1125 kN kNm kNm kN kN Flexão 290 Resolução Steven Róger Duarte 634 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga de madeira e determine a força cortante e o momento fletor em todo o comprimento da viga em função de x Figura 634 1 x 1 2 x 15 x 075 15FB 1 x 25 0 FA 25 5 0 FB 25 kN FA 25 kN kNm kNm kN Seção 3 25 m kNm Flexão 291 Resolução Steven Róger Duarte 635 O pino liso está apoiado em duas chapas A e B e sujeito a uma carga de compressão de 04 kNm provocada pela barra C Determine a intensidade da carga distribuída w0 das chapas agindo sobre o pino e represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o pino Figura 635 kNm kNm kN Flexão 292 Resolução Steven Róger Duarte 636 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 636 225 36FB 405 x 42 0 FA FB 405 0 FB 535 kN FA 13 kN kNm kNm kN Flexão 293 Resolução Steven Róger Duarte 637 A viga composta consiste em dois segmentos interligados por um pino em B Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor se ela suportar a carga distribuída mostrada na figura Figura 637 Flexão 294 Resolução Steven Róger Duarte 638 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 638 MB 9 x 1 36 x 15 0 FB 18 12 x 15 0 MB 63 kNm FB 45 kN kNm kN Flexão 295 Resolução Steven Róger Duarte 639 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e o momento em função de x Figura 639 600 x 45 300 x 5 6FB 0 FA FB 400 200 x 15 0 FB 700 N FA 200 N Nm Nm N Flexão 296 Resolução Steven Róger Duarte 640 Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do momento seja um mínimo Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para essa condição Figura 640 05PL aFB PL 0 FA FB 2P 0 Mmáx Mmín a 0866L Flexão 297 Resolução Steven Róger Duarte 641 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Figura 641 MA 05 kNm Flexão 298 Resolução Steven Róger Duarte 642 O caminhão será usado para transportar a coluna de concreto Se ela tiver um peso uniforme de w forçacomprimento determine a colocação dos apoios a distâncias a iguais em relação às extremidades de modo que o momento fletor absoluto máximo na coluna seja o menor possível Além disso represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a coluna Figura 642 F1 F2 wL 0 para x 05L temos 4a² 4La L² 0 resolvendo a equação a 0207L Flexão 299 Resolução Steven Róger Duarte 62 PROBLEMAS 643 Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno M 2 kNm Determine a tensão máxima no elemento se o momento for aplicado a em torno do eixo z e b em torno do eixo y Trace um rascunho da distribuição de tensão para cada caso Figura 643 a Em torno do eixo z 864 x 106 m4 1389 MPa b Em torno do eixo y 216 x 106 m4 2778 MPa 644 A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M 300 Nm Determine a tensão criada nos pontos A e B Além disso trace um rascunho de uma visão tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 644 7854 x 109 m4 yA c 10 mm yB csenθ 10sen45 70711 mm M 300 Nm Flexão 300 Resolução Steven Róger Duarte 645 A viga está sujeita a um momento M Determine a porcentagem desse momento à qual resistem as tensões que agem nas pranchas superior e inferior A e B da viga Figura 645 Dados 646 Determine o momento M que deve ser aplicado à viga de modo a criar uma tensão de compressão no ponto D ζD 30 MPa Além disso trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal e calcule a tensão máxima desenvolvida na viga Figura 646 40 MPa Flexão 301 Resolução Steven Róger Duarte 647 A peça de mármore que podemos considerar como um material linear elástico frágil tem peso específico de 24 kNm³ e espessura de 20 mm Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver apoiada a em seu lado e b em suas bordas Se a tensão de ruptura for ζrup 15 MPa explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições Figura 647 a Em seu lado W 24 x 10³05 x 15 x 002 360 N 20833 x 104 m4 Mmáx 0375 x 180 180 x 075 0 0081 MPa Mmáx 675 Nm b Em suas bordas 3333 x 107 m4 2025 MPa quebra σmáx σrup 15 MPa logo a peça quebra nessa posição Flexão 302 Resolução Steven Róger Duarte 648 A peça de mármore que podemos considerar como material linear elástico frágil tem peso específico de 24 kNm³ Se for apoiada nas bordas como mostrado em b determine a espessura mínima que ela deve ter para não quebrar A tensão de ruptura é ζrup 15 MPa Figura 648 Wt 18000t N Mmáx 9000t x 0375 9000t x 075 0 Mmáx 3375t Nm Dados c 05t m4 27 mm Flexão 303 Resolução Steven Róger Duarte 649 A viga tem seção transversal mostrada na figura Se for feita de aço com tensão admissível ζadm 170 MPa determine o maior momento interno ao qual pode resistir se o momento for aplicado a em torno do eixo z e b em torno do eixo y Figura 649 a Em torno do eixo z 541 x 106 m4 b Em torno do eixo y 144125 x 106 m4 650 Foram apresentadas duas alternativas para o projeto de uma viga Determine qual delas suportará um momento de M 150 kNm com a menor quantidade de tensão de flexão Qual é essa tensão Com que porcentagem ela é mais efetiva Figura 650 21645 x 104 m4 11434 MPa 36135 x 104 m4 7472 MPa 100 53 A seção b terá a menor quantidade de tensão de flexão Porcentagem de maior eficácia 530 Flexão 304 Resolução Steven Róger Duarte 651 A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M 75 Nm Determine a tensão de flexão criada nos pontos B e C da seção transversal Trace um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume localizado em cada um desses pontos Figura 651 325 mm 36333 x 107 m4 361 MPa 155 MPa 652 A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M 75 Nm Determine as tensões de flexão máximas tanto de tração quanto de compressão na peça Figura 652 325 mm 36333 x 107 m4 36 MPa 671 MPa Flexão 305 Resolução Steven Róger Duarte 653 A viga é composta por quatro peças de madeira coladas como mostra a figura Se o momento que age na seção transversal for M 450 Nm determine a força resultante que a tensão de flexão produz na peça superior A e na peça lateral B Figura 653 1316 x 104 m4 0 kN 041033 MPa 0341876 MPa 150 kN 654 A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz Se ela for submetida ao momento M 8 kNm determine a tensão de flexão que age nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos de volume localizados nesses pontos Figura 654 17813 x 105 m4 494 MPa C 449 MPa T Flexão 306 Resolução Steven Róger Duarte 655 A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz Se ela for submetida ao momento M 8 kNm determine a tensão de flexão máxima na viga e faço o rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age em toda a seção transversal Figura 655 17813 x 105 m4 494 MPa 656 A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como mostra a figura Se o momento que age na seção transversal for M 15 kNm determine a tensão de flexão máxima na viga Faça um rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 656 2162907 mm I 474038 x 104 m4 06844 MPa 05642 MPa 05054 MPa 03851 MPa Flexão 307 Resolução Steven Róger Duarte 657 Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua superior A da viga se M 15 kNm Figura 657 2162907 mm I 474038 x 104 m4 05054 MPa 03851 MPa 423 kN 658 A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de empurrar Determine a tensão de flexão máxima na seção aa da alavanca se uma força de 100 N for aplicada ao cabo A alavanca é suportada por um pino em A e um cabo em B A seção aa é quadrada 6 mm por 6 mm Figura 658 108 x 1010 m4 M 100 x 005 0 M 5 Nm 13889 MPa Flexão 308 Resolução Steven Róger Duarte 659 Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento se ele for submetido a um momento fletor interno M 40 kNm Figura 659 143411 mm I 4464 x 105 m4 129 MPa T 660 A peça fundida cônica suporta a carga mostrada Determine a tensão de flexão nos pontos A e B A seção transversal na seção aa é dada na figura Figura 660 F1 F2 F1 F2 750 750 0 M 025 x 750 0 F1 F2 750 N M 1875 Nm 1276041 x 105 m4 0918 MPa 0551 MPa Flexão 309 Resolução Steven Róger Duarte 661 Se o eixo do Problema 61 tiver diâmetro de 100 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo Figura 661 08RB 24 x 025 0 RA 75 24 0 RB 75 kN RA 315 kN Seção 1 Seção 1 kNm kNm 6112 MPa Flexão 310 Resolução Steven Róger Duarte 662 Se o eixo do Problema 63 tiver um diâmetro de 40 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo Figura 662 035 x 400 085 x 550 1225RD 1525 x 175 0 RA RD 400 550 175 0 RD 713775 N RA 41123 N Seção AB Seção BC Nm Nm Seção CD Seção DE Nm Nm 238 MPa Flexão 311 Resolução Steven Róger Duarte 663 Se o eixo do Problema 66 tiver um diâmetro de 50 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo Figura 663 800 x 0125 1500 x 0725 08RB 0 RA RB 800 1500 0 RB 148438 N RA 2300 N Seção 1 Seção 2 Nm Nm Seção 3 Nm 905 MPa Flexão 312 Resolução Steven Róger Duarte 664 Se o tubo do Problema 68 tiver diâmetro externo de 30 mm e espessura de 10 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo Figura 664 04Cy 008Cx 0 1 Cx 5 0 2 Substituindo 2 em 1 obtemos Cy RA 1 kN CX 5 kN Seção AB kNm 153 MPa Flexão 313 Resolução Steven Róger Duarte 665 Se a viga ACB no Problema 69 tiver seção transversal quadrada de 150 mm por 150 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga Figura 665 75 x 1 100 x 025 3By 0 1 RA By 75 0 2 Bx 100 0 3 Resolvendo as equações 1 2 e 3 obtemos By 1667 kN RA 5833 kN Bx 100 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm 1037 MPa Flexão 314 Resolução Steven Róger Duarte 666 Se a lança do guindaste ABC no Problema 610 tiver seção transversal retangular com base de 60 mm determine com aproximação de múltiplos de 5 mm a altura h exigida se a tensão de flexão admissível for ζadm 170 MPa Figura 666 12 x 06FB 24 x 6 0 1 0 2 3 Resolvendo as equações 1 2 e 3 obtemos FB 20 kN Ay 10 kN Ax 12 kN Seção AB Seção BC kNm kNm 00728 m 75 mm Flexão 315 Resolução Steven Róger Duarte 667 Se a lança do guindaste ABC no Problema 610 tiver seção transversal retangular com base 50 mm e altura de 75 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta na lança Figura 667 12 x 06FB 24 x 6 0 1 0 2 3 Resolvendo as equações 1 2 e 3 obtemos FB 20 kN Ay 10 kN Ax 12 kN Seção AB Seção BC kNm kNm 192 MPa Flexão 316 Resolução Steven Róger Duarte 668 Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga no Problema 624 A seção transversal é retangular com base de 75 mm e altura 100 mm Figura 668 06w x 3 30 x 24 x 15 0 RA 06w 72 0 w 60 kNm RA 36 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm 2592 MPa Flexão 317 Resolução Steven Róger Duarte 669 Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga no Problema 625 Cada segmento tem seção transversal retangular com base de 100 mm e altura de 200 mm Figura 669 24FC 5 x 24 x 12 0 FA 6 52 0 MA 40 x 15 24 x 46 0 FC 6 kN FA 46 kN MA 504 kNm Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm 756 MPa Flexão 318 Resolução Steven Róger Duarte 670 Determine a tensão de flexão máxima absoluta no pino de 20 mm de diâmetro no Problema 635 Figura 670 kNm kNm 331 kPa Flexão 319 Resolução Steven Róger Duarte 671 O elemento tem seção transversal com as dimensões mostradas na figura Determine o maior momento M que pode ser aplicado sem ultrapassar as tensões de tração e compressão admissíveis de ζtadm 150 MPa e ζcadm 100 MPa respectivamente Figura 671 143411 mm I 4464 x 105 m4 46691 kNm 419 kNm 672 Determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo de 30 mm de diâmetro que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais Figura 672 181 MPa Flexão 320 Resolução Steven Róger Duarte 673 Determine o menor diâmetro admissível do eixo que está sujeita às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais e a tensão de flexão admissível é ζadm 160 MPa Figura 673 001563 m d 2c 00313 m 313 mm 674 Determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo de 40 mm de diâmetro que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais Figura 674 2 x 300 750FB 15 x 1125 0 FA 305 2 15 0 FB 305 kN FA 045 kN Flexão 321 Resolução Steven Róger Duarte 8952 MPa 675 Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais e a tensão de flexão admissível é ζadm 150 MPa Figura 675 2 x 300 750FB 15 x 1125 0 FA 305 2 15 0 FB 305 kN FA 045 kN 001684 m d0 2c 2 x 001684 003368 m 3368 mm Flexão 322 Resolução Steven Róger Duarte 676 A travessa ou longarina de suporte principal da carroceria do caminhão está sujeita à carga distribuída uniforme Determine a tensão de flexão nos pontos A e B Figura 676 F1 F2 F M 60 x 12 75 x 24 0 2F 25 x 6 0 M 108 kNm F 75 kN 1808 x 104 m4 896 MPa 10155 MPa Flexão 323 Resolução Steven Róger Duarte 677 Uma porção de fêmur pode ser modelada como um tubo com diâmetro interno de 95 mm e diâmetro externo de 32 mm Determine a força estática elástica máxima P que pode ser aplicada ao centro do osso sem causar fratura Considere que as extremidades do osso estão apoiadas em roletes O diagrama ζ ε para a massa do osso é mostrada na figura e é o mesmo para tração e para compressão Figura 677 Mmáx 05P x 01 0 Mmáx 005P P 5586 N 678 Se a viga do Problema 620 tiver seção transversal retangular com largura de 200 mm e altura 400 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga Figura 678 1032 MPa Flexão 324 Resolução Steven Róger Duarte 679 Se o eixo tiver diâmetro de 375 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo Figura 679 2000 x 045 06FB 1500 x 09 0 FA 750 2000 1500 0 FB 750 N FA 2750 N 17384 MPa Flexão 325 Resolução Steven Róger Duarte 680 Se a viga tiver seção transversal quadrada de 225 mm em cada lado determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga Figura 680 MA 125 x 375 6 x 5 0 FA 375 6 0 MA 76875 kNm FA 435 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm 4049 MPa Flexão 326 Resolução Steven Róger Duarte 681 A viga está sujeita a carga P em seu centro Determine a distância a dos apoios de modo que a tensão de flexão máxima absoluta na viga seja a maior possível Qual é essa tensão Figura 681 Para que a tensão de flexão seja a maior possível a 0 logo Flexão 327 Resolução Steven Róger Duarte 682 Se a viga no Problema 623 tiver a seção transversal mostrada na figura determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga Figura 882 30 x 15 x 075 30 30 x 15 x 225 3FB 0 FA 325 90 0 FB 325 kN FA 575 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm Seção 3 kNm 2184 x 105 m4 13187 MPa Flexão 328 Resolução Steven Róger Duarte 683 O pino é usado para interligar os três elos Devido ao desgaste a carga é distribuída na parte superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo livre Se o diâmetro do pino for 10 mm determine a tensão de flexão máxima na área da seção transversal na seção central aa Para resolver o problema em primeiro lugar é necessário determinar as intensidades das cargas w1 e w2 Figura 683 w2 160 kNm w1 106667 kNm M 001875 x 2 002708333 x 2 0 M 16667 Nm 684 Um eixo é feito de um polímero com seção transversal elíptica Se ele resistir a um momento interno M 50 Nm determine a tensão de flexão máxima desenvolvida no material a pela fórmula da flexão onde Iz 14π008m004m3 e b por integração Trace o rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age na área da seção transversal Figura 684 a Pela fórmula da flexão 49736 kPa b Por integração Resolvendo a integral obtemos I 4021238 x 106 m4 497 kPa Flexão 329 Resolução Steven Róger Duarte 685 Resolva o Problema 684 se o momento M 50 Nm for aplicado em torno do eixo y em vez de em torno do eixo x Aqui Iy 14 π004 m008 m³ Figura 685 a Pela fórmula da Flexão 249 kPa b Por integração M Resolvendo a integral obtemos 686 A viga simplesmente apoiada é composta por quatro hastes de 16 mm de diâmetro agrupadas como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima na viga devido à carga mostrada Figura 686 F1 F2 400 400 0 Mmáx 400 x 05 0 F1 F2 400 N Mmáx 200 Nm 6434 x 108 m4 4974 MPa Flexão 330 Resolução Steven Róger Duarte 687 Resolva o Problema 686 se o conjunto girar 45 e for assentado nos apoios Figura 687 Mmáx 400 x 05 200 Nm 6434 x 108 m4 6004 MPa 688 A viga de aço tem a área de seção transversal mostrada na figura Determine a maior intensidade da carga distribuída w0 que ela pode suportar de modo que a tensão de flexão máxima na viga não ultrapasse ζmáx 150 MPa Figura 688 8F2 4w0 x 4 0 F1 2w0 4w0 0 F2 2w0 F1 2w0 63685 x 105 m4 1347 kNm Flexão 331 Resolução Steven Róger Duarte 689 A viga de aço tem a área da seção transversal mostrada na figura Se w0 10 kNm determine a tensão de flexão máxima na viga Figura 689 8F2 40 x 4 0 F1 20 40 0 F2 20 kN F1 20 kN 63685 x 105 m4 11138 MPa Flexão 332 Resolução Steven Róger Duarte 690 A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura Determine a maior carga P que pode ser suportada em suas extremidades em balanço de modo que a tensão de flexão na viga não ultrapasse ζmáx 10 MPa Figura 690 167 kN 691 A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura Se P 15 kN determine a tensão de flexão máxima na viga Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 691 Mmáx 750 Nm 9 MPa Flexão 333 Resolução Steven Róger Duarte 692 A viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura Se a dimensão de sua seção transversal a 180 mm determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga Figura 692 80 x 1 60 x 3 2FB 0 FA 130 80 60 0 FB 130 kN FA 10 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm 75 mm 59940000 m4 10511 MPa Flexão 334 Resolução Steven Róger Duarte 693 A viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura Determine a dimensão a exigida para sua seção transversal se a tensão admissível para o material for ζmáx 150 MPa Figura 693 80 x 1 60 x 3 2FB 0 FA 130 80 60 0 FB 130 kN FA 10 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm 015988 m 15988 mm Flexão 335 Resolução Steven Róger Duarte 694 A longarina ABD da asa de um avião leve é feita de alumínio 2014 T6 e tem área de seção transversal de 1000 mm² profundidade de 80 mm e momento de inércia em torno de seu eixo neutro de 1662106 mm4 Determine a tensão de flexão máxima absoluta na longarina se a carga for a mostrada na figura Considere que A B e C são pinos O acoplamento é feito ao longo do eixo longitudinal central da longarina Figura 694 sen 0545 Ay FBCsenϕ 225 0 FBC 41285 kN Ay 0 kN Seção BD Seção AB kNm kNm 16045 MPa Flexão 336 Resolução Steven Róger Duarte 695 O barco pesa 115 kN e tem centro de gravidade em G Se estiver apoiado no reboque no contato liso A e preso por um pino em B determine a tensão de flexão máxima absoluta desenvolvida na escora principal do reboque Considere que a escora é uma vigacaixão com as dimensões mostradas na figura e presa por um pino em C Figura 695 15 x 115 27FA 6 388 By 115 0 FA 6388 kN By 5111 kN 129726 x 106 m4 1662 MPa Flexão 337 Resolução Steven Róger Duarte 696 A viga suporta a carga de 25 kN Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga se os lados de sua seção transversal triangular forem a 150 mm Figura 696 913386168055 mm4 M 25 x 06 0 1422 MPa M 15 kNm 697 A viga suporta a carga de 25 kN Determine o tamanho a exigido para os lados de sua seção transversal triangular se a tensão de flexão admissível for ζadm 126 MPa Figura 697 Mmáx 25 x 06 0 a 1562 mm Mmáx 15 kNm Flexão 338 Resolução Steven Róger Duarte 698 A viga de madeira está sujeita à carga uniforme w 3 kNm Se a tensão de flexão admissível para o material for ζadm 10 MPa determine a dimensão b exigida para sua seção transversal Considere que o suporte em A é um pino e em B é um rolete Figura 698 6 x 1 3F2 0 2 2 6 0 F2 2 kN F1 4 kN Seção 1 Seção 2 kNm kNm 028125b4 b 893 mm Flexão 339 Resolução Steven Róger Duarte 699 A viga de madeira tem seção transversal retangular na proporção mostrada na figura Determine a dimensão b exigida se a tensão de flexão admissível for ζadm 10 MPa Figura 699 1000 x 1 4FB 0 FA 250 1000 0 FB 250 N FA 750 N Seção 1 Seção 2 Nm Nm 028125b4 m4 b 531 mm Flexão 340 Resolução Steven Róger Duarte 6100 A viga é feita de um material com módulo de elasticidade sob compressão diferente do módulo de elasticidade sob tração Determine a localização c do eixo neutro e deduza uma expressão para a tensão de tração máxima na viga cujas dimensões são mostradas na figura se ela estiver sujeita ao momento fletor M Figura 6100 6101 A viga tem seção transversal retangular e está sujeita ao momento fletor M Se o material de fabricação da viga tiver módulos de elasticidades diferentes para tração e compressão como mostrado na figura determine a localização c do eixo neutro e a tensão de compressão máxima na viga Figura 6101 substituindo o valor de n obtemos Flexão 341 Resolução Steven Róger Duarte 63 PROBLEMAS 6102 A viga caixão está sujeita a um momento fletor M 25 kNm direcionado como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro Figura 6102 Dados y 75 mm z 75 mm 338541667 x 105 m4 338541667 x 105 m4 775 MPa C 775 MPa T 6103 Determine o valor máximo do momento fletor M de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse 100 MPa Figura 6103 338541667 x 105 m4 338541667 x 105 m4 Flexão 342 Resolução Steven Róger Duarte 6104 A viga tem seção transversal retangular Se estiver sujeita a um momento fletor M 3500 Nm direcionado como mostra a figura determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro Figura 6104 3375 x 104 m4 84375 x 105 m4 290 MPa 6105 A viga em T está sujeita a um momento fletor M 15 kNm direcionado como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro A localização y do centroide C deve ser determinada Figura 6105 75 mm Flexão 343 Resolução Steven Róger Duarte 11458333 x 104 m 130208333 x 104 m4 Dados y 75 mm z 150 mm 2133 MPa T 6106 Se o momento interno resultante que age na seção transversal da escora de alumínio tiver valor M 520 Nm e for direcionado como mostra a figura determine a tensão de flexão nos pontos A e B A localização y do centroide C da área da seção transversal da escora deve ser determinada Especifique também a orientação do eixo neutro Figura 6106 573684 mm 366822667 x 104 m4 576014 x 105 m4 130 MPa C 0587 MPa T Flexão 344 Resolução Steven Róger Duarte 6107 O momento interno resultante que age na seção transversal da escora de alumínio tem valor de M 520 Nm e está direcionado como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima na escora A localização y do centroide C da área da seção transversal da escora deve ser determinada Especifique também a orientação do eixo neutro Figura 6107 573684 mm 366822667 x 104 m4 576014 x 105 m4 130 MPa C 6108 O eixo de 30 mm de diâmetro está sujeito às cargas verticais e horizontal de duas polias como mostra a figura O eixo está apoiado em dois mancais em A e B que não oferecem nenhuma resistência à carga axial Além do mais podemos considerar que o acoplamento ao motor em C não oferece nenhum apoio ao eixo Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida no eixo Figura 6108 Flexão 345 Resolução Steven Róger Duarte iBzk Byj 2i 01j 400k 2i 01j400k 3iAyj Azk 4i 006k150j 4i 006k150j 0 1600 Bz 3Azj 3Ay By 1200k 0 3Az Bz 1600 1 3Ay By 1200 2 Resolvendo 1 2 3 e 4 obtemos Ay By 300 0 3 Ay 450 N By 150 N Az 400 N Bz 400 N Az Bz 800 0 4 161 MPa 6109 O eixo está sujeito às cargas vertical e horizontal de duas polias como mostra a figura e está apoiado em dois mancais em A e B que não oferecem nenhuma resistência à carga axial Além do mais podemos considerar que o acoplamento ao motor em C não oferece nenhum apoio ao eixo Determine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de flexão admissível para o material for ζadm 180 MPa Figura 6109 iByj Bzk 2i 01j 400k 2i 01j400k 3iAyj Azk 4i 006k150j 4i 006k150j 0 1600 Bz 3Azj 3Ay By 1200k 0 3Az Bz 1600 1 3Ay By 1200 2 Flexão 346 Resolução Steven Róger Duarte Resolvendo 1 2 3 e 4 obtemos Ay By 300 0 3 Ay 450 N By 150 N Az 400 N Bz 400 N Az Bz 800 0 4 c 1446 mm d 2c 2 x 1446 289 mm 6110 A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada Se um momento fletor M 12 kNm for aplicado a 3º em relação ao eixo z determine a tensão desenvolvida na tábua no canto A Compare essa tensão com a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo z θ 0º Qual é o ângulo para o eixo neutro quando θ 3º Comentário Normalmente as tábuas do assoalho seriam pregadas à parte superior da viga de modo que θ0º e a alta tensão devido a um mau alinhamento eventual não ocorreria Figura 6110 15625 x 106 m4 140625 x 105 m4 740 MPa T Para θ 0 M 12 kNm I Iz 640 MPa T Flexão 347 Resolução Steven Róger Duarte 6111 Considere o caso geral de uma viga prismática sujeita às componentes de momento fletor My e Mz como mostra a figura quando os eixos x y z passam pelo centroide da seção transversal Se o material for linear elástico a tensão normal na viga é uma função linear da posição tal que Usando as condições de equilíbrio determine as constantes a b e c e mostre que a tensão normal pode ser determinada pela equação onde os momentos e produtos de inércia são definidos no Apêndice A Figura 6111 6112 O eixo de aço de 65 mm de diâmetro está sujeito a duas cargas que agem nas direções mostradas na figura Se os mancais em A e B não exercem uma força axial sobre o eixo determine a tensão de flexão máxima absoluta desenvolvida no eixo Figura 6112 125i3464j 2k 225i 3464j 2k 35iAyj Azk 0 35Az 2j 35Ay 12124k 0 35Az 2 0 1 35Ay 12124 0 2 Resolvendo 1 e 2 obtemos Ay 3464 kN e Az 0571 kN 163 MPa Flexão 348 Resolução Steven Róger Duarte 6113 O eixo de aço está sujeito às duas cargas que agem nas direções mostradas na figura Se os mancais em A e B não exercerem uma força axial sobre o eixo determine o diâmetro exigido para o eixo se a tensão de flexão admissível for ζadm 180 MPa Figura 6113 125i3464j 2k 225i 3464j 2k 35iAyj Azk 0 35Az 2j 35Ay 12124k 0 35Az 2 0 1 35Ay 12124 0 2 Resolvendo 1 e 2 obtemos Ay 3464 kN e Az 0571 kN c 3143 mm d 2c 2 x 3143 629 mm Flexão 349 Resolução Steven Róger Duarte 6114 Usando as técnicas descritas no Apêndice A Exemplo A5 ou A6 a seção em Z tem momentos principais de inércia Iy 006103 m4 e Iz 0471103 m4 calculados em torno dos eixos principais de inércia y e z respectivamente Se a seção for submetida a um momento interno M 250 Nm direcionado na horizontal como mostra a figura determine a tensão produzida no ponto A Resolva o problema usando a Equação 617 Figura 6114 Utilizando geometria analítica devemos primeiramente encontrar a equação da reta a fim de determinarmos a coordenada do ponto A uma vez que os eixos estão inclinados Traçase a reta paralela a reta y que passa por A Equação da reta y que passa pelos pontos 00 e 150 mm9704 mm y 0647x Equação da reta A que passa pelos pontos 00 e 150 mm175 mm yA 0647x 7795 Equação da reta z cuja inclinação é α 571 yz 1546x Igualando as duas equações yA yz temos xAZ 35548 mm ponto de intersecção das retas em x Substituindo x em yz temos yAz 15458 x 35548 5495 mm ponto de intersecção das retas em y Logo a distância entre o ponto A e o ponto de intersecção das retas yA e yz será a nova coordenada de A em y sendo assim 221 mm Agora devemos encontrar a distância entre A e a reta y que será a nova coordenada de A em z Essa distância será 6545 mm logo a coordenada do ponto A é 221 mm6545 mm 293 kPa C Flexão 350 Resolução Steven Róger Duarte 6115 Resolva o Problema 6114 usando a equação desenvolvida no Problema 6111 Figura 6115 018125 x 103 m4 0350 x 103 m4 01875 x 103 m4 Dados y 015 m z 0175 m My 250 Nm Mz 0 Nm 293 kPa 293 kPa C 6116 Usando as técnicas descritas no Apêndice A Exemplo A5 ou A6 a seção em Z tem momentos principais de Iy 0060103m4 e Iz 0471103m4 calculados em torno dos eixos principais de inércia y e z respectivamente Se a seção for submetida a um momento interno M 250 Nm direcionado na horizontal como mostra a figura determine a tensão produzida no ponto B Resolva o problema usando a Equação 617 Figura 6116 293 kPa 293 kPa C Flexão 351 Resolução Steven Róger Duarte 6117 Para a seção Iy 317106 m4 Iz 114106 m4 Iyz 151106 m4 Usando as técnicas apresentadas no Apêndice A a área da seção transversal do elemento tem momentos principais de inércia Iy 290106 m4 e Iz 117106 m4 calculados em torno dos eixo principais de inércia y e z respectivamente Se a seção for submetida a um momento M 2500 Nm direcionado como mostra a figura determine a tensão produzida no ponto A usando a Equação 617 Figura 6117 Utilizando geometria analítica devemos primeiramente encontrar a equação da reta a fim de determinarmos a coordenada do ponto A Equação da reta y cuja inclinação é α 1001 y 5614x Equação da reta A que passa pelos pontos 00 e 60 mm140 mm yA 0178x 150688 Equação da reta z cuja inclinação é α 101 yz 0178x Igualando as duas equações y yA temos x 26016 mm ponto de intersecção das retas em x Substituindo x em y temos y 5614 x 26016 146054 mm ponto de intersecção das retas em y Logo a distância do ponto de intersecção das retas y e yA e a origem dos eixos será igual a coordenada y do ponto A 14835 mm Logo a distância do ponto A 60 mm140 mm até o ponto de intersecção das retas y e yA 26016 mm146054 mm será igual a coordenada z do ponto A 34519 mm Sendo assim a coordenada do ponto A é 14835 mm34519 mm 260 MPa T Flexão 352 Resolução Steven Róger Duarte 6118 Resolva o Problema 6117 usando a equação desenvolvida no Problema 6111 Figura 6118 260 MPa T Flexão 353 Resolução Steven Róger Duarte 64 PROBLEMAS 6119 A viga composta é feita de alumínio 6061T6 A e latão vermelho C83400 B Determine a dimensão h da tira de latão de modo que o eixo neutro da viga esteja localizado na costura dos dois metais Qual é o momento máximo que essa viga suportará se a tensão de flexão admissível para o alumínio for ζadmal 128 MPa e para o latão ζadmlat 35 MPa Figura 6119 0682 0682 x 150 102327 mm 50 h 413 mm M 660 kNm M 292 kNm 6120 A viga composta é feita de alumínio 6061T6 A e latão vermelho C83400 B Se a altura h 40 mm determine o momento máximo que pode ser aplicado à viga se a tensão de flexão admissível para o alumínio for σadmal 128 MPa e para o latão σadmlat 35 MPa Figura 6120 0682 0682 x 150 102327 mm 49289 mm 745799 x M 641 kNm M 284 kNm Flexão 354 Resolução Steven Róger Duarte 6121 As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadas com tiras de aço como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M 5 kNm Trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal Considere Emad 11 GPa Eaço 200 GPa Figura 6121 0055 00555 x 200 11 mm 22981667 x 104 m4 370 MPa 0179 MPa 6122 O centro e os lados da viga de abeto Douglas são reforçados com tiras de aço A36 Determine a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor Mz 10 kNm Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 6122 00655 00655 x 100 655 mm 1196719 x 105 m4 627 MPa 41 MPa Flexão 355 Resolução Steven Róger Duarte 6123 A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de madeira Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento M 12 kNm Eaço 200 GPa Emad 12 GPa Figura 6123 006 006 x 375 225 mm 2904 mm I 821406 x 106 m4 1037 MPa 062 MPa 6124 Os lados da viga de abeto Douglas são reforçados com tiras de aço A36 Determine a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor Mz 4 kNm Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 6124 00655 00655 x 200 131 mm 154 x 104 m4 455 MPa 0298 MPa Flexão 356 Resolução Steven Róger Duarte 6125 A viga composta é feita de aço A36 A e latão vermelho C83400 B e tem a seção transversal mostrada na figura Se for submetida a um momento M 65 kNm determine a tensão máxima no latão e no aço Determine também a tensão em cada material na junção entre eles Figura 6125 0505 0505 x 125 63125 mm 1164452 mm I 576206 x 105 m4 942 MPa 663 MPa Na junção 186 MPa 0937 MPa 6126 A viga composta é feita de aço A36 A unido a latão vermelho C83400 B e tem seção transversal mostrada na figura Se a tensão de flexão admissível para o aço for ζadmaço 180 MPa e para o latão ζadmlat 60 MPa determine o momento máximo M que pode ser aplicado à viga Figura 6126 0505 0505 x 125 63125 mm 1164452 mm I 576206 x 105 m4 M 1241306 kNm M 588 kNm Flexão 357 Resolução Steven Róger Duarte 6127 A viga de concreto armado é feita com duas hastes de reforço de aço Se a tensão de tração admissível para o aço for ζaçoadm 280 MPa e a tensão de compressão admissível apara o concreto for ζconcadm 21 MPa determine o momento máximo M que pode ser aplicado a seção Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração Eaço 200 GPa Econc 265 GPa Figura 6127 Dados 754717 740942 mm² h 3411 mm I 13681744 x 103 m4 Madm 27784 kNm Madm 12798 kNm 6128 Determine a carga uniforme distribuída máxima w0 que pode ser suportada pela viga de concreto armado se a tensão de tração admissível para o aço for ζaçoadm 200 MPa e a tensão de compressão admissível para o concreto for ζconcadm 20 MPa Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração Considere Eaço 200 GPa Econc 25 GPa Figura 6128 Flexão 358 Resolução Steven Róger Duarte 5w0 x 25 25F2 0 F1 5w0 5w0 0 F2 5w0 F1 0 N Seção 1 Seção 2 Dados 8 3217 mm² h 955144 mm 4768632 x 104 m4 w0 3195 kNm w0 1076 kNm 6129 Uma tira bimetálica é feita de pedaços de alumínio 2014T6 e latão vermelho C83400 e tem a seção transversal mostrada na figura Um aumento na temperatura provoca a curvatura de sua superfície neutra e forma um arco circular com raio de 400 mm Determine o momento que agiria em sua seção transversal resultante de sua tensão térmica Eal 74 GPa e Elat 102 GPa Figura 6129 Flexão 359 Resolução Steven Róger Duarte 07255 07255 x 6 4353 mm 21591 mm I 2708378 x 1011 m4 M 687 Nm 6130 O garfo é usado como parte do conjunto do trem de pouso de um avião Se a reação máxima da roda na extremidade do garfo for 45 kN determine a tensão de flexão máxima na porção curva do garfo na seção aa Nesse lugar a área da seção transversal é circular com diâmetro de 50 mm Figura 6130 78737 mm 249373 mm d 150 250cos60 25 mm M 45d 0 852 MPa M 1125 Nm 991 MPa Flexão 360 Resolução Steven Róger Duarte 6131 Determine o maior valor das forças aplicadas P se a tensão de flexão admissível for ζadmc 50 MPa sob compressão e ζadmt 120 MPa sob tração Figura 6131 Dados 69 mm A 015 x 001 x 2 0075 x 001 000375 m² 12245 mm M 041P 025P 0 0306243 m P 552 kN M 016P P 1595 kN 6132 Se P 6 kN determine as tensões de tração e compressão máximas na viga Figura 6132 Flexão 361 Resolução Steven Róger Duarte 69 mm A 015 x 001 x 2 0075 x 001 000375 m² 12245 mm M 041 x 6 025 x 6 0 0306243 m 544 MPa M 960 Nm 451 MPa 6133 A viga curva está sujeita a um momento fletor M 900 Nm como mostra a figura Determine a tensão nos pontos A e B e mostre a tensão sobre um elemento de volume localizado em cada desses pontos Figura 6133 115 mm A 150 x 15 100 x 20 4250 mm² 83486 mm 509067 mm 382 MPa T 973 MPa 973 MPa C Flexão 362 Resolução Steven Róger Duarte 6134 A viga curva está sujeita a um momento fletor M 900 Nm Determine a tensão no ponto C Figura 6134 115 mm A 150 x 15 100 x 20 4250 mm² 83486 mm 509067 mm 266 MPa T 6135 A barra curva usada em uma máquina tem seção transversal retangular Se a barra for submetida a um conjugado como mostra a figura determine as tensões de tração e compressão máximas que agem na seção aa Trace um rascunho tridimensional da distribuição de tensão na seção Figura 6135 M 250sen60 x 015 250cos60 x 0075 0 A 75 x 50 3750 mm² M 41851 Nm 18974 mm 197634 mm 792 kPa 792 kPa C 102 MPa T Flexão 363 Resolução Steven Róger Duarte 6136 A braçadeira circular de mola produz uma força de compressão de 3 N sobre as chapas Determine a tensão de flexão máxima produzida na mola A A mola tem seção transversal retangular como mostra a figura Figura 6136 M 3 x 022 0 A 20 x 10 200 mm² M 0660 Nm 09758 mm 2049593 mm 201 MPa T 195 MPa 195 MPa C 6137 Determine a força de compressão máxima que a braçadeira de mola pode exercer sobre as chapas se a tensão de flexão admissível para a braçadeira for ζadm 4 MPa Figura 6137 09758 mm A 20 x 10 200 mm² 2049593 mm M 135648 Nm M 13131 Nm M P2049593 022 04249593P 13131 04249593P P 309 N Flexão 364 Resolução Steven Róger Duarte 6138 Em voo a nervura curva do avião a jato é submetida a um momento previsto M 16 Nm na seção Determine a tensão de flexão máxima na nervura nessa seção e trace um rascunho bidimensional da distribuição de tensão Figura 6138 6506251 x 104 m A 0005 x 003 x 2 0005 x 002 4 x 104 m4 06147933 mm 467 MPa 467 MPa C 477 MPa T 6139 A haste de aço tem seção transversal circular Se cada uma de suas extremidades for segurada e um conjugado M 15 Nm for desenvolvido nesses locais determine a tensão que age nos pontos A e B e no centroide C Figura 6139 736625 mm A π x 12² 4523893 mm² 614138126 mm 12912 MPa T 10247 MPa C 00535 MPa C Flexão 365 Resolução Steven Róger Duarte 6140 Uma barra curva é usada em uma máquina e tem seção transversal retangular Se a barra estiver sujeita a um conjugado como mostra a figura determine as tensões de tração e compressão máximas que agem na seção aa Trace um rascunho tridimensional da distribuição de tensão na seção Figura 6140 27981 mm A 50 x 75 3750 mm² 13402052 mm 0673 MPa 0673 MPa C M 250R 005 250R 02 0 M 375 Nm 0978 MPa T Flexão 366 Resolução Steven Róger Duarte 6141 O elemento tem seção transversal elíptica Se for submetido a um momento M 50 Nm determine a tensão nos pontos A e B A tensão no ponto A que está localizado no elemento próximo à parede é igual à tensão no ponto A Explique sua resposta Figura 6141 53049 mm A πab 88357293 mm 16655694 mm 446 kPa T 224 kPa C Não por conta da concentração de tensão localizada no muro 6142 O elemento tem seção transversal elíptica Se a tensão de flexão admissível for ζadm 125 MPa determine o momento máximo M que pode ser aplicado ao elemento Figura 6142 53049 mm A πab 88357293 mm 16655694 mm M 2794 kNm M 140 kNm Flexão 367 Resolução Steven Róger Duarte 6143 A barra tem espessura de 625 mm e é feita de um material com tensão de flexão admissível ζadm 126 MPa Determine o momento máximo M que pode ser aplicado Figura 6143 025 4 k 145 81380208333 mm4 M 5657 Nm 6144 A barra tem espessura de 125 mm e está sujeita a um momento de 90 Nm Determine a tensão de flexão máxima na barra Figura 6144 025 4 k 145 10022 MPa Flexão 368 Resolução Steven Róger Duarte 6145 A barra está sujeita a um momento fletor M 40 Nm Determine o menor raio r dos filetes de modo a não ultrapassar a tensão de flexão admissível σadm 124 MPa Figura 6145 Dados 4 4666667 mm4 k 145 r 20 x 025 500 mm 6146 A barra está sujeita a um momento M 175 Nm Se r 5 mm determine a tensão de flexão máxima no material Figura 6146 025 4 k 145 544 MPa Flexão 369 Resolução Steven Róger Duarte 6147 A barra está sujeita a um momento M 20 Nm Determine a tensão de flexão máxima na barra e trace um rascunho que mostre aproximadamente a variação da tensão na seção crítica Figura 6147 015 3 k 16 384 MPa 6148 A tensão de flexão admissível para a barra é ζadm 175 MPa Determine o momento máximo M que pode ser aplicado à barra Figura 6148 015 3 k 16 416667 mm4 M 911 Nm Flexão 370 Resolução Steven Róger Duarte 6149 Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na barra se ela for submetida aos conjugados mostrados na figura A barra tem espessura de 6 mm Figura 6149 075 3 k1 115 666 MPa 01 15 k2 175 677 MPa 6150 Determine o comprimento L da porção da barra de modo que as tensões de flexão máximas em A B e C sejam as mesmas A barra tem espessura de 10 mm Figura 6150 0175 MB 02 x 175 0 MC 17505L 02 0 15 MB 35 Nm MC 875L 35 k 15 196875 MPa 1458333L 58333 MPa L 950 mm Flexão 371 Resolução Steven Róger Duarte 6151 Se o raio de cada entalhe na chapa for r 10 mm determine o maior momento M que pode ser aplicado A tensão de flexão admissível para o material é ζadm 180 MPa Figura 6151 008 20 2 k 21 3255208333 mm4 M 446 kNm 6152 A barra escalonada tem espessura de 15 mm Determine o momento máximo que pode ser aplicado às suas extremidades se ela for feita de um material com tensão de flexão admissível σadm 200 MPa Figura 6152 3 06 k 12 15 01 k 175 M 417 Nm M 257 Nm Flexão 372 Resolução Steven Róger Duarte 6153 A barra tem espessura de 125 mm e é feito de um material com tensão de flexão admissível ζadm 140 MPa Determine o momento máximo M que pode ser aplicado Figura 6153 015 3 k 16 130208333 x 107 m4 M 45573 Nm 6154 A barra tem espessura de 125 mm e está sujeita a um momento de 900 Nm Determine a tensão de flexão máxima na barra Figura 6154 015 3 k 16 27648 MPa Flexão 373 Resolução Steven Róger Duarte 6155 A barra entalhada simplesmente apoiada é submetida a duas forças P Determine o maior valor de P que pode ser aplicado sem provocar o escoamento do material O material é aço A36 Cada entalhe tem raio r 3 mm Figura 6155 01 2 k 192 M 05P P 0 M 05P P 46875 N 6156 A barra entalhada simplesmente apoiada é submetida a duas cargas cada uma de valor P 500 N Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na barra e trace um rascunho da distribuição da tensão de flexão que age na seção transversal no centro da barra Cada entalhe tem raio r 3 mm Figura 6156 01 2 k 192 M 05 x 500 500 0 M 250 Nm 26667 MPa Flexão 374 Resolução Steven Róger Duarte 65 PROBLEMAS 6157 Uma barra retangular de aço A36 tem largura 25 mm e altura 75 mm Determine o momento aplicado em torno do eixo horizontal que provocará o escoamento de metade da barra M 2 x 250 x 106 x 001875 x 0025 x 0028125 250 x 106 x x 001875 x 0025 x 00125 M 806 kNm 6158 A vigacaixão é feita de um material elástico perfeitamente plástico para o qual ζe 250 MPa Determine a tensão residual nas partes superior e inferior da viga após a aplicação e posterior remoção do momento plástico Mp Figura 6158 C1 T1 250 x 106 x 02 x 0025 1250 kN C2 T2 250 x 106 x 0075 x 0025 x 2 9375 kN Mp 21250 x 00875 9375 x 00375 x 10³ 2890625 kNm 31714 MPa 671 MPa Flexão 375 Resolução Steven Róger Duarte 6159 A viga é feita de um material elástico perfeitamente plástico para o qual ζe 250 MPa Determine a tensão residual nas partes superior e inferior da viga após a aplicação e posterior remoção do momento plástico Mp Figura 6159 82783333 x 105 m4 C1 T1 250 x 106 x 0015 x 02 750 kN C2 T2 250 x 106 x 01 x 002 500 kN Mp 2750 x 01075 500 x 005 21125 kNm 293462 MPa 435 MPa 6160 Determine o módulo da seção plástica e o fator de forma da seção transversal da viga Figura 6160 C1 2a²σe C1 C2 T 0 C2 2a 2aaσe a x 2a x σe 2a daσe adσe 0 d 2a T 2a²σe 175a 308333 Mp 2a²σe x 05a 2a²σe x a 3a3σe Me 1762a³σe 170 300a³ Flexão 376 Resolução Steven Róger Duarte 6161 A viga é feita de um material elástico perfeitamente plástico Determine o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal Considere a 50 mm e ζe 230 MPa Figura 6161 C1 C2 T 0 C 2a²σe 2 x 005² x 230 x 106 1150 kN a x 2a x σe 2a daσe adσe 0 d 2a 100 mm T 2a²σe 2 x 005² x 230 x 106 1150 kN Mp 2a²σe x 05a 2a²σea 3a²σe 3 x 005² x 230 x 106 8625 kNm 175a 875 mm 308333a4 308333 x 0054 192708333 x 105 m4 Me 507 kNm 6162 A haste tem seção transversal circular Se for feita de um material elástico plástico determine o fator de forma e o módulo de seção plástica Z Figura 6162 170 Flexão 377 Resolução Steven Róger Duarte 6163 A haste tem seção transversal circular Se for feita de um material elástico plástico determine o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal Considere r 75 mm ζe 250 MPa Figura 6163 8283 kNm 14063 kNm 6164 Determine o módulo da seção plástica e o fator de forma da seção transversal Figura 6164 C1 T1 a x a x σe a²σe Mp 2aC1 025aC2 275a³σe C2 T2 05a x 3a x σe 15a²σe 241667a4 16111a³σe 171 Flexão 378 Resolução Steven Róger Duarte 6165 A viga é feita de um material elástico perfeitamente plástico Determine o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal Considere a 50 mm e ζe 250 MPa Figura 6165 Dados C1 T1 a x a x σe a²σe 625 kN Mp 2aC1 025aC2 275a³σe 8594 kNm C2 T2 05a x 3a x σe 15a²σe 9375 kN 241667a4 151041667 x 105 m4 5035 kNm 6166 A viga é feita de um material elástico perfeitamente plástico Determine o momento plástico Mp que pode ser suportado por uma viga que tenha a seção transversal mostrado na figura ζe 210 MPa Figura 6166 C1 T1 π005² 0025² x 210 x 106 1237 kN C2 T2 0025 x 0125 x 210 x 106 65625 kN Mp 20175C1 00625C2 515 kNm Flexão 379 Resolução Steven Róger Duarte 6167 Determine o momento plástico Mp que pode ser suportado por uma viga que tenha a seção transversal mostrada na figura ζe 210 MPa Figura 6167 Dado C1 C2 T 0 C1 π005² 0025²σe 1237 kN π005² 0025²σe 0025025 dσe 0025dσe 0 C2 0025025 dσe 377475 kN d 24281 mm 250 mm OK T 0025 x 024281σe 1274752 kN Mp 005719C1 0003595C2 2256 kNm 6168 Determine o módulo da seção plástica e o fator de forma para o elemento que tem seção transversal tubular Figura 6168 158 Flexão 380 Resolução Steven Róger Duarte 6169 Determine o módulo da seção plástica e o fator de forma para o elemento Figura 6169 T C 0 2d² 4hd h² 0 234 6170 O elemento é feito de material elástico perfeitamente plástico para o qual ζe 230 MPa Determine o momento elástico máximo e o momento plástico que podem ser aplicados à seção transversal Considere b 50 mm e h 80 mm Figura 6170 T C 0 2d² 320d 6400 0 d 234315 mm 719 kNm 711111111 mm4 Me 307 kNm Flexão 381 Resolução Steven Róger Duarte 6171 O elemento em T é feito de um material elástico plástico Determine o fator de forma e o módulo da seção plástica Z Figura 6171 C1 T1 btσe 6172 A viga é feita de um material elástico plástico para o qual σe 200 MPa Se o maior momento na viga ocorre no interior da seção central aa determine o valor de cada força P que faz com que esse momento seja a o maior momento elástico e b o maior momento plástico Figura 6172 a O maior momento elástico Flexão 382 Resolução Steven Róger Duarte 2P 6P 8R2 0 R1 R2 2P 0 M 2P 4P 0 R2 P R1 P M 2P P 667 kN b O maior momento plástico C T 01 x 01 x 200 x 106 2000 kN Mp 2C x 005 2 x 2000 x 005 200 kNm Mp 2P 200 P 100 kN 6173 A viga é feita de um material fenólico um plástico estrutural cuja curva tensão deformação é mostrada na figura Se uma porção da curva puder ser representada pela equação ζ 5106ε12 MPa determine o valor w da carga distribuída que pode ser aplicada à viga sem que a deformação máxima provocada nas fibras em sua seção crítica ultrapasse εmáx 0005 mmmm Figura 6173 158114 MPa Mmáx 2w x 1 0 1185854 kN Mmáx 2w 106727 kNm w 534 kNm Flexão 383 Resolução Steven Róger Duarte 6174 A vigacaixão é feita de um material elástico plástico para o qual ζe 175 MPa Determine a intensidade da carga distribuída w0 que fará com que o momento seja a o maior momento elástico e b o maior momento plástico Figura 6174 a O maior momento elástico 3w0 x 3 6F2 0 F1 15w0 3w0 0 Mmáx 15w0 3 x 15w0 0 F2 15w0 F1 15w0 Mmáx 3w0 7291667 x 104 m4 w0 21267 kNm b O maior momento plástico C1 T1 02 x 005 x 175 x 106 1750 kN C2 T2 2 x 0025 x 015 x 175 x 106 13125 kN Mp 20175C1 0075C2 809375 kNm w0 26979 kNm Flexão 384 Resolução Steven Róger Duarte 6175 A viga é feita de um poliéster cuja curva tensãodeformação e mostrada na figura Se a curva puder ser representada pela equação σ 140 tg115 MPa onde tg115 é dada em radianos determine o valor da força P que pode ser aplicada à viga se que a deformação máxima provocada nas fibras em sua seção crítica ultrapasse máx 0003 mmmm Figura 6175 σmáx 140tang115 x 0003 36072 MPa Mmáx 24 x 05P 0 σy ktang1y Mmáx 12P 36072 x 106 ktang1005 k 12602 x 106 26241035 Nm M 12P 26241035 P 21867 N 6176 O diagrama tensãodeformação para uma liga de titânio pode ser aproximado pelas duas retas mostradas na figura Se uma escora feita desse material for submetida a flexão determine o momento ao qual ela resistirá se a tensão máxima atingir um valor de a ζA e b ζB Figura 6176 a σA 17578 x 106 m4 Me 4594 kNm Flexão 385 Resolução Steven Róger Duarte b σB y 9375 mm 196875 kN 1378125 kN 2296875 kN Mp 20028125C1 00234375C2 000625C3 7854 kNm 6177 A viga é feita de plástico polipropileno e seu diagrama tensãodeformação pode ser aproximado pela curva mostrada na figura Se a viga for submetida a uma deformação máxima tanto para tração quanto para compressão de 002 mmmm determine o momento máximo M Figura 6177 σmáx 10 x 106 x 00214 37606 MPa σy ky14 37606 x 106 k00514 k 79527073 x 106 M 25071 Nm Flexão 386 Resolução Steven Róger Duarte 6178 A barra é feita de uma liga de alumínio cujo diagrama tensão deformação pode ser aproximada pelos segmentos de reta mostrados na figura Considerando que esse diagrama é o mesmo para tração e compressão determine o momento que a barra suportará se a deformação máxima nas fibras superiores e inferiores da viga for máx 003 Figura 6178 354375 kN 116375 kN 116375 kN M 354375 x 00917 116375 x 0053175 1575 x 0013333 9648 kNm 6179 A barra é feita de uma liga de alumínio cujo diagrama tensãodeformação pode ser aproximado pelos segmentos de reta mostrados na figura Considerando que esse diagrama é o mesmo para tração e compressão determine o momento que a barra suportará se a deformação máxima nas fibras superiores e inferiores da viga for máx 005 Figura 6179 6 mm σ1 ky1 420 k6 k 70 σ1 70y 25 mm Equação da tensão σ2 que passa pelos pontos 420 MPa6 mm e 560 MPa25 mm y3 50 mm Equação da tensão σ3 que passa pelos pontos 560 MPa25 mm e 630 MPa 50 mm 10725 kNm Flexão 387 Resolução Steven Róger Duarte 6180 A viga é feita de um material que pode ser considerado como perfeitamente plástico sob tração e plástico sob compressão Determine o momento fletor máximo M que pode ser suportado pela viga de modo que o material sob compressão na borda externa comece a escoar Figura 6180 C T 0 6181 A barra de plexiglass tem uma curva tensão deformação que pode ser aproximada pelos segmentos de reta mostrados na figura Determine o maior momento M que pode ser aplicado à barra antes que ela falhe Figura 6181 Flexão 388 Resolução Steven Róger Duarte 66 PROBLEMAS DE REVISÃO 6182 A viga é composta por três tábuas unidas por pregos como mostra a figura Se o momento que age na seção transversal for M 650 Nm determine a força resultante que a tensão de flexão produz na tábua de cima Figura 6182 95067 mm I 18 x 105 m4 1623 MPa 1081 MPa 588 kN Flexão 389 Resolução Steven Róger Duarte 6183 A viga é composta por três tábuas unidas pregos como mostra a figura Determine as tensões de tração e compressão máximas na viga Figura 6183 95067 mm I 18 x 105 m4 162 MPa C 343 MPa T 6184 Faça os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força cortante e o momento fletor na viga em função de x onde Figura 6184 M 30 x 18 x 09 75 40 x 3 0 R 54 40 0 M 2436 kNm R 94 kN kNm kNm kN kN Flexão 390 Resolução Steven Róger Duarte 6185 Faça os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Dica A carga de 100 kN deve ser substituída por carregamento equivalente no ponto C sobre o eixo da viga Figura 6185 36VA 24 x 75 03 x 100 0 5833 VB 75 0 VA 5833 kN VB 1667 kN Seção 1 Seção 1 kNm kNm 5833 kN 1667 kN Seção 3 kNm 1667 kN Flexão 391 Resolução Steven Róger Duarte 6186 Determine o módulo da seção plástica e o fator de forma para a viga em I Figura 6186 C1 T1 018 x 0022 x σe 36 x 103σe Mp 201C1 0045C2 963 x 104σe C2 T2 0090 x 003 x σe 27 x 103σe 8682 x 105 m4 Me 789273 x 104σe 122 0963 x 103 m³ 6187 Faça os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo se ele for submetido às cargas verticais da correia engrenagem e volante Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo Figura 6187 450 x 02 06 x 300 09FB 11 x 150 0 FA 8333 450 150 300 0 FB 8333 N FA 21667 N Flexão 392 Resolução Steven Róger Duarte 6188 A viga é composta por quatro peças de madeira coladas como mostra a figura Se o momento fletor interno for M 120 kNm determine a tensão de flexão máxima na viga Trace um rascunho tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal Figura 6188 34948 x 104 m4 5151 MPa 6189 A viga é composta por quatro peças de madeira coladas como mostra a figura Se o momento fletor interno for M 120 kNm determine a força resultante que o momento fletor exerce nas peças superior e inferior da viga Figura 6189 34948 x 104 m4 5151 MPa 49921 MPa 35410 kN Flexão 393 Resolução Steven Róger Duarte 6190 Para a seção Iz 114106 m4 317106 m4 Iyz 151106 m4 Pelas técnicas descritas no apêndice A a área da seção transversal do elemento tem momentos de inércia principais de Iy 29106 m4 e Iz 117106 m4 calculados em torno dos eixos principais de inércia y e z respectivamente Se a seção for submetida a um momento M 2 KNm direcionado como mostra a figura determine a tensão produzida no ponto A a pela Equação 611 e b pela equação desenvolvida no Problema 6111 Figura 6190 Utilizando geometria analítica devemos primeiramente encontrar a equação da reta a fim de determinarmos a coordenada do ponto A Traçase uma reta que passa pelo ponto A Equação da reta y cuja inclinação é α 1010 y 017813x Equação da reta A que passa pelos pontos 00 e 140 mm60 mm yA 0178x 3506 Equação da reta z cuja inclinação é α 799 yz 5614x Igualando as duas equações yA yz temos x 6053 mm ponto de intersecção das retas em x Substituindo x em yz temos y 5614 x 6053 3398 mm ponto de intersecção das retas em y Logo a distância do ponto de intersecção das retas yA e yz 6053 mm3398 mm e o ponto A140 mm60 mm será igual a coordenada em y do ponto A 14835 mm Logo a distância do ponto de intersecção das retas yA e yz 6053 mm3398 mm e a origem dos eixos 00 será igual a coordenada z do ponto A 34516 mm Sendo assim a coordenada do ponto A é 14835 mm34516 mm 208 MPa 208 MPa C Flexão 394 Resolução Steven Róger Duarte 6191 A escora tem seção transversal quadrada a por a e está sujeita ao momento fletor M aplicado ao um ângulo θ como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima em termos de a M e θ Qual ângulo resultará na maior tensão de flexão na escora Especifique a orientação do eixo neutro para este caso Figura 6191 Para que a tensão de flexão seja máxima logo θ 45 α 45 Flexão 395 Resolução Steven Róger Duarte 67 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro Correção 656 657 F 4795 kN F 423 kN 669 676 678 6157 M 952 kNm M 806 kNm 6176 6177 M 903 kNm M 25071 Nm 6179 M 4684 kNm M 10725 kNm Quadro 6 Correção 396 Capítulo 7 CCiissaallhhaam meennttoo TTrraannssvveerrssaall Cisalhamento em elementos retos O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal que age na seção transversal da viga Devido à propriedade complementar de cisalhamento observe que tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga A fórmula do cisalhamento tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância y do eixo neutro Considerando que essa tensão é constante e portanto média por toda a largura t do elemento V força de cisalhamento interna resultante determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio I momento de inércia da área da seção transversal interna calculada em torno do eixo neutro t largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto onde deve ser determinada Q yA onde A é a porção superior ou inferior da área da seção transversal do elemento definido pela seção onde t é medida e y é a distância até o centroide de A medida em relação ao eixo neutro Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elementos Na prática da engenharia às vezes são construídas estruturas compostas por várias partes para se obter maior resistência à cargas Se as cargas provocarem flexão nas partes componentes pode ser necessário utilizar elementos de fixação como pregos parafusos material de soldagem ou colar para evitar o deslizamento relativo dessas partes Para projetar esses elementos de fixação é preciso conhecer a força de cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura Esse carregamento quando medido como força por unidade de comprimento é denominado fluxo de cisalhamento q q fluxo de cisalhamento medido como uma força por unidade de comprimento ao longo da viga V força de cisalhamento ou força cortante interna resultante determinada pelo método das seções e equações de equilíbrio I momento de inércia de toda a área da seção transversal calculado em torno do eixo neutro Q yA onde A é a área da seção transversal do segmento acoplado à viga na junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser calculado e y é a distância do eixo neutro ao centroide de A Cisalhamento Transversal 397 Resolução Steven Róger Duarte 71 PROLEMAS 71 Se a viga for submetida a um cisalhamento de V 15 kN determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B Indique as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento de volume localizado nesses pontos Considere w 125 mm Mostre que o eixo neutro está localizado em y 01747 m em relação à parte inferior e INA 02182103 m4 Figura 71 1747 mm INA 21818 x 104 m4 QA AyCG 02 x 003031 01747 0015 7218 x 104 m3 QA AyCG 01747 0015003 x 0125 59888 x 104 m3 199 MPa 165 MPa Cisalhamento Transversal 398 Resolução Steven Róger Duarte 72 Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V 30 kN determine a tensão de cisalhamento máxima na viga Considere w 200 mm Figura 72 268652 x 104 m4 Qmáx AyCG 02 x 003014 0025 x 012500625 10353125 x 103 m3 462 MPa 73 Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V 30 kN determine a força de cisalhamento à qual a alma da viga resiste Considere w 200 mm Figura 73 268652 x 104 m4 4624 55834y² MPa 271 kN Cisalhamento Transversal 399 Resolução Steven Róger Duarte 74 Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V 125 kN determine a tensão de cisalhamento máxima na viga Figura 74 222135 x 104 m4 Qmáx AyCG 0125 x 002500625 02 x 002501375 8828125 x 104 m3 1987 MPa 75 Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V 125 kN determine a força de cisalhamento à qual a alma da viga resistirá Figura 75 222135 x 104 m4 11504 kN Cisalhamento Transversal 400 Resolução Steven Róger Duarte 76 A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τadm 112 MPa Se for submetida a um cisalhamento V 20 kN determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 15a de seus lados Figura 76 Qmáx AyCG 075aa0375a 028125a³ m³ 028125a4 m4 a 4226 mm 77 A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira Se for submetida a um cisalhamento de V 20 kN e a 250 mm determine a tensão de cisalhamento máxima e trace uma curva da variação da tensão de cisalhamento na seção transversal Faça um rascunho tridimensional do resultado Figura 77 Qmáx AyCG 075 x 025002500375 x 0250 439453 x 103 m3 1098633 x 103 m4 0320 MPa Cisalhamento Transversal 401 Resolução Steven Róger Duarte 78 Determine a tensão de cisalhamento máxima na escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento V 20 kN Figura 78 8784 x 105 m3 5207 x 106 m4 422 MPa 79 Determine a força de cisalhamento máxima V que a escora pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm 40 MPa Figura 79 8784 x 105 m3 5207 x 106 m4 V 190 kN Cisalhamento Transversal 402 Resolução Steven Róger Duarte 710 Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento V 15 kN Figura 710 8784 x 105 m3 Q AyCG 012 x 00120036 5184 x 105 m3 5207 x 106 m4 316 MPa 124 MPa 187 MPa Cisalhamento Transversal 403 Resolução Steven Róger Duarte 711 Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V 75 kN determine a tensão de cisalhamento máxima nele Figura 711 60667 x 105 m3 527 x 106 m4 4317 MPa 712 A escora está sujeita a um cisalhamento vertical V 130 kN Construa um gráfico da intensidade da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal e calcule a força de cisalhamento resultante desenvolvida no segmento vertical AB Figura 712 18177 x 104 m4 Q AyCG 015 x 00501 75 x 104 m3 035 x 002500125 015 x 00501 859375 x 104 m3 1073 MPa 153 MPa 176 MPa Cisalhamento Transversal 404 Resolução Steven Róger Duarte 109513 3576y² MPa 503 kN 713 O raio da haste de aço é 30 mm Se ela for submetida a um cisalhamento V 25 kN determine a tensão de cisalhamento máxima Figura 713 1179 MPa Cisalhamento Transversal 405 Resolução Steven Róger Duarte 714 Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V 60 kN determine a tensão de cisalhamento máxima na viga Calcule também o salto da tensão de cisalhamento na junção abaalma AB Trace um rascunho da variação da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção transversal Figura 714 1425 mm 10153125 x 103 m3 10125 x 103 m3 10125 x 103 m3 152578125 x 104 m4 3993Pa 1327 MPa 3982 Mpa Cisalhamento Transversal 406 Resolução Steven Róger Duarte 715 Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V 60 kN determine a força de cisalhamento vertical à qual a aba resiste Figura 715 1425 mm 152578125 x 104 m4 133825 1966206y² MPa 1908 kN 716 A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na figura Determine a tensão de cisalhamento transversal máxima na seção crítica da viga Figura 716 20 x 2 8 x 3 x 55 7VB 0 VA 1943 20 24 0 VB 1943 kN VA 2457 kN Cisalhamento Transversal 407 Resolução Steven Róger Duarte Vmáx 2457 kN 80 mm 5333 x 106 m4 002 x 002001 002 x 01003 64 x 105 m3 147 MPa 717 Determine as maiores forças P que o elemento pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 70 MPa Os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 717 P 6 x 1 2VB 3P 0 VA VB 6 P P 0 VB P 3 kN VA P 3 kN Cisalhamento Transversal 408 Resolução Steven Róger Duarte Vmáx P 5857 mm 2005857 x 00400292857 13722 x 104 m3 915048 x 106 m4 P 37343 kN 718 Se a força P 4 kN determine a tensão de cisalhamento máxima na seção crítica da viga Os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 718 4 6 x 1 2VB 3 x 4 0 VA 7 6 4 4 0 VB 7 kN VA 7 kN Cisalhamento Transversal 409 Resolução Steven Róger Duarte Vmáx 4 kN 5857 mm 2005857 x 00400292857 13722 x 104 m3 915048 x 106 m4 0750 MPa 719 Faça uma representação gráfica da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de uma haste com raio c Quantas vezes a tensão de cisalhamento máxima é maior que a tensão de cisalhamento média que age na seção transversal Figura 719 Cisalhamento Transversal 410 Resolução Steven Róger Duarte 720 Desenvolva uma expressão para a componente vertical média da tensão de cisalhamento que age no plano horizontal que passa pelo eixo localizado a uma distância y do eixo neutro Figura 720 Cisalhamento Transversal 411 Resolução Steven Róger Duarte 721 Dormentes de ferrovia devem ser projetados para resistir a grandes carregamentos de cisalhamento Se o dormente for submetido a cargas de 150 kN exercidas pelos trilhos e o leito de cascalho exerce uma reação distribuída como mostra a figura determine a intensidade w para o equilíbrio e determine a tensão de cisalhamento máxima no dormente Figura 721 150 150 18 09 x 05w 0 w 22222 kNm A força cortante máxima ocorre na seguinte seção Qmáx AyCG 02 x 0075 x 00375 5625 x 104 m3 Vmáx 150 200 50 0 5625 x 105 m4 Vmáx 100 kN 5 MPa Cisalhamento Transversal 412 Resolução Steven Róger Duarte 722 A viga está sujeita a um carregamento uniforme w Determine a localização a dos apoios de modo que a tensão de cisalhamento na viga seja a menor possível Qual é essa tensão Figura 722 Seção 1 Seção 2 Vmáx Vmín 723 As extremidades da viga de madeira devem ser entalhadas como mostra a figura Se a viga tiver de suportar o carregamento mostrado determine a menor profundidade d da viga no entalhe se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 36 MPa A largura da viga é de 200 mm Figura 723 d 625 mm Cisalhamento Transversal 413 Resolução Steven Róger Duarte 724 A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas de junção A e B Se for submetida ao carregamento mostrado na figura determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nas juntas coladas na seção aa Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 724 QA AyCG 015 x 004012 72 x 104 m3 V 25 375 0 20773 x 104 m4 V 125 kN 0866 MPa 725 A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas de junção A e B Se for submetida ao carregamento mostrada na figura determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas juntas coladas Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 725 QA AyCG 015 x 004012 72 x 104 m3 Vmáx 375 0 20773 x 104 m4 Vmáx 375 kN 26 MPa Cisalhamento Transversal 414 Resolução Steven Róger Duarte 726 A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas de junção A e B Se for submetida ao carregamento mostrada na figura determine a força de cisalhamento vertical máxima à qual resiste a aba superior da viga Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 726 Vmáx 375 0 Vmáx 375 kN 20773 x 104 m4 147 75y² x 103 m3 17691 9026y² MPa 274 MPa Cisalhamento Transversal 415 Resolução Steven Róger Duarte 727 Determine a tensão de cisalhamento nos pontos B e C localizados na alma da viga de fibra de vidro Figura 727 5 x 1 3 x 32667 46VD 0 VA 5 3 32174 0 VD 32174 kN VA 4783 kN QB AyCG 01 x 00180084 1512 x 104 m3 4783 V 25 0 288738 x 105 m4 V 22826 kN 0996 MPa 728 Determine a tensão de cisalhamento máxima que age na seção crítica da viga de fibra de vidro Figura 728 Cisalhamento Transversal 416 Resolução Steven Róger Duarte 5 x 1 3 x 32667 46VD 0 VA 5 3 32174 0 VD 32174 kN VA 4783 kN 288738 x 105 m4 Vmáx 4783 kN Qmáx AyCG 01 x 00180084 0075 x 001200375 18495 x 104 m3 255 MPa 729 A viga é composta por três peças de plástico coladas nas linhas de junção A e B Se for submetida ao carregamento mostrada na figura determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nas juntas coladas na seção crítica Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 729 Vmáx 375 kN QA AyCG 02 x 0050125 125 x 103 m3 35 x 104 m4 0268 MPa Cisalhamento Transversal 417 Resolução Steven Róger Duarte 730 A viga é composta por três peças de plástico coladas na linha de junção A e B Se for submetida ao carregamento mostrada na figura determine a força de cisalhamento vertical à qual resiste à aba superior da viga na seção crítica Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga Figura 730 Vmáx 375 kN 35 x 104 m4 225 100y² x 103 m3 12053 5357y² MPa 0357kN 731 Determine a variação da tensão de cisalhamento na seção transversal de um rebite oco Qual é a tensão de cisalhamento máxima no rebite Mostre também que se então τmáx 2VA Figura 731 Cisalhamento Transversal 418 Resolução Steven Róger Duarte 732 A viga tem seção transversal quadrada e está sujeita à força de cisalhamento V Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal e especifique a tensão de cisalhamento máxima Além disso determine o local em relação ao eixo neutro onde começará a aparecer uma trina ao longo do elemento devido ao cisalhamento Figura 732 Para y 0 obtemos Cisalhamento Transversal 419 Resolução Steven Róger Duarte 734 A viga tem seção transversal retangular e está sujeita a uma carga P cuja intensidade é suficiente para desenvolver um momento totalmente plástico Mp PL no apoio fixo Se o material for elástico plástico então a uma distância x L o momento M Px cria uma região de escoamento plástico com um núcleo elástico associado de altura 2y Essa situação foi descrita pela Equação 630 e o momento M é distribuído na seção transversal como mostra a Figura 654e Prove que a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida na viga é dada por onde A 2yb a área da seção transversal do núcleo elástico Figura 734 735 A viga na Figura 654f é submetida a um momento totalmente plástico Mp Prove que as tensões de cisalhamento longitudinal e transversal na viga são nulas Dica Considere um elemento da viga como mostra a Figura 74d Cisalhamento Transversal 420 Resolução Steven Róger Duarte 72 PROBLEMAS 736 A viga é construída com duas tábuas presas uma à outra na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de pregos espaçados de 150 mm Se cada prego puder suportar uma força de cisalhamento de 25 kN determine a força de cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à viga Figura 736 Q AyCG 015 0050025 1875 x 104 m3 125 x 105 m4 15V Vmáx 2222 kN 737 A viga é construída com duas tábuas presas uma à outra na parte superior e na parte inferior por duas fibras de pregos espaçados de 150 mm Se uma força de cisalhamento interna V 3 kN for aplicada as tábuas determine a força de cisalhamento à qual cada prego resistirá Figura 737 Q AyCG 015 0050025 1875 x 104 m3 125 x 105 m4 45 kNm F 337 kN Cisalhamento Transversal 421 Resolução Steven Róger Duarte 738 A viga é construída com cinco tábuas parafusadas como mostra a figura Determine a força de cisalhamento máxima desenvolvida em cada parafuso se o espaço entre eles for s 250 mm e o cisalhamento aplicado for V 35 kN Figura 738 223387 mm 5236 x 104 m4 Q Ay 2025 x 00250325 02234 127 x 103 m3 8491 kNm F 531 kN 739 A viga é construída com cinco tábuas parafusadas como mostra a figura Determine o espaçamento máximo s para os parafusos se cada um deles puder resistir a um cisalhamento de 20 kN e o cisalhamento aplicado for V 45 kN Figura 739 223387 mm 5236 x 104 m4 Q Ay 127 x 103 m3 109165 kNm s 733 mm Cisalhamento Transversal 422 Resolução Steven Róger Duarte 740 A viga está sujeita a um cisalhamento V 800 N Determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pregos ao longo dos lados A e B se eles estiverem espaçados de s 100 mm Cada prego tem diâmetro de 2 mm Figura 740 102273 mm 3216477 x 105 m4 Q Ay 2025 x 003003273 245475 x 104 m3 F 30527 N 972 MPa 741 A viga é fabricada com dois T estruturais equivalentes e duas chapas Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura de 12 mm Se um cisalhamento V 250 kN for aplicado à seção transversal determine o espaçamento máximo dos parafusos Cada parafuso pode resistir a uma força de cisalhamento de 75 kN Figura 741 348714 x 105 m4 Q Ay 0075 x 00120106 0075 x 001200625 15165 x 104 m3 108721 kNm s 138 mm Cisalhamento Transversal 423 Resolução Steven Róger Duarte 742 A viga é fabricada com dois T estruturais equivalentes e duas chapas Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura de 12 mm Se os parafusos estiverem espaçados de s 200 mm determine a força de cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à seção transversal Cada parafuso pode resistir a uma força de cisalhamento de 75 kN Figura 742 348714 x 105 m4 Q Ay 0075 x 00120106 0075 x 00120625 15165 x 104 m3 4349V V 1725 kN 743 A vigamestra de alma dupla é composta por duas chapas de compensado presas a elementos de madeira na parte superior e na parte inferior Se cada elemento de fixação puder suportar 3 kN em um cisalhamento simples determine o espaçamento s exigido entre os elementos de fixação para suportar o carregamento P 15 kN Considere que A é presa por pino e B é um rolete Figura 743 1126 x 103 m4 Q AyCG 015 x 010175 2625 x 103 m3 V 05P 75 kN 174845 kNm s 034316 m 3432 mm Cisalhamento Transversal 424 Resolução Steven Róger Duarte 744 A vigamestra de alma dupla é composta por duas folhas de compensado presas a elementos de madeira na parte superior e na parte inferior A tensão de flexão admissível para a madeira é ζadm 56 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm 21 MPa Se os elementos de fixação forem espaçados de s 150 mm e cada um puder suportar 3 kN em cisalhamento simples determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga Figura 744 1126 x 103 m4 Q AyCG 015 x 010175 2625 x 103 m3 Vmáx 05P 116563P P 3432 kN Qmáx AyCG 20225 x 0012501125 015 x 010175 32578 x 103 m3 Mmáx 06P P 146145 kN P 47023 kN Cisalhamento Transversal 425 Resolução Steven Róger Duarte 745 A viga é composta por três tiras de poliestireno coladas como mostra a figura Se a cola tiver uma resistência ao cisalhamento de 80 kPa determine a carga máxima P que pode ser aplicada sem que a cola perca sua capacidade de aderência Figura 745 Q AyCG 004 x 003005 6 x 105 m3 668 x 106 m4 P 238 N 746 A viga é feita com quatro tábuas pregadas como mostra a figura Se cada um dos pregos puder suportar uma força de cisalhamento de 500 N determine o espaçamento s e s exigidos entre eles se a viga for submetida a um cisalhamento V 35 kN Figura 746 18906 mm Cisalhamento Transversal 426 Resolução Steven Róger Duarte I 137712 x 104 m4 Q AyCG 025 x 0040025 018906 0125 6406 x 104 m3 O fluxo de cisalhamento na parte hachurada é 16281 kNm s 307 mm Q AyCG 0075 x 0025004844 91583 x 105 m3 2308 kNm s 2166 mm 747 A viga é fabricada com dois perfis em U equivalentes e duas chapas Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura de 12 mm Se um cisalhamento V 250 kN for aplicado à seção transversal determine o espaçamento máximo entre os parafusos Cada parafuso pode resistir a uma força de cisalhamento de 75 kN Figura 747 Q AyCG 20088 x 00120069 03 x 00120119 57413 x 104 m3 131632 x 104 m4 10904 kNm s 1376 mm 750 A escora é construída com três peças de plástico coladas como mostra a figura Se a tensão de cisalhamento admissível para o plástico for τadm 56 MPa e cada junta colada puder resistir a 50 kNm determine o maior carregamento distribuído w que pode ser aplicado à escora Figura 750 Cisalhamento Transversal 427 Resolução Steven Róger Duarte 62842 mm 32228 x 106 m4 Qmáx AyCG 0074 x 00250024658 20012158 x 001200060790 4739 x 105 m3 Vmáx w w 914 kNm Q 0074 x 00250024658 456173 x 105 m4 w 706 kNm 751 A escora é construída com três peças de plástico coladas como mostra a figura Se a carga distribuída for w 3 kNm determine o fluxo de cisalhamento ao qual cada junta colada deve resistir Figura 751 62842 mm 32228 x 106 m4 Cisalhamento Transversal 428 Resolução Steven Róger Duarte Q 0074 x 00250024658 456173 x 105 m4 Vmáx 3 kN 2124 kNm 752 A viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura onde P 7 kN Determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pregos no interior da região AB da viga Os pregos estão localizados em cada lado da viga e espaçados de 100 mm Cada prego tem diâmetro de 5 mm Figura 752 72 x 105 m4 V 3 7 0 Q AyCG 025 x 003006 45 x 104 m3 V 10 kN F 3125 N 1592 MPa Cisalhamento Transversal 429 Resolução Steven Róger Duarte 753 A viga é composta por quatro tábuas pregadas Se os pregos estiverem de ambos os lados da viga e cada um puder resistir a um cisalhamento de 3 kN determine a carga máxima P que pode ser aplicada à extremidade da viga Figura 753 72 x 105 m Q AyCG 025 x 003006 45 x 104 m3 Vmáx 3 P kN 1875 625P kNm P 660 kNm 754 O elemento consiste em dois canais U de plástico com 12 mm de espessura colados em A e B Se a cola puder suportar uma tensão de cisalhamento admissível de τadm 42 MPa determine a intensidade máxima w0 do carregamento distribuído triangular que pode ser aplicado ao elemento tomando como base a resistência da cola Figura 754 Cisalhamento Transversal 430 Resolução Steven Róger Duarte 211835 x 105 m4 Qmáx AyCG 20063 x 001200315 015 x 00120069 17183 x 104 m3 w0 1243 kNm 755 O elemento consiste em dois canais U de plástico com 12 mm de espessura colados em A e B Se a carga distribuída tiver intensidade máxima w0 50 kNm determine a tensão de cisalhamento máxima à qual a cola resiste Figura 755 211835 x 105 m4 Qmáx AyCG 20063 x 001200315 015 x 00120069 17183 x 104 m3 169 MPa Cisalhamento Transversal 431 Resolução Steven Róger Duarte 73 PROBLEMAS 756 Uma força de cisalhamento V 18 kN é aplicada à vigacaixão simétrica Determine o fluxo de cisalhamento em A e B Figura 756 I 1251667 x 104 m4 QA AyA 0125 x 0010145 18125 x 104 m3 QB AyB 0125 x 0010105 13125 x 104 m3 1303 kNm 944 kNm 757 A força de cisalhamento V 18 kN é aplicada à vigacaixão Determine o fluxo de cisalhamento em C Figura 757 I 1251667 x 104 m4 QC AyC 2015 x 0010075 0125 x 0010105 0125 x 0010145 5375 x 104 m3 386 kNm Cisalhamento Transversal 432 Resolução Steven Róger Duarte 758 O perfil em U é submetido a um cisalhamento V 75 kN Determine o fluxo de cisalhamento desenvolvido no ponto A Figura 758 1575 mm 12025 x 104 m4 QA AyCG 04 x 0030215 01575 69 x 104 m3 215 kNm 759 O perfil em U é submetido a um cisalhamento V 75 kN Determine o fluxo de cisalhamento máximo no perfil Figura 759 1575 mm 12025 x 104 m4 Qmáx AyCG 04 x 0030215 01575 200425 x 003002125 744825 x 104 m3 232 kNm Cisalhamento Transversal 433 Resolução Steven Róger Duarte 760 A viga suporta um cisalhamento vertical V 35 kN Determine a força resultante desenvolvida no segmento AB da viga Figura 760 394225 x 106 m4 234375 600y² x 105 m3 2080823 53269072y² kNm 743 kN 761 A escora de alumínio tem 10 mm de espessura e a seção transversal mostrada na figura Se for submetida a um cisalhamento V 150 N determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B Figura 761 27727 mm I 98197 x 107 m4 QA AAyA 004 x 0010022727 90908 x 106 m3 QB AByB 006 x 0010022727 163638 x 105 m3 139 kNm 125 kNm Cisalhamento Transversal 434 Resolução Steven Róger Duarte 762 A escora de alumínio tem 10 mm de espessura e a seção transversal mostrada na figura Se for submetida a um cisalhamento V 150 N determine o fluxo de cisalhamento máximo na escora Figura 762 27727 mm I 98197 x 107 m4 Qmáx AyCG 006 x 0010055 0027727 20022273 x 00100111365 213246 x 105 m3 163 kNm 763 A cantoneira está sujeita a um cisalhamento V 10 kN Faça um rascunho da distribuição do fluxo de cisalhamento ao longo da aba AB Indique valores numéricos em todos os picos Figura 763 9765625 x 107 m4 8286375 424129y² x 106 m3 8485 4343081y² kNm Para que qy seja máximo y 0 logo qmáx 8485 kNm Cisalhamento Transversal 435 Resolução Steven Róger Duarte 764 A viga está sujeita a uma força de cisalhamento V 25 kN Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B Figura 764 119528 mm I 546 x 105 m4 QA AAyA 0274 x 00120086472 28432 x 104 m3 QB AByB 0250 x 00120063528 190584 x 104 m3 6509 kNm 4363 kNm 765 A viga é composta por quatro chapas e está sujeita a uma força de cisalhamento V 25 kN Determine o fluxo de cisalhamento de máximo na seção transversal Figura 765 Cisalhamento Transversal 436 Resolução Steven Róger Duarte 119528 mm I 546 x 105 m4 Qmáx AyCG 2008047 x 0012004024 0274 x 0012008647 36203 x 104 m3 8288 kNm 766 A força de cisalhamento V 18 kN é aplicada à vigamestracaixão Determine a posição d das chapas de reforço BE e FG de modo que o fluxo de cisalhamento em A seja duas vezes maior do que o fluxo de cisalhamento em B Use as dimensões da linha central para o cálculo Todas as chapas têm 10 mm de espessura Figura 766 QA AAyA 0135 x 0010145 19575 x 104 m3 QB AByB 0135 x 001d 135d x 103 m3 qA 2qB QA 2QB substituindo os valores de QA e QB temos 19575 x 104 135d x 103 d 725 mm Cisalhamento Transversal 437 Resolução Steven Róger Duarte 767 O tubo está sujeito a uma força de cisalhamento V 40 kN Determine o fluxo de cisalhamento no tubo nos pontos A e B Figura 767 QA 0 m³ 232583333 x 104 m3 557245 x 105 m4 000 kNm 8348 kNm 768 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas com seção transversal mostrada na figura onde b2 b1 Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 768 Cisalhamento Transversal 438 Resolução Steven Róger Duarte 769 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 769 eV 2Fdsen45 770 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 770 eV 2F1 x 05h 2F2b hF1 2bF2 Cisalhamento Transversal 439 Resolução Steven Róger Duarte 771 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrado na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 771 eV 05hF 05hF e 0 772 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 772 Cisalhamento Transversal 440 Resolução Steven Róger Duarte 773 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 773 eV 05h x 2F1 b x 2F2 hF1 2bF2 774 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t Figura 774 Cisalhamento Transversal 441 Resolução Steven Róger Duarte 421875t x 103 m4 Q AyCG 0075 015 05s x 05st 015s 025s²t m³ 35555s 5926s²V eV 75 x 2Fcos30 e 4330 mm 775 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem uma fenda ao longo de sua lateral Figura 775 776 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem uma fenda ao longo de sua lateral Cada elemento tem espessura constante t Figura 776 Cisalhamento Transversal 442 Resolução Steven Róger Duarte 777 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Figura 777 Cisalhamento Transversal 443 Resolução Steven Róger Duarte 778 Se a cantoneira tiver espessura de 3 mm altura h 100 mm e for submetida a um cisalhamento V 50 N determine o fluxo de cisalhamento no ponto A e o fluxo de cisalhamento máximo na cantoneira Figura 778 707107 x 107 m4 53033 x 106 m3 QA 0 m3 0 Nm 375 Nm 779 A cantoneira está sujeita a um cisalhamento V 10 kN Faça um rascunho da distribuição do fluxo de cisalhamento ao longo da aba AB Indique os valores numéricos em todos os picos A espessura é 6 mm e as abas AB têm 125 mm Figura 779 9765625 x 107 m4 8286375 424129y² x 106 m3 8485 4343081y² kNm para que qy seja máximo y 0 logo qmáx 8485 kNm Cisalhamento Transversal 444 Resolução Steven Róger Duarte 780 Determine a posição e para a aplicação da força P de modo que a viga sofra deflexão para baixo sem torção Considere h 200 mm Figura 780 Cisalhamento Transversal 445 Resolução Steven Róger Duarte 781 A força P é aplicada à alma da viga como mostra a figura Se e 250 mm determine a altura h da aba direita de modo que a viga sofra deflexão para baixo sem torção Os segmentos têm a mesma espessura t Figura 781 Q Ay 05y 025h05h yt 0125h² 05y²t eP 03F h 171 mm 782 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Figura 782 Cisalhamento Transversal 446 Resolução Steven Róger Duarte 783 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o tubo que tem uma fenda ao longo de seu comprimento Figura 783 Cisalhamento Transversal 447 Resolução Steven Róger Duarte 74 PROBLEMAS DE REVISÃO 784 A viga é composta por quatro tábuas quebradas como mostra a figura Determine a força de cisalhamento à qual cada prego ao longo dos lados C e da parte superior D deve resistir se estiverem uniformemente espaçados de s 75 mm A viga está sujeita a um cisalhamento V 225 kN Figura 784 2375 mm I 160352 x 104 m4 QC ACyC 01 x 00250275 02375 9375 x 105 m3 QD ADyD 03 x 002500875 65625 x 104 m3 13155 kNm 13155 FC 0987 kN 92083 kNm 92083 FD 6906 kN 785 A viga é composta por quatro tábuas coladas ao longo das linhas de junção Se a cola puder resistir a 15 kNm qual é o cisalhamento vertical máximo V que a viga pode suportar Figura 785 35447 x 105 m4 Q AyCG 01 x 001200435 522 x 105 m3 Vmáx 2037 kN Cisalhamento Transversal 448 Resolução Steven Róger Duarte 786 Resolva o Problema 785 se a viga sofrer uma rotação de 90º em relação à posição mostrada na figura Figura 786 2081245 x 105 m4 Q AyCG 0249 x 00120056 167328 x 104 m3 Vmáx 3731 kN 787 O elemento está sujeito a uma força de cisalhamento V 2 kN Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A B e C A espessura de cada segmento de paredes finas é 15 mm Figura 787 22702 mm I 86939 x 105 m4 QA 0 m3 QB AByB 0115 x 001502575 022702 52578 x 105 m3 QC ACyC 0115 x 001502575 022702 00925 x 001503075 022702 164244 x 104 m3 0 kNm 121 kNm 378 kNm Cisalhamento Transversal 449 Resolução Steven Róger Duarte 788 O elemento está sujeito a uma força de cisalhamento V 2 kN Determine o fluxo de cisalhamento máximo no elemento Todos os segmentos da seção transversal têm 15 mm de espessura Figura 788 227026 mm Qmáx AyCG 0227026 x 00150113513 386556 x 104 m3 I 86939046 x 105 m4 8892 kNm 789 A viga é composta por três chapas finas soldadas como mostra a figura Se submetida a um cisalhamento V 48 kN determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B Calcule também a tensão de cisalhamento máxima na viga Figura 789 176917 mm 437135 x 105 m4 QA AAyA 01 x 00150215 017692 005 1321245 x 104 m3 Cisalhamento Transversal 450 Resolução Steven Róger Duarte QB AByB 01 x 001502075 017692 458745 x 105 m3 Qmáx AyCG 0176917 x 001500884585 234747 x 104 m3 145 kNm 504 kNm 172 Mpa 790 Uma chapa de aço com espessura 6 mm é dobrada para formar a seção de paredes finas mostrada na figura Se for submetida a uma força de cisalhamento V 125 kN determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e C Indique os resultados nos elementos de volume localizados nesses pontos Figura 790 254 mm I 78626 x 107 m4 QA AAyA 0025 x 00060059 00254 504 x 106 m3 QC 0 m3 QC ACyC 504 x 106 00153 x 00306 x 0006 00097 x 00194 x 0006 00224 x 005 x 0006 0 m3 1335 MPa 0 MPa Cisalhamento Transversal 451 Resolução Steven Róger Duarte 791 Uma chapa de aço de espessura de 6 mm é dobrada para formar a seção de paredes finas mostrada na figura Se for submetida a uma força de cisalhamento V 125 kN determine a tensão de cisalhamento no ponto B Figura 791 254 mm I 78626 x 107 m4 QB AByB 01 x 000600254 0003 1344 x 105 m3 1781 MPa 792 Determine a localização e do centro de cisalhamento ponto O para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura Figura 792 Cisalhamento Transversal 452 Resolução Steven Róger Duarte 793 Faça um rascunho da intensidade da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e determine a força de cisalhamento resultante que age no segmento AB O cisalhamento que age na seção é V 175 kN Mostre que INA 34082106 mm4 Figura 793 222368 mm 34081689 x 104 m4 I 34082 x 106 mm4 Qmáxaba AyCG 0127632 x 020063816 1629 x 103 m3 QB 02 x 02025 0222368 110528 x 103 m3 418 MPa 284 MPa 1135 MPa 1236544 25y² x 103 m3 127 256734y² MPa 4978 kN Cisalhamento Transversal 453 Resolução Steven Róger Duarte 75 CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R C HIBBELER Problema Resposta do livro Correção 724 725 726 727 728 729 730 743 744 P 302 kN P 3432 kN 754 755 Quadro 7 Correção 454 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HIBBELER Russell Charles Resistência dos materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 628 p 455 ANEXO I TABELA PRORIEDADES MECÂNICAS MÉDIAS DE MATERIAIS TÍPICOS DE ENGENHARIA Unidades SI