Controle de Sistemas Robóticos: Controle Adaptativo e por Aprendizado

Meggiolaro MA 1 Controle de Sistemas Robóticos Marco Antonio Meggiolaro PhD Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica RJ Parte 5 Controle de Trajetórias III Controle Adaptativo e por Aprendizado Meggiolaro MA 2 Controle de Trajetórias III Controle Adaptativo Parametrização Linear das Equações do Movimento Estimação do Parâmetro de Massa Controle Adaptativo de Trajetórias Prova de Convergência usando uma Função de Lyapunov Controle por Aprendizado para Movimentos Repetitivos Algoritmo de Aprendizado de Arimoto Meggiolaro MA 3 2 2 1 2 c2 1 2 2 1 2 c2 1 1 2 1 2 2 1 c1 1 1 l sin m l l cos m l m l m l I Controle Adaptativo Considere um manipulador definido pelos ângulos absolutos A equação do movimento para a primeira junta é ignorandose G que pode ser reescrita como 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 3 1 a l sin a l cos a l a onde a1 a2 e a3 são parâmetros desconhecidos do robô Daí Em geral 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 a a a sin l cos l Y a 1 Ya Meggiolaro MA 4 Exemplo robô de 2 graus de liberdade 2 1 11 1 12 2 2 1 2 1 H H h 2h G 2 2 22 2 12 1 1 2 H H h G H11 m1 lc1 2 I1 m2 l1 2 lc2 2 2 l1 lc2 c2 I2 H22 m2 lc2 2 I2 H12 m2 l1 lc2 c2 m2 lc2 2 I2 h m2 l1 lc2 s2 G1 m1 lc1 g c1 m2 g lc2 c12 l1 c1 G2 m2 lc2 g c12 Controle Adaptativo Meggiolaro MA 5 seja o vetor de parâmetros H11 a1 a2 2a3c2 H22 a2 H12 a2 a3 c2 h a3 s2 G1 a4 c1 a5 c12 G2 a5 c12 temos 2 2 1 1 1 c1 2 1 2 2 2 2 c2 3 2 1 c2 4 1 c1 2 1 5 2 c2 a I m l m l a I m l a a m l l a m g l m g l a m g l Meggiolaro MA 6 e assim 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 3 2 2 1 2 2 1 2 1 12 4 5 a a 2c c s 2s c c Y a a 0 c s 0 c a a Em geral Ya 2 2 1 1 1 c1 2 1 2 2 2 2 c2 3 2 1 c2 4 1 c1 2 1 5 2 c2 a I m l m l a I m l a a m l l a m g l m g l a m g l obs importante garantir que não haja combinação linear entre as colunas de Y Meggiolaro MA 7 Em geral a equação do movimento é dada por H q C qq q G q Y a Considere eg a lei de controle feedforward PD f p d ˆ K q K q onde f d d d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H q q C qq q G q Y qqq q a d q q q é o erro do controle de trajetória ˆ a a a é o erro da estimativa dos parâmetros o símbolo denota estimativa de um termo então a lei de ajuste das estimativas dos parâmetros é dada por 1 T d d ˆ da Y qqq q q dt Nota Kp e Kd são matrizes quaisquer positivodefinidas Meggiolaro MA 8 1 1d 2 1d 2d 1d 2d 1 1 1d 2 1d 2 2d 2 2 2d 2 1 2d 2 1d 2 2 1d 2 1 1d 3 2 2d 1 4 12 12 5 ˆa 0 ˆa ˆ da ˆ 2c c s s s c s a dt c 0 ˆa c c ˆa lei de adaptação 1 T ˆ da Y q dt Ex Controle Feedforward PD 1 2 f 1 1d 1d 2d 2 1d 2 2d 2 2 2d 2 1 2d 2 1d 2 1 12 3 f 2 1d 2d 2 1d 2 1 1d 12 4 5 ˆa ˆa ˆ 2c c s s s c c ˆ ˆ Y a a ˆ 0 c s 0 c ˆa ˆa f 1 1d 1 1 P1 D1 1d 1 f 2 2d 2 2 P2 D2 2d 2 ˆ ˆ K 0 K 0 ˆ ˆ 0 K 0 K Meggiolaro MA 9 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1d 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2d 1 4 12 12 5 ˆa u 0 ˆa u u u u ˆ da 2c u c u s 2s c u s ˆa dt c 0 ˆa c c ˆa lei de adaptação 1 T ˆ da Y q dt Ex Controle de Torque Computado 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 3 2 2 1 2 2 1 2 1 12 4 5 ˆa ˆa ˆ u u u 2c u c u s 2s c c ˆ ˆ Y a a ˆ 0 u u c u s 0 c ˆa ˆa Meggiolaro MA 10 trajetória circular desejada Simulação d c d c x t x r cos 2 f t y t y r sin 2 f t d d x t r 2 f sin 2 f t y t r 2 f cos 2 f t 2 d 2 d x t r 2 f cos 2 f t y t r 2 f sin 2 f t Meggiolaro MA 11 no espaço das juntas cinemática inversa Jacobiana Simulação 1d 1 d d 2d 2 d d t f x t y t t f x t y t 1 1d 2 1d 2d 2 1d 2d d 1 1d 2 1d 2d 2 1d 2d l sin l sin l sin J l cos l cos l cos d 1d d d 2d d 1 1d d d 2d x t t J y t t x t t J y t t velocidades desejadas nas juntas Meggiolaro MA 12 acelerações desejadas nas juntas Simulação d 1d 1d d d d 2d 2d d 1 1d 1d d d d 2d 2d x t t t J J y t t t x t t t J J y t t t 2 2 1 1d d 1 1d 1d 2 1d 2d 1d 2d d 2 2 2d d 1 1d 1d 2 1d 2d 1d 2d t x l cos l cos J t y l sin l sin 2 d 2 d x t r 2 f cos 2 f t y t r 2 f sin 2 f t Meggiolaro MA 13 caso 6 CTC com PD feedforward f 2Hz Simulação robom 1 1 1 2 2 2 u G H h u G Hq u hqq Gq 1 1d P1 1d 1 D1 1d 1 u K K 2 2d P2 2d 2 D2 2d 2 u K K Meggiolaro MA 14 caso 7 CTC com PD feedforward f 2Hz porém com erros nos valores estimados de l1 e l2 Necessita de controle adaptativo Simulação robom Meggiolaro MA 15 caso 8 CTC adaptativo com PD feedforward f 2Hz Simulação robom Meggiolaro MA 16 caso 8 CTC adaptativo com PD feedforward f 2Hz Simulação robom 2 2 1 1 1 c1 2 1 2 2 2 2 c2 3 2 1 c2 4 1 c1 2 1 5 2 c2 a I m l m l a I m l a m l l a m g l m g l a m g l Meggiolaro MA 17 caso 8 CTC adaptativo com PD feedforward f 2Hz Simulação robom 2 2 1 1 1 c1 2 1 2 2 2 2 c2 3 2 1 c2 4 1 c1 2 1 5 2 c2 a I m l m l a I m l a m l l a m g l m g l a m g l Meggiolaro MA 18 Controle por Aprendizado qreal qdes t q et usado t Dut corrigido para o próximo ciclo Memória Trajetória Desejada Lei de controle Robô Memória uk1t ek1t Memória ukt e Meggiolaro MA 19 kp e Entrada vk 1msc y kf yd vk1 Lei de aprendizado Algoritmo de Aprendizado de Arimoto a s b k k c ms k s v s y f p p Função de transferência bv ay y assim robô Trajetória desejada T t t 0 y y d d Seja um sistema de primeira ordem Meggiolaro MA 20 Tentativa inicial v0t gerando a resposta y0t t 0 0 t a 0 at 0 v d b e y 0 e t y Erro e0t ydt y0t Lei de aprendizado t b e 1 t v t v k k k 1 t b e 1 t v t v 0 0 1 assim para k0 Executando a mesma tarefa usando v1t t 0 1 t a 1 at 1 v d b e y 0 e t y Assumimos que y10 y00 ou seja a mesma posição inicial Meggiolaro MA 21 e bv e d a e v d b e y 0 e a y e bv v d a b e y 0 a e y bv ay y y y t e 0 0 t 0 0 t a t 0 0 t a 0 at d 0 0 t 0 1 t a 1 at d 1 1 d 1 d 1 t 0 0 t a 1 e d a e t e Assim e em geral t 0 1 k t a k d e a e t e a D t a D d a e d t e t 0 t 0 0 1 Assumindo que T t D 0 t e max 0 então Meggiolaro MA 22 2 D t a D td a a e d t e 2 2 t 0 2 t 0 1 2 Analogamente k D t a 1d k t D a d a e t e k k t 0 k 1 k t 0 k 1 k Mas 0 k t D a lim k k logo 0 t ek e como ek00 por definição então 0 t ek Assim se usarmos a lei t b e 1 t v t v k k k 1 então o erro na trajetória tenderá a zero após vários ciclos Meggiolaro MA 23 A lei anterior vale apenas para um sistema de primeira ordem ex controle de velocidade de um robô Para um sistema de segunda ordem ex controle de posição de um robô a lei de aprendizado precisa incluir mais termos t e t e t v t v k k k k 1 onde e são constantes a serem calculadas para satisfazer o critério de convergência para zero do erro no sistema de primeira ordem 1b 0 Em alguns sistemas de segunda ordem é necessário adicionar um terceiro termo para satisfazer a convergência t e t e t e t v t v k k k k k 1