Lista de Exercícios 2 - Controle de Sistemas Robóticos

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO CONTROLE DE SISTEMAS ROBÓTICOS Lista de Exercícios 2 13 de abril de 2023 Entrega 26 de abril de 2023 1 A Figura 1 mostra um manipulador PPR plano de 3 graus de liberdade com duas juntas prismáticas perpendiculares representadas por distâncias d1 na direção x e d2 na direção y e uma junta rotativa representada pelo seu ângulo 3 em relação ao eixo x vide Figura 12 O elo 1 em cinza na figura possui massa m1 momento de inércia em relação ao centro de massa I1 e a distância entre seu centro de massa e a junta 2 é constante e igual a lc1 O elo 2 em preto na figura possui massa m2 momento de inércia em relação ao centro de massa I2 e a distância entre seu centro de massa e a junta 3 é constante e igual a lc2 O elo 3 em branco na figura possui comprimento l3 massa m3 momento de inércia em relação ao centro de massa I3 e a distância entre seu centro de massa e a junta 3 é constante e igual a lc3 note que lc3 pode ser diferente de zero se o centro de massa do elo 3 não estiver sobre o eixo de rotação da junta 3 A extremidade do robô é definida pelas coordenadas xe ye onde o ângulo da extremidade é igual a 3 Sejam f1 f2 e3 as forças e o torque exercidos pelas juntas 1 2 e 3 respectivamente sendo definidas como positivas as direções em que d1 d2 e 3 aumentam de valor Considere os efeitos da gravidade o sistema está em um plano vertical Responda às seguintes questões Figura 1 Parâmetros do robô do Problema 1 11 Obtenha a posição xe xe ye T da extremidade do robô em função das coordenadas das juntas d1 d2 e 3 12 A partir do item anterior obtenha a matriz Jacobiana linear JL relacionando a velocidade linear da extremidade ve e e x y T às velocidades das juntas 1 d 2 d e 3 θ Obtenha também a matriz Jacobiana angular JA relacionando α às velocidades das juntas 13 Calcule as matrizes Jacobianas totais JL1 JA1 JL2 JA2 JL3 e JA3 onde JLi ou JAi correlaciona a velocidade linear ou angular do centro de massa do elo i às velocidades das juntas 14 Seja H Hij a matriz de inércia 3x3 do manipulador representada nas coordenadas das juntas Calcule H a partir das matrizes Jacobianas totais obtidas no item anterior 15 Obtenha a energia potencial gravitacional e a partir dela os termos gravitacionais das equações da dinâmica 16 Considerando os efeitos da gravidade calcule as equações do movimento do robô 17 Em um instante inicial t 0 o robô se encontra parado na posição d1 d2 3 0 0 0 Desejase aplicar acelerações constantes ax linear na junta 1 ay linear na junta 2 e angular na junta 3 Ou seja desejase controlar uma trajetória com valores desejados d1dt axt22d2dt ayt22 e3dt t22 Assumindose que todos os parâmetros do robô são conhecidos obtenha para os 3 atuadores a lei de Controle de Torque Computado associada à saída de um controle PD de ganhos KPi e KDi i 1 2 3 com termo de feedforward de acelerações desejadas