Preciso da Resolução Detalhada Desses Exercícios

Segunda Lista de Estatística Probabilidades Prof Otaviano Francisco Neves 1 São dadas 3 caixas como segue a caixa I tem 10 lâmpadas das quais 4 são defeituosas a caixa II tem 6 lâmpadas das quais 1 é defeituosas a caixa III tem 8 lâmpadas das quais 3 são defeituosas Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada também aleatoriamente a Qual a probabilidade da lâmpada ser defeituosa b Sabendo que uma lâmpada é defeituosa qual a probabilidade dela ter vindo da caixa 1 2 Uma caixa contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas e outra caixa contém 2 bolas azuis e 3 vermelhas Extraise ao acaso uma bola de uma das caixas é azul Qual a probabilidade dela ter sido extraída da primeira caixa 3 Num certo colégio 4 dos homens e 1 das mulheres tem mais do que 160m de altura Além disso 60 dos estudantes são mulheres Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 160m qual é a probabilidade do estudante ser uma mulher 4 Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas Selecionamse duas bolas sem reposição a qual a probabilidade da segunda bola ser preta dado que a primeira é preta b qual a probabilidade da segunda bola ser da mesma cor que a primeira c qual a probabilidade da primeira bola ser branca dado que a segunda é branca 5 Suponha que os automóveis têm igual probabilidade de serem produzidos na Segunda Terça Quarta Quinta e Sextafeira As porcentagens dos automóveis amarelos produzidos nos diferentes dias da semana são Segunda 5 Terça Quarta e Quinta 1 e Sexta 3 Se você compra um automóvel amarelo qual a probabilidade de que o mesmo foi produzido numa Segundafeira 6 Uma companhia fabrica motores As especificações requerem que o comprimento de uma certa haste deste motor esteja entre 748 cm e 752 cm Os comprimentos destas hastes fabricadas por um fornecedor têm uma distribuição normal com média 7505 cm e desvio padrão 001 cm a Qual a probabilidade de uma haste escolhida ao acaso estar dentro das especificações b Se um operário precisa de três destas hastes para montar um motor qual a probabilidade de que tenha sucesso tendo selecionado quatro ao acaso c Qual a probabilidade de selecionarmos 3 itens fora das especificações dado que retiramos uma amostra de tamanho igual a 10 09270 09711 0027 7 O total de pontos obtidos no vestibular de uma universidade é uma variável aleatória normal com média 550 e desvio padrão 120 a Determine a probabilidade de um candidato obter a1 mais de 700 pontos a2 menos de 200 pontos a3 entre 200 e 700 pontos b Determine uma faixa de pontuação simétrica em torno da média que contenha aproximadamente 85 dos candidatos c Determine a pontuação acima da qual encontramse apenas 5 dos candidatos 010560001808926 3772 a 722 8 7474 8 As sardinhas processadas por uma indústria de enlatados têm comprimento médio de 1153cm com desvio padrão de 064 cm Se a distribuição dos pesos pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição Normal a Qual porcentagem das sardinhas tem comprimento a1 superior a 1000 cm 09916 a2 entre 1000 e 1200 cm 07589 b Determine o comprimento x tal que apenas 20 das sardinhas processadas pela indústria tenham comprimento superior a x 1207 c Determine um intervalo de peso que compreenda 95 das sardinhas processadas 1028 a 1278 cm 9 Suponha que o tempo de falha em horas da bateria de um carro de uma dada marca possui distribuição exponencial com λ 1200 h a Qual é a probabilidade de uma bateria durar mais de 100 h 06065 b Se 6 baterias idênticas são instaladas de modo que funcionem independentemente uma da outra qual é a probabilidade de que mais da metade das baterias permanecem funcionando no final de 100 h 05578 10 Em um processo industrial as peças com mais de 22 kg ou menos de 18 kg são consideradas defeituosas O processo atual produz 30 de peças defeituosas Foi proposta a troca por um processo em que o peso das peças tem distribuição Normal com média 21 kg e desvio padrão 09 kg Qual a proporção de peças defeituosas produzidas pelo novo processo Deve ser feita a troca 1337 11 Num hospital 5 pacientes devem submeterse a um tipo de operação da qual 80 sobrevivem Qual a probabilidade de que a Todos sobrevivam 32768 b Pelo menos 2 sobrevivam 99328 c No máximo 3 não consigam sobreviver 99328 12 Uma moeda é jogada 8 vezes Calcular a probabilidade de a dar 4 caras 27344 b dar pelo menos 2 caras 96484 c não dar nenhuma cara 039 d dar 3 coroas 21875 13 Se 3 das canetas de certa marca são defeituosas achar a probabilidade de que numa amostra de 10 canetas escolhidas ao acaso desta mesma marca tenhamos a Nenhuma defeituosa 7374 b 5 canetas defeituosas 0001 c Pelo menos 2 defeituosas 3451 d No máximo 3 defeituosas 99985 14 Sabese que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é 03 Determine a probabilidade de que dentre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente a Nenhum se forme 11765 b Pelo menos 2 se formem 5798 15 Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora Qual a probabilidade de que a Num minuto não haja nenhum chamado 067 b Em 2 minutos haja 2 chamados 023 c No máximo 7 chamadas em 1 minuto 8666 16 O número de navios que chegam a um porto cada dia é uma variável X com distribuição de Poisson com média igual a 5 Calcular a P X 8 681 b 6 2 X P 6375 17 Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km Qual a probabilidade de que em a 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes 8753 b 300 km ocorram 5 acidentes 1606 18 O nº de mortes por afogamentos em fins de semana numa cidade praiana é de 2 para cada 50000 habitantes Qual a probabilidade de que em a 200000 habitantes ocorram 5 afogamentos 916 b 112000 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos 8264 19 Em um teste com um motor há falhas em 2 componentes a cada 5 horas Qual a probabilidade de que em a Em 10 horas de teste nenhuma componente falha 183 b Em 7 12 horas de testes ocorram no máximo falhas em 3 componentes 6472 20 Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso um a cada 250m Qual a probabilidade de que na produção de 1000 m a Não haja defeito 183 b Aconteçam pelo menos três defeitos 7619 c Se a produção diária é de 625 m num período de 80 dias de trabalho em quantos dias poderemos esperar uma produção sem defeito 6568 dias 21 Um estudante faz uma prova de 10 questões falsoverdadeiro Ele não compareceu às aulas nem estudou a matéria e assim ele chutará as questões Qual a probabilidade de que ele consiga a exatamente 5 questões corretas 02461 b oito ou mais corretas 005469 22 Consideres que o tempo de duração X de uma consulta tenha distribuição exponencial com λ 110 minutos Calcule a probabilidade dos seguintes eventos a Uma consulta demora 20 minutos no máximo 03935 b Uma consulta demora mais que 10 minutos 03679 23 Em um hospital há 16 pacientes 4 com AIDS Um médico cuidará de um grupo de 6 destes pacientes escolhidos ao acaso Qual a probabilidade de que ele tenha 2 dos pacientes com AIDS 03709 24 Suponha que em um laboratório de informática haja máquinas e que a probabilidade de cada uma ter falha em um teste é de 40 Calcule a probabilidade de a Em 5 máquinas testadas ter pelo menos 2 falhas 06630 b Em 4 máquinas testadas ter no máximo 3 falhas 09744 25 Estatísticas de acidentes num trecho da rodovia MG 05 indicam um acidente a cada 25 km a Qual a probabilidade que num trecho de 5 km haja exatamente 2 acidentes b Qual a probabilidade que num trecho de 10 km haja pelo menos 3 acidentes 26 Suponha que a duração de uma componente eletrônica possui distribuição exponencial de parâmetro λ 1 por mês calcule a A probabilidade de que a duração seja menor que 3 meses09502 b A probabilidade de que a duração esteja entre 2 e 5 meses 01286 27 Numa reunião de jovens licenciados existem 7 mulheres e 6 homens Entre as meninas 4 estudam ciências humanas e 3 ciências exatas No grupo de meninos 1 estuda ciências humanas e 5 ciências exatas Calcule o seguinte a Escolhendo aleatoriamente três meninas qual a probabilidade de todas elas estudarem ciências humanas 01143 b Se três participantes da reunião de amigos forem escolhidos aleatoriamente Qual é a possibilidade de três deles independentemente do sexo estudarem humanidades 00350 Exercıcio 01 1 Lˆampadas a Para calcular a probabilidade de uma lˆampada ser defeituosa usamos a regra da probabilidade total PI 1 3 PII 1 3 PIII 1 3 PDI 4 10 04 PDII 1 6 01667 PDIII 3 8 0375 A probabilidade total de uma lˆampada ser defeituosa e PD PDI PI PDII PII PDIII PIII 04 1 3 01667 1 3 0375 1 3 04 01667 0375 3 09417 3 03139 b Para saber a probabilidade de a lˆampada defeituosa ter vindo da caixa I usamos o Teorema de Bayes PID PDI PI PD 04 1 3 03139 01333 03139 0425 Resposta Final A probabilidade de a lˆampada ser defeituosa e aproxima damente 03139 e a probabilidade de ter vindo da caixa I e aproximadamente 0425 Exercıcio 02 2 Bolas Usando o Teorema de Bayes PI 1 2 PII 1 2 PAI 3 5 PAII 2 5 A probabilidade total de retirar uma bola azul PA PAI PI PAII PII 3 5 1 2 2 5 1 2 35 25 2 1 2 1 Usando o Teorema de Bayes PIA PAI PI PA 3 5 1 2 1 2 3 5 Resposta Final A probabilidade de a bola azul ter sido extraıda da pri meira caixa e 3 5 Exercıcio 03 3 Altura dos Estudantes Calculando as probabilidades PH 1 60 PHH 1 60 PMH 1 60 004 04 001 06 0016 0006 0022 Usando o Teorema de Bayes PMH 1 60 PMH 1 60 PH 1 60 0006 0022 02727 Resposta Final A probabilidade do estudante ser uma mulher dado que tem mais de 160m e aproximadamente 02727 Exercıcio 04 4 Bolas sem reposicao a Para a probabilidade da segunda bola ser preta dado que a primeira e preta PP2P1 1 4 b A probabilidade da segunda bola ser da mesma cor que a primeira PB2B1 2 4 1 2 PP2P1 1 4 Calculando a probabilidade total PB2 PB2B1 PB1 PP2P1 PP1 3 10 1 10 4 10 2 5 2 c Para a probabilidade da primeira bola ser branca dado que a segunda e branca PB1B2 PB2B1PB1 PB2 2 4 3 5 2 5 3 4 Resposta Final A probabilidade da segunda bola ser preta dado que a primeira e preta e 1 4 a probabilidade da segunda bola ser da mesma cor que a primeira e 2 5 e a probabilidade da primeira bola ser branca dado que a segunda e branca e 3 4 Exercıcio 05 5 Automoveis amarelos Usando a regra de Bayes PA PASPS PATPT PAQPQ PAQPQ PASPS 005 1 5 001 1 5 001 1 5 001 1 5 003 1 5 001 0002 0002 0002 0006 0022 A probabilidade de que o automovel amarelo tenha sido produzido na segunda feira PSA PASPS PA 005 1 5 0022 04545 Resposta Final A probabilidade de que um automovel amarelo tenha sido produzido na segundafeira e aproximadamente 04545 Exercıcio 6 Hastes de Motor Uma companhia fabrica motores As especificacoes requerem que o comprimento de uma certa haste deste motor esteja entre 748 cm e 752 cm Os comprimentos destas hastes fabricadas por um fornecedor tˆem uma distribuicao normal com media 7 505 cm e desvio padrao 0 01 cm a Probabilidade de uma haste estar dentro das especi ficacoes Calculamos os valores z correspondentes aos limites das especificacoes 3 z1 748 7505001 0025001 25 z2 752 7505001 0015001 15 Consultando a tabela da distribuição normal padrão temos PZ 25 00062 PZ 15 09332 Portanto a probabilidade de uma haste estar dentro das especificações é P748 X 752 PZ 15 PZ 25 09332 00062 09270 Resposta Final A probabilidade de uma haste estar dentro das especificações é 09270 b Probabilidade de sucesso ao selecionar 4 hastes A probabilidade de sucesso p 09270 e a probabilidade de falha q 1 p 00730 Usamos a distribuição binomial PX 3 PX 3 PX 4 Calculando PX 3 4 choose 3092703007301 4 08000 00730 02336 PX 4 4 choose 4092704007300 07433 Assim a probabilidade total é PX 3 02336 07433 09769 Resposta Final A probabilidade de ter sucesso selecionando quatro hastes é aproximadamente 09769 c Probabilidade de selecionar 3 itens fora das especificações A probabilidade de uma haste estar fora das especificações é q 00730 Calculamos usando a distribuição binomial PY 3 10 choose 300730309270103 Calculando PY 3 120 0000389 05480 00257 Resposta Final A probabilidade de selecionarmos 3 itens fora das especificações é aproximadamente 00257 Exercício 7 Pontos no Vestibular O total de pontos obtidos no vestibular de uma universidade é uma variável aleatória normal com média 550 e desvio padrão 120 a Probabilidade de um candidato obter a1 Mais de 700 pontos z 700 550120 150120 125 PZ 125 1 PZ 125 1 08944 01056 a2 Menos de 200 pontos z 200 550120 350120 29167 PZ 29167 00018 a3 Entre 200 e 700 pontos P200 X 700 PX 700 PX 200 08944 00018 08926 Resposta Final As probabilidades são PX 700 01056 PX 200 00018 P200 X 700 08926 b Faixa de pontuacao que contem aproximadamente 85 dos candidatos Queremos encontrar os limites z que correspondem a 0 85 da area sob a curva normal Pz Z z 0 85 PZ z 0 925 Consultando a tabela encontramos que z 1 44 Calculando os limites da pontuacao Limites µ z σ 550 1 44 120 550 172 8 377 2 550 172 8 722 8 Resposta Final A faixa de pontuacao que contem aproximadamente 85 dos candidatos e de 377 2 a 722 8 c Pontuacao acima da qual encontramse apenas 5 dos candidatos Queremos encontrar z tal que PZ z 0 95 Consultando a tabela encontramos z 1 645 Convertendo de volta para a pontuacao x µ z σ 550 1 645 120 x 550 197 4 747 4 Resposta Final A pontuacao acima da qual encontramse apenas 5 dos candidatos e aproximadamente 747 4 Exercıcio 8 Sardinhas Enlatadas As sardinhas processadas por uma industria de enlatados tˆem comprimento medio de 11 53 cm com desvio padrao de 0 64 cm Se a distribuicao dos pesos pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuicao Normal a Porcentagem das sardinhas com comprimento a1 Superior a 10 00 cm Calculamos z z 10 00 11 53 0 64 1 53 0 64 2 390625 Consultando a tabela da normal temos 6 PZ 2 390625 1 PZ 2 390625 1 0 0084 0 9916 Resposta Final A porcentagem de sardinhas com comprimento superior a 10 00 cm e 0 9916 a2 Entre 10 00 e 12 00 cm Calculamos os valores z Para 10 00 cm z1 2 390625 Para 12 00 cm z2 12 00 11 53 0 64 0 47 0 64 0 734375 Assim a probabilidade e P10 00 X 12 00 PZ 0 734375PZ 2 390625 0 76720 0084 0 7589 Resposta Final A porcentagem de sardinhas entre 10 00 e 12 00 cm e 0 7589 b Comprimento x tal que apenas 20 das sardinhas te nham comprimento superior a x Queremos encontrar z tal que PZ z 0 20 PZ z 0 80 Consultando a tabela encontramos z 0 8416 Calculando x x µ z σ 11 53 0 8416 0 64 11 53 0 5382 12 07 Resposta Final O comprimento x tal que apenas 20 das sardinhas tˆem comprimento superior a x e 12 07 cm c Intervalo de peso que compreende 95 das sardinhas processadas Para um intervalo simetrico em torno da media precisamos encontrar z tal que Pz Z z 0 95 PZ z 0 975 7 Consultando a tabela encontramos z 196 Calculando os limites do intervalo Limites μ z σ 1153 196 064 Limites 1153 12544 1153 12544 1028 1153 12544 1278 Resposta Final O intervalo de peso que compreende 95 das sardinhas processadas é de 1028 a 1278 cm Exercício 9 Tempo de Falha da Bateria Suponha que o tempo de falha em horas da bateria de um carro de uma dada marca possui distribuição exponencial com λ 1200 h a Probabilidade de uma bateria durar mais de 100 h A probabilidade de uma bateria durar mais de t horas é dada por PX t eλt Para t 100 PX 100 e1200100 e05 06065 Resposta Final A probabilidade de uma bateria durar mais de 100 h é 06065 b Probabilidade de que mais da metade das baterias permanecem funcionando após 100 h Temos n 6 baterias A probabilidade de uma bateria falhar em 100 h é PX 100 1 PX 100 1 06065 03935 A distribuição do número de falhas Y é binomial com n 6 e p 03935 Queremos PY 4 PY 4 PY 0 PY 1 PY 2 PY 3 Calculando cada termo PY k n choose kpk1pnk Para k 0 PY 0 6 0039350060656 00912 Para k 1 PY 1 6 1039351060655 02234 Para k 2 PY 2 6 2039352060654 02769 Para k 3 PY 3 6 3039353060653 02275 Assim somando as probabilidades PY 4 00912 02234 02769 02275 08190 Então a probabilidade de que mais da metade das baterias permaneçam funcionando no final de 100 h é PY 3 1 PY 4 1 08190 01810 Resposta Final A probabilidade de que mais da metade das baterias permaneçam funcionando é 05578 Exercício 10 Peças Defeituosas Em um processo industrial as peças com mais de 22 kg ou menos de 18 kg são consideradas defeituosas O processo atual produz 30 de peças defeituosas Foi proposta a troca por um processo em que o peso das peças tem distribuição Normal com média 21 kg e desvio padrão 09 kg Proporção de peças defeituosas no novo processo Calculamos a probabilidade de peças defeituosas Para x 18 kg z1 18 21 09 3 09 333 PX 18 00004 Para x 22 kg z2 22 21 09 1 09 111 PX 22 1 PZ 111 1 08665 01335 Portanto a proporção total de peças defeituosas é PX 18 PX 22 00004 01335 01339 Resposta Final A proporção de peças defeituosas produzidas pelo novo processo é aproximadamente 1339 Deve ser feita a troca Como a proporção de peças defeituosas do novo processo é menor que 30 a troca deve ser feita Exercício 11 Pacientes em Operação Num hospital 5 pacientes devem submeterse a um tipo de operação da qual 80 sobrevivem Seja p 080 e q 020 probabilidade de não sobreviver a Probabilidade de que todos sobrevivam PX 5 5 5p5 q0 1 0805 0200 0805 032768 Resposta Final A probabilidade de que todos sobrevivam é 32768 b Probabilidade de que pelo menos 2 sobrevivam Usamos a distribuição binomial para calcular PX 2 PX 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 Calculando PX 0 e PX 1 PX 0 5 0p0 q5 1 0800 0205 000032 PX 1 5 1p1 q4 5 0801 0204 5 080 00016 00064 Então PX 2 000032 00064 000672 Portanto PX 2 1 000672 099328 Resposta Final A probabilidade de que pelo menos 2 sobrevivam é 99328 c Probabilidade de que no máximo 3 não consigam sobreviver Isso é equivalente a PX 2 PX 3 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 Calculando PX 2 e PX 3 PX 2 5 2p2 q3 10 0802 0203 10 064 0008 00512 PX 3 5 3p3 q2 10 0803 0202 10 0512 004 02048 Assim temos PX 3 000032 00064 00512 02048 02628 A probabilidade de que no máximo 3 não consigam sobreviver é PX 3 1 PX 2 099328 Resposta Final A probabilidade de que no máximo 3 não consigam sobreviver é 99328 Exercício 12 Lançamento de Moeda Uma moeda é jogada 8 vezes a Probabilidade de dar 4 caras PX 4 8 4124 124 8 4128 8 4 70 PX 4 70 1256 027344 Resposta Final A probabilidade de dar 4 caras é 27344 b Probabilidade de dar pelo menos 2 caras PX geq 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 Calculando PX 0 e PX 1 PX 0 8 0 120 128 1 cdot frac1256 approx 000390625 PX 1 8 1 121 127 8 cdot frac1256 approx 003125 Então PX 2 approx 000390625 003125 approx 003515625 Portanto PX geq 2 approx 1 003515625 approx 096484375 Resposta Final A probabilidade de dar pelo menos 2 caras é 96484 c Probabilidade de não dar nenhuma cara PX 0 approx 000390625 Resposta Final A probabilidade de não dar nenhuma cara é 039 d Probabilidade de dar 3 coroas PX 3 8 3 123 125 8 3 128 8 3 56 implies PX 3 56 cdot leftfrac1256right approx 021875 Resposta Final A probabilidade de dar 3 coroas é 21875 Exercício 13 Canetas Defeituosas Se 3 das canetas de certa marca são defeituosas a probabilidade de uma caneta ser defeituosa é p 003 e a probabilidade de não ser defeituosa é q 097 A amostra é de n 10 canetas a Probabilidade de nenhuma defeituosa PX 0 binom100 p0 q10 1 cdot 0030 cdot 09710 approx 0737418 Resposta Final A probabilidade de que nenhuma caneta seja defeituosa é 7374 b Probabilidade de 5 canetas defeituosas PX 5 binom105 p5 q5 binom105 0035 0975 Calculando binom105 252 implies PX 5 approx 252 cdot 000000243 cdot 077378 approx 000001945 Resposta Final A probabilidade de que 5 canetas sejam defeituosas é 0001 c Probabilidade de pelo menos 2 defeituosas PX geq 2 1 PX 2 1 PX0 PX1 Calculando PX1 PX1 binom101 p1 q9 10 cdot 003 cdot 0979 approx 10 cdot 003 cdot 078275 approx 0234778 Portanto PX2 approx 0737418 0234778 approx 0972196 Assim PX geq 2 approx 1 0972196 approx 0027804 Resposta Final A probabilidade de pelo menos 2 canetas serem defeituosas é 3451 d Probabilidade de no máximo 3 defeituosas PX leq 3 PX0 PX1 PX2 PX3 Calculando PX2 e PX3 PX2 binom102 p2 q8 45 cdot 0032 0978 approx 0021135 PX3 binom103 p3 q7 120 cdot 0033 0977 approx 0000528 Assim temos PX leq 3 approx 0737418 0234778 0021135 0000528 approx 0993859 Resposta Final A probabilidade de no máximo 3 canetas serem defeituosas é 99985 Exercício 14 Probabilidade de Estudantes Formados Sabese que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é p 03 Vamos considerar n 6 estudantes a Probabilidade de que nenhum se forme PX0 binom60 p0 1p6 1 cdot 030 cdot 076 approx 076 approx 011765 Resposta Final A probabilidade de que nenhum se forme é 11765 b Probabilidade de que pelo menos 2 se formem PX geq 2 1 PX 2 1 PX0 PX1 Calculando PX1 PX1 binom61 p1 1p5 6 cdot 031 cdot 075 approx 6 cdot 03 cdot 016807 approx 0302526 Portanto PX2 approx 011765 0302526 approx 0420176 Assim PX geq 2 approx 1 0420176 approx 0579824 Resposta Final A probabilidade de que pelo menos 2 se formem é 5798 Exercício 15 Chamadas em uma Central Telefônica Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora ou seja lambda 5 chamadas por minuto a Probabilidade de que num minuto não haja nenhum chamado PX0 fracelambda lambda00 e5 approx 0006737947 Resposta Final A probabilidade de que num minuto não haja nenhum chamado é 067 b Probabilidade de que em 2 minutos haja 2 chamados PX2eλλ22e101022000004539991002 00022699995 Resposta Final A probabilidade de que em 2 minutos haja 2 chamados é 023 c Probabilidade de no máximo 7 chamadas em 1 minuto PX7k07PXkk07 e55kk Usando tabelas ou calculadora de Poisson encontramos que PX7 08666 Resposta Final A probabilidade de no máximo 7 chamadas em 1 minuto é 8666 Exercício 16 Chegada de Navios O número de navios que chegam a um porto cada dia tem distribuição de Poisson com média igual a 5 a Probabilidade de X8 PX81PX81k08 PXk1e5k08 5kk Usando tabelas de Poisson PX8 00681 Resposta Final PX8 681 b Probabilidade de 2X6 P2X6PX3PX4PX5PX6 Calculando k36 PXke5533544555566 Encontramos que P2X6 06375 Resposta Final P2X6 6375 Exercıcio 17 Acidentes em Estrada Numa estrada ha 2 acidentes para cada 100 km ou seja a taxa e λ 2 100 d onde d e a distˆancia em km a Probabilidade de que em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes λ 2 100 250 5 Calculando PX 3 1 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 Usando a distribuicao de Poisson encontramos PX 3 0 8753 Resposta Final A probabilidade de que em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes e 87 53 b Probabilidade de que em 300 km ocorram 5 acidentes λ 2 100 300 6 Calculando PX 5 e665 5 0 227 Resposta Final A probabilidade de que em 300 km ocorram 5 acidentes e 16 06 Exercıcio 18 Mortes por Afogamento O numero de mortes por afogamentos em fins de semana numa cidade praiana e de 2 para cada 50000 habitantes a Probabilidade de que em 200000 habitantes ocorram 5 afogamentos λ 2 50000 200000 8 Calculando PX 5 e885 5 0 0916 16 Resposta Final A probabilidade de que em 200000 habitantes ocorram 5 afogamentos é 916 b Probabilidade de que em 112000 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos λ250000112000448 Calculando PX31PX3 Utilizando a tabela de Poisson temos PX3 08264 Resposta Final A probabilidade de que em 112000 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos é 8264 Exercício 19 Falhas em Componentes Em um teste com um motor há falhas em 2 componentes a cada 5 horas A taxa de falhas é λ25 t onde t é o tempo em horas a Probabilidade de que em 10 horas nenhuma componente falhe λ25104 PX0e4 00183 Resposta Final A probabilidade de que em 10 horas nenhuma componente falhe é 183 b Probabilidade de que em 7 horas ocorram no máximo falhas em 3 componentes λ25728 PX3k03 PXk Calculando PX3 06472 Resposta Final A probabilidade de que em 7 horas ocorram no máximo falhas em 3 componentes é 6472 Exercıcio 20 Defeitos em Tecido Na fabricacao de pecas de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso um a cada 250m a Probabilidade de que na producao de 1000m nao haja defeito A media de defeitos em 1000m e λ 1000 250 4 Usando a distribuicao de Poisson PX 0 eλλ0 0 e4 0 0183 Resposta Final A probabilidade de que nao haja defeito e 1 83 b Probabilidade de que acontecam pelo menos trˆes defeitos PX 3 1 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 Calculando PX 1 e PX 2 PX 1 e441 1 4 e4 0 0733 PX 2 e442 2 16e4 2 0 1465 Assim PX 3 0 0183 0 0733 0 1465 0 2381 Portanto PX 3 1 0 2381 0 7619 Resposta Final A probabilidade de que acontecam pelo menos trˆes defei tos e 76 19 c Dias sem defeito em 80 dias de producao de 625m A media de defeitos em 625m e λ 625 250 2 5 A probabilidade de nao haver defeitos em um dia e 18 PX0e25 00821 Em 80 dias a expectativa de dias sem defeito é E80PX0 8000821 6568 Resposta Final Em média podemos esperar 6568 dias sem defeito Exercício 21 Prova de Verdadeiro ou Falso Um estudante faz uma prova de 10 questões verdadeirofalso chutando as respostas a Probabilidade de exatamente 5 questões corretas Utilizando a distribuição binomial PX510 choose 5125 125 10 choose 51210 2521024 02461 Resposta Final A probabilidade de acertar exatamente 5 questões é 02461 b Probabilidade de oito ou mais corretas PX8PX8PX9PX10 Calculando PX810 choose 81210451024 PX910 choose 91210101024 PX1010 choose 10121011024 Portanto PX8 451011024 561024 005469 Resposta Final A probabilidade de acertar oito ou mais questões é 005469 Exercício 22 Duração de uma Consulta O tempo de duração X de uma consulta tem distribuição exponencial com λ 110 minutos a Probabilidade de uma consulta demorar 20 minutos no máximo PX 20 1 eλ20 1 e2010 1 e2 03935 Resposta Final A probabilidade de uma consulta demorar 20 minutos no máximo é 03935 b Probabilidade de uma consulta demorar mais que 10 minutos PX 10 eλ10 e1010 e1 03679 Resposta Final A probabilidade de uma consulta demorar mais que 10 minutos é 03679 Exercício 23 Pacientes com AIDS Em um hospital há 16 pacientes dos quais 4 têm AIDS Um médico cuidará de um grupo de 6 pacientes escolhidos aleatoriamente A probabilidade de que ele tenha 2 pacientes com AIDS é dada por PX 2 4 2 12 4 16 6 Calculando os coeficientes binomiais PX 2 6 495 8008 03709 Resposta Final A probabilidade de que ele tenha 2 pacientes com AIDS é 03709 Exercício 24 Falhas em Máquinas de Informática Suponha que em um laboratório de informática haja máquinas e a probabilidade de cada uma ter falha em um teste é de 40 a Probabilidade de que em 5 máquinas testadas haja pelo menos 2 falhas Utilizando a distribuição binomial com n 5 e p 04 PX 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 Calculando PX 0 e PX 1 PX 0 5 0040065 065 007776 PX 1 5 1041064 5 04 064 02592 Assim PX 2 007776 02592 033696 Portanto PX 2 1 033696 06630 Resposta Final A probabilidade de que haja pelo menos 2 falhas em 5 máquinas é 06630 b Probabilidade de que em 4 máquinas testadas haja no máximo 3 falhas PX 3 1 PX 4 Calculando PX 4 PX 4 4 4044060 044 00256 Assim PX 3 1 00256 09744 Resposta Final A probabilidade de que haja no máximo 3 falhas em 4 máquinas é 09744 a Probabilidade de que em um trecho de 5 km haja exa tamente 2 acidentes A media de acidentes em 5 km e λ 5 2 5 2 Usando a distribuicao de Poisson PX 2 eλλ2 2 e2 22 2 4e2 2 2e2 0 2707 Resposta Final A probabilidade de haver exatamente 2 acidentes em 5 km e 0 2707 b Probabilidade de que em um trecho de 10 km haja pelo menos 3 acidentes A media de acidentes em 10 km e λ 10 2 5 4 PX 3 1 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 Calculando PX 0 e4 40 0 e4 0 0183 PX 1 e4 41 1 4e4 0 0733 PX 2 e4 42 2 16e4 2 0 1465 Portanto PX 3 0 0183 0 0733 0 1465 0 2381 Assim PX 3 1 0 2381 0 7619 Resposta Final A probabilidade de haver pelo menos 3 acidentes em 10 km e 0 7619 22 Exercício 26 Duração de Componente Eletrônica A duração de uma componente eletrônica possui distribuição exponencial com λ 1 por mês a Probabilidade de que a duração seja menor que 3 meses PX 3 1 eλ3 1 e3 09502 Resposta Final A probabilidade de que a duração seja menor que 3 meses é 09502 b Probabilidade de que a duração esteja entre 2 e 5 meses P2 X 5 PX 5 PX 2 Calculando PX 5 1 e5 09933 PX 2 1 e2 08647 Assim P2 X 5 09933 08647 01286 Resposta Final A probabilidade de que a duração esteja entre 2 e 5 meses é 01286 Exercício 27 Reunião de Jovens Licenciados Numa reunião de jovens licenciados existem 7 mulheres e 6 homens a Probabilidade de que escolhendo aleatoriamente três meninas todas estudem ciências humanas As meninas que estudam ciências humanas são 4 A probabilidade é dada por PX 3 4 3 3 0 7 3 4 1 35 4 35 01143 Resposta Final A probabilidade de que todas estudem ciências humanas é 01143 b Probabilidade de que escolhendo três participantes independentemente do sexo todos estudem humanidades O total de estudantes de ciências humanas é 4 1 5 PX 3 5 choose 3 13 choose 3 10286 00350 Resposta Final A probabilidade de que os três escolhidos estudem humanidades é 00350