Bernoulli e As Distribuições de Probabilidade

151 Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli Basiléia 27 de Dezembro de 1654 Basiléia 16 de Agosto de 1705 foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz aplicandoo a novos problemas Publicou a primeira integração de uma equação diferencial deu solução ao pro blema dos isoperímetros que abriu cami nho ao cálculo das variações de Euler e La grange e estendeu suas principais aplica ções ao cálculo das probabilidades É consi derado o pai do cálculo exponencial Foi professor de matemática em Basiléia tendo sido importantíssima sua contribuição à ge ometria analítica à teoria das probabilida des e ao cálculo de variações Em 1713 depois de sua morte foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das pro babilidades Ars Conjectandi que ainda ofe rece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística FONTEhttpptwikipediaorgwikiBrasil Distribuição de Bernoulli Distribuição Binomial Distribuições de Poisson Exercícios Propostos Distribuição Multinomial Distribuição Hipergeométrica 152 Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 153 8 MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 81 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Suponhamos um experimento E onde As diversas provas se realizam sob condições idênticas Cada prova apresenta somente dois resultados Sucesso S ou Fracasso mutuamente excluden tes A probabilidade é a mesma em cada prova isto implica que As provas são independentes umas das outras Um experimento nas condições acima define uma distribuição de Bernoulli ou seja temos uma variável aleatória X discreta em que X Px Fracasso q Sucesso p 1 Para efeito de cálculos foram designados os valores 0 e 1 respectivamente para os resultados Fra casso e Sucesso assim X Px 0 q 1 p 1 Uma Variável Aleatória com estas características apresenta uma Distribuição de Bernoulli 811 ESPERANÇA DA DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 812 VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI S 1 P S P S p P S 1 p q q P S onde 0 1 x i i x x x p x q p p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 logo 1 i x i x i i i x E x E x mas E x x p x q p p x p p p p pq Capitulo 8 154 82 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Seja um experimento que consiste de um número n fixo de provas de Bernoulli com probabili dade p constante de sucesso para cada prova A distribuição de probabilidade da Variável Aleatória X é chamada Distribuição Binomial com n provas e probabilidade p de sucesso A probabilidade de ao realizarmos n provas se obter x sucessos e consequentemente n x fracassos numa ordem qualquer é Como temos disposições possíveis de ocorrências a função Distribuição de Probabilidade Bi nomial da Variável Aleatória X fica Exemplo 81 Consideremos os seguintes casos a n5 e p 02 O Histograma desta distribuição fica b n5 e p 05 O Histograma desta distribuição fica c n5 e p 08 O Histograma desta distribuição fica Podemos observar que para x n x p q x n C 0 x x n x n f x P X x p q x n C 0 0 03277 1 1 04096 2 2 02048 3 3 00512 4 4 00064 5 5 00003 P X f P X f P X f P X f P X f P X f 0 0 00313 1 1 01562 2 2 03125 3 3 03125 4 4 01562 5 5 00313 P X f P X f P X f P X f P X f P X f 0 0 00003 1 1 00064 2 2 00512 3 3 02048 4 4 04096 5 5 03277 P X f P X f P X f P X f P X f P X f Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 155 p 05 a distribuição é SIMÉTRICA p 05 a distribuição é ASSIMÉTRICA À ESQUERDA p 05 a distribuição é ASSIMÉTRICA À DIREITA Matematicamente representamos uma variável com Distribuição Binomial por d X B n p 822 ESPERANÇA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Como a Distribuição Binomial consiste de n Distribuições de Bernoulli temos 823 VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL De maneira análoga à Esperança a Variância da Distribuição Binomial será Exemplo 82 Um estudo mostra que 70 dos pacientes que vão a uma clínica devem esperar no mínimo 15 minutos até serem atendidos Determine a probabilidade de que para 8 pacientes a Nenhum paciente tenha que se sujeitar à espera b Dois pacientes tenham que se sujeitar à espera c Seis pacientes tenham que se sujeitar à espera Solução A probabilidade de sucesso o paciente ter que se sujeitar à espera é de 70 isto é 07 logo a probabilidade de fracasso é de 03 a b c x np 2 x npq 0 0 8 8 8 0 0 07 03 0 03 0 000007 x x n x n P X x f x p q P X f f f C C 2 2 6 8 2 6 2 2 07 03 0 28 07 03 0 000122 x x n x n P X x f x p q P X f f f C C 5 5 3 8 5 3 5 5 07 03 0 56 07 03 0 025412 x x n x n P X x f x p q P X f f f C C Capitulo 8 156 Exemplo 83 Determine a probabilidade de um único 2 sair em 3 lançamentos de um dado Solução A probabilidade de sucesso sair a face 2 é a probabilidade de fracasso NÃO sair face 2 é logo Exemplo 84 Seja X uma Variável com Distribuição Binomial com 9025 d X B Determine a P X 5 b 3 7 P X Solução Utilizaremos a Tabela da Distribuição Binomial para resolver este exemplo De acordo com os dados 9 n e p 025 A tabela da Distribuição Binomial está estruturada de maneira que temos o valor de n os possíveis valores de x e a probabilidade de sucesso p devemos procurar uma página onde encontremos 9 n e p 025 veja figura 28 a seguir Figura 28 Tabela da Distribuição Binomial a P X 5 A tabela já fornece o valor acumulado assim temos que apenas buscar o valor correto Para 9 n p 025 e 5 x temos Veja figura 29 a seguir 5 0990005 P X 16 56 1 2 1 5 1 3 6 6 1 2 03472222 x x n x n f x p q f f C C Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 157 b 3 7 P X Para resolver esta probabilidade precisaremos de dois valores da tabela 7 2 P X e P X 3 7 7 2 P X P X P X 3 7 0999893 0600677 P X 3 7 0399216 P X Figura 29 Solução da letra a do exemplo Figura 30 Solução da letra b do exemplo Capitulo 8 158 83 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 831 Uma moeda é jogada 10 vezes Calcular as seguintes probabilidades a de ocorrer 6 caras b de dar pelo menos 2 caras c de não dar nenhuma coroa d de dar pelo menos uma coroa e de não dar 5 caras e 5 coroas 832 Admitindose que os nascimentos de meninas e meninos sejam iguais calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres 833 Em 320 famílias com 4 crianças cada uma quantas se esperaria que tivessem a nenhuma menina b 3 meninos c 4 meninos 834 Um time X tem de probabilidade de vitória sempre que joga Se X jogar 5 partidas calcule a pro babilidade de a X vencer exatamente 3 partidas b X vencer ao menos uma partida c X vencer mais da metade das partidas 835 A probabilidade de um atirador acertar o alvo é Se ele atirar 6 vezes qual a probabilidade de a acertar exatamente 2 tiros b não acertar nenhum tiro 836 Num teste do tipo certo errado com 100 perguntas qual a probabilidade de um aluno respondendo as questões ao acaso acertar 70 das perguntas 837 Se 5 das lâmpadas de certa marca são defeituosas achar a probabilidade de que numa amostra de 100 lâmpadas escolhidas ao acaso tenhamos a nenhuma defeituosa b 3 defeituosas c mais do que 1 boa 838 Estudos mostram que 30 dos pacientes atendidos por uma clínica não efetuam seus pagamentos corretamente e as contas perdoadas Supondo que 4 novos pacientes representem uma escolha aleatória entre o grande número de pacientes atendidos por uma clínica Calcule a probabilidade de a todas as suas contas serem perdoadas b uma dessas contas ser perdoada c nenhuma dessas contas ser perdoada 839 Uma pesquisa feita em certo estado indicou que 9 entre 10 automóveis têm seguro Se 4 autos so frerem um acidente qual a probabilidade de a não mais de 2 terem seguro b exatamente 2 terem seguro 2 3 13 Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 159 8310 Sabese que 90 dos compradores de TV em cores não usam a garantia Suponha que 20 consumi dores adquiram TV em cores em certa loja Qual é a probabilidade de pelo menos 2 desses 20 com pradores utilizarem a garantia E até 5 compradores utilizarem a garantia 8311 Um carregamento de 200 aparelhos portáteis de TV é recebido por um vendedor Para evitar receber um carregamento ruim ele inspeciona 5 aparelhos e aceitará o grupo todo se observar 0 ou 1 defeito Suponha que haja na verdade 20 aparelhos defeituosos nesse carregamento de 200 a Qual é a probabilidade de o vendedor aceitar todo o carregamento b Admitindose que o vendedor aceite o carregamento qual é a probabilidade de ele ter obser vado somente 1 defeito 8312 Uma companhia aérea descobre que 5 das pessoas que fazem reservas para certo vôo não viajam Se a linha aérea vender 160 passagens para um vôo de 155 lugares qual é a probabilidade de haver lugar para todos os que fizeram reserva 8313 Acreditase que 20 dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm aler gia aos poluentes lançados ao ar Admitindo que este percentual de alérgicos seja real correto calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso 8314 Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular Se 16 alunos são selecionados ao acaso qual é a probabilidade de que a Pelo menos 12 tenham feito cursinho b No máximo 13 tenham feito cursinho c Exatamente 12 tenham feito cursinho d Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho E a variância 8315 Admita que respectivamente 90 e 80 dos indivíduos das populações A e B sejam alfabetizados Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas ao acaso qual é a probabili dade de que pelo menos uma não seja alfabetizada Que suposições você fez para responder a esta questão 8316 Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 002 e nesse caso ela tem probabilidade 05 de ser recu perável O custo de cada muda produzida é R 120 que será acrescido de mais R 050 se precisar ser recuperada As irrecuperáveis são descartadas Sabendo que cada muda é vendida a R 350 encontre a distribuição da variável aleatória lucro por muda produzida a Qual é o lucro médio por muda produzida b Em uma plantação de 10000 mudas qual é o lucro esperado c Em um lote de 50 mudas qual é a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis 8317 Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina que apresenta 10 de peças defeituosas Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles 8318 Dos estudantes de um colégio 41 fumam cigarro Escolhemse seis ao acaso para darem uma opinião sobre o fumo Determine a probabilidade de a nenhum dos seis ser fumante b todos os seis fumarem c ao menos a metade dos seis ser fumante Capitulo 8 160 8319 12 dos que reservam lugar em um vôo faltam ao embarque O avião comporta 15 passageiros a Determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar compareçam ao embar que b Se houve 16 pedidos de reserva determine a probabilidade de uma pessoa ficar de fora c Se houve 16 pedidos de reserva determine a probabilidade do avião voar lotado 8320 Uma firma de pedidos pelo correio envia uma carta circular que terá uma taxa de respostas de 10 Suponha que 20 cartas circulares são endereçadas a uma nova área geográfica como um teste de mercado Supondo que na nova área é aplicável a taxa de respostas de 10 determinar as probabi lidades dos seguintes eventos a ninguém responde b exatamente duas pessoas respondem c a maioria das pessoas responde d respondem menos do que 20 das pessoas 8321 Durante um ano particular 70 das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Nova York tiveram au mentadas suas cotações enquanto 30 tiveram suas cotações diminuídas ou estáveis No começo do ano um serviço de assessoria financeira escolhe 10 ações como sendo especialmente recomen dadas Se as 10 ações representam uma seleção aleatória qual a probabilidade de que a todas as 10 ações tivessem suas cotações aumentadas b ao menos 8 ações tivessem suas cotações aumentadas c menos do que quatro ações tivessem suas cotações aumentadas 8322 Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20 de tubos defeituosos Qual é a probabilidade de que a não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos b exatamente 3 tubos sejam defeituosos 8323 Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fa bricação sabido produzir 85 de itens aceitáveis Qual a probabilidade de que a 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis b De 5 a 9 itens extraídos sejam aceitáveis c No mínimo 3 itens extraídos sejam aceitáveis 84 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON É aplicada nos casos em que o número de fracassos ou o número de provas são grandezas inume ráveis A probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta X é dada pela Distribuição de Poisson por Matematicamente representamos uma variável com Distribuição de Poisson por d X P x x P x t e x onde VAR x Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 161 Exemplo 85 Chegam em média 10 naviostanque por dia a um porto que tem capacidade para 15 destes navios Qual a probabilidade de que em determinado dia um ou mais navios tenham que ficar ao largo aguardando uma vaga Solução Resolveremos este problema de duas maneiras A primeira utilizando a fórmula e a segunda utili zando a tabela da Distribuição de Poisson 1ª maneira Se o porto tem uma capacidade de 15 navios desejamos determinar a probabilidade de em determi nado dia chegarem mais de 15 navios ao porto assim 2ª maneira Já sabemos que a probabilidade desejada é A tabela de Probabilidades de Poisson assim como as outras tabelas de probabilidades é uma tabela de probabilidades acumuladas Portanto ela nos fornece a Devemos então procurar na tabela onde temos e x 15 Para estes valores encontramos na tabela o valor 09512 que é P X 15 Figura31 Portanto temos Figura 31 Solução do exemplo de Poisson 15 1 15 P X P X 15 15 0 0 15 1 1 x t x x t P X P x e x 10 0 1 2 3 14 15 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 1 0 1 2 3 14 15 P X e e e e e e 15 1 09513 00487 P X 15 1 15 P X P X o P X x 10 15 1 15 1 09512 00488 P X P X Capitulo 8 162 842 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO UMA APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Uma Distribuição Binomial com um número de prova n grande e uma probabilidade de sucesso p pequena de tal forma que np seja um número de grandeza moderada pode ser aproximada pela Distri buição de Poisson Suponhamos uma Distribuição Binomial com n 200 e p 004 Suponha também que desejásse mos a PX5 Pela Distribuição Binomial temos Pela Distribuição de Poisson temos A média da Distribuição Binomial é np e da Distribuição de Poisson é assim Portanto 85 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 851 Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus havia em média um estouro de pneu a cada 5000 Km a Qual a probabilidade que num teste de 3000 Km haja no máximo um pneu estourado b Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 Km sem estourar nenhum pneu 852 Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia Calcular a probabilidade de a receber exatamente 3 chamadas num dia b receber 3 ou mais chamadas num dia 853 A média de chamadas telefônicas numa hora é 3 Qual a probabilidade de a receber exatamente 3 chamadas numa hora b receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos 854 Na pintura de parede aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2 m 855 Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50000 Em uma cidade de 100 000 habitantes encontre a probabilidade de que um dado ano tenha havido a 0 b 1 c 2 d 2 ou mais suicídios 856 Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha a nenhum erro b exatamente 2 erros 857 Uma loja atende em média 2 clientes por hora Calcular a probabilidade de em uma hora a atender exatamente 2 clientes b atender 3 clientes 5 5 195 200 5 004 096 P X C 200 004 8 np 5 8 8 5 0191 5 P X e Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 163 858 Nos sinais de transmissor correm distorções aleatórias a uma taxa média de 1 por minuto Para men sagens de 3 minutos a taxa média de ocorrência de distorção é de 3 por mensagem Qual a proba bilidade de o número de distorções em uma mensagem de 3 minutos ser a 2 b 1 c 3 ou mais 859 A experiência mostra que 3 das chamadas recebidas por dia por uma central telefônica provêm de discagem errada Qual a probabilidade de a a central receber até 5 chamadas erradas em 5 dias b a central receber de 4 a 8 chamadas erradas em 15 dias 8510 Uma lavanderia recebe em média 35 reclamações por dia Qual a probabilidade desta lavanderia receber 1 reclamação em determinado dia 8511 A entrega de mercadorias em um depósito é feita a razão de 28 caminhões por hora Determine a probabilidade de chegarem 3 ou mais caminhões a Num período de 30 minutos b Num período de 1 hora e c Num período de 2 horas 8512 A chegada de ônibus em um terminal acontece à razão de 3 por minuto Supondo que tenha uma distribuição de Poisson determine a probabilidade de a chegarem 8 ônibus em 2 minutos b chegarem 4 ônibus em 5 minutos 8513 Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de 2 navios hora e que essa razão seja bem aproximada a um processo de Poisson Observando o processo durante um período de meia hora t 05 determine a probabilidade de a não chegar nenhum navio b chegarem 3 navios c chegarem mais de 3 navios em 2 horas 8514 Numa linha adutora de água de 60 km de extensão ocorrem 30 vazamentos no período de um mês Qual a probabilidade de ocorrer durante o mês pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão 8515 Numa fita de som há um defeito em cada 200 pés Qual a probabilidade de que a em 500 pés não aconteça defeito b em 800 pés ocorram pelo menos 3 defeitos 8516 Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento Qual a probabilidade de que a em 6 minutos receba pelo menos quatro mensagens b em 4 minutos não receba nenhuma mensagem 8517 Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há em média um estouro de pneu em cada 300 km e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson Qual a probabilidade de que a num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado b um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu Capitulo 8 164 8518 O RH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora Qual a probabilidade de entrevis tar a no máximo 3 candidatos em 2 minutos b exatamente 8 candidatos em 4 minutos 8519 Uma companhia de seguros de automóveis determinou que o número médio de pedidos de cober tura é 06 no ano Qual a probabilidade de que o segurado pedirá cobertura a 1 vez no ano b mais de 1 vez no ano 8520 Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora Qual a probabilidade de a receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente b receber de 1 a 3 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente c receber no mínimo 6 solicitações em duas horas d receber no máximo 7 ligações em 3 horas 8521 A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar ga solina numa bomba a Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer hora b Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora c Qual é o valor esperado e o desvio padrão para esta distribuição 8522 Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora Encontre a probabilidade que a 4 ou menos itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora b de 2 a 6 itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora c menos de 3 itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora 86 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL É uma generalização da Distribuição Binomial Ao invés de apenas dois resultados possíveis cada prova comporta k resultados a1 a2 a3 ak com probabilidades p1 p2 p3 pk As probabilidades perma necem constantes durante a realização das provas e estas são independentes entre si Seja xi o número de vezes que ocorre o resultado ai i 1 2 3 k de maneira que x1 x2 x3 xk n onde n é o número de vezes que as provas foram realizadas A Função de Distribuição de Probabilidades Multinomial é dada por 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 k k x x x x x x x x k n k P x x x x P p p p p Exemplo 86 Uma caixa contém 4 bolas vermelhas 3 bolas brancas e 3 bolas pretas Retirase uma bola aleatoriamente anotase a sua cor e devolvese a bola para a caixa Em 5 extrações reali zadas desta maneira qual a probabilidade de sair duas bolas vermelhas uma branca e duas pretas Solução As probabilidades de extrair uma bola vermelha ou branca ou preta são 04 03 03 v b p p p p Modelos de Distribuições Discretas de Probabilidade 165 A probabilidade pedida será 87 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 871 Uma urna tem 6 bolas brancas 4 pretas e 5 azuis Retiramse 8 bolas com reposição Qual a proba bilidade de sair 4 bolas brancas 2 pretas e 2 azuis 872 Um dado é lançado 10 vezes Qual a probabilidade de terem aparecido duas vezes a face 2 duas vezes a face 5 três vezes a face 1 e uma vez os demais resultados 873 Um administrador toma conhecimento de que 80 da produção de uma máquina é aceitável 15 necessita de algum reparo e 5 é imprestável Numa amostra de 10 itens qual é a probabilidade de obter 8 itens bons 2 que necessitam de reparo e nenhum imprestável 88 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Quando a probabilidade de sucesso se mantem constante em todas as prova do experimento a distribuição que se aplica é a distribuição Binomial Ou de outra maneira a Binomial corresponde ao es quema de extrações com reposição No caso onde as extrações são sem reposição aplicase a Distribuição Hipergeométrica De modo geral na distribuição hipergeométrica estamos interessados na probabilidade de obter x sucessos entre k itens considerados como sucesso e n x fracassos entre N k itens considerados fracassos Se X é o número de sucessos em uma amostra de tamanho n extraídas de uma população de N itens dos quais k são considerados sucessos e N k fracassos a distribuição de X é dada por x n x k N k n N P X x C C C Dizemos que d X H N n k Os cálculos diretos em geral são longos Mas quando n é pequeno em relação a N não há dife rença prática entre extração sem reposição e extração com reposição Então a distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela binomial com p k N e 1 q p A média e a variância de uma va com distribuição hipergeométrica são 2 1 nk N n e N N Exemplo 87 Lotes de 40 peças são considerados aceitáveis se contêm no máximo três peças defeituo sas O processo de amostragem consiste em extrair aleatoriamente cinco peças de cada lote e rejeitálo se for encontrada pelo menos uma peça defeituosa nas cinco peças extraídas Qual a probabilidade de se encontrar exatamente uma peça defeituosa se há três peças defeituosas em todo lote 212 2 1 2 5 212 v b p P p p p P 2 1 2 5 212 04 03 03 01296 2 1 2 P Capitulo 8 166 Solução 40 5 3 1 N n k x 1 4 3 37 5 40 3 66045 1 0301113 658008 P X C C C 89 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 891 Em problemas de controle de qualidade lotes com N itens são examinados O número de itens com defeito atributo A r é desconhecido colhemos uma amostra de n itens e determinamos k So mente para ilustrar suponha que num lote de N100 peças r10 sejam defeituosas Escolhendo n5 peças sem reposição a probabilidade de não se obter peças defeituosas é 892 Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades Um inspetor de qualidade examina cada caixa antes da posterior remessa testando 5 motores Se nenhum motor for defeituoso a caixa é aceita Se pelo menos um motor for defeituoso todos os 50 motores são testados Há 6 motores defeituosos numa caixa Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa 893 Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional a Se 20 cartões forem defeituosos qual será probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra b Se 5 cartões forem defeituosos qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra 894 Um lote contém 100 partes de um fornecedor brasileiro e 200 partes de um fornecedor chinês Se quatro partes são selecionadas aleatoriamente sem reposição qual é a probabilidade de que sejam todas elas de um fornecedor brasileiro Qual a probabilidade de que duas ou mais partes na amostra sejam de um fornecedor brasileiro Qual a probabilidade de que pelo menos uma parte seja de um fornecedor brasileiro 895 Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40 sem repo sição Um jogador escolhe seis números antes do sorteio acontecer a Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis números sorteados b Qual é a probabilidade de que cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados c Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados d Qual é a probabilidade de que no máximo cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados