Introdução à Inferência Estatística: Testes de Hipóteses

Introdução à Inferência Estatística Testes de Hipóteses Teste de hipóteses É uma metodologia que permite verificar se os dados amostrais trazem evidências suficientes para apoiar ou não uma hipótese estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação em relação a um parâmetro da população Formulação do Teste de Hipóteses Hipóteses Hipótese Nula H0 Sinal de Igualdade Hipótese Alternativa H1 Sinal de Desigualdade Parâmetro Média µ Proporção P Formulação do Teste de Hipóteses σ Conhecido σ Desconhecido Tipo de Erros Erros Tipo I e Tipo II Realidade Decisão no Teste Aceito Ho Rejeito Ho Ho Verdadeiro Correta 1 Erro Tipo I Ho False Erro Tipo II Correta 1 Teste Bilateral Ho Região Rejeição Ho Região de Aceitação L1 L2 o 1 2 2 Ho Região Rejeição H1 µ o Teste Bilateral 1 o L1 Ho Região de Aceitação Ho Região Rejeição H1 µ o Teste Unilateral Esquerdo Teste Unilateral Direito 1 o L2 H1 µ o Ho Região Rejeição Ho Região de Aceitação Teste Unilateral Direito Estatísticas dos testes 𝑍 lj𝑥 µ 𝜎 𝑛 𝑇 lj𝑥 µ 𝑠 𝑛 𝑍 Ƹ𝑝 𝑝 𝑝1 𝑝𝑛 Média desvio padrão populacional conhecido Média desvio padrão populacional desconhecido Proporção Médiaµ σ conhecido De experiências passadas sabese que o desvio padrão da altura de crianças de 10 a 15 anos é 15 cm O professor de educação física destas séries afirma que altura média das crianças não ultrapassa o valor de 145 cm Colhendo uma amostra de 36 crianças observouse a média de 150 cm Existe evidência suficiente ao nível de significância α1 para rejeitar a alegação do professor Formulação do Teste de Hipóteses Hipóteses Hipótese Nula H0 Sinal de Igualdade Hipótese Alternativa H1 Sinal de Desigualdade Hipóteses do Exemplo H0 µ 145 H1 µ 145 População N Hipóteses H0 µ 145 H1 µ 145 Amostra n 36 Questão Existem evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula H0 X 150 Esquema do Teste de Hipóteses Passos para construção do Teste de Hipóteses Passo 1 Estabelecer as Hipóteses Passo 2 Estabelecer as Regiões RA RR Passo 3 Calcular a estatística do teste Passo 4 Concluir o teste Passo 5 Calcular o Valor P Problema De experiências passadas sabese que o desvio padrão da altura de crianças de 5 a 10 anos é 15 cm O professor de educação física de uma escola afirma que altura média das crianças com essa faixa etária não ultrapassa o valor de 145 cm Colhendo uma amostra de 36 crianças observouse a média de 150 cm Existe evidência suficiente ao nível de significância α1 para rejeitar a alegação do professor Premissas Tamanho da amostra n 36 Desvio Padrão σ Conhecido 15 cm Média amostral 150 cm Nível de significância 1 x Passo 1 Estabelecer as Hipóteses H0 µ 145 H1 µ 145 Tabela Z 1 99 1 0 Zc233 Unilateral Direito RR RA Passo 2 Estabelecer as regiõesRR RA 1 99 1 0 Zc233 Unilateral Direito RR RA Passo 3 Estatística do Teste 00 2 36 15 145 150 µ n x Z Passo 4 Conclusão Conclusão A hipótese nula Não é rejeitada ao nível de significância de 1 ou seja não temos evidência suficiente para contradizer a alegação do professor de que altura média das crianças não ultrapassa o valor de 145 cm 1 1 0 Zc233 Unilateral Direito RR Z 2 00 RA Passo 5 Calcular o Valor P Calcular o Valor P Probabilidade de significância ou seja o menor valor de alfa que levaria a rejeição da hipótese nula 𝑃 𝑧 200 1 09772 00228 𝑜𝑢 228 Exercício 1 Sabese que o consumo mensal per capta de um determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão de 2 kg A diretoria da empresa que fabrica este produto decidiu que irá retirar o produto de circulação se o consumo per capta for menor que 8 kg Foi realizada uma pesquisa com 25 indivíduos e verificouse um consumo total mensal de 180 kg Determine a decisão a ser tomada pela diretoria com um α 5 Teste de hipóteses para Médiaµ σ desconhecido Exemplo 1 Afirmase que um novo tipo de unidade de armazenamento aumenta a vida média das frutas O sistema tradicional conserva as frutas em média 30 dias Selecionada uma amostra de 50 frutas que foram submetidas à nova unidade de armazenamento verificouse uma conservação média de 35 dias com desvio padrão de 11 dias a Teste a afirmação ao nível alfa 5 Passo 1 Estabelecer as hipóteses H0 µ 30 H1 µ 30 Passo 2 Estabelecer as regiões RR e RA Teste unilateral à direita gl 49 5 0 Tc16766 Unilateral Direito RR RA Passo 3 Calcular a estatística do teste 𝑇 lj𝑥 µ 𝑠 𝑛 35 30 11 50 321 Passo 4 Concluir o teste Rejeito Ho ao nível alfa 5 ou seja o tempo médio de conservação da nova unidade de armazenamento é superior a 30 dias Teste de hipóteses para proporção populacional P Exemplo 1 Um fabricante de creme dental alega que em no máximo 3 dos casos de seus produtos apresentam menos de 100 g por embalagem Uma amostra aleatória de 300 produtos revelou que 14 possuíam menos de 100 g Assumindo alfa igual a 5 é possível confirmar a alegação do fabricante Passo 1 Ho P 003 H1 P 003 Passo 2 Estabelecer as regiões RR e RA Z 1645 RR Z 1645 RA 1 095 005 0 Z 1645 Passo 3 Calcular a estatística do teste P chapéu 14300 00467 ou 467 Z 00467 003 raiz 003 097300 170 Passo 4 Concluir o teste Rejeito Ho ao nível alfa 5 ou seja o percentual de embalagens acima de 100g é superior a 3 Passo 5 Cálculo do Valor P P Z 170 1 09554 00446 09554 Valor P 00446 0 Z 170 Proporção Exemplo 2 Uma agência de propaganda alega que pelo menos 19 das pessoas que assistem a um determinado filme comercial exibido no horário nobre da televisão são capazes de recordar durante 30 dias seguintes Um pesquisador independente questionou a 350 telespectadores diferentes e encontrou que apenas 64 foram capazes de recordar o comercial após 30 dias Teste a alegação da agência de propaganda a um nível de significância de 1 Passo 1 Estabelecer as hipóteses Ho P 019 H1 P 019 Passo 2 Estabelecer as regiões RR e RA Teste unilateral esquerdo Z 233 RR Z 233 RA 1 001 0 233 Região de Aceitação Região Rejeição Passo 3 Calcular a estatística do teste P chapéu 64 350 01829 ou 1829 Z 01829 019 raiz 019 081 350 034 Passo 4 Concluir o teste Não rejeito Ho ao nível alfa1 ou seja não temos evidências para rejeitar a alegação da agência de propaganda Passo 5 Calcular o Valor P P Z 034 03669 Valor P 03669 0 033 Proporção Exercício 3 A partir de uma pesquisa sobre duas companhias telefônicas constatouse que de uma amostra formada por 200 pessoas 110 preferiam a companhia A É possível afirmar que a companhia A tem a preferência Suponha um nível de significância igual a 8 Passo 1 Estabelecer as Hipóteses Ho P 05 H1 P 05 Passo 2 Estabelecer as regiões RR e RA H1 P 05 Teste unilateral direito Z 141 RR Z 141 RA 1 092 008 0 Z 141 Passo 3 Calcular a estatística do teste P chapéu 110 200 055 Z 055 050 raiz 050 050 200 14142 Passo 4 Concluir o teste Rejeito Ho ao nível de significância igual a 8 ou seja a companhia A tem a preferência Passo 5 PZ 14142 1 09207 00793 1 09207 00793 0 Z 14142 Exercício 1 Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 12 Estamos testando se sua média é igual ou diferente de 10 e coletamos uma amostra de 100 valores obtendo uma média amostral de 154 Formule as hipóteses e de sua conclusão ao nível de significância de 5 Exercício 2 A vida média de uma amostra de 70 lâmpadas de certa marca é 1635 horas com desvio padrão igual a 120 horas Utilizando α5 desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é maior de 1600 horas Qual é a conclusão Exercício 3 Um relatório de uma companhia afirma que 35 de toda a água obtida através de poços artesianos no Nordeste é salobra Há muitas controvérsias sobre essa informação alguns dizem que a proporção é menor Para diminuir as dúvidas 400 poços foram sorteados e observouse em 120 deles água salobra Qual será a conclusão ao nível de 2